1. Trang Chủ
  2. Khoa học xã hội
  3. Khoá luận tốt nghiệp: Lý thuyết phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng trong việc khảo sát hiện tượng bùng nổ nhiệt trong chất bán dẫn

Khoá luận tốt nghiệp: Lý thuyết phương trình vi phân phi tuyến và ứng dụng trong việc khảo sát hiện tượng bùng nổ nhiệt trong chất bán dẫn

Khoá luận giới thiệu những phương pháp giải cho những phương trình vi phân phi tuyến đơn giản từ cấp một đến cấp ba và ở phần cuối sẽ tập trung vào khai thác phương trình truyền nhiệt phi tuyến, cụ thể hơn là hiện tượng truyền nhiệt trong chất bán dẫn. Mời các bạn cùng tham khảo! TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM KHOA VẬT LÝ NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT TRONG CHẤT BÁN DẪN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TP. HỒ CHÍ MINH

Thể loại Tài liệu miễn phí Khoa học xã hội

Số trang 75

Ngày tạo 10/15/2021 8:45:33 PM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 1.09 M

Tên tệp

Tải Khoá luận tốt nghiệp: Lý thuyết phương trình vi ph... (.pdf)

Xem mẫu

  1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM KHOA VẬT LÝ NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT TRONG CHẤT BÁN DẪN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TP. HỒ CHÍ MINH - NĂM 2018
  2. TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HCM KHOA VẬT LÝ NGUYỄN PHƯỚC VĨNH SƠN LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VIỆC KHẢO SÁT HIỆN TƯỢNG BÙNG NỔ NHIỆT TRONG CHẤT BÁN DẪN CHUYÊN NGÀNH: SƯ PHẠM VẬT LÝ [TOÁN - LÝ] MÃ SỐ SINH VIÊN: K40.102.077 KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. LƯƠNG LÊ HẢI TP. HCM – NĂM 2018
  3. Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới Ban chủ nhiệm Khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh cùng toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý, đặc biệt là các thầy cô tổ Toán - Lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, là người những người thầy, người cô trong thời gian qua không những chỉ dạy bảo tôi tận tình về kiến thức chuyên môn mà còn truyền cho tôi cả niềm đam mê, sự nhiệt thành, tâm huyết với bộ môn toán học. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới TS. Lương Lê Hải, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo để tôi có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp này. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 04 năm 2018 Nguyễn Phước Vĩnh Sơn 1
  4. Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời mở đầu 4 Danh mục các kí hiệu 6 Danh mục hình vẽ, đ` ô thị 7 Chương 1: Tổng quan 8 Chương 2: Sóng và sóng xung kích phi tuyến 10 2.1 Sự lan truyền tuyến tính và đường đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Phương trình lan truyền . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Mệnh đề 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Phương trình lan truyền phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Định luật bảo toàn và sóng xung kích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1 Định nghĩa định luật bảo toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.2 Mệnh đề 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.3 Sóng xung kích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Chương 3: Sự khuếch tán phi tuyến - Phương trình Burger 25 Chương 4: Sự tán sắc và Soliton 28 4.1 Sự tán sắc tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Phương trình Korteweg–deVries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chương 5: Phương trình truyền nhiệt phi tuyến 35 5.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.2 Bài toán vật lý dẫn đến phương trình truyền nhiệt phi tuyến . . . . 36 5.3 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.4 Nguyên lý cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.5 Nghiệm mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.6 Phương trình truyền nhiệt phi tuyến một chiều . . . . . . . . . . . . 45 5.6.1 Nghiệm mẫu cho trước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.6.2 Nghiệm mẫu hai thành phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.6.3 Đánh giá các tham số của nghiệm mẫu . . . . . . . . . . . . . 58 5.7 Trường hợp hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.7.1 Nghiệm đối xứng tâm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.7.2 Đánh giá nghiệm mẫu hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.8 Xây dựng nghiệm dựa trên chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.9 Thảo luận về phương pháp giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2
  5. Kết luận 70 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo 71 Tài liệu tham khảo 72 3
  6. Lời mở đầu Toán học là ngôn ngữ của các ngành khoa học nói chung và nhất là với vật lý nói riêng. Những công thức, phương trình toán học được xây dựng nhằm mô tả những hiện tượng thực tế. Có thể nói phương trình được xây dựng và nghiên cứu sâu rộng chính là những phương trình vi phân đạo hàm riêng từ những dạng tuyến tính đơn giản đến các phương trình vi phân phi tuyến vô cùng phức tạp. Tuy nhiên những hiện tượng xảy ra trong tự nhiên lại rất đa dạng, phức tạp nên những phương trình được xây dựng để mô tả những hiện tượng này đa số là phương trình vi phân phi tuyến. Như ta đã biết, những phương trình vi phân tuyến tính có thể giải ra được nghiệm chính xác. Còn đối với những phương trình vi phân phi tuyến thì các nhà toán học cố gắng làm đơn giản hóa chúng bằng những phương pháp tuyến tính hóa và đã thành công trong việc giải ra nghiệm chính xác (nghiệm giải tích). Tuy nhiên đa số các phương trình vi phân phi tuyến lại rất phức tạp không thể giải ra được nghiệm chính xác mà đòi hỏi phải sử dụng đến những phương pháp xấp xỉ để giải ra nghiệm gần đúng. Vì thế mà đã có rất nhiều nghiên cứu về phương trình vi phân phi tuyến. Những tài liệu trong nước điển hình về phương trình vi phân phi tuyến là những giáo trình và những luận văn [1], [2], [3],... Bên cạnh đó là những tài liệu nước ngoài với những tác giả và những công trình nổi tiếng như [5], [6], [9], [10], [13],... Đây là những tài liệu phù hợp cho người học nghiên cứu sâu về phương trình vi phân phi tuyến. Tùy vào mục đích khác nhau mà những tài liệu về phương trình vi phân phi tuyến được xây dựng khác nhau. Những luận văn, giáo trình trong nước trên thường dành cho những nghiên cứu sinh, học viên cao học,... đã có nền tảng căn bản về phương trình vi phân phi tuyến nên những tài liệu này thường được xây dựng một cách hàn lâm và đôi khi quá tập trung vào việc giải toán mà lại ít đề cập đến thậm chí bỏ qua những tính chất vật lý của những nghiệm thu được. Còn những tài liệu bằng tiếng nước ngoài của các tác giả trong nước hay của các tác giả ngoại quốc có nhiều ứng dụng hơn, tuy nhiên vẫn có nhiều tài liệu vẫn tập trung nhiều về phần lý thuyết tính toán. Nhận thấy được điều đó, chúng tôi đã thực hiện luận văn này. Luận văn được xây dựng bằng những cách tiếp cận đơn giản dễ hiểu nhằm hướng tới đối tượng là những học sinh, sinh viên đã có những hiểu biết nền tảng về việc giải phương trình vi phân tuyến tính và có những bước tiếp cận đầu tiên về 4
  7. phương trình vi phân phi tuyến. Luận văn giới thiệu những phương pháp giải cho những phương trình vi phân phi tuyến đơn giản từ cấp một đến cấp ba và ở phần cuối sẽ tập trung vào khai thác phương trình truyền nhiệt phi tuyến, cụ thể hơn là hiện tượng truyền nhiệt trong chất bán dẫn. Trong quá trình xây dựng nội dung lý thuyết và ví dụ minh họa, luận văn luôn hướng đến việc phân tích triệt để những tính chất, ý nghĩa vật lý được thể hiện thông qua các tham số và các nghiệm thu được. Luận văn được lấy nền tảng chủ yếu từ năm tài liệu tham khảo [4], [7], [8], [11] và [12] và được chỉnh lí, bổ sung, sắp xếp lại một cách logic, khoa học nhằm đem lại cho người đọc một cách nhìn đơn giản và dễ hiểu nhất về phương trình vi phân phi tuyến. Vì kiến thức của bản thân còn hạn chế nên trong quá trình thực hiện luận văn khó tránh khỏi những sai sót nên rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! 5
  8. Danh mục các kí hiệu N Tập các số tự nhiên N+ Tập các số tự nhiên dương R Tập các số thực R+ Tập các số thực dương Rn Không gian n−chiều ∇ Toán tử Nabla ∆ Toán tử Laplace u− Giới hạn bên trái của hàm u u+ Giới hạn bên phải của hàm u u¯ Giá trị trung bình của hàm u O (xn ) Phần dư dạng Peano trong khai triển Taylor-Maclaurin ∂u u˙ = ut = Đạo hàm riêng của hàm u theo biến t ∂t ∂u u0 = ux = Đạo hàm riêng bậc một của hàm u theo biến x ∂x ∂ 2u u00 = uxx = Đạo hàm riêng bậc hai của hàm u theo biến x ∂x2 ∂ 3u u000 = uxxx = Đạo hàm riêng bậc ba của hàm u theo biến x ∂x3 6
  9. Danh mục hình vẽ, đ` ô thị Hình 2.1 Hình dạng sóng lan truyền theo thời gian . . . . . . . . . . . . . . 11 Hình 2.2 Sử dụng đường cong đặc trưng để tìm một nghiệm bất kì . . . . . 13 Hình 2.3 Hai nghiệm của phương trình ut + uux = 0 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 Hình 2.4 Các đường đặc trưng của f (x) = sin (1.8x − 0.8) . . . . . . . . . . 16 4 Hình 2.5 Các đường đặc trưng của một sóng loãng khí . . . . . . . . . . . . 17 Hình 2.6 Hình dạng sóng loãng khí lan truyền theo thời gian . . . . . . . . 18 Hình 2.7 Những đường đặc trưng của một sóng xung kích . . . . . . . . . . 18 Hình 2.8 Đồ thị biểu diễn nghiệm bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Hình 2.9 Sự bảo toàn khối lượng quanh một sóng xung kích . . . . . . . . . 23 Hình 3.1 Những nghiệm sóng lan truyền của phương trình Burger . . . . . 27 Hình 4.1 Hình dạng của một sóng đơn độc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Hình 4.2 Tương tác giữa hai soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Hình 5.1 Mạch điện có dòng điện chạy qua tấm bán dẫn . . . . . . . . . . . 37 Hình 5.2 Dạng đồ thị của hàm a (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Hình 5.3 Dạng đồ thị của hàm v (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Hình 5.4 Dạng đồ thị của hàm u (x, t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Hình 5.5 Đồ thị của họ các quỹ đạo trên mặt phẳng pha {ha, bi : |a| < b, b > 0} 54 Hình 5.6 Dạng đồ thị của hàm b (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7
  10. Chương 1 Tổng quan Nếu ta không xét đến cơ học lượng tử, vốn vẫn giữ nguyên là một lý thuyết tuyến tính đến tận ngày hôm nay, thì đa số mọi hệ vật lý trong đời sống thực bao gồm khí động lực học, cơ học chất lưu, thuyết tương đối, sinh thái học, thần kinh học, nhiệt động lực học,... đều được mô hình hóa bởi phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến. Luận văn này chủ yếu khảo sát những mô hình một chiều đơn giản. Ngoài ra luận văn còn giới thiệu hướng giải cho phương trình truyền nhiệt hai chiều trong chất bán dẫn. Luận văn được sắp xếp theo thứ tự bậc tăng dần từ bậc nhất đến bậc ba của phương trình vi phân phi tuyến ở dạng đơn giản nhất và sau đó tập trung vào khai thác phương trình truyền nhiệt phi tuyến. Về bố cục, nội dung chính của luận văn được trình bày theo năm chương: Chương 1 giới thiệu tổng quan nội dung nghiên cứu và đề ra những mục tiêu cụ thể cho từng chương. Chương 2 tập trung nghiên cứu về phương trình vi phân phi tuyến bậc nhất. Phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến bậc nhất là mô hình của các sóng phi tuyến xuất hiện trong khí động lực học, các phản ứng hóa học, sự lan truyền khí thải, sóng nước trong các sông cũng như trong rất nhiều hệ sinh học và sinh thái học khác. Một trong những hiện tượng phi tuyến quan trọng nhất chính là sự gián đoạn của nghiệm trong khoảng thời gian hữu hạn, điều này là nguyên nhân dẫn đến sự hình thành của các sóng xung kích gián đoạn. Đối với phương trình sóng tuyến tính thì tín hiệu chỉ truyền theo dọc theo một đường đặc trưng, nhưng đối với phương trình phi tuyến thì các đường đặc trưng có thể giao nhau, kết quả là dẫn đến sự hình thành sóng xung kích. Việc biểu thị đặc tính của sóng xung kích vẫn dựa trên việc giải phương trình vi phân phi tuyến nhưng đòi hỏi thêm những điều kiện vật lý theo hình thức của định luật bảo toàn. Chương 3 xoay quanh việc nghiên cứu về phương trình vi phân phi tuyến bậc hai. Các phương trình vi phân phi tuyến bậc hai dạng parabolic được dùng để khảo sát những quá trình khuếch tán phi tuyến, bao gồm nhiệt động lực học, các phản 8
  11. ứng hóa học, sự khuếch tán khí thải, động lực học dân số, trong đó đơn giản nhất và được nghiên cứu nhiều nhất chính là phương trình Burger. Chương 4 trình bày về phương trình vi phân phi tuyến bậc ba. Phương trình đạo hàm riêng bậc ba xuất hiện trong những nghiên cứu về sự lan truyền của các sóng, bao gồm sóng nước, sóng plasma, sóng truyền trong các môi trường đàn hồi và những môi trường khác. Ta sẽ khảo sát mô hình lan truyền tuyến tính căn bản và phương trình nổi tiếng của Korteweg–deVries, một dạng mô hình cho sự lan truyền sóng ở các vùng nước nông, sóng plasma,... Chương 5 tập trung khai thác sâu những khía cạnh của phương trình truyền nhiệt phi tuyến và cụ thể là hiện tượng nổ chất bán dẫn. Phương pháp chủ yếu được sử dụng là phương pháp tìm nghiệm mẫu dựa trên cơ sở của nguyên lý cực đại, trong đó có sử dụng các phương pháp tách biến và khai triển Taylor-Maclaurin để giải quyết bài toán truyền nhiệt phi tuyến phức tạp không thể tìm ra được nghiệm giải tích, từ đó đưa ra những phân tích, nhận xét và đánh giá những kết quả thu được. Cuối cùng luận văn sẽ đề cập đến hướng giải phương trình truyền nhiệt phi tuyến trong không gian hai chiều. 9
  12. Chương 2 Sóng và sóng xung kích phi tuyến Trước khi bước vào nghiên cứu sâu các phương trình phi tuyến thì đầu tiên ta sẽ khảo sát nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính bậc nhất đơn giản nhất. 2.1 Sự lan truyền tuyến tính và đường đặc trưng 2.1.1 Phương trình lan truyền Xét phương trình lan truyền ut + cux = 0. (2.1) Đây là mô hình để mô tả sự lan truyền của vật chất, ví dụ như chất hòa tan trong một dòng chảy chất lỏng đồng nhất. Đầu tiên cho vận tốc lan truyền sóng c là hằng số. Như ta đã biết thì tất cả các nghiệm đều là hằng số dọc theo đường đặc trưng của độ dốc dx =c (2.2) dt ⇒ x − ct = const. (2.3) Vì vậy, nghiệm của phương trình mô tả sóng lan truyền có dạng u (t, x) = p (x − ct) = p (ξ) , (2.4) với p (ξ) là một hàm bất kì theo biến số đặc trưng ξ = x − ct. Với một người quan sát đứng yên thì nghiệm (2.4) xuất hiện như một sóng có hình dạng không đổi lan truyền với vận tốc c. Nếu c > 0 thì sóng truyền sang bên phải (hình 2.1). Khi c < 0 thì sóng truyền sang bên trái, trong khi với trường hợp c = 0 tương ứng với sóng giữ nguyên hình dạng và đứng yên tại vị trí ban đầu. Trong trường hợp phức tạp hơn là phương trình sóng truyền không đồng nhất 10
  13. Hình 2.1: Hình dạng sóng lan truyền theo thời gian ut + c (x) ux = 0, (2.5) với vận tốc truyền sóng c (x) phụ thuộc vào vị trí trong không gian. Phương trình này mô hình hóa cho sóng lan truyền theo một chiều duy nhất trong môi trường không đồng nhất nhưng tĩnh tại. Từ phương trình (2.3), ta định nghĩa đường cong đặc trưng là nghiệm của phương trình vi phân thường dx = c (x) . (2.6) dt Do đó, khác với trường hợp sóng truyền với vận tốc không đổi thì đường đặc trưng trong trường hợp này không nhất thiết phải là đường thẳng. Vì vậy ta có mệnh đề sau. 2.1.2 Mệnh đề 1 Nghiệm của phương trình lan truyền tuyến tính (2.5) là hằng số trên đường cong đặc trưng của nó. Chứng minh. Giả sử x (t) là một đường cong đặc trưng, nghĩa là một nghiệm của phương trình (2.6), là một hàm phụ thuộc vào tham số t. Giả sử h (t) = u (t, x (t)) là giá trị của nghiệm tại điểm (t, x (t)) nằm trên đường cong đặc trưng đã chọn. Ta sẽ chứng minh h (t) là một hàm hằng theo t bằng cách chứng minh đạo hàm của hàm này bằng không. Ta có chuỗi đạo hàm sau: dh d ∂u dx ∂u = u (t, x (t)) = (t, x (t)) + (t, x (t)) . (2.7) dt dt ∂t dt ∂x dx Theo (2.6) ta có thể thay = c (x (t)) vì theo giả thiết x (t) là một đường cong dt đặc trưng, từ đó ta có dh ∂u ∂u = (t, x (t)) + c (x (t)) (t, x (t)) = 0. (2.8) dt ∂t ∂x dh Nhận thấy hàm u ở vế phải thỏa mãn phương trình truyền (2.5) nên = 0. dt 11
  14. Vì đường cong đặc trưng của phương trình vi phân (2.5) là độc lập nên ta có Z dx b (x) ≡ = t + k, (2.9) c (x) với k là hằng số tích phân. Vì vậy những đường cong đặc trưng có dạng "song song" nhau. Mỗi đường sẽ được biểu diễn bởi hàm t = b (x) theo phương truyền trục t. Vì thế mà các đường cong đặc trưng được xác định bởi x = g (t + k), với g là hàm ngược của hàm b. Nhận thấy rằng các đường cong đặc trưng là các tập mức của biến số đặc trưng ξ = b (x) − t. Do đó hàm số nào không đổi dọc theo đường cong đặc trưng thì chỉ phụ thuộc vào biến đặc trưng tại mỗi điểm, và vì vậy sẽ có dạng u (x, t) = p (b (x) − t) . (2.10) Nói một cách khác, đường cong đặc trưng là những đường mức chung cho tất cả các nghiệm của phương trình truyền. Dễ dàng thấy rằng với hàm b (x) được xác định như phương trình (2.9) thì u (t, x) sẽ thỏa mãn phương trình (2.5) với hàm p (ξ) bất kì. Để tìm được nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu ta xét u (0, x) = f (x) . (2.11) Thay điều kiện (2.11) vào phương trình (2.10), ta có p (b (x)) = f (x) , (2.12) suy ra p (ξ) = f (g (ξ)) . (2.13) Công thức nghiệm trên có thể biểu diễn đơn giản bằng đồ thị: để tìm giá trị u (t, x) bất kì tại một điểm đã cho, ta sẽ tìm đường cong đặc trưng đi qua điểm (t, x). Nếu đường đặc trưng này giao với trục x tại điểm (0, y) thì kết hợp với mệnh đề 1 ta có u (t, x) = u (0, y) = f (y) (hình 2.2). Ngoài ra, nếu đường cong đặc trưng đi qua điểm (t, x) không giao với trục x thì nghiệm u (t, x) không được mô tả bởi điều kiện ban đầu. 12
  15. Hình 2.2: Sử dụng đường cong đặc trưng để tìm một nghiệm bất kì 2.2 Phương trình lan truyền phi tuyến Dạng đơn giản nhất của phương trình vi phân phi tuyến là phương trình lan truyền phi tuyến bậc nhất có dạng ut + uux = 0. (2.14) Phương trình này xuất hiện trong rất nhiều ứng dụng nên nó được biết đến dưới nhiều tên gọi bao gồm phương trình Riemann, phương trình Burger không nhớt,... Phương trình này mô tả sự lan truyền của vật chất trong các mô hình của khí động lực học, luồng giao thông, sóng lũ ở các sông, phép ghi sắc, các phản ứng hóa học và nhiều lĩnh vực khác. Phương trình (2.14) có dạng phương trình lan truyền sóng, với vận tốc truyền sóng c = u phụ thuộc vào độ cao của sóng. Sóng cao hơn sẽ chuyển động nhanh hơn các sóng thấp. Những sóng dâng lên, với u > 0, sẽ chuyển động sang bên phải còn các sóng hạ xuống, với u < 0 sẽ chuyển động sang bên trái. Phương pháp sử dụng đường đặc trưng đối với phương trình lan truyền sóng tuyến tính có thể áp dụng được cho trường hợp phương trình phi tuyến này và kết quả sẽ cho nghiệm chính xác. Tương tự như biểu thức (2.6), ta định nghĩa đường cong đặc trưng của phương trình sóng phi tuyến (2.14) là nghiệm của phương trình vi phân thường 13
  16. dx = u (t, x) . (2.15) dt Giả sử rằng x = x (t) biểu diễn một đường cong đặc trưng. Ta cần chứng minh nghiệm u (t, x) không thay đổi trên đường đặc trưng của nó, nghĩa là hàm h (t) = u (t, x (t)) là hằng số bằng cách lấy đạo hàm dh d ∂u dx ∂u = u (t, x (t)) = (t, x (t)) + (t, x (t)) . (2.16) dt dt ∂t dt ∂x dx Từ biểu thức (2.15), ta thay = u (t, x) vào phép biến đổi trên dt dh ∂u ∂u = (t, x (t)) + u (t, x (t)) (t, x (t)) = 0. (2.17) dt ∂t ∂x Nhận thấy ở vế phải hàm u thỏa mãn phương trình lan truyền (2.14) với mọi dh giá trị (t, x) nên = 0, nghĩa là hàm h (t) = const. Vì vậy, nghiệm u của phương dt trình truyền (2.14) không thay đổi trên đường cong đặc trưng. Trong trường hợp này, ta đi đến một kết luận quan trọng là đường cong đặc trưng phải là đường thẳng x = ut + k, (2.18) với độ dốc u cũng là nghiệm thu được từ phương trình lan truyền (2.14). Nếu u càng lớn thì đường đặc trưng càng dốc, sóng tương ứng sẽ truyền đi nhanh hơn và ngược lại. Biến số đặc trưng tương ứng là ξ = x − tu phụ thuộc vào nghiệm u. Nghiệm của phương trình (2.14) có thể được viết dưới dạng hàm ẩn u = f (x − tu) = f (ξ) , (2.19) với f (ξ) là hàm bất kì phụ thuộc vào biến số đặc trưng ξ . Nghiệm u (t, x) của phương trình có thể thu được bằng cách giải phương trình đại số (2.19). Ví dụ, nếu f (ξ) = αξ + β (2.20) là một hàm affine và α, β là hằng số, khi đó u = α (x − tu) + β. (2.21) Suy ra αx + β u (t, x) = (2.22) 1 + αt là nghiệm tương ứng của phương trình lan truyền phi tuyến (2.14). Tại mỗi thời điểm cố định t, đồ thị của nghiệm là một đường thẳng. Nếu α > 0, đồ thị của nghiệm 14
  17. Hình 2.3: Hai nghiệm của phương trình ut + uux = 0 sẽ dàn phẳng nằm ngang khi t → ∞. Nếu α < 0, đường thẳng sẽ dựng lên theo phương thẳng đứng khi t tiến tới giá trị thời gian tới hạn t∗ = −1/α, tại đây nghiệm không tồn tại, lúc này nghiệm mô tả một sự "kịch phát". Hàng trên của hình 2.3 là đồ thị của nghiệm với α = 1, β = 0.5 tại các thời điểm t = 0, 1, 5, 20 còn hàng dưới tương ứng với α = −0.2, β = 0.1 tại các thời điểm t = 0, 3, 4, 4.9. Ở trường hợp thứ hai, nghiệm tiến đến đường thẳng đứng khi t → 5 và sau đó không tồn tại khi t = 5. Ta sẽ xây dựng nghiệm tổng quát u (t, x) từ điều kiện ban đầu u (0, x) = f (x) . (2.23) Nhận thấy tại thời điểm t = 0 dạng nghiệm của hàm ẩn (2.19) rút gọn lại thành u (0, x) = f (x). Vì vậy, hàm f (x) trùng với điều kiện ban đầu. Tuy nhiên vì (2.19) là một hàm ẩn nên ta chưa thể khẳng định rằng (1) có thể giải ra giá trị nghiệm u (t, x) hoàn toàn xác định hay không và (2) nếu có thể thì phải mô tả các tính chất động lực học của nghiệm như thế nào. Một phương pháp khác được xây dựng dựa trên cách xây dựng hình học giống như với trường hợp tuyến tính (hình 2.2). Qua từng điểm (0, y) trên trục x ta biểu diễn đường thẳng đặc trưng x = tf (y) + y, (2.24) với độ dốc của đường thẳng f (y) = u (0, y) là điều kiện ban đầu tại điểm đó. Dựa vào mệnh đề 1 ta có u (t, tf (y) + y) = f (y) . (2.25) Ví dụ, nếu f (y) = y thì u (t, x) = y mỗi khi x = ty + y ; khử y ta sẽ thu được 15
  18. 1 Hình 2.4: Các đường đặc trưng của f (x) = sin (1.8x − 0.8) 4 u (t, x) = x/ (t + 1), điều này phù hợp với nghiệm là đường thẳng (2.22). Xét trong trường hợp phức tạp hơn khi hai đường đặc trưng bất kì cắt nhau (hình 2.4). Vì giá trị của nghiệm cũng là độ dốc của đường thẳng đặc trưng nên tại giao điểm của hai đường đặc trưng nghiệm phải thỏa mãn cả hai giá trị khác nhau, mỗi giá trị lại ứng với một đường đặc trưng. Về mặt toán học thì ta có thể nhận các nghiệm bội, nhưng xét về ý nghĩa vật lý thì nghiệm u (t, x) phải mô tả một đại lượng vật lý, ví dụ như mật độ, vận tốc, áp suất,... và phải mang một giá trị duy nhất tại từng thời điểm. Có ba trường hợp có thể xảy ra, trường hợp đầu tiên đơn giản nhất là tất cả các đường đặc trưng đều song song với nhau và do đó nghịch lý trên sẽ không xảy ra. Trong trường hợp này, tất cả các đường thẳng đặc trưng đếu có cùng độ dốc c, nghĩa là nghiệm có cùng một giá trị u (t, x) ≡ c trên các đường đặc trưng, đây là nghiệm hằng số tầm thường. Trường hợp đơn giản tiếp theo là điều kiện ban đầu f (x) là hàm tăng tại mọi điểm, f (x) 6 f (y) , ∀x 6 y , nghĩa là đạo hàm của điều kiện ban đầu không âm f 0 (x) ≥ 0 (hình 2.5). Các đường đặc trưng tỏa ra từ trục x như hình rẻ quạt sang nửa mặt phẳng bên phải và không bao giờ cắt nhau với mọi thời điểm t ≥ 0. Mỗi điểm (t, x) với t > 0 chỉ nằm trên một đường đặc trưng duy nhất. Vì vậy nghiệm sẽ được xác định chính xác tại tất cả các thời điểm sau đó. Xét về mặt vật lý thì những nghiệm này mô tả các sóng loãng khí, những sóng này sẽ phân tán dần ra khi lan truyền. Một ví dụ điển hình tương ứng với điều kiện ban đầu 16
  19. Hình 2.5: Các đường đặc trưng của một sóng loãng khí π u (0, x) = arctan (3x) + (2.26) 2 được biểu diễn trên hình 2.6 tại những thời điểm t = 0, 1, 2, 3. Độ dốc của nghiệm giảm dần khi sóng loãng khí lan truyền ra. Với trường hợp f 0 (x) < 0, những đường đặc trưng có thể cắt nhau tại những thời điểm sau đó. Nếu điểm (t, x) nằm trên hai hay nhiều đường đặc trưng riêng biệt thì giá trị của nghiệm u (t, x) sẽ không còn xác định một cách duy nhất. Vì vậy xuất hiện nghịch lý về mô hình toán học để diễn tả hiện tượng vật lý. Ta tiếp tục xét nghiệm bội này về mặt toán học. Cụ thể hơn, xét điều kiện ban đầu π 1 u (0, x) = − arctan x (2.27) 6 3 được biểu diễn trên hình 2.8 và những đường đặc trưng tương ứng được biểu diễn trong hình 2.7. Tại thời điểm ban đầu các đường đặc trưng không cắt nhau, nghiệm xác định đơn giá. Tuy nhiên, sau đó những đường này đạt tới thời điểm tới hạn t = t∗ > 0 khi đó có hai đường đặc trưng đầu tiên cắt nhau. Sau thời điểm đó, một vùng hình nêm xuất hiện trong mặt phẳng (t, x) bao gồm tất cả những điểm giao của ba đường đặc trưng khác nhau với những độ dốc khác nhau, tại những điểm này nghiệm mang ba giá trị riêng biệt. Bên ngoài vùng hình nêm này, mỗi điểm chỉ nằm trên một đường thẳng đặc trưng duy nhất, nghiệm xác định đơn giá. Phần bao của vùng hình nêm bao gồm những giao điểm của chỉ hai đường thẳng đặc trưng. 17
  20. Hình 2.6: Hình dạng sóng loãng khí lan truyền theo thời gian Hình 2.7: Những đường đặc trưng của một sóng xung kích 18
nguon tai.lieu . vn
Thạc sĩ - Tiến sĩ - Cao học Công nghệ thông tin Kinh tế - Thương mại Tài chính - Ngân hàng Kiến trúc - Xây dựng Điện-Điện tử-Viễn thông Cơ khí - Chế tạo máy Công nghệ - Môi trường Báo cáo khoa học Quản trị kinh doanh Khoa học xã hội Khoa học tự nhiên Nông - Lâm - Ngư Y khoa - Dược