Xem mẫu
- B GIÁO D C VÀ ÀO T O
TRƯ NG I H C SƯ PH M THÀNH PH H CHÍ MINH
KHOA V T LÝ
o0o
KHÓA LU N T T NGHI P
Giáo viên hư ng d n:
ThS. HOÀNG N G C TR M
Sinh viên th c hi n:
TRƯƠNG M NH TU N
Tp. H H CHÍ MINH 05/2010
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
L i c m ơn
Trong quá trình th c hi n và hoàn thành khóa lu n này, ngoài nh ng n l c c a
ã nh n ư c s quan tâm giúp
b n thân, tôi và ng viên c a quý th y cô
trong khoa V t lý trư ng i h c Sư ph m thành ph H Chí Minh
ơc bày t lòng bi t ơn chân thành t i ThS. Hoàng
Tôi xin Ng c Tr m -
giáo viên hư ng d n lu n văn này – cô ã t n tình hư ng d n, truy n th cho tôi
nh ng ki n th c b ích, nh ng kinh nghi m quý báu tôi th c hi n khóa lu n này,
ng th i truy n cho tôi lòng nhi t tình trong nghiên c u khoa h c.
Tôi cũng xin ư c c m ơn anh Lê Quý Giang, ch Nguy n Th M n và các thành
tài Nghiên c u khoa h c ã hư ng d n, giúp
viên cùng tôi trong vi c l p
trình v i ngôn ng l p trình FORTRAN 77.
Xin c m ơn gia ình, ngư i thân ã h tr tinh th n tôi có th hoàn thành khóa
lu n này.
M t l n n a tôi xin chân thành c m ơn.
Trương M nh Tu n
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 1
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
M U
Ngày nay v i s phát tri n như vũ bão c a khoa h c k thu t, các h lư ng t
ư c xét n ngày càng a d ng, trong ó có nhi u bài toán chưa tìm ư c l i gi i, t
ó phát sinh nhu c u xây d ng và phát tri n các phương pháp gi i các bài toán cơ h c
lư ng t - c th là gi i các phương trình Schrödinger. M t trong nh ng phương pháp
n là phương pháp lý thuy t nhi u lo n. Ý tư ng chính
m nh và ph bi n có th k
c a lý thuy t nhi u lo n là tách Hamiltonian c a bài toán thành hai thành ph n: m t
nh ư c nghi m chính xác, ph n còn l i là “nhi u lo n” s
ph n có th xác óng góp
vào k t qu thông qua các b chính; trong ó i u ki n áp d ng là thành ph n “nhi u
ây cũng chính là h n ch l n c a phương
lo n” ph i nh so v i thành ph n chính.
pháp này, vì trong th c t m t s trư ng h p thành ph n tách ra không nh coi là
“nhi u lo n”. Như v y, vi c xây d ng m t phương pháp gi i các bài toán phi nhi u
lo n là c n thi t.
Phương pháp toán t (Operator Method, vi t t t là OM) ư c xây d ng t th p
niên 80 c a th k trư c. ây là m t trong các phương pháp m nh cho m t d i r t r ng
các bài toán phi nhi u lo n nêu trên [7].
Ý tư ng chính c a OM [7] n m trong b n bư c sau: (1) - Bi u di n toán t
Hamiltonian qua các toán t sinh h y: H ( x, p) → H (a, a + , ω ) ; (2) - Tách Hamiltonian
ˆˆ
thành ph n trung hòa và không trung hòa: H (a, a + , ω ) = H 0 (a + a, ω ) + V (a, a + , ω ) ; (3) -
ˆˆ ˆˆ ˆˆ
Ch n tham s ω sao cho H 0 (a + a, ω ) là thành ph n chính c a Hamiltonian và t ây ta
ˆˆ
có nghi m riêng c a H 0 (a + a, ω ) là năng lư ng g n úng b c không; (4)- Xem
ˆˆ
V (a, a + , ω ) là thành ph n nhi u lo n và tính các b chính b c cao theo các sơ thích
ˆˆ
h p.
Qua nghiên c u và ng d ng trong m t lo t các bài toán c th v lý thuy t
trư ng, ch t r n, v t lý nguyên t … OM ã ch ng t tính ưu vi t và hi u qu c a nó [7]
. M t s ưu i m có th k ra như: (1) - ơn gi n hóa vi c tính toán các y u t ma tr n
ph c t p, ưa v các phép bi n i s . Vì v y có th s d ng các chương trình
i thu n
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 2
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
tính toán trên bi u tư ng như Matlab, Mathematica t ng hóa quá trình tính toán;
(2) - Cho phép xét các h lư ng t v i trư ng ngoài có cư ng b t kì. T ây có th
tìm giá tr năng lư ng và hàm sóng c a h trong toàn mi n thay i c a tham s trư ng
ngoài.
M t trong nh ng khó khăn chung khi áp d ng OM là a ph n các bài toán có
m u s ho c trong trong d u căn nên n u
toán t Hamilton ch a các bi n ng l c
ơn thu n chuy n sang bi u di n các toán t sinh h y thì s gây khó khăn khi tính toán.
này, trong các công trình trư c [2], [7] các tác gi
gi i quy t v n ã s d ng m i
liên h gi a bài toán nguyên t hydro và bài toán dao ng t i u hòa thông qua phép
i Levi-Civita giúp ưa các phương trình v d ng bài toán dao
bi n ng t phi hòa
khá quen thu c – cách gi i này khá “ p m t” v hình th c và cũng ã phát huy tác
i v i các bài toán ph c t p hơn, vi c
d ng i v i m t s bài toán [7]. Tuy nhiên,
nh năng lư ng m t cách gián ti p như v y gây m t s khó khăn khi tính toán, l p
xác
tài này tôi s d ng phương pháp toán t tìm năng
trình tìm nghi m. Do ó, trong
lư ng E m t cách tr c ti p b ng cách s d ng phép bi n ưa ph n t a
i Laplace
ra kh i m u s và d u căn. ây ư c coi là m t bư c phát tri n OM.
V i ý nghĩa óng góp vào s phát tri n c a OM, lu n văn này ch áp d ng OM
cho m t bài toán ơn gi n, d dàng tìm nghi m chính xác b ng phương pháp gi i tích
ó có cơ s
ti n i chi u, so sánh và rút ra k t lu n: bài toán exciton hai chi u, t
áp d ng cho các bài toán ph c t p hơn sau này. Tuy ây là bài toán ơn gi n nhưng
cũng là m t bài toán ư c quan tâm do ý nghĩa th c ti n c a nó [3], [8].
M t trong nh ng khâu quan tr ng khi s d ng OM là ch n giá tr tham s t do
ω , vi c ch n ω phù h p s t i ưu hóa t c tính toán do ó kh o sát s h i t c a
phương pháp theo tham s ω là m t nhi m v quan tr ng.
V i m c tiêu là tìm hi u sâu hơn v m t s v n trong cơ h c lư ng t và bư c
u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c, tác gi t t ra cho mình các nhi m v
như sau:
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 3
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
- Tìm hi u v lý thuy t nhi u lo n, c th là nhi u lo n d ng, tính l i sơ xác
nh các b chính năng lư ng, hàm sóng, áp d ng cho m t bài toán ph bi n trong cơ
h c lư ng t là bài toán dao ng t phi i u hòa.
- Tìm hi u v OM (sơ tính toán, các ưu i m..) trên cơ s i chi u, so sánh
v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n thông qua vi c gi i bài toán dao ng t phi i u
hòa.
- Hoàn thi n các kĩ năng tính toán: tính toán trên các toán t sinh h y, bi n i
gi i tích.
- Bư c u làm quen v i ngôn ng l p trình (FORTRAN 77, 90).
ưa ra l i gi i cho bài toán exciton hai chi u b ng phương pháp toán t , so sánh
-
v i k t qu thu ư c b ng l i gi i gi i tích.
- Kh o sát tính h i t c a phương pháp toán t theo tham s ω .
Phương pháp nghiên c u:
- Tính toán is tìm bi u th c gi i tích.
- S d ng ngôn ng l p trình FORTRAN 77 tìm nghi m s .
i chi u, so sánh k t qu s thu ư c b ng l i gi i gi i tích và l i gi i theo OM.
-
B c c c a lu n văn ư c tác gi chia làm 4 chương:
Chương 1: Gi i thi u phương pháp toán t qua bài toán dao ng t phi i u hòa
Tác gi gi i thi u OM thông qua ví d bài toán dao ng t phi i u hòa, ng
i chi u v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n truy n th ng th y ư c tính
th i
hi u qu c a phương pháp này. Trư c h t tác gi vi t l i sơ lý thuy t nhi u lo n
ưa ra các bư c
Rayleigh-Schrödinger và áp d ng cho bài toán nêu trên. Sau ó tác gi
cơ b n c a OM và áp d ng cho cùng m t bài toán. K t qu b ng s cho th y phương
pháp nhi u lo n ch áp d ng ư c cho trư ng h p tham s phi i u hòa λ 0.1 trong
khi phương pháp toán t cho k t qu h i t nhanh hơn nhi u l n và úng cho m i giá tr
c a tham s λ . Chúng ta s s d ng phương pháp này gi i quy t v n nêu ra trong
lu n văn.
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 4
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
Chương 2: Exciton – Bài toán exciton hai chi u
Chương này tác gi gi i thi u các ki n th c cơ b n v exciton, thi t l p phương
trình Schrödinger cho bài toán và ưa ra l i gi i gi i tích. ây là các ki n th c n n, làm
cơ s cho ph n ti p theo.
Chương 3: Phương Pháp Toán T Bài toán exciton hai chi u
Tác gi ti n hành áp d ng OM gi i quy t bài toán exciton hai chi u. Dùng
chương trình FORTRAN 77 gi i các phương trình truy toán, tìm ra m t s m c năng
lư ng c a exciton hai chi u, ng th i kh o sát s h i t tương ng v i m c năng
lư ng cơ b n theo giá tr ω .
Ph n k t lu n: Vi c áp d ng phép bi n i Laplace và OM có th gi i quy t hi u qu
bài toán exciton hai chi u. K t qu thu t bài toán exciton hai chi u ngoài trư ng h p
m c năng lư ng cơ b n, các trư ng h p m c năng lư ng kích thích hoàn toàn phù h p
v i k t qu thu ư c t phương pháp gi i tích. V i vi c kh o sát tham s ω trong bài
nh ư c các giá tr ω c bi t trong trư ng h p m c năng lư ng kích
toán, ta ã xác
tài là: ti p t c kh o sát ω
thích. Hư ng phát tri n ti p c a tìm ra quy lu t t i ưu
tính toán, s d ng các sơ
hóa t c khác nhau tính toán nghi m chính xác, ch n
r a ư c sơ tính toán phù h p. T ó ng d ng OM cho bài toán exciton âm và
exciton dương trong t trư ng…
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 5
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
CHƯƠNG 1
GI I THI U PHƯƠNG PHÁP TOÁN T QUA BÀI
TOÁN DAO NG T PHI I U HÒA
Trong chương này ta s gi i thi u các bư c cơ b n c a OM thông qua ví d bài
minh h a nh ng ưu i m c a phương pháp m i này
toán dao ng t phi i u hòa.
ta s trình bày song song v i phương pháp lý thuy t nhi u lo n [1], [4] và so sánh các
k t qu b ng s c a hai phương pháp.
1.1 Sơ Rayleigh- Schrödinger cho phương pháp nhi u lo n d ng
Xét phương trình Schrödinger d ng:
H Ψ ( x) = E Ψ ( x) ,
ˆ (1.1)
ta tách toán t Hamilton c a bài toán thành hai thành ph n:
H = H 0 + βV ;
ˆ ˆ ˆ (1.2)
ˆ
trong ó thành ph n H 0 là toán t Hamilton có nghi m riêng chính xác:
H 0ψ n = ε nψ n ,
ˆ (1.3)
ˆ
thành ph n V còn l i ư c g i là th nhi u lo n, i u ki n áp d ng lý thuy t nhi u
lo n là thành ph n nhi u lo n V ph i “nh ” so v i H 0 , V
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
ây ta ưa vào tham s nhi u lo n β
hàm sóng. coi thành ph n nhi u lo n là nh
tính toán qua s mũ c a β .
và d dàng nhìn th y các b c nhi u lo n trong sơ
ˆ
Ta gi thi t r ng các tr riêng c a H là không suy bi n và có ph gián o n, h
hàm riêng ψ n c a H 0 là và tr c giao ng v i năng lư ng ε n , v i n = 0,1, 2,... .
ˆ y
ˆ
Khi ó, chúng ta tìm nghi m c a (1.1) dư i d ng khai tri n theo các hàm riêng c a H 0
như sau:
+∞
Ψ ( x ) = ∑ Ck ψ k ( x ) .
k =0
Không m t tính t ng quát ta có th gi thi t hàm sóng cho tr ng thái n như sau:
+∞
∑C
Ψ n ( x) = ψ n ( x) + ψ k ( x) . (1.4)
k
k =0
( k ≠n )
Th (1.4) vào phương trình (1.1) ta có:
ˆ
+∞ +∞
( H 0 + β V ) ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x) = En ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x) .
ˆ (1.5)
k = 0, k ≠ n k = 0, k ≠ n
Nhân hai v c a (1.5) v i ψ n* ( x) r i tích phân theo toàn mi n bi n s x ta ư c:
+∞ +∞
∑≠n Ck ψ k ( x) =ψ n* ( x) En ψ n ( x) + ∑ Ck ψ k ( x) ,
ψ n* ( x)( H 0 + βV ) ψ n ( x) +
ˆ ˆ
k = 0, k k = 0, k ≠ n
suy ra:
+∞
∑
H nn + β Vnn + β Ck Vnk = En . (1.6)
k =0 ( k ≠ n )
Bây gi làm tương t như trên cho ψ j * ( x), j ≠ n ta ư c:
ˆ + βV ) ψ ( x) + ∑ C ψ ( x) =ψ * ( x) E ψ ( x) + ∑ C ψ ( x) ,
+∞ +∞
ψ j ( x)( H 0 ˆ
*
n n
n k k j k k
k = 0, k ≠ n k =0, k ≠ n
suy ra:
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 7
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
+∞
( En − H jj )C j = β V jn + β ∑ CkV jk , ( j ≠ n ) (1.7)
k =0
k ≠n
v i ký hi u các y u t ma tr n:
+∞ +∞
H kk = ∫ ψ k * ( x) H 0 ψ k ( x)dx , V jk = ∫ ψ j * ( x) V ψ k ( x) dx .
ˆ ˆ (1.8)
−∞ −∞
H phương trình i s (1.6) - (1.7) có th xem tương ương v i phương trình
Schrödinger (1.1). Gi i h phương trình này ta thu ư c năng lư ng En và các h s
C j , nghĩa là tìm ư c hàm sóng Ψ n ( x) qua công th c (1.4). Ta có th s d ng lý
thuy t nhi u lo n cho h phương trình này b ng cách phân tích theo tham s nhi u lo n
như sau:
+∞
En = En ( 0) + ∑ β s ∆E ( s ) , (1.9)
s =1
+∞
C j = C j ( 0) + ∑ β s ∆C j ( s ) , j ≠ n . (1.10)
s =1
ây ta ký hi u En ( 0) , C j (0) là năng lư ng và h s g n úng b c không, còn
∆En ( s ) , ∆C j ( s ) , s ≥ 1 là các b chính vào năng lư ng và h s hàm sóng. em (1.9) và
ng nh t hai v theo lũy th a c a tham s β ta ư c:
(1.10) th vào (1.7), (1.8) sau ó
En ( 0) = H nn , C j (0) = 0 ,
V jn
∆En (1) = Vnn , ∆C j (1) = ( j ≠ n) ;
En (0) − H jj
+∞
∆En ( s ) = ∑Vnk ∆Ck ( s −1) ,
s ≥ 2:
k =0
k ≠n
+∞
s −1
1 V ∆C ( s−1) − ∆E ( s −t ) ∆C ( t ) ( j ≠ n ) .
∑ jk k ∑n
∆C j = (0)
(s)
(1.11)
En − H jj k =0
j
k ≠n
t =1
ây là sơ lý thuy t nhi u lo n mà ta s s d ng trong các ph n sau.
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 8
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
1.2. Phương pháp nhi u lo n và dao ng t phi i u hòa
Ta xét bài toán dao ng phi i u hòa v i toán t Hamilton có d ng sau:
1 d2 1 2
+ x + λ x4 ,
H =−
ˆ (1.12)
2
2 dx 2
v i h s phi i u hòa λ > 0 . Bài toán này có d ng chuy n ng trong h th và có các
m c năng lư ng gián o n.
Ta s s d ng phương pháp nhi u lo n ã cp trên gi i quy t bài toán này.
Trư c h t ta chia toán t Hamilton thành hai ph n như sau:
H = H0 + V ,
ˆ ˆ ˆ
v i:
2
ˆ = − 1 d + 1 x2 ,
H0
2 dx 2 2
V = λ x4 .
ˆ (1.13)
ˆ
Toán t Hamilton g n úng H 0 có nghi m riêng chính xác là các hàm sóng c a
dao ng t i u hòa:
x2
Hn ( x) ,
ψ n = An exp − (1.14)
2
d n − x2
v i H n ( x ) là a th c Hermit: H n ( x ) = (−1) e x2
n
e.
dx n
1
Hàm sóng này ng v i tr riêng là năng lư ng g n úng b c không ε n = n + .
2
ˆ ˆ
H 0 và V
Các y u t ma tr n c a các toán t ng v i các hàm s (1.14) có th
tính ư c như sau ( xem ph l c 3):
1
H nn = n +
2
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 9
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
λ
Vn , n + 4 = (n + 4)(n + 3)(n + 2)( n + 1) ,
4
λ
Vn , n + 2 = (2n + 3) (n + 2)(n + 1) ,
2
λ
Vnn = (6n 2 + 6n + 3) . (1.15)
4
i x ng: Vkm = Vmk .
Các y u t ma tr n khác không khác thu ư c t tính
ưa ra các s li u thu ư c cho trư ng
K t qu : Trong các b ng sau chúng ta s
h p tr ng thái cơ b n n = 0 và m t tr ng thái kích thích n = 4 . i u ki n áp d ng lý
thuy t nhi u lo n ψ n V ψ n ψ n H 0 ψ n lúc này tr thành:
ˆ ˆ
λ 1
(6n2 + 6n + 3) n+
4 2
2 ( 2n + 1)
→λ . (1.16)
6n 2 + 6n + 3
V i tr ng thái cơ b n: n = 0 thì → λ 0.67 , ta s xét các trư ng h p ng v i các
giá tr λ = 0.01, λ = 0.05 , λ = 0.1 , λ = 0.3 và thu ư c các m c năng lư ng tương ng
trong b ng 1.1.
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 10
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
B ng 1:1 Tr ng thái cơ b n n = 0 thu ư c b ng lý thuy t nhi u lo n.
λ = 0.01 λ = 0.05 λ = 0.1 λ = 0.3
E0(0) 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000
E01)
(
0.5075000000 0.5375000000 0.5750000000 0.7250000000
E0( 2) 0.5072375000 0.5309375002 0.5487500013 4.8875000929
E03)
(
0.5072583125 0.5335390626 0.5695624993 1.0506874797
E0 4)
(
0.5072558996 0.5320310060 0.5454335949 -0.9037538228
E05)
(
0.5072562577 0.5331500624 0.5812433983 7.7980283886
E06)
(
0.5072561937 0.5321503309 0.5172605857 -38.8454419856
E07 )
(
0.5072562070 0.5331891854 0.6502339597 251.9673269259
E08)
(
0.5072562038 0.5319607395 0.3357518043 -1811.3500941848
E09)
(
0.5072562047 0.5335887505 1.1692934364 14595.2498498883
E010 )
(
0.5072562044 0.5311982288 -1.2786007173 -129950.4520395805
V i tr ng thái kích thích: n = 4 i u ki n ta thu ư c là → λ 0.146 . Ta s xét
các trư ng h p ng v i các giá tr λ = 0.01, λ = 0.03 , λ = 0.06 , λ = 0.1 . Khi ó ta có các
m c năng lư ng tương ng b ng 1.2.
B ng 1.2: Tr ng thái kích thích n = 4 thu ư c b ng lý thuy t nhi u lo n.
λ = 0.01 λ = 0.03 λ = 0.06 λ = 0.1
E40)
(
4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000
E41)
(
4.8075000000 5.4225000000 6.3450000000 7.5750000000
E4 2)
(
4.7668874959 5.0569874638 4.8829498552 3.5137495980
E43)
(
4.7775845596 5.3458081837 7.1935156144 14.2108132978
E44)
(
4.7738544635 5.0436703988 2.3593110572 -23.0901477918
E45)
(
4.7753851516 5.4156275988 14.2619414562 129.9786587800
E46)
(
4.7746833968 4.9040483689 -18.4791292566 -571.7761147298
E47 )
(
4.7750329077 5.6684285196 79.3615300321 2923.3320274444
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 11
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
E48)
(
4.7748469756 4.4448528730 -232.9328160495 -15669.8670185477
E49)
(
4.7749514618 6.5051300165 820.0470425212 888816.3030916408
E410 )
(
4.7748899061 2.8703274765 -2901.9907584706 -526740.6987256789
Nh n xét:
i v i tr ng thái cơ b n (b ng 1.1) trong trư ng h p λ = 0.01, khá nh so
Ta th y
v i gi i h n c a i u ki n nhi u lo n, k t qu b chính b c sáu cho chính xác t i sáu
ch s sau d u ph y. V i trư ng h p λ = 0.05 , m c dù v n nh so v i i u ki n nhi u
lo n xong ã th y có d u hi u phân kì, ch còn chính xác n hai ch s sau d u ph y.
n giá tr λ = 0.1 ta th y k t qu phân kì, các b chính b c ba ã cho k t qu
C th
không phù h p, và v i λ ≥ 0.03 lý thuy t nhi u lo n không còn úng n a. Ta cũng
tr ng thái kích thích n = 4 (b ng 1.2)
nh n th y k t qu tương t
Như v y khi s d ng sơ lý thuy t nhi u lo n ch s d ng ư c m t s b chính
u tiên. Các b chính b c cao không có ý nghĩa, bên c nh ó t c h i t c a năng
lư ng không cao và ch áp d ng cho mi n λ nh .
1.3 Phương pháp toán t cho bài toán dao ng t phi i u hòa
Nh ng ý tư ng v OM ã xu t hi n vào nh ng năm 1979. Tuy nhiên, OM ư c
ưa ra u tiên vào năm 1982 b i m t nhóm các giáo sư trư ng i h c Belarus và
ưc ng d ng thành công cho m t nhóm r ng rãi các bài toán như các polaron,
bipolaron trong trư ng i n t , bài toán tương tác chùm i n t v i c u trúc tinh th ,...
trong v t lý ch t r n; bài toán tương tác h các boson trong trong lý thuy t trư ng.
Phương pháp này ư c phát tri n b i Fernandez, Meson và Castro, Gerryva Silverman,
Wistchel và nhi u tác gi khác [7].
Ta s trình bày các i m chính c a phương pháp OM trên cơ s ví d bài toán dao
ng t phi i u hòa m t chi u. K t qu thu ư c s so sánh v i phương pháp nhi u
lo n trên.
Xét phương trình Schrödinger (1.1) cho dao ng t phi i u hòa v i toán t
Hamilton không th nguyên (1.14). Ta s gi i phương trình này b ng OM v i b n bư c
cơ b n như sau:
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 12
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
Bư c m t: Chuy n toán t Hamilton v bi u di n c a các toán t sinh - h y b ng
cách t bi n s ng l c ( t a và toán t o hàm) thông qua các toán t sau:
ω ω
i 1d
a= x + ω p = 2 x + ω dx ;
ˆ ˆ ˆ
2
(1.17)
ω ω
ˆ
1d
i
a+ = x − ω p = 2 x − ω dx .
ˆ ˆ
2
ây toán t a ư c g i là “toán t h y” và a + ư c g i là “toán t sinh” (xem
ˆ ˆ
[1],[4]); ω là tham s th c dương ư c ưa thêm vào t i ưu quá trình tính toán, ta s
nói rõ hơn v tham s này trong bư c ba.
Ta d dàng thu ư c h th c giao hoán:
a, a + = 1 .
ˆ ˆ (1.18)
H th c này s giúp ta ưa các toán t sinh h y v d ng chu n, nghĩa là các toán
t sinh n m phía bên trái và các toán t h y n m v phía bên ph i, thu n l i cho các
tính toán i s sau này. T ây v sau ta g i nó là d ng chu n (normal) c a toán t
Th (1.17) vào (1.12) và s d ng (1.18), ta ư c bi u th c d ng chu n c a toán t
Hamilton như sau( ph l c 1):
ˆ 1+ ω 1−ω2 + 3λ
( 2a + a + 1) + () ( )
2
a 2 + a + 2 a+ a + 2a + a + 1
2 2
H= ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ
4ω 4
4ω 4ω
λ
() + 4(a ) a + 4a + a 3 + 6 ( a )
a4 + a + 6a 2 .
+4 +3 +2
+ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ (1.19)
4ω 2
Bư c hai: Tách Hamiltonian (1.19) thành hai thành ph n như sau:
- Ph n th nh t là H 0 ( a + a, λ , ω ) ch ch a các toán t “trung hòa” n = a + a ,
ˆ OM ˆ ˆ ˆ ˆˆ
nghĩa là bao g m các toán t có s toán t sinh và s toán t h y b ng nhau:
ˆ OM 1 + ω λ
( 2a a + 1) + 43ω ( )
2
2 a+ a + 2a + a + 1 .
2
+
H0 = ˆˆ ˆˆ ˆˆ (1.20)
4ω
2
- Ph n còn l i ta kí hi u là V OM ( a + , a, λ ,ω ) = H − H 0 ( a + a, λ , ω ) .
ˆ ˆ ˆ OM ˆ ˆ
ˆˆ
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 13
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
Như v y, tương t như trong lý thuy t nhi u lo n, ây ta tách toán t Hamilton
thành hai thành ph n: thành ph n H 0 ( a + a, λ , ω ) có nghi m chính xác mà chúng ta s
ˆ OM ˆ ˆ
d dàng xây d ng dư i ây; riêng thành ph n V OM ( a + , a, λ , ω )
ˆ ˆˆ ư c xem như thành
ư c i u c h nh “
ph n “nhi u lo n” s nh ” th a i u ki n c a lý thuy t nhi u
lo n thông qua vi c ch n tham s ω .
Bư c ba: Tìm nghi m chính xác b c không b ng cách gi i phương trình:
H 0 ( a + a, λ , ω ) ψ ( ) = E ( ) ψ ( ) .
ˆ OM ˆ ˆ 0 0 0
(1.21)
Ta th y H 0 ( a + a, λ , ω ) giao hoán v i toán t n = a + a và nghi m c a nó d dàng
ˆ OM ˆ ˆ ˆ ˆˆ
xây d ng như sau [4]:
(a )
1 +n
n(ω ) = ˆ 0, (1.22)
n!
nh nghĩa, khi ó nghi m (1.22) ta g i là vector
ây ta ã s d ng kí hi u Dirac
ư c xác nh b ng phương trình:
tr ng thái; và tr ng thái “chân không” (Vacuum) 0
a(ω ) 0 = 0; 0 0 = 0.
ˆ (1.23)
Khi c n thi t chúng ta có th s d ng phương trình này nh d ng tư ng
xác
minh c a hàm sóng bi u di n tr ng thái chân không.
T các tính ch t c a toán t sinh – h y (1.18), ta d dàng ki m ch ng:
a+a n = n n ;
ˆˆ (1.24)
i u này có nghĩa là tr ng thái (1.23) là nghi m riêng c a toán t n = a + a , nghĩa là nó
ˆ ˆˆ
cũng là nghi m riêng c a toán t H 0 ( a + a, λ , ω ) .
ˆ ˆˆ
Ta có:
1 + ω 2 λ
( 2a+ a + 1) + 43ω 2 ( )
En ) = n H 0 n = n
(0 2 a+ a + 2a + a + 1 n
2
ˆ OM ˆˆ ˆˆ ˆˆ
4ω
(1.25)
1+ ω2 3λ
( 2n + 1) + 4ω 2 ( 2n2 + 2n + 1) ,
=
4ω
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 14
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
là năng lư ng g n úng b c không, ph thu c vào tham s ω (xem ph l c 3). Như ã
nh ω t
ư c ưa vào t i ưu hóa quá trình tính toán, ta xác
nói, ây là tham s
i u ki n:
∂En )
( 0
= 0. (1.26)
∂ω
ch n giá tr ω theo OM ã ư c th o lu n trong m t s công trình [7]
Tiêu chí
và ã ch ra r ng i u ki n (1.26) cho ta k t qu tương i chính xác g n úng b c
i u ki n (1.26) cũng phù h p v i i u ki n
không i v i nhi u bài toán khác nhau.
H 0 >> V . V i bài toán chúng ta ang xét, i u ki n (1.26) d n t i phương trình
ˆ ˆ xác
nh ω như sau:
( 2n + 1) ω 3 − ( 2n + 1) ω − 6λ ( 2n2 + 2n + 1) = 0 . (1.27)
Bư c b n: Phương pháp toán t (OM) tìm nghi m b ng s :
n ây chúng ta có th s d ng sơ c a lý thuy t nhi u lo n (1.9)-(1.11)
tính các b chính b c cao. Ngoài ra, do tính h i t c a OM r t cao và chúng ta có tham
s t do ω h i t , ta có th s d ng sơ
i u khi n t c vòng l p gi i tr c
ti p h phương trình (1.6)-(1.7).
Hàm sóng có th vi t dư i d ng chu i c a các vector tr ng thái như sau:
n+ s
Ψ (n ) = n + ∑ C( ) k
s s
. (1.28)
k
k =0
( k ≠n)
Th (1.28) vào phương trình (1.1) ta có:
n+s n+ s
ˆ + βV ) n + ∑ C ( s ) k = E n + ∑ C ( s ) k .
ˆ
(H 0 (1.29)
k n k
k =0 k =0
(k ≠n) ( k ≠n)
Nhân hai v c a (1.29) v i n ta ư c:
n+ s n+ s
ˆ + βV ) n + ∑ C ( s ) k = n E n + ∑ C ( s ) k ,
ˆ
n (H0
k n k
k =0 k =0
( k ≠n) ( k ≠n)
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 15
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
suy ra:
n+s
∑≠n Ck( s )Vnk .
Ens ) = H nn + Vnn +
(
(1.30)
k =0, k
Bây gi làm tương t như trên cho j , j ≠ n ta ư c:
n+ s n+s
ˆ + βV ) n + ∑ C ( s ) k = j E n + ∑ C ( s ) k ,
ˆ
j (H0
k n k
k =0 k =0
( k ≠n) (k ≠n)
suy ra:
n+s
( En s ) − H jj )C (j s +1) = V jn + ∑ Ck( s )V jk , ( j ≠ n )
(
(1.31)
k =0
k ≠n
Vì Ck ( ) và Ck ( ) cũng như ε n( ) và ε n( ) sai khác nhau r t ít. Nên ta có ư c sơ
s −1
s −1 s
s
vòng vòng l p như sau:
n+s
∑≠n Ck( s )Vnk ,
= H nn + Vnn +
(s)
E n
k =0, k
n+s
( En s ) − H jj )C (j s +1) = V jn + ∑ Ck( s )V jk ,
(
(1.32)
k =0
k ≠n
u là C (j ) = 0, ( j ≠ n) .
0
v i i u ki n ban Chú ý r ng ây chúng ta không c n s
d ng tham s nhi u lo n cho nên ã cho β = 1 . Ngoài ra các giá tr Ens ) , C (js ) tương ng
(
v i các bư c l p khác nhau ch không ph i là b chính.
Các y u t ma tr n trong sơ trên cũng như trong sơ lý thuy t nhi u lo n
ưc nh nghĩa như (1.6), vi t l i như sau:
H kk = k H 0 k , V jk = j V k ;
ˆ OM ˆ (1.33)
các ph n t ma tr n này có th tính m t cách d dàng b ng các bi n i thu n is
d a vào các tính ch t (1.18), (1.23). C th là hai công th c sau :
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 16
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
a+ n = n + 1 n + 1 ; a n = n n −1 .
ˆ ˆ (1.34)
Vi c tính các ph n t ma tr n b ng các phép tính thu n i s là m t trong nh ng
ưu i m c a OM. Th t v y, thay vì nh nghĩa các ph n t ma tr n như (1.6) và tính các
tích phân tương ng v i các hàm sóng d ng tư ng minh, ây ta ch d a vào các
bi n i i s nh các h th c (1.18) và (1.23) và c th là s d ng (1.26) và (1.34).
K t qu ta có các ph n t ma tr n khác không như sau (xem ph l c 3):
1+ ω2
( 2a + a + 1) + 43λ2 2 ( a + a ) + 2a + a + 1 n
H nn = ( H 0 )nn = n
2
ˆˆ ˆˆ ˆˆ
ω
4ω
1+ ω 3λ
( 2n + 1) + 2 ( 2n2 + 2n + 1) ,
2
=
4ω 4ω
1− ω2 2 λ
2(
4 a + a 3 + 6a 2 ) n + 2
Vn , n + 2 = n a+
ˆ ˆˆ ˆ
4ω 4ω
( n + 2 )!
1 − ω 2 λ 1 − ω 2 λ
2(
4n + 6 ) ( n + 2 )( n + 1) = 2(
2n + 3 )
= + +
4ω 4ω 4ω 2ω
n!
1 − ω λ
2
2(
2n + 3 ) ( n + 2 )( n + 1) ,
+
=
4ω 2ω
( n + 4 )! = λ
λ4 λ
( n + 4 )( n + 3)( n + 2)( n + 1);
Vn,n + 4 = n 2 a n+4 =
(1.35)
ˆ
4ω 4ω 2 4ω 2
n!
i x ng Vnm = Vmn .
các ph n t ma tr n khác thu ư c d a vào tính
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 17
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
B ng 1.3: Năng lư ng tr ng thái cơ b n n = 0 thu ư c b ng OM.
λ = 0.01 λ = 0.05 λ = 0.1 λ = 0.3 λ = 1.5
E0(0) 0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180
E01)
(
0.5072875410 0.5477040816 0.574999999 0.6689058171 0.9727107180
E0( 2) 0.5072563014 0.5323777399 0.558838596 0.6373408787 0.8817884333
E03)
(
0.5072562707 0.5326638127 0.559112766 0.6378326682 0.8840817664
E0 4)
(
0.5072562023 0.5326424521 0.559151382 0.6380153133 0.8849480705
E05)
(
0.5072620492 0.5326424823 0.559146495 0.6379948737 0.8848112845
E06)
(
0.5072620448 0.5326427790 0.559146278 0.6379914404 0.8847892918
E07 )
(
0.5072620453 0.5326427553 0.559146329 0.6379917786 0.8847943659
E08)
(
0.5072620452 0.5326427551 0.559146328 0.6379918013 0.8847946861
E09)
(
0.5072620452 0.5326427553 0.559146327 0.6379917866 0.8847944336
E010 )
(
0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917844 0.8847944198
E0T )
(
0.5072620452 0.5326427552 0.559146327 0.6379917842 0.8847944251
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 18
- Lu n văn t t nghi p GVHD: Th.S Hoàng Ng c Tr m 2010
B ng 1.4: Năng lư ng tr ng thái kích thích n = 4 thu ư c b ng OM
λ = 0.01 λ = 0.03 λ = 0.06 λ = 0.1 λ = 1.5
E40)
(
4.8092999999 5.2078603252 5.8694444444 6.2490740740 12.4453125000
E41)
(
4.8092999999 5.2078603252 5.8694444444 6.2490740740 12.4453125000
E4 2)
(
4.7736995554 5.2060800093 5.6861199877 6.2223820797 12.3776059956
E43)
(
4.7747285026 5.2051664217 5.6967910549 6.2199718947 12.3574329062
E44)
(
4.7749316376 5.2051386595 5.7021291564 6.2202679913 12.3556586805
E45)
(
4.7749139015 5.2051516636 5.7011304336 6.2203200633 12.3576222919
E46)
(
4.7749129456 5.2051514395 5.7009480693 6.2203017742 12.3577769104
E47 )
(
4.7749131151 5.2051511291 5.7010151586 6.2202996521 12.3574810758
E48)
(
4.7749131114 5.2051511437 5.7010178067 6.2203009392 12.3574842521
E49)
(
4.7749131114 5.2051511499 5.7010146470 6.2203009652 12.3575265919
E410 )
(
4.7749131115 5.2051511492 5.7010148920 6.2203008706 12.3575216732
E4T )
(
4.7749131114 5.2051511491 5.7010149485 6.2203008813 12.3575176582
Ta th y khi s d ng OM, v i trư ng h p m c năng lư ng cơ b n n=0 (b ng 1.3)
và trư ng h p kích thích ng v i n = 4 (b ng 1.4) ng v i các giá tr λ khác nhau, sau
b chính b c sáu cũng có k t qu chính xác t i sáu ch s sau d u ph y.
Ta có th th y tính hi u qu c a OM so v i phương pháp nhi u lo n ã thu ư c
b ng 1.1 và b ng 1.2 b ng vi c xét thêm trư ng h p λ = 1.5 i v i hai trư ng h p
n = 0 và n = 4 . Ta th y k t qu v n h i t như các trư ng h p λ có giá tr nh .
Như v y OM cho phép tìm giá tr năng lư ng ng v i các giá tr tham s nhi u
lo n λ khác nhau. Các b chính b c cao h i t t t.
SVTH: Trương M nh Tu n Trang 19
nguon tai.lieu . vn
