Khóa luận tốt nghiệp Vật lý: Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ  KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài GVHD: TS. NGUYỄN VĂN HOA SVTH: NGUYỄN ĐỨC THANH TUYỀN NIÊN KHÓA: 2008 - 2009 Thành phố Hồ Chí Minh Tháng 4 - 2009 Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện luận văn này, em đã nhận được sự giúp đỡ và động viên nhiệt tình từ phía gia đình, thầy cô và bạn bè. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến: - Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý đã tạo điều kiện cho em được học tập và giờ đây được hoàn thành khóa học này. - Tất cả quý thầy cô giáo, những người đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu trong suốt 4 năm học, đó là nền tảng để em có thể hoàn thành tốt luận văn. - TS. Nguyễn Văn Hoa – giáo viên hướng dẫn luận văn này – người đã hết lòng hướng dẫn, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn tất luận văn. - TSKH. Lê Văn Hoàng đã đóng góp ý kiến quý báu cho luận văn. - Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện cho em được đọc và mượn về nhà các tài liệu liệu quan đến đề tài. - Các bạn sinh viên lớp lý IV – khóa 31 (2005 - 2009) đã nhiệt tình giúp đỡ và đóng góp ý kiến cho đề tài. Do đề tài được thực hiện trong thời gian tương đối ngắn và với vốn kiến thức của bản thân còn hạn hẹp nên không thể tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Kính mong nhận được sự góp ý, phê bình, xây dựng của quý thầy cô và các bạn. Cuối cùng em xin kính gửi đến Ban Giám Hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và Ban Chủ Nhiệm khoa Vật Lý cùng tất cả quý thầy cô giáo lời chúc sức khỏe và thành công! SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa MỞ ĐẦU 1. Tình hình chung về nghiên cứu đề tài Phương pháp toán tử (Operator Method) với các tính toán thuần đại số xây dựng cho nhóm các bài toán vật lý nguyên tử đang trở thành một hướng nghiên cứu sôi động trong những năm gần đây. Phương pháp toán tử do nhóm nghiên cứu của giáo sư Komarov L.I. ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng và đã ứng dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường. Phương pháp này được phát triển bởi Fernandez, Meson và Castro, Geryva Silverman, Wistchel và rất nhiều tác giả khác. Nhóm nghiên cứu của TSKH. Lê Văn Hoàng cũng đã có nhiều đề tài trình bày về phương pháp này: Luận văn tốt nghiệp của anh Nguyễn Hoàng Quốc “Phương pháp đại số sử dụng hàm Coulomb-Green cho bài toán hệ nhiều hạt.” (5 - 2004), Luận văn Thạc sĩ của chị Hoàng Đỗ Ngọc Trầm: “Phương pháp toán tử giải phương trình Schrodinger cho Exciton hai chiều trong từ trường đều với cường độ bất kì ” (2008). Ngoài ra phương pháp toán tử cũng đang đựợc giáo viên hướng dẫn luận văn này đi vào nghiên cứu và phát triển cho các bài toán: hiệu ứng Stark, hiệu ứng Zeeman, bài toán hệ nhiều hạt… 2. Lí do chọn đề tài Hiện nay, trong cơ học lượng tử, chỉ có một số ít bài toán mà chúng ta có lời giải chính xác cho phương trình Schrodinger xác định các trạng thái dừng, đó là: bài toán hạt trong hố thế vuông góc, dao động tử điều hòa và bài toán về nguyên tử hydro (chuyển động của hạt trong trường xuyên tâm). Đây là các hệ đã lí tưởng hóa được gặp trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các hệ đơn giản, lí tưởng hóa cho ta hiểu được đầy đủ hơn các phương pháp của cơ học lượng tử. Ngoài ra các kết quả thu được có một tầm quan trọng đặc biệt, vì trong một sự gần đúng nào đó, chúng phản ánh những tính chất của hệ thực tương ứng. Trong đó bài toán về nguyên tử hydro là một bài toán quan trọng của vật lý lượng tử. Mặc dù là một bài toán có lời giải chính xác nhưng bài toán về nguyên tử hydro là một SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa bài toán khá phức tạp. Để giải được bài toán này, ban đầu phải xây dựng một hệ thống kiến thức về toán tử momen xung lượng trong hệ tọa độ cầu; xét các tính chất, trị riêng và hàm riêng của toán tử momen xung lượng; phương trình bán kính; sự lượng tử hóa không gian, sự phân bố electron và tính chẵn lẻ của các hàm cầu… Đặc biệt khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, ta chỉ thu được lời giải chính xác khi điện trường yếu (cường độ điện trườngEecó giá trị không lớn lắm (Ee < 105  cm ), hoặc điện trường rất lớn (bài toán này có thể giải bằng phương pháp nhiễu loạn), còn đối với điện trường trung bình thì bài toán vẫn chưa có lời giải. Ngoài cách giải phương trình Schrodinger để xác định hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hòa, bài toán này còn có thể được giải rất gọn bằng cách đưa vào các toán tử a và ˆ+ liên hợp với nhau (hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy). Như vậy, dựa trên hệ cơ sở trực giao đã biết của dao động tử điều hòa, có thể mở ra phương pháp giải bài toán cho nguyên tử hydro bằng cách biểu diễn thông qua các toán tử sinh hủy. Theo cách này, các toán tử tương ứng với các đại lượng vật lý đều có thể biểu diễn qua các toán tử sinh hủy trên, nhờ đó mà các tính toán yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nguyên tử hydro có thể dễ dàng chuyển về các phép biến đổi đại số dựa vào các giao hoán tử của các toán tử sinh hủy. Khi xét nguyên tử hydro trong điện trường, với phương pháp toán tử và áp dụng thêm phương pháp nhiễu loạn, ta có thể đưa ra lời giải cho bất kì giá trị nào của điện trường: từ điện trường yếu cho đến điện trường mạnh kể cả trong điện trường trung bình mà các phương pháp trước chưa giải quyết được. Qua nghiên cứu và khai thác trong các bài toán cụ thể, phương pháp toán tử đã chứng tỏ tính ưu việt và hiệu quả của nó so với các phương pháp đã biết như sau:  Đơn giản hóa việc tính toán các yếu tố ma trận phức tạp mà thông thường phải tính tích phân của các hàm đặc biệt.  Cho phép xét các hệ cơ học lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kì. SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền Mức năng lượng cơ bản của nguyên tử Hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử GVHD:TS. Nguyễn Văn Hoa  Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài. Phương pháp này có thể được phát triển để giải quyết nhiều bài toán khác trong cơ học lượng tử. Tuy vậy trong khuôn khổ cho phép của một luận văn tốt nghiệp và giới hạn về mặt thời gian nên chúng tôi chỉ xin được trình bày phương pháp toán tử ở mức độ bắt đầu tìm hiểu và chỉ xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp này. 3. Tóm tắt đề tài luận văn a. Mục tiêu của đề tài Trong luận văn này, chúng tôi tiếp cận phương pháp toán tử như một công cụ mới với mục tiêu cụ thể là:  Tìm hiểu về phương pháp toán tử: cơ sở hình thành, sơ đồ tính toán, ưu điểm…Ứng dụng của phương pháp này trong phương trình Schrodinger.  Kiểm tra độ tin cậy của phương pháp bằng cách giải lại bài toán nguyên tử hydro để xác định lại mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro và so sánh với lời giải chính xác đã có. Việc tính toán lại bài toán này ngoài tác dụng minh họa cho phương pháp còn có thể cho thấy khả năng ứng dụng và phát triển mạnh mẽ của phương pháp.  Xác định mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hydro trong điện trường theo phương pháp toán tử. b. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp toán tử hay còn gọi là phép biểu diễn các số lấp đầy. Các toán tử ˆ và ˆ+ tác động lên các số lấp đầy (số phônôn). Toán tử ˆ giảm số phônôn 1 đơn vị hay toán tử hủy phônôn. Toán tử ˆ+ tăng số phônôn 1 đơn vị hay toán tử sinh phônôn. Ngoài ra, ta còn định nghĩa toán tử ˆ = ˆ+ ˆ gọi là toán tử trung hòa. Toán tử ˆ tác dụng lên hàm  qui về việc nhân hàm này với n. Nói một cách khác, toán tử số SVTH: Nguyễn Đức Thanh Tuyền ... - tailieumienphi.vn