- Trang Chủ
- Khoa học tự nhiên
- luận văn:bài toán dùng phương pháp xấp xỉ trung bình phương (hay còn gọi là phương pháp bình phương tối thiểu) để xấp xỉ hàm trong thực nghiệm
Xem mẫu
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
----- -----
ÁN T T NGHI P
tài: “bài toán dùng phương pháp x p x
trung bình phương (hay còn g i là phương
pháp bình phương t i thi u) x p x hàm
trong th c nghi m.”
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 1 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
M CL C
Trang
Chương I
Phương pháp bình phương t i thi u l p công th c t th c nghi m:
1.1. Gi i thi u chung…...………………………………………………..1
1.1.1. tv n …………………………………………………..1
1.1.2. Bài toán t ra………………………………………………2
1.2. Sai s trung bình phương và phương pháp bình phương t i thi u tìm x p
x t t nh t v i m t hàm……………………………………………...3
1.2.1. Sai s trung bình phương…………………………………...3
1.2.2. nh nghĩa………………………………………………….3
1.2.3. ý nghĩa c a sai s trung bình phương……………………....3
1.2.4. X p x hàm theo nghĩa trung bình phương…………………5
Chương II
Các phương pháp x p x :
2.1 . X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c suy r ng…………..…7
2.1.1. nh nghĩa……………….…………………………………….7
2.1.2. N i dung……………………………………………………….7
2.1.3. Sai s c a phương pháp…………………………………..........9
2.1.4. M r ng trên h tr c giao ơn gi n hóa k t qu ……….…..11
2.1.4.1. nh nghĩa……………………………………………...11
2.1.4.2. Ti p c n l i gi i………………………………………...11
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 2 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
2.1.4.3. Sai s c a phương pháp………………………………....12
2.1.4.4. Chú ý …………………………………………………...12
2.2. X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c i s ………………..14
2.2.1. tv n …………………………………………………….14
2.2.2. Ti p c n l i gi i………………………………………............14
2.2.3. Sai s trung bình……………………………………………...14
2.2.4. Trư ng h p các m c cách u………………………………..15
2.3. X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c tr c giao…………..20
2.3.1. nh nghĩa h hàm tr c giao………………………..………...20
2.3.2. tv n …………………………………………………….20
2.3.3. N i dung c a phương pháp………………………….………...21
2.3.4. Sai s c a phương pháp……………………………..………...30
2.4. X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c lư ng giác…………32
2.4.1. nh nghĩa a th c lư ng giác………………………………..32
2.4.2. Thu t toán……………………………………………………..32
Chương III
Các ví d minh h a:
3.1. a th c i s …………………………………………………………..39
3.1.1. Ví d 1………………………………………………………..39
3.1.2. Ví d 2………………………………………………………...40
3.2. a th c tr c giao………………………………………………………..43
3.2.1. Ví d 1………………………………………………………...43
3.2.1. Ví d 2………………………………………………………...48
3.3. a th c lư ng giác……………………………………………………...52
Chương IV
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 3 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
SƠ KH I BI U DI N THU T TOÁN VÀ CHƯƠNG TRÌNH
VI T B NG NGÔN NG C:
4.1. Sơ kh i bi u di n thu t toán…………………………………………54
4.1.1. Trư ng h p d ng a th c i s ………………………………. 54
4.1.2. Trư ng h p d ng a th c tr c giao…………………………… 55
4.1.3. Trư ng h p d ng a th c lư ng giác………………………… .56
4.2. K t qu ch y chương trình……………………………………………...57
4.2.1. Trư ng h p a th c i s …………………………………..…57
4.2.2. Trư ng h p a th c tr c giao……………………………….....57
4.2.3. Trư ng h p a th c lư ng giác………………………………..58
K t lu n…………………………………………………………….....……59
Tài li u tham kh o…………………………………………………............60
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 4 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
L I NÓI U
Toán h c là m t môn khoa h c chi m v trí quan tr ng không th thi u
trong cu c s ng con ngu i.
Cùng v i s phát tri n n i t i c a toán h c và các ngành khoa h c khác,
toán h c chia thành toán lý thuy t và toán ng d ng.
Gi i tích s hay còn g i là phương pháp s là môn khoa h c thu c lĩnh
v c toán ng d ng nghiên c u cách gi i g n úng các phương trình, các bài
toán x p x hàm s và các bài toán t i ưu.
Vi c gi i m t bài toán x p x hàm s nh m m c ích thay m t hàm s
dư i d ng ph c t p như d ng bi u th c ho c m t hàm s dư i d ng b ng
b ng nh ng hàm s ơn gi n hơn. Trong lý thuy t x p x hàm ngư i ta
thư ng nghiên c u các bài toán n i suy, bài toán x p x u và bài toán x p
x trung bình phương.
Trong án này em c p n bài toán dùng phương pháp x p x trung
bình phương hay còn g i là phương pháp bình phương t i thi u x px
hàm trong th c nghi m.
hoàn thành án này em xin chân thành c m ơn các th y cô trong
khoa Toán tin ng d ng- Trư ng i h c Bách Khoa Hà N i ã quan tâm
giúp em và t o m i i u ki n cho em trong su t quá trình làm án. c
bi t em xin chân thành g i l i c m ơn n PGS-TS LÊ TR NG VINH,
ngư i ã tr c ti p t n tình hư ng d n, ch b o v kinh nghi m và tài li u
trong su t quá trình em làm án t t nghi p.
Em xin chân thành c m ơn!
Hà N i, tháng 5 năm 2008
Bùi Văn B ng
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 5 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
CHƯƠNG I
PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG T I THI U
L P CÔNG TH C T TH C NGHI M
1.1 Gi i thi u chung
1.1.1 tv n
Có r t nhi u phương pháp khác nhau l p nh ng a th c t th c
nghi m mà ta ã bi t n như phép n i suy l p a th c c p n: ϕ ( x ) ( i
s ho c lư ng giác) x p x hàm s y = f ( x ) mà ta ã bi t các giá tr c a hàm
này là y = yi t i các i m x = xi . Phương pháp n i suy nói trên khi s d ng
trong th c ti n thì có nh ng i u c n cân nh c là:
1. Trong các a th c n i suy ϕ ( x ) ta òi h i ϕ ( xi ) = yi . Tuy nhiên s òi
h i này không có ý nghĩa nhi u trong th c t . B i vì các s yi là giá tr
c a hàm y = f ( x ) t i các i m x = xi , trong th c t chúng ta cho dư i
d ng b ng và thư ng thu ư c t nh ng k t qu o c ho c tính toán
trong th c hành. Nh ng s y i này nói chung ch x p x v i các giá tr
úng f ( xi ) c a hàm y = f ( x) t i x = xi . Sai s m c ph i
ε i = yi − f ( xi ) nói chung khác không. N u bu c ϕ ( xi ) = yi thì th c
ch t ã em vào bài toán các sai s ε i c a các s li u ban u nói trên
(ch không ph i là làm cho giá tr c a hàm n i suy ϕ (x) và hàm f ( x )
trùng nhau t i các i m x = xi ).
2. cho a th c n i suy ϕ (x) bi u di n x p x hàm f ( x ) m t cách sát
th c ương nhiên c n tăng s m c n i suy xi (nghĩa là làm gi m sai s
c a công th c n i suy). Nhưng i u này l i kéo theo c p c a a th c
n i suy tăng lên do ó nh ng a th c n i suy thu ư c khá c ng k nh
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 6 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
gây khó khăn cho vi c thi t l p cũng như d a vào ó tính giá tr
g n úng ho c kh o sát hàm f ( x ) .
1.1.2 Bài toán t ra
Chính vì nh ng lý trên nên phương pháp tìm hàm x p x có th s sát
th c hơn thông qua hai bài toán:
Bài toán 1(tìm hàm x p x ).
Gi s ã bi t giá tr yi (i = 1,2,..., n) c a hàm y = f ( x) t i các i m
tương ng x = xi . Tìm hàm φm ( x) x p x v i hàm f(x) trong ó
m
φm ( x) = ∑ aiϕi ( x). (1 - 1)
i =0
v i ϕ i (x) là nh ng hàm ã bi t, ai là nh ng h s h ng s .
Trong khi gi i quy t bài toán này c n ch n hàm φ m (x) sao cho quá trình tính
toán ơn gi n ng th i nhưng sai s ε i có tính ch t ng u nhiên (xu t hi n
khi thu ư c các s li u yi ) c n ph i ư c ch nh lý trong quá trình tính toán.
Trong bài toán tìm hàm x p x trên vi c ch n d ng c a hàm x p x φ m (x) là
tùy thu c ý nghĩa th c ti n c a hàm f(x) .
Bài toán 2 (tìm các tham s c a m t hàm có d ng ã bi t).
Gi s ã bi t d ng t ng quát c a hàm
Y = f ( x, a0 , a1,..., am ) (1 – 2)
Trong ó: ai (i = 1,2,..., m) là nh ng h ng s .
Gi s qua th c nghi m ta thu ư c n giá tr c a hàm y = yi (i = 1,2,..., m)
ng v i các giá tr x = xi c a i. V n là t nh ng s li u th c nghi m
thu ư c c n xác nh các giá tr c a tham s a0 , a1 ,..., am tìm ư c d ng
c th c a bi u th c (1 – 2): y = f ( x) v s ph thu c hàm s gi a y và x .
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 7 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
1.2 Sai s trung bình phương và phương pháp bình phương t i thi u
tìm x p x t t nh t v i m t hàm
1.2.1 Sai s trung bình phương
Nh ng hàm trong th c nghi m thu ư c thư ng m c ph i nh ng sai s
có tính ch t ng u nhiên. Nh ng sai s này xu t hi n do s tác ng c a
nh ng y u t ng u nhiên vào k t qu th c nghi m thu ư c các giá tr
c a hàm.
Chính vì lý do trên, ánh giá s sai khác gi a hai hàm trong th c
nghi m ta c n ưa ra khái ni m v sai s (ho c l ch) sao cho m t m t nó
ch p nh n ư c trong th c t , m t m t l i san b ng nh ng sai s ng u nhiên
(nghĩa là g t b ư c nh ng y u t ng u nhiên tác ng vào k t qu c a
th c nghi m). C th n u hai hàm th c ch t khá g n nhau thì sai s chúng ta
ưa ra ph i khá bé trên mi n ang xét.
Khái ni m v sai s nói trên có nghĩa là không chú ý t i nh ng k t qu
có tính ch t cá bi t mà xét trên m t mi n nên ư c g i là sai s trung bình
phương.
1.2.2 nh nghĩa
Theo nh nghĩa ta s g i σ n là sai s (ho c l ch) trung bình phương
c a hai hàm f ( x) và ϕ ( x) trên t p X = ( x1 , x2 ,..., xn ) , n u
1 n
σn = ∑ [ f ( xi ) − ϕ ( xi )]2 .
n i =1
(2 – 1)
1.2.3 Ý nghĩa c a sai s trung bình phương
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 8 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
tìm hi u ý nghĩa c a sai s trung bình phương ta gi thi t f ( x) , ϕ (x) là
nh ng hàm liên t c trên o n [ a, b ] và X = ( x1 , x2 ,..., xn ) là t p h p các i m
cách u trên [ a, b ]
a = x1 < x2 < ... < xn = b
Theo nh nghĩa fích phân xác nh ta có
lim σ n = σ (2 – 2)
n →∞
Trong ó:
b
1
∫ [ f ( x) − ϕ ( x)] dx .
2
σ 2
= (2 – 3)
b−a a
Gi s f ( x ) − ϕ ( x ) có trên [ a, b ] m t s h u h n c c tr và α là m t s
dương nào ó cho trư c. Khi ó trên [ a, b ] s có k o n riêng bi t [ ai , bi ]
(i = 1,2,..., k ) sao cho
f ( x ) − ϕ ( x ) ≥ α (v i x ∈ [ ai , bi ] , (i = 1,2,..., k ) )
G i ω là t ng các dài c a k o n nói trên.
V in l n và σ n bé, t (2 – 2) ta suy ra σ < ε ( ε bé tùy ý). T (2 – 3)
suy ra
b k bi
ε (b − a ) > ∫ [ f ( x) − ϕ ( x)] dx ≥
2 2
∑ ∫ [ f ( x) − ϕ ( x)]
i =1 ai
2
dx ≥ α 2ω .
a
Do ó
2
ε
ω < (b − a) .
α
Nghĩa là t ng dài ω c a các o n [ ai , bi ] s bé tùy ý.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 9 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
Tóm l i: v i σ n bé (n khá l n) thì trên o n [ a, b ] (tr t i nh ng i m
c a nh ng o n [ ai , bi ] mà có t ng dài ω bé tùy ý), ta có
f ( x) − ϕ( x) < α .
Trong ó α là m t s dương tùy ý cho trư c.
T nh n xét trên ta rút ra nh ng ý nghĩa th c ti n c a sai s trung bình
phương như sau:
N u sai s trung bình phương σ n c a hai hàm f(x) và ϕ (x) trên t p h p n
i m [ a, b ] ⊂ X (n l n) mà khá bé thì v i tuy t i a s giá tr c a x trên
[a, b] cho sai s tuy t i gi a f(x) và ϕ (x ) khá bé.
1.2.4 X p x hàm theo nghĩa trung bình phương
T ý nghĩa c a sai s trung bình phương nói trên
Ta nh n th y n u các giá tr yi (i = 1,2,..., n) c a hàm f ( x) t i các i m xi
và n u sai s trung bình phương
1 n
σn = ∑ [ yi − ϕ ( xi )]2
n i =1
khá bé thì hàm ϕ (x ) s x p x khá t t v i hàm f ( x) .
Cách x p x m t hàm s l y sai s trung bình phương làm tiêu chu n ánh
giá như trên g i là x p x hàm theo nghĩa trung bình phương.
Rõ ràng: N u hàm f ( x) thu ư c b ng th c nghi m (nghĩa là yi ≈ f ( xi ) )
thì cách x p x nói trên ã san b ng nh ng sai l c t i t ng i m (n y sinh do
nh ng sai s ng u nhiên c a th c nghi m). ó là lý do gi i thích lý do vì sao
phương pháp x p x theo nghĩa trung bình phương ư c s d ng r ng rãi
trong th c ti n.
Ta xét trư ng h p ϕ ( x) là ph thu c các tham s a0 , a1 ,..., am
ϕ ( x) = ( x; a0 , a 1 ,..., am ) . (2 – 4)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 10 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
Trong s nh ng hàm ϕ ( x) có d ng (2 – 4) ta s g i hàm
ϕ ( x) = ( x; a 0 , a1 ,..., a m ) (2 – 5)
là x p x t t nh t theo nghĩa trung bình phương v i hàm f ( x) n u sai s
trung bình phương ϕ ( x ) v i f ( x) là bé nh t. C th là
σ n ( a 0 , a1 ,..., a m ) = min σ n ( a0 , a1 ,..., am )
trong ó
1 n
∑ [ yi − ϕ ( x; a0 , a1,..., am )] .
2
σ n (a0 , a1 ,..., am ) = (2 – 6)
n i =1
T (2 – 6) ta nh n th y (2 – 5) tương ương v i ng th c:
n n
∑ [ y − ϕ ( x; a , a ,..., a )] = min ∑ [ yi − ϕ ( x; a0 , a1 ,..., am )] .
2 2
i 0 1 m (2 – 7)
i =1 i =1
T ó vi c tìm hàm x p x t t nh t (trong s nh ng hàm d ng (2 – 4) v i
n
hàm f ( x) ) s ưa v tìm c c ti u c a t ng bình phương ∑ε
i =1
i
2
trong ó
ε i = yi − ϕ ( x; a0 , a1 ,..., am ) .
B i v y phương pháp tìm x p x t t nh t theo nghĩa trung bình còn g i là
phương pháp bình phương t i thi u x p x hàm trong th c nghi m.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 11 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
CHƯƠNG II
CÁC PHƯƠNG PHÁP X P X
2.1 X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c suy r ng
2.1.1 nh nghĩa
Gi s cho h hàm: ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x),... Ta s g i hàm ϕm ( x) là a
th c suy r ng c p m n u φm ( x) có d ng
m
φm ( x) = ∑ aiϕi ( x) . (3 – 1)
i =0
Trong ó a0 , a1 ,..., am là các h s h ng s . H hàm {ϕm ( x)} ã cho g i là h
cơ b n.
2.1.2 N i dung
Theo ph n trên v tìm hàm x p x gi s ã bi t n giá tr th c nghi m
yi (i = 1,2,..., n) c a hàm y = f ( x) t i các i m tương ng xi . Khi ó vi c
tìm m t a th c suy r ng có d ng (3 – 1) mà x p x v i hàm f ( x) nói trên
{ x1, x2 ,..., xn } ⊂ [ a, b] s chuy n v vi c tìm m+1 h s ai trong (3 – 1).
quá trình tính toán ư c ơn gi n ta xét a th c suy r ng φm ( x) v i
c p m không l n l m. Tuy nhiên ta v n ph i ch n n l n do ó có th gi
thi t n ≥ m+1. Khác v i bài toán n i suy ây ta không c n xác nh m+1
giá tr ai t n phương trình: yi = φm ( xi ) (i = 1,2,..., n) (vì s phương trình
thư ng nhi u hơn s n).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 12 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
Ta s áp d ng phương pháp bình phương t i thi u tìm a th c suy
m
r ng φ m ( x) = ∑ ai ϕ i ( x) x p x t t nh t v i hàm f ( x) trên [ a, b ] .
i =0
Trong (2 – 7) ta coi
m
ϕ ( x; a0 , a1,..., am ) = φ m (x) = ∑ aiϕ i ( x) .
i =0
T ( )
ó ta suy ra: a 0 , a1 ,..., a m là i m c c ti u c a hàm m+1 bi n
n
F (a0 , a1 ,..., am ) = ∑[ y
i =1
i − ϕ 0 ( xi ) a 0 − ϕ1 ( xi ) a1 − .... − ϕ m ( xi ) a m ] 2 . (3 – 2)
Do ó ( a0 , a1 ,..., am ) là nghi m c a h phương trình
∂F ∂F ∂F
=0; = 0 ; ……; = 0.
∂a 0 ∂a1 ∂a m
Ho c d ng tương ương v i nó
2 n y − ϕ ( x )a − ϕ ( x )a − ... − ϕ ( x )a −ϕ ( x ) = 0
∑[ i
i =1
0 i 0 1 i 1 m i m ][ 0 i ]
n
2∑ [ yi − ϕ 0 ( xi )a0 − ϕ1 ( xi )a1 − ... − ϕ m ( xi )am ][ −ϕ1 ( xi )] = 0
i =1 (3 - 3)
...............................................................................
n
2∑ [ y − ϕ ( x )a − ϕ ( x )a − ... − ϕ ( x )a ][ −ϕ ( x )] = 0
i =1 i
0 i 0 1 i 1 m i m m i
G i ϕ r là véc tơ n chi u v i thành ph n th i là ϕ r ( xi ) .
G i y là véc tơ n chi u v i thành ph n th i là yi .
Theo nh nghĩa tích vô hư ng các véc tơ ta có
m n
[ y,ϕr ] = ∑ yiϕr ( xi ) ; [ϕr ,ϕ s ] = ∑ϕr ( xi )ϕs ( xi ) (3 – 4)
i =1 i =1
Do ó (3 – 3) ư c chuy n v d ng
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 13 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
[ϕ 0 ,ϕ 0 ] a0 + [ϕ 0 ,ϕ1 ] a1 + ... + [ϕ 0 ,ϕ m ] = [ y,ϕ 0 ]
[ϕ1 ,ϕ 0 ] a0 + [ϕ1 ,ϕ1 ] a1 + ... + [ϕ1 ,ϕ m ] = [ y,ϕ1 ]
(3 - 5)
....................................................................
[ϕ m ,ϕ 0 ] a0 + [ϕ m ,ϕ1 ] a1 + ... + [ϕ m ,ϕ m ] = [ y,ϕ m ]
Ta nh n th y (3 – 5) là h (m + 1) phương trình i s tuy n tính dùng
xác nh m + 1 h s : a 0 , a1 ,..., a m trong a th c x p x φm (x) . Ma tr n c a h
phương trình tuy n tính (3 – 5) có các ph n t là [ϕ i , ϕ j ] , do ó là m t ma
tr n i x ng (d a vào tính ch t giao hoán c a tích vô hư ng). Ta s g i h
phương trình (3 – 5) là h phương trình chu n.
nh th c c a h phương trình chu n có d ng
[ϕ 0 , ϕ 0 ][ϕ 0 , ϕ1 ]......[ϕ 0 , ϕ m ]
[ϕ1 , ϕ 0 ][ϕ1 , ϕ1 ]......[ϕ1 , ϕ m ]
G( ϕ 0 , ϕ1 ,....., ϕ m ) = (3 – 6)
............................................
[ϕ m , ϕ 0 ][ϕ m , ϕ1 ].....[ϕ m , ϕ m ]
Ta g i nh th c G = (ϕ0 ,ϕ1 ,...,ϕm ) là nh th c Gram c a h véc tơ
ϕ 0 , ϕ1 ,.....ϕ m trên t p i m X = { x1 , x2 ,..., xn } .
Mà ta ã bi t: N u hàm cơ s ϕ 0 ( x), ϕ1 ( x),...., ϕ m ( x) là h hàm c l p tuy n
tính trên X = { x1 , x2 ,..., xn } ⊂ [ a, b ] thì trong s nh ng a th c suy r ng c p
m có d ng (3 – 1) luôn t n t i m t a th c suy r ng
m
φ m ( x) = ∑ a iϕ i ( x) . (3 – 1’)
i=0
Là x p x t t nh t theo nghĩa trung bình phương i v i hàm f ( x) .
Ngoài ra còn có th ch ng minh khi h cơ s ϕ 0 ( x), ϕ1 ( x),...., ϕ m ( x) là nh ng
c l p tuy n tính trên { x1 , x2 ,..., xn } ⊂ [ a, b ] thì G = (ϕ0 ,ϕ1 ,...,ϕm ) > 0 . Nghĩa
là trong trư ng h p này h phương trình chu n (3 – 5) có và duy nh t
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 14 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
nghi m a 0 , a1 ,..., a m ng v i các h s c a a th c (3 – 1’) x p x t t nh t
v i hàm f ( x) (theo nghĩa trung bình phương).
Do v y ta có th cho r ng h hàm cơ s nghĩa là h hàm c l p tuy n
tính trên o n [ a, b ] .
2.1.3 Sai s c a phương pháp.
Cùng v i vi c tìm hàm x p x φm (x) cho hàm f ( x) ta c n ánh giá sai s
ho c l ch c a nó i v i hàm f ( x) . Sai s ây hi u theo nghĩa trung
bình phương. C th là ta i tìm i lư ng
1 n
σm = ∑ [ yi − φ m ( x)]2 .
n i =1
(3 – 7)
T (3 – 1’) ta có
2
n n m
∑ [ y i − φ m ( xi )] = ∑ yi − ∑ a jϕ j ( xi )
2
i =1 i =1 j =0
m m
= [ y − ∑ a jϕ j , y − ∑ a j ϕ j ]
j =0 j =0
m m m
= [ y − ∑ a jϕ j , y ] − [ y − ∑ a jϕ j , ∑ a jϕ j ] . (3 – 8)
j =0 j =0 j =0
M t khác
m m m m
y − ∑ a jϕ j , ∑ a j ϕ j = ∑ a j y − ∑ a jϕ j , ϕ j =
j =0 j =0 i =0 j =0
m m
[
= ∑ ai [ y, ϕ i ] − ∑ a j ϕ i , ϕ j . ] (3 – 9)
i =0 j =0
K t h p (3 – 9) v i (3 – 5) ta có:
m m
∑ [ ]
ai [ y, ϕ i ] − ∑ a j ϕ i , ϕ j = 0 .
i =0 j =0
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 15 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
Thay k t qu trên vào (3 – 8) ta có:
n m
∑ [ yi − φm ( xi )] = y − ∑ a jϕ j , y
2
i =1 j =0
m
[ ]
= [ y , y ] − ∑ a j y, ϕ j . (3 – 10)
j =0
Thay (3 – 10) vào (3 – 7) ta có
1 m
σn =
n
[
[ y, y ] − ∑ a j y, ϕ j .] (3 – 11)
j =0
Trong ó a j là nghi m c a h phương trình chu n (3 – 5).
2.1.4. M r ng trên h tr c giao.
2.1.4.1 nh nghĩa:
ơn gi n hóa k t qu trên thì ta nh nghĩa v h hàm tr c giao như sau:
H hàm ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x) g i là h tr c giao trên t p
X = ( x1, x2 ,..., xn ) n u
n
[ϕ r , ϕ s ] = ∑ ϕ r ( xi )ϕ s ( xi ) = 0.(r ≠ s)
i =1
n (3 – 12)
[ϕ r , ϕ s ] = ∑ ϕ r2 ( xi ) ≠ 0.( r = 0,1,...., m)
i =1
n
= [ϕ r , ϕ r ] = ∑ ϕ r2 ( xi ) g i là chu n c a hàm ϕ r (x) trên t p
2
S ϕ r mà ϕ r
i =1
h p X.
Trong trư ng h p h hàm ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x) tr c giao mà ϕ r = 1
(r = 0,1,..., m) thì h hàm ư c g i là h tr c chu n trên t p h p X .
2.1.4.2 Ti p c n l i gi i
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 16 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
T m t h cơ s b t kỳ ϕ 0 ( x ),ϕ 1 ( x ),...,ϕ m ( x) bao gi cũng l p ư c m t
h tr c chu n tương ng ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x) sao cho m i hàm c a h tr c
chu n là m t t h p tuy n tính c a các hàm trong h cơ s ã cho:
m
ϕ r ( x) = ∑ α s( r ) ϕ s ( x) (r = 0,1,..., m) . (3 – 13)
s =0
T (3 – 5) và (3 – 12) ta nh n th y r ng: N u ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x) là h tr c
giao thì a th c x p x t t nh t (3 – 1’) c a f ( x) có các h s a j cho b i
công th c
[ϕ i , ϕ i ]ai = [ y, ϕ i ] (i = 0,1,..., m) .
[ y , ϕ i ] = [ y, ϕ i ]
Hay ai = (i = 0,1,..., m) . (3 – 14)
[ϕ i , ϕ i ] ϕ i 2
T ó ta có
m m
[ y, ϕ i ]2
∑ a [y, ϕ ] = ∑
i =0
i i
i =0 ϕi
2
2.1.4.3 Sai s c a phương pháp
D a trên (3 – 11) ta suy ra sai s trung bình phương c a a th c x p x
là:
1
2
m
[ y, ϕ i ]
σn = [ y, y ] − ∑ 2 . (3 – 15)
n ϕi
j =0
[y , ϕ ] 2 m [y, ϕ ] 2
∑
j j
Vì 2
≥ 0 nên t ng: 2 là m t i lư ng ơn i u tăng theo
ϕj j =0 ϕj
m. Do ó t (3 – 15) ta suy ra sai s trung bình phương σ n s gi m khi m
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 17 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
tăng. Tóm l i n u c p m c a a th c x p x (3 – 1’) (v i h cơ s
ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x) là tr c giao) càng l n thì a th c x p x f ( x) càng t t.
2.1.4.4. Chú ý
M t c i m chú ý ây là: Trong trư ng h p chung khi c n thay i
c p m c a a th c x p x (3 – 1’) thì h phương trình chu n (3 – 5) dùng
xác nh các h s a 0 , a1 ,..., a m c a a th c hoàn toàn thay i. Do ó quá
trình tình toán (gi i h phương trình chu n) c n làm l i t u. Tuy nhiên
khi h hàm cơ s là tr c giao thì mu n thay i c p m c a a th c x p x
(3 – 1’) (ch ng h n tăng t m lên m+1) ta ch c n thêm s a m+1 t công th c
(3 – 14). Còn các h s a 0 , a1 ,..., a m ã thu ư c cho a th c φ m ( x ) v n
dùng ư c cho a th c
m +1
φ m+1 ( x) = ∑ a iϕi ( x) .
i =0
Nh n xét trên r t b ích v m t th c hành tính toán vì khi mu n x p x m t
hàm th c nghi m b ng m t a th c suy r ng c p m (3 – 1’): do khuôn kh
c a s tính toán ta không c n ch n ngay t us m l n. Khi ó n u h
hàm cơ s ϕ0 ( x),ϕ1 ( x),...,ϕm ( x),... là m t h tr c giao thì khi xu t phát ta có
th ch n s m nh (ch ng h n m = 1 ho c 2). Sau khi th c hành tính toán
n u th y sai s trung bình phương tương ng chưa bé (so v i yêu c u) thì
ta có th tăng d n s m lên và tính thêm các h s a i b sung (t công th c
(3 – 14)).
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 18 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
2.2 X p x hàm trong th c nghi m b ng a th c is
2.2.1 tv n
Gi s bi t n giá tr th c nghi m yi (i = 1,2,..., n) c a hàm f ( x) t i các
i m xi tương ng. Ta tv n x p x hàm f ( x) b i m t a th c c p m
có d ng
Pm ( x) = a0 + a1 x + ... + am x m . (4 – 1)
2.2.2 Ti p c n l i gi i
gi i bài toán này ta áp d ng nh ng k t qu t ng quát ph n II, trong
ó h hàm cơ s {ϕ i (x)} có d ng
ϕ 0 ( x) = 1 , ϕ1 ( x) = x , …, ϕ m ( x) = x m . (4 – 2)
khi ó t (3 – 4) ta có
n n
[ y, ϕ r ] = ∑ yiϕ r ( xi ) = ∑ yi xir
i =1 i −1
n n
và [ϕ r , ϕ s ] = ∑ ϕ r ( xi )ϕ s ( xi ) = ∑ xir + s . (4 – 3)
i =1 i =1
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 19 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
- án t t nghi p
--------------------------------------------------------------------------------------------
D a vào (3 – 5) ta suy ra các h s ai c a a th c x p x (4 – 1) là nghi m
c a h phương trình chu n có d ng sau
n n n n
a 0 n + a1 ∑ xi + a 2 ∑ xi2 + .... + a m ∑ xim = ∑ y i
n
i =1
n
i =1
n
i =1
n
i =1
n
a 0 ∑ xi + a1 ∑ xi2 + a 2 ∑ xi3 + ... + a m ∑ xim +1 = ∑ xi y i
i =1 i =1 i =1 i =1 i =1 (4 – 4)
.......................................................................................
n n n n n
a0 ∑ xim + a1 ∑ xim +1 + a 2 ∑ xim + 2 + ... + a m ∑ xi2 m = ∑ xim y i
i =1
i =1 i =1 i =1 i =1
2.2.3 Sai s trung bình
T (3 – 7) và (3 – 11) ta suy ra sai s trung bình c a a th c x p x có
d ng (4 – 4) là:
1 n 1 n 2 m n
∑ [yi − Pm ( xi )] = ∑ y i − ∑ a j ∑ y i x i .
2
σn = j
(4 – 5)
n i =1 n i =1 j =0 i =1
V m t th c hành, tìm các h s c a phương trình chu n (4 – 4) ta làm
theo lư c trong b ng 1. Các h s v trái c a phương trình u tiên cho
b i các t ng ô l n lư t t c t (1) n c t (m), c a phương trình th 2 cho b i
các t ng l n lư t t c t 2 n c t (m+1), … còn các v ph i c a (4 – 4) cho
b i các t ng l n lư t t c t (2m+2) n c t cu i cùng (3m+2).
x0 x1 x2 … x2m y xy x2 y … xm y
(1) (2) (3) (2m+1) (2m+2) (2m+3) (2m+4) (3m+2)
1 x1 x12 … x12 m y1 x1 y1 x12 y1 … x1m y1
1 x2 2 … 2 y2 x2 y2 2 …
x2 x2 m x2 y2 m
x2 y2
… … … … … …
… … … …
1 … …
xn 2
xn 2m
xn yn xn yn 2
xn yn m
xn yn
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
- 20 - Sinh viên th c hi n: Bùi Văn B ng
L p: To n Tin_2 – K48
nguon tai.lieu . vn
