Xem mẫu
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 19, NO. 9, 2021 69
KHÔNG GIAN VỚI HỌ BẢO TỒN BAO ĐÓNG
SPACES WITH A CLOSURE-PRESERVING FAMILY
Lương Quốc Tuyển1, Lê Văn Có1*, Hồ Quốc Trung1
1
Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng
Tác giả liên hệ: colelyson342@gmail.com
*
(Nhận bài: 08/4/2021; Chấp nhận đăng: 01/9/2021)
Tóm tắt - Good và Macías [1] đã chứng minh rằng hợp của hai Abstract - Good and Macísas [1] have space is a closure-
họ bảo tồn bao đóng trong một không gian topo cũng là một họ preserving family; and if a topological space has a closure-
bảo tồn bao đóng, và nếu X là một không gian topo có một họ preserving family, its n -fold symmetric product also has a
bảo tồn bao đóng, thì tích đối xứng cấp n của nó cũng có một họ closure-preserving one. In this paper, we study on closure-
bảo tồn bao đóng. Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu về họ preserving families, hereditary closure-preserving families,
bảo tồn bao đóng, họ bảo tồn bao đóng di truyền, họ bảo tồn bao weakly hereditary closure-preserving ones and the n -fold
đóng di truyền yếu và tích đối xứng cấp n của một không gian symmetric product of a topological space. The following results
topo. Nhờ đó, đã chứng được minh được các kết quả mới như sau: are proved: 1) The union of two hereditary closure-preserving
1) Hợp của hai họ bảo tồn bao đóng di truyền trong không gian families in a topological space is a hereditary closure-preserving
topo cũng là họ bảo tồn bao đóng di truyền. 2) Hợp của hai họ family. 2) The complication of two weakly hereditary closure-
bảo tồn bao đóng di truyền yếu trong không gian topo cũng là họ preserving families in a topological space is a weakly hereditary
bảo tồn bảo đóng di truyền yếu. 3) Nếu không gian topo X có closure-preserving family. 3) If a topological space has a weakly
một họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu, thì tích đối xứng cấp 2 hereditary closure-preserving family, its 2-fold symmetric
của nó cũng có một họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu. product also has a weakly hereditary closure-preserving one.
Từ khóa - Tích đối xứng; siêu không gian; bảo tồn bao đóng; bảo Key words - Symmetric product; hyperspace; closure-
tồn bao đóng di truyền; bảo tồn bao đóng di truyền yếu preserving; hereditary closure-preserving; weakly hereditary
closure-preserving
1. Giới thiệu = {0, 1, 2, 3,...}, ℕ+ = {1,2,3, . . . },
Năm 1931, Borsulk và Ulam [2] đã giới thiệu khái niệm
tích đối xứng cấp n của không gian topo và đã đưa ra một | A | là lực lượng của tập hợp A và A là bao đóng của
số tính chất quan trọng của nó. Trong những năm gần đây, A trong X , còn nếu là tập con của tích đối xứng
nhiều tác giả trên thế giới đã quan tâm nhiều đến bài toán về ( X ), thì nhóm tác giả ký hiệu cl( ) là bao đóng của .
n
sự bảo toàn các tính chất topo trên không gian metric suy
rộng lên tích đối xứng cấp n của nó. Nhờ đó, các tác giả đã 2. Cơ sở lí thuyết và phương pháp nghiên cứu
thu được nhiều kết quả thú vị (xem [1-3]). Sau đó, Good và
Macías [1] đã chứng minh rằng, hợp của hai họ có tính chất 2.1. Cơ sở lí thuyết
CP cũng là họ có tính chất CP, và nếu không gian topo X Giả sử X là một không gian topo. Ta đặt
có họ CP, thì tích đối xứng cấp n của nó cũng có họ CP. (1) CL( X ) {A X : A đóng và khác rỗng };
Gần đây, Tuyển và Tuyên [3] đã đưa ra kết quả rằng, nếu X
là không gian topo có cn-mạng (ck-mạng) có tính chất σ-(P), (2) 2 X {A CL( X ) : A compact };
thì tích đối xứng cấp n của nó cũng có
cn-mạng (tương ứng, ck-mạng) có tính chất σ-(P).
(3) n (X ) {A 2 X :| A | n};
Trong bài báo này, nhóm tác giả nghiên cứu các tính (4) (X ) {A 2 X : A hữu hạn };
chất của họ bảo tồn bao đóng, họ bảo tồn bao đóng di
Chúng ta trang bị cấu trúc topo Vietoris trên không gian
truyền, họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu và đã chứng
minh được rằng, hợp của hai họ bảo tồn bao đóng di truyền CL( X ) với cơ sở
(họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu) là họ bảo tồn bao đóng = U1 , , U s : U1 , ..., U s là các tập mở của X,
di truyền (tương ứng, họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu)
và nếu không gian X có một họ bảo tồn bao đóng di truyền
yếu, thì tích đối xứng cấp 2 của nó cũng có một họ bảo tồn
s +
,
bao đóng di truyền yếu. trong đó
Tất cả các không gian topo trình bày trong bài báo này s
được quy ước là không gian Hausdorff, còn khái niệm và U1 , ,U s A CL( X ) : A Ui , A Ui , i s
thuật ngữ khác nếu không nói gì thêm thì được hiểu thông i 1
thường. Ngoài ra, nhóm tác giả sử dụng thêm một số ký hiệu: Như vậy, n(X ) và ( X ) là các không gian con của
1
The University of Danang - University of Science and Education (Luong Quoc Tuyen, Le Van Co, Ho Quoc Trung)
- 70 Lương Quốc Tuyển, Lê Văn Có, Hồ Quốc Trung
CL( X ) với topo cảm sinh từ topo Vietoris. Khi đó, 2.2. Phương pháp nghiên cứu
Nhóm tác giả sử dụng phương pháp nghiên cứu lý
(1) n(X ) được gọi là tích đối xứng cấp n của X .
thuyết trong quá trình thực hiện bài báo. Nghiên cứu các
(2) ( X ) được gọi là siêu không gian gồm các tập con bài báo của các tác giả đi trước, bằng cách tương tự hóa,
hữu hạn của X . khái quát hóa nhằm đưa ra những kết quả mới cho mình.
3. Kết quả và đánh giá
Rõ ràng rằng (X ) n ( X ) và
n 1 3.1. Kết quả
Định lí 3.1.1. Cho và là hai họ HCP trong không
(X ) ( X ) với mọi n .
n n 1
gian topo X . Khi đó, cũng là một họ HCP của X .
Giả sử U1 , , U s là các tập mở trong X . Khi đó, ta ký hiệu Chứng minh. Cho và là hai họ HCP của X ,
U1 , ,U s n
U1 , ,U s n ( X ). . Ta đặt
= , = ,
Như vậy, topo trên n(X ) có cơ sở
khi đó = . Bây giờ, với mỗi V ta lấy
= U1 , ,U s n
: U1 , ..., U s , s +
. AV V . Ta cần chứng minh rằng
Nhận xét 2.1.1 ([1]). Giả sử X là một không gian topo {AV : V } = {AV : V }. (1)
và x1 , , xr ( X ) sao cho
n
Thật vậy, ta xét hai trường hợp sau:
{x1 , , xr } U1 ,, U s n . Trường hợp 1: Nếu = hoặc = , thì
Khi đó, với mỗi j r , nếu ta đặt hoặc . Bởi vì và là các họ HCP nên ta suy ra
U x = U {U1 , U 2 , , U s }: x j U ,
khẳng định (1) là đúng.
j
Trường hợp 2: Nếu và , thì do ,
thì rõ ràng rằng và , là các họ HCP trong X nên ta có:
U x1 ,,U xr n U1 ,,U s n .
{AV : V } = {AV : V },
Định nghĩa 2.1.2 ([1]). Giả sử X là một không
gian topo, là họ nào đó gồm các tập con của X . {AV : V } = {AV : V }.
Khi đó, Bởi thế, ta có
- được gọi là bảo tồn bao đóng (viết tắt là CP) nếu { AV : V }
với , ta có
= ({ AV : V }) ({ AV : V })
{V : V } = {V : V }.
- được gọi là bảo tồn bao đóng di truyền (viết tắt là
( ) (
= { AV : V } { AV : V } )
HCP) nếu với , và với mỗi V ta lấy tập con ( ) (
= { AV : V } { AV : V } )
AV V . Khi đó, ta có
= { AV : V }
{AV : V } = {AV : V }. = { AV : V }.
- được gọi là họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu (viết Do đó, khẳng định (1) là đúng.
tắt là wHCP) nếu với , và với mỗi V , ta lấy
Như vậy, là họ HCP của X .
xV V . Khi đó,
Định lí 3.1.2. Cho và là hai họ wHCP trong
{xV : V } = {xV : V }. không gian topo X . Khi đó, cũng là một họ wHCP
Nhận xét 2.1.3. Mỗi họ HCP là họ CP và wHCP. của X .
Bổ đề 2.1.4 ([1]). Giả sử là họ nào đó gồm các tập Chứng minh. Cho và là hai họ wHCP của X ,
+ . Ta đặt
con của không gian topo X và n . Khi đó, nếu là
họ CP của X , thì = , = ,
U = {U1 ,,U s n : U1 ,,U s } khi đó = . Bây giờ, với mỗi V , ta lấy
xV V . Ta cần chứng minh rằng
cũng là một họ CP của n ( X ).
Hệ quả 2.1.5. ([1]) Cho X là một không gian topo, {xV : V } = {xV : V }. (2)
và là hai họ CP của X . Khi đó, cũng là một Thật vậy, ta có các trường hợp sau:
họ CP của X . Trường hợp 1: Nếu = hoặc = , thì
- ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ - ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 19, NO. 9, 2021 71
hoặc . Bởi vì và là các họ wHCP trong X thì ta có
nên ta suy ra rằng khẳng định (2) là đúng. {A : F} {x1},{x2 }.
Trường hợp 2: Nếu và , thì do ,
Do đó,
và , là các họ wHCP trong X nên ta có
|{A : F}| 2,
{xV : V } = {xV : V },
kéo theo {A : U0 } là tập hợp đóng.
{xV : V } = {xV : V }.
Trường hợp 2: F .
Bởi thế, ta có Bởi vì F nên với mỗi F, ta lấy
{xV : V } y( ) A \ F.
= ({xV : V }) ({xV : V }) Bởi vì A nên tồn tại H sao cho
( ) (
= {xV : V } {xV : V } ) y( )H .
= ( {xV : V }) ( {xV : V }) Mặt khác, vì là họ wHCP nên
= {xV : V } = {xV : V }. { y( ): F}
Do đó, khẳng định (2) là đúng. là tập hợp đóng trong X . Do đó, nếu ta đặt
Như vậy, là họ wHCP của X . V = X \ { y( ): F},
Định lí 3.1.3. Giả sử là họ nào đó gồm các tập con thì V là lân cận mở của F trong X .
của không gian topo X . Khi đó, nếu là một họ wHCP
của X , thì Nếu H = , thì rõ ràng rằng V 2 là lân cận mở của
F trong 2(X ) thỏa mãn rằng
U = {U1 ,,U s 2 : U1 ,,U s }
V 2 {A : U0} = .
cũng là một họ wHCP của 2 ( X ).
Nếu H , thì tồn tại U 0 sao cho
Chứng minh. Giả sử U 0 rằng là một họ con bất kỳ của U .
Khi đó, với mỗi U 0 , ta lấy A . Ta chứng minh rằng A , A F , và A F.
cl({A : U0 }) = {A : U0}. Do đó, F có đúng 2 phần tử, giả sử rằng F = {x1 , x2 }. Khi
đó,
Rõ ràng rằng
{A : H} {{x1},{x2}}.
{A : U0} cl({A : U0}).
Bây giờ, với mỗi i 2 , ta đặt
Do đó, ta chỉ cần chứng tỏ rằng
Ui = X \ ({xi } { y( ): F}) , (3)
cl({A : U0}) {A : U0}.
Thật vậy, giả sử rằng và U 3 = V . Khi đó, U i mở với mọi i 3. Hơn nữa, ta có
F {A : U0}. Khẳng định 1: F U1 ,U 2 ,U 3 2 .
Khi đó, F A với mọi U 0 . Suy ra F \ A Bởi vì F U 3 nên
hoặc A \ F với mọi U 0 . Ta đặt F {U i : i 3}.
H ={ U0 : A F}, Hơn nữa, ta có
F ={ U0 : A U i F với mọi i 3.
F}.
Thật vậy, nếu i = 3, thì rõ ràng rằng F U 3 , và nếu
Khi đó, U 0 = H F .
i 2, thì do
Trường hợp 1: F = .
F { y( ): F} = ,
Bởi vì F = nên H = U 0 . Do đó, với mọi U 0 ta
F \ U i và (3) nên ta suy ra F U i .
đều có A F. Hơn nữa, bởi vì | F | 2 nên ta có
Khẳng định 2: U1,U2 ,U3 2 { : U0 } = .
Nếu F là tập một phần tử, nghĩa là F = {x}, thì do
A F , A F và A nên U 0 = , đây là một Giả sử U 0 , khi đó
mâu thuẫn. (a) Nếu H, thì tồn tại i 2 sao cho A = {xi }.
Nếu F là tập có hai phần tử, nghĩa là F = {x1 , x2 }, Bởi vì U i {xi } = nên
- 72 Lương Quốc Tuyển, Lê Văn Có, Hồ Quốc Trung
A = {xi }U1,U2 ,U3 2 . - Định lí 3.1.3 là kết quả khẳng định rằng tính chất
wHCP được bảo toàn từ không gian topo X lên tích đối
(b) Nếu F, thì do y ( ) U i với mọi i 3 nên xứng 2 ( X ).
ta suy ra rằng
A
{Ui : i 3}. 4. Kết luận
Trong bài báo này, nhóm tác giả nghiên cứu các tính
Do đó, A U1 ,U2 ,U3 2 . chất về họ bảo tồn bao đóng, họ bảo tồn bao đóng di truyền
Như vậy, U1 ,U 2 ,U 3 2 là lân cận mở của F trong và họ bảo tồn bao đóng di truyền yếu trên không gian topo
và trên tích đối xứng cấp n. Đã đưa ra các kết quả mới
2(X ) thỏa mãn rằng, hợp của hai họ HCP (wHCP) cũng là họ HCP (tương
U1,U2 ,U3 2 {A : U0 } = . ứng, wHCP), và họ wHCP được bảo toàn lên tích đối xứng
cấp 2.
Do đó, {A : U0 } là tập hợp đóng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
3.2. Đánh giá
[1] C. Good, S. Macías, “Symmetric products of generalized metric
Các kết quả mới trong bài báo được thể hiện ở các định spaces”, Topology and its applications, vol. 206, pp. 93–114, 2016.
lí: Định lí 3.1.1, 3.1.2 và 3.1.3, trong đó [2] K. Borsuk, S. Ulam, “On symmetric products of topological spaces”,
- Định lí 3.1.1 là kết quả về họ HCP trong không gian Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 37, no. 12,
pp. 875–882, 1931.
topo, và Định lí 3.1.2 là kết quả về họ wHCP trong không
[3] L. Q. Tuyen, O. V. Tuyen, “On the fold symmetric product of a space
gian topo, các kết quả này tương tự kết quả về họ CP trong with a property network (network)”, Commentationes Mathematicae
tài liệu [1]. Universitatis Carolinae, vol. 61, no. 2, pp. 257-263, 2020.
nguon tai.lieu . vn
