Xem mẫu
- Khóa luận tốt nghiệp
“Phép biến đổi Laplace”
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán họ c là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó,
mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành
khoa học khác, trong đó có vật lý học. Tính chất cơ bản của vật lý học là tính
thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày những định luật định lượng của vật lý
họ c một cách chính xác ta thường phải sử dụng phương pháp toán họ c.
Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa
giữa toán họ c và vật lý học.
N hững quy luật đơn giản của vật lý đã được cơ họ c cổ điển giải quyết
gần như trọn vẹn. Nhưng những quy luật vi mô, vĩ mô dưới tác dụng của
nhiều trường khác nhau thì nó lại hoàn toàn bất lực. Cùng với điều đó là sự
phát triển mạnh mẽ của toán học cả về bề rộng và b ề sâu. D ẫn tới sự ra đời
của một ngành vật lý mới vật lý lý thuyết.
N gười ta dùng phương pháp toán họ c để tìm ra những quy luật mới.
N hững quy luật tổ ng quát hơn những quy luật đ ã biết, đoán trước được mối
quan hệ giữa những hiện tượng vật lý mà thực tế chưa quan sát được. Nó tìm
được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của nhiều
hiện tượng xét mộ t cách tổ ng quát nhất.
N hững phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại thì rất
phong phú và đa dạng. Nó gồm mộ t khối lượng kiến thức lớn thuộc các ngành
như: hàm thực, hàm phức, các phương trình vi phân, các phép tính tích
phân…Các kiến thức toán này nó không những cần thiết cho các bạn sinh
viên để tiếp thu, thực hành cũng như nghiên cứu đố i với các môn họ c khác
trong khi học tại trường, mà còn là các công cụ toán hữu ích cho công tác của
họ sau khi ra trường.
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
1
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Bước đầu khám phá và đi sâu vào các công cụ toán họ c cũng như ứng
dụng của nó trong vật lý. Đ ề tài: “Phép biến đổi Laplace” cũng là mộ t trong
số những công cụ toán có nhiều ứng dụng quan trọ ng trong vật lý. Nó giúp
chúng ta giải quyết các bài toán vật lý mộ t cách đơn giản hơn. Vì vậy khi
chọn đề tài này tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu, tìm hiểu các công cụ toán
dùng trong vật lý nói chung và vật lý lý thuyết nói riêng.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nâng cao kiến thức toán học và sử dụng chúng một cách linh hoạt trong
nghiên cứu vật lý.
- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ D escartes.
- Tìm hiểu các phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong, đặc biệt là hai hệ
tọa độ thường gặp trong vật lý đó là: hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Các phép biến đổ i Laplace và ý nghĩa của chúng.
4. Phương pháp nghiên cứu
- V ật lý lý thuyết
- Phương pháp giải tích toán học
- Đọc tài liệu và tra cứu
5. Cấ u trúc khóa luận
Đ ề tài nghiên cứu gồm:
- Chương 1: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ D escartes.
- Chương 2: Phép biến đổi Laplace trong hệ tọa độ cong.
- Chương 3: Bài tập
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
2
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
PHẦN 2: NỘI DUNG
Chương 1
PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE TRONG HỆ TỌA ĐỘ D ESCARTES
1. GRADIEN C ỦA TRƯỜNG VÔ HƯỚNG
1.1 Trường vô hướng và đạo hàm theo đường (cung)
Trường vô hướng là một phần của không gian mà mỗi điểm M của nó
ứng với một giá trị của mộ t đại lượng vô hướng nào đó f (M). Cho mộ t trường
vô hướng có nghĩa là cho mộ t hàm vô hướng u = f (M) có giá trị phụ thuộc
vào từng điểm M của miền V. Trong tọa độ D escartes Ox yz ta có:
u = f (M) = f (x, y, z)
Ví dụ 1: Xét sự phân bố nhiệt độ trong một vật thể nào đó. Tại mỗi
điểm được cho tương ứng với một đại lượng vô hướng đó là nhiệt độ tại điểm
này.
Ta xét trường vô hướng u = f (x, y, z). Nếu hàm vô hướng u = f (M) của
trường không thay đổ i theo thời gian, ta có trường dừng. N ếu f còn phụ thuộc
cả vào thời gian thì ta có trường không dừng hay trường thay đổ i f (M, t). Đ ể
biểu diễn hình học trường vô hướng ta dùng khái niệm mặt mức. Tập hợp tất
cả các điểm sao cho đại lượng u nhận cùng một giá trị C được gọi là mặt m ức
tương ứng với số C. Ứng với mỗi giá trị của C ta có mộ t mặt m ức, cho C các
giá trị khác nhau ta có họ mặt mức.
V í dụ như, đố i với trường u = x +y + z mặt mức tương ứng với giá trị 1 là mặt
phẳng x + y + z = 1. Mặt mức đố i với giá trị 2 là mặt phẳng x + y + z = 2. Đối
với trường vô hướng cầu nào đó, mặt mức là một mặt cầu với tâm tại gốc tọa
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
3
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
1
độ , ví dụ đ ối với trường m ặt mức u = 4 là hình cầu
y
x y2 z2
2
1 1
4 hay x 2 y 2 z 2 .
2 2 2
x y z 4
G iả sử cho đường cong L và trên đường cong này ta chọn một hướng
nào đó (ví dụ theo chiều mũi tên). Khi đó đường cong gọi là được đ ịnh hướng
(H.1.1).
G iả sử M và M 1 là 2 điểm trên đường cong, kí hiệu S là độ dài cung
MM 1 , S lấy dấu + nếu điểm M 1 đứ ng sau điểm M và
M1
L
lấy dấu - nếu điểm M 1 đứng trước điểm M. M
Tốc độ trung bình của hàm u = f (M) dọc theo
H.1.1
cung M M 1 là tỷ số của số gia của hàm (khi dịch
chuyển từ M đến M 1 ) và độ dài cung S , tức bằng:
f (M ) f (M1 )
S
Đ ạo hàm theo đường cong L tại điểm M 1 là giới hạn của tỷ số:
f (M ) f ( M 1 )
khi điểm M dịch chuyển dọ c theo đường cong L tiến đ ến
S
f
điểm M 1 . Kí hiệu đạo hàm qua , ta có:
L
f f (M ) f (M1 )
= Mlim (1.1)
L S
M1
Ta có thể dễ dàng chứng minh:
f f f
f
M 1 = 1 cos 1 cos M1 cos (1.2)
M M
x y z
L
trong đó là các góc tạo bởi vectơ tiếp tuyến với đường cong L tại các
đểm M 1 và các trục toạ độ. Đ ạo hàm theo đường cong tại điểm M 1 không phụ
thuộc vào hình dạng đường cong mà chỉ phụ thuộc vào hướng của tiếp tuyến
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
4
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
với L tại điểm M 1 nói cách khác,
nếu các đường cong L1 và L 2 đi qua
L1
M 1 có tại điểm này cùng mộ t vectơ
L2
M1
tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm
này theo đường cong L1 bằng đạo
hàm theo đường cong (H. 1.2).
L2
H. 1 .2
1.2 Gradien của trường vô hướng
Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng
vectơ , trong đ ó = ai + b j + ck . Người ta gọi đ ạo hàm theo hướng của vectơ
tại điểm M là đạo hàm theo cung L bất kỳ đi qua M và tiếp xúc với . Đ ạo
u
u
là đạo hàm theo hướng vectơ i , đạo hàm riêng là đạo hàm
hàm riêng
y
x
u
theo hướng vectơ j , đạo hàm riêng là đạo hàm theo hướng vectơ k . Trước
z
hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ .
a b c
; cos ; cos
cos
2 2 2 2 2 2
a b2 c 2
2
a b c a b c
Do đó
u u u
a b c
u x y z
(1.3)
a 2 b2 c 2
Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ và vectơ có toạ
u u u
độ là ( , , ). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu:
x y z
u u u
Gradu =i+ j+ (1.4)
k
y
x z
u gradu
Do đó:
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
5
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
u gradu . cos( gradu , )
H ay là:
V ậy:
u
gradu . cos( gradu , )
(1.5)
Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng . Từ đây ta
suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là
vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất.
x3 y 2
Ví dụ 1 : Cho trường vô hướng u x uất phát từ M (1, 2, 1) theo
z
hướng nào hàm u tăng nhanh nhất.
G iải:
u u u 3 x 2 y 2 2 x3 y x3 y 2
gradu i j k i j 2 k
x y z z z z
gradu tại M
graduM 12i 4 j k
Đ ạo hàm theo hướng gradien, tức
u
( max 122 4 2 (4) 2 176 13.3
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số u x 2 y 2 x tại điểm M 0 (1, 2) theo
hướng vectơ M 0 M 1 trong đó M 1 (3, 0) .
G iải:
Ta thấy M0M1 (2, -2)
u
u
2x y2 ;
2 ; 2 xy
y
x
Do đó:
u gradu.
gradu M 0 (6, 4) và
2
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
6
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Đ ịnh lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z) gradu
tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với
đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt
M
mức u(x, y, z) = C, C là hằng số. l
Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l
H.1.3
nằm trong mặt mức, b ởi vì hàm u không thay đổi khi
u
nó chuyển độ ng theo đường cong l, nên 0 . Nhưng đạo hàm theo cung l
l
u
bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế 0 .
u u
Theo công thức: gradu .cos( gradu , ) , do 0 và gradu ≠ 0 nên
cos( gradu , ) 0 . Tức là góc giữa và gradu bằng 900 .
Q uỹ tích các tiếp tuyến tại điểm M 0 với các đường cong nằm trong mặt
mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm M 0 . Nếu M 0 có các toạ độ
( x0 , y0 , z0 ) thì:
u u
u
gradu M 0
) x0 y0 z0 .i ) x0 y0 z0 . j ) x0 y0 z0 .k
x y z
Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với m ặt mức là:
u u u
) x0 y0 z0 .( x x0 ) ) x0 y0 z0 .( y y0 ) ) x0 y0 z0 .( z z0 ) 0 (1.6)
x y z
Chú ý: N ếu cho m ặt xác định b ởi f (x, y, z) = 0, ta có thể x em nó là mặt
mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc
với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6).
Ví d ụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với m ặt parabolic
z x 2 y 2 tại điểm M (2, 1, 5 ).
Mặt đã cho có thể xét như mộ t mặt mức của hàm u z x 2 y 2 .
Bởi vì:
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
7
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
gradu 2 xi 2 y j 1k ,
cho nên
gradu M 0 4.i 2. j k .
Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho
tại M có dạng:
4( x 2) 2( y 1) 1( z 5) 0
hay
4 x 2 y z 5 0
1.3 Các tính chất của Gradien
G radien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng
trong chứng minh các công thức vật lý:
a/ grad(u+v) = gradu + g radv (1.7)
b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8)
vgradu ugradv
u
(v≠0)
c/ grad (1.9)
v2
v
1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien
Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ.
Cho nên trong vật lý người ta dùng phương
pháp trong đó tính một đ ại lượng vô hướng
(không đơn trị) m ột cách đơn giản hơn, nhưng
H.1.4
gradien của nó lại cho ta mộ t đ ại lượng vật lý
thực dưới dạng vectơ, đơn trị, có thể đo được
trên thực nghiệm. Thí d ụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô hướng
φ (không đơn trị), nhưng E grad là cường độ điện trường có thể đo được
trên thực nghiệm.
2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ
2.1 Trường vectơ-đường vectơ
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
8
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ
Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực,
trường từ hay trường điện như E grad được nêu ở trên. Đ ể biểu diễn hình
họ c trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà
tại mỗi điểm của nó vectơ A nằm dọ c theo tiếp tuyến của trường tại điểm này.
N ếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọ i là các
đường lực) là các tia xuất phát từ gố c toạ độ. Trong trường gradien A grad
đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển độ ng dọ c theo nó, đại lượng
u tăng với vận tốc lớn nhất.
Đ ể tìm đường vectơ của trường
A P ( x , y , z ) i Q ( x, y , z ) j R ( x , y , z ) k
Ta tiến hành như sau:
G iả sử phương trình tham số của đường vectơ là
x =x(t) ; y=y(t) ; z=z(t)
K hi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng
x y z
i j k
t t t
Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồ ng phương với vectơ
của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các
vectơ này tỉ lệ với nhau.
dx dy dz
dt dt dt (2.1)
P ( x , y , z ) Q ( x, y , z ) R ( x , y , z )
Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là (x, y, z) ta có:
dx
( x, y , z , t ) P ( x , y , z ) ;
dt
dy
( x, y, z, t )Q( x, y, z ) ; (2,2)
dt
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
9
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
dz
( x , y , z , t ) R ( x, y , z ) .
dt
Chú ý: vì hàm (x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của
đường vectơ là không duy nhất.
Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất z
điểm đ ặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơ
là các tia xuất phát từ gốc to ạ độ, vì thế ống
O
vectơ trong trường này có dạng hình nón với y
đỉnh ở gốc to ạ đ ộ (H.2.1). x
H .2.1
2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt
2.1.2.1 Thông lượng
Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ A nào đó.
Ta chọn trên mặt này một hướng xác đ ịnh mà ta gọi đó là hướng d ương
hướng ngược lại của mặt là hướng âm. Ta nói rằng mặt như vậy là mặt định
hướng.
Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ
này hướng từ âm sang dương là vectơ n . V ị trí của vectơ n p hụ thuộc vào vị
trí điểm M trên mặt.
X ét hàm f (M) = ( A , n ) được xác định tại mọ i điểm của mặt S.
N ếu A Pi Q j Rk và các góc chỉ phương của vectơ n tương ứng
bằng , , tức là: n cos i cos j cos k thì f(M) P cos Q cos R cos
hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S.
Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu
bằng chữ :
(2.2)
= ( A,n)dS= (P cos Q cos R cos ) dS
S S
Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi d ấu của thông lượng.
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
10
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
N ếu mặt S là m ặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bên
ngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm.
2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng
Trong trường hợp thuỷ động họ c, thông lượng qua mặt được định
hướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời gian.
Ta xét trường hợp mặt kín S. N ếu thông lượng qua S là m ặt dương điều
này nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạn
bởi m ặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại, nếu thông lượng
âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S.
Ví dụ: Cho trường vectơ
A ( x y )i ( y x) j zk
Tính thông lượng của trường này qua b ề mặt của hình cầu bán kính với
tâm tại gốc toạ độ.
Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo
bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị
R
xi y j zk
n xi y j zk
R x2 y 2 z2
do x 2 y 2 z 2 1 đố i với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy:
( A, n) ( x y ) x ( y x) y zz x 2 y 2 z 2
V ì thế thông lượng bằng
2
y 2 z 2 )dS dS S 4 .
( A, n)dS ( x
S S S
2.2 Dive của trường vectơ
2.2.1 Dive của trường vectơ
D ive (divergen) của trường vectơ A tại điểm M là giới hạn của tỉ số
thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi
bề mặt này
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
11
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
( A, n)dS
(2.3)
S
div A lim
V
V M
N hững điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm
nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút.
G iả sử trường vectơ
A Pi Q j Rk
trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1 , 2 liên tục thì
( P cos Q cos R cos )
( A, n)dS
(2.4)
S S
div A lim lim
V V
V M V M
trong đó , , là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài.
Theo công thức O stro gradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp:
P Q R
( x y z )dV
(2.5)
V
div A lim
V
V M
Theo định lý giá trị trung bình, trong miền V, ta tìm được mộ t điểm M TB sao
cho:
P Q R P Q R
( x y z )dV ( x y z ) .V
M TB
V
vì thế
P Q R
( x y z )dV
P Q R
V
div A lim lim ( )M
x y z TB
V
V M V M
K hi V→ M thì M TB →M, vì thế
P Q R
(2.6)
div A
x y z
Từ công thức (2.4) và (2.5) ta có:
(2.7)
( A,n)ds div AdV
S V
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
12
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
N hư vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề m ặt kín bằng tích
phân 3 lớp của div A trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức
này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi div A liên tục trong miền V.
Ví dụ : Tính thông lượng của trường vectơ
A ( x y )i ( y x ) j zk
qua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ.
( x y) ( y x) z
G iải: div A 3
x y z
V ậy thông lượng
4
( A, n)dS div AdV 3dV 3V 3. 4
3
S V V
2.2.2 Trường hình ống
N ếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường A bằng
không, thì ta nói rằng A là trường hình ống của miền này.
mR
Ví dụ : Cho trường hấp d ẫn F 3 trong miền G nào đó không chứa
R
gố c tọa độ . Hãy tính divF .
mx my mz
G iải: F i 2 j 2 k
( x 2 y 2 z 2 )3/ 2 ( x y 2 z 2 )3/ 2 ( x y 2 z 2 )3/ 2
Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng:
divF 0
tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậy F là trường hình ống trong miền G.
Bây giờ ta tính dive tại gốc to ạ độ .
Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a b ằng -4π m , tỉ số thông
lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng
4 m 3 m
a3
43
a
3
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
13
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Theo định nghĩa:
3 m
(divF )( 0,0,0) lim 3 .
a
a0
2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive
Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của
trường vectơ. Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người
ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học
div D
trong đó D là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do.
3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ
3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến
Ta xét trường vectơ:
A Pi Q j Rk
và chu tuyến l nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường
(3.1)
Pdx Qdy Rdz
l
là lưu thông của trường vectơ A theo chu tuyến.
Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộ c vào A và l, mà còn
cả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổ i hướng của đường cong, lưu thông thay
đổ i dấu.
Ví dụ 1: Nếu A là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l
bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọ c theo chu tuyến l.
G iả sử đường cong cho dưới dạng tham số :
x = (t), y = (t) , z = (t) với t0 t T
ta có:
t
Pdx Qdy Rdz Pt t t (t) Qtt t (t) Rtt t (t)dt
' ' '
t0
l
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
14
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
N hư vậy để tính lưu thông của trường vectơ ta có thể áp dụng công thức
stockes
R
Q P R Q P
Pdx Qdy Rdz ( y z )cos +( z x )cos ( x y )cos dS
l S
Trong trường hợp đặc biệt
Q P
(3.4)
Pdx Qdy ( x y )dS
l S
3.2 Rota của trường
Trong không gian Oxyz cho bề mặt S nào đó. Ta xét trường vectơ
A Pi Q j Rk
trong đó P, Q, R và các đạo hàm riêng cấp 1 của nó liên tục tại điểm M thuộc
S và trong lân cận của điểm M. Trên bề mặt S, ta vẽ chu tuyến đóng l bao
z
quanh điểm M rồi chọn hướng xác định trên n
chu tuyến này và tính Adl . M
Mo
σl
Tỷ số lưu thông theo chu tuyến l và diện
S
tích của b ề mặt S được giới hạn bởi chu
O
y
tuyến l trên được gọi là mật độ lưu thông trung
bình x H.3.1
Adl
(3.5)
l
Adl
ta gọi giới hạn : lim là mật độ lưu thông tại điểm M trên bề m ặt S. Ta
l M
có:
Pdx Qdy Rdz
Adl
l l
lim
lim
l M l M
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
15
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
R
Q P R Q P
( y z )cos +( z x )cos ( x y )cos d
lim
0
R Q
P R Q P
)cos +( )cos ( )cos MTB
(
y z z x x y
lim
0
R Q P R Q P
(3.6)
)cos +( )cos ( )cos M
(
y z z x x y
V ậy nếu A Pi Q j Rk
n cos i cos j cos k
thì mật đ ộ lưu thông tại điểm M theo hướng n bằng:
R Q P R Q P
)cos +( )cos ( )cos
(
y z z x x y
Biểu thức trên là tích vô hướng của vectơ n và vectơ
R Q P R Q P
)i +( ) j ( )k
(
y z z x x y
V ectơ này chỉ phụ thuộc vào trường vectơ đã cho A . Ta kí hiệu là rot A
N hư vậy mật độ lưu thông của trường vectơ A theo hướng n bằng
rot A . n
Rota của trường vectơ A
R Q P R Q P
(3.7)
rot A ( )i +( ) j ( )k
y z z x x y
có giá trị hoàn toàn xác định (về độ lớn, về hướng) tại mỗi điểm của trường đã
cho do đó rota lập thành trường vectơ mới.
Biểu thức (3.7) cũng có thể viết dưới dạng định thức như sau:
i j k
(3.8)
rot A
x y z
P Q R
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
16
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Ví dụ 1: Tính rota của trường vectơ A cho bởi công thức:
A ( x 2 y 2 )i ( y 2 z 2 ) j ( z 2 x 2 )k
G iải: Theo công thức (3.8) ta nhận được
rot A ( 2 z )i ( 2 x) j ( 2 y ) k
nói riêng, tại điểm (0, 0, 1)
rot A 2i
Ví dụ 2: Xét trường vận tốc tại các điểm của một vật thể rắn quay với
vận tốc góc không đổi 0 quanh trục Oz.
G iải: Ta đã biết trường này được cho b ởi công thức:
A 0 yi 0 x j
Do đó
rot A (0 0 )k 20 k
3.3 Định lý stokes dưới dạng vectơ
(3.9)
Adl rotn AdS
l S
trong đó rotn A là hình chiếu của vectơ rot A lên pháp tuyến của mặt S. Như
vậy lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến đóng l bằng thông lượng của
rot A của trường này trên bề mặt với b iên là chu tuyến l.
3.4 Ý nghĩa vật lý của rota
Từ rota có nghĩa là xoáy cho nên nó mô tả nhiều hiện tượng điện từ
quan trọng như rota của thông lượng của trường từ H thì sinh ra dòng đ iện
với mật độ j
(3.10)
rot H j
còn rota của thông lượng trường điện E thì sinh ra sự biến thiên của vectơ
cảm ứng từ B theo thời gian
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
17
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
B
(3.11)
rot E
t
Các phương trình (3.10), (3.11) là các phương trình Maxwell
4. CÁC PHÉP TÍNH Đ ỐI VỚI DIVE VÀ ROTA
4.1 Dive và rota của vectơ hằng số bằng không
Thật vậy, nếu A ai b j ck trong đó a, b, c là hằng số thì
a b c
(4.1)
div A 0
x y z
Tương tự
(4.2)
rot A 0
4.2 Dive và rota có tính chất tuyến tính
Đ iều này có nghĩa là nếu C A B trong đó A , B là các trường
vectơ; , là các hằng số thì
divC div A divB
rotC rot A rot B
Chứng minh: Giả sử
A P i Q1 j R1 k
1
B P2 i Q2 j R2 k
K hi đó:
C ( P P2 )i ( Q1 Q2 ) j ( R1 R2 )k
1
và
divC ( P P2 ) ( Q1 Q2 ) ( R1 R2 )
1
x y z
P Q1 R1 P Q R
1
) ( 2 2 2 )
(
x y z x y z
div A divB
4.3 Các phép tính đối với tích
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
18
- Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
a/ Giả sử u và v là hai trường vô hướng. Khi đó uv cũng là trường vô hướng ta
có:
graduv = ugradv+vgradu
b/ Giả sử u là trường vô hướng, A là trường vectơ. Khi đó u A là trường vectơ
và
divu A ( gradu , A) udiv A
rotu A ( gradu A) urot A
Đ ể chứng minh ta viết vectơ A dưới dạng A P i Q j R k
c/ Giả sử A , B là các trường vectơ. Khi đó ( A , B ) là trường vô hướng, còn
( A B ) là trường vectơ và div( A B) ( Brot A) ( Arot B)
Kết luận: Chương 1 chúng ta đã ngh iên cứu những khái niệm quan
trọng về trường và những đặc trưng cơ bản của trường vectơ và trường vô
hướng. Cùng với nó là các phép tính của trường như: phép tính gradien của
trường vô hướng, phép tính dive của trường vectơ và phép tính rota của
trường vectơ. Trong phạ m vi chương 1 chúng ta chỉ tìm hiểu các phép tính
này trong hệ tọa độ Descartes vuông góc.
GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
19
nguon tai.lieu . vn