- Trang Chủ
- Khoa học tự nhiên
- Khóa luận tốt nghiệp: Hệ thống và ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán biên
Xem mẫu
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ
HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN
VŨ HOÀNG THANH TRANG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
- TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ
HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN
Tổ bộ môn: Toán lý
Người hướng dẫn: TS. Lương Lê Hải
Sinh viên thực hiện: Vũ Hoàng Thanh Trang
MSSV: 42.01.102.119
Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
- LỜI MỞ ĐẦU
Để khóa luận đạt kết quả như hôm nay, trong quá trình bắt đầu và hoàn thiện
em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ quý thầy cô, bạn bè và gia đình. Em xin
gửi lời cảm ơn chân thành đến:
Đầu tiên là thầy Lương Lê Hải - giảng viên định hướng và trực tiếp hướng dẫn
em trong suốt quá trình làm khóa luận. Thầy luôn đồng hành giúp đỡ, động viên,
chỉ dẫn tận tâm khi em gặp vấn đề khó hiểu. Ngoài ra, em còn nhận được từ thầy
sự tự tin, kinh nghiệm sống và niềm đam mê nghiên cứu khoa học.
Thứ hai, các thầy, cô trong Khoa Vật lý đã giảng dạy, truyền cho em những
kiến thức chuyên môn nền tảng, kĩ năng, phương pháp để em có thể vững bước
vào nghề trong tương lai.
Cùng với đó là gia đình và bạn bè thân thiết luôn bên cạnh và giúp đỡ em trong
thời gian qua.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn.
Tp.HCM, ngày 30 tháng 06 năm 2020
gdggjsdgbgvvvfbfbbfbfgjhjhsdghfdfgsygdysysfysghf Vũ Hoàng Thang Trang
- Mục lục
Mục lục 2
Mở đầu 3
1 Hệ thống một số hàm toán đặc biệt 5
1.1 Hàm Bessel và các hàm trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm Bessel . . . . . 6
1.1.2 Các hàm trụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Đa thức Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Đa thức trực giao cổ điển Legendre . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Đa thức Legendre liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm cầu . . . . . . . 19
1.3.2 Hàm riêng của quả cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Ứng dụng của các hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán
biên 25
2.1 Bài toán về sự làm nguội của hình trụ tròn dài vô hạn . . . . . . . . 25
2.2 Bài toán khảo sát sự rung động của bề mặt trống . . . . . . . . . . 29
2.3 Bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận và hướng phát triển 41
Tài liệu tham khảo 42
Phụ lục 44
Công bố khoa học 49
2
- Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của vật lý lý thuyết và vật lý toán việc
sử dụng các hàm toán đặc biệt đã trở nên rất cần thiết [1]. Tầm quan trọng của
các hàm đặc biệt này có liên quan đến hai yếu tố cơ bản. Thứ nhất, khi khảo sát
các mô hình toán học của các hiện tượng vật lý xảy ra trong tự nhiên, ban đầu
chúng ta cần khảo sát những bài toán đã được đơn giản hóa, tức là những bài toán
mà nghiệm của chúng có thể tìm được ở dạng giải tích (nghiệm chính xác). Thứ
hai, những bài toán đã được đơn giản hóa này có thể được sử dụng như là phép
thử (hàm cơ sở) hữu hiệu cho việc lựa chọn những thuật toán số học để giải quyết
những bài toán vật lý phức tạp hơn.
Trong quá trình khảo sát những bài toán vật lý lý thuyết hay vật lý toán chúng
ta thường sử dụng những hàm đặc biệt khác nhau. Nghiệm của nhiều bài toán vật
lý quan trọng có liên quan đến các vấn đề như nghiên cứu các quá trình truyền
nhiệt và tương tác bức xạ với các chất [2], sự lan truyền của các sóng điện từ và
sóng âm [3], khảo sát lý thuyết phản ứng hạt nhân và cấu trúc bên trong của các
sao, dẫn đến việc tìm hàm riêng của bài toán Sturm – Liouville chứa phương trình
Laplace hay Helmholts, mà có thể được tìm thấy ở dạng giải tích chỉ đối với một
số lượng nhỏ các miền khảo sát [4].
Trong các trường hợp các miền khảo sát có dạng đơn giản nhất, như là đoạn
thẳng, hình chữ nhật hay hình bình hành thì các nghiệm hàm này được biểu diễn
thông qua các hàm sơ cấp cơ bản. Đối với những miền có dạng hình tròn, hình trụ,
hình cầu hay những miền phức tạp hơn thì các hàm riêng được biểu diễn thông
qua các hàm đặc biệt [5]. Trong thực tiễn những hàm đặc biệt thường đóng vai trò
như là nghiệm của những phương trình vi phân khác nhau của các bài toán vật lý.
Từ đó, có thể thấy các hàm đặc biệt có ứng dụng vô cùng to lớn trong các ngành
khoa học tự nhiên, đặc biệt là vật lý lý thuyết và vật lý toán. Vì vậy việc khảo sát
và nghiên cứu một số hàm toán đặc biệt trong việc ứng dụng giải các bài toán vật
lý là một nhiệm vụ thiết yếu của người nghiên cứu khoa học tự nhiên.
Trong đề tài khóa luận này chúng tôi sẽ khảo sát những hàm toán đặc biệt
3
- thường được sử dụng, như hàm Bessel, tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức liên hợp
Legendre, là cơ sở để tạo ra hàm cầu và những ứng dụng của chúng trong việc giải
quyết các vấn đề trong vật lý toán, vật lý lý thuyết, vật lý lượng tử có chứa bài
toán biên đối với phương trình Helmholts.
2. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu các hàm toán đặc biệt, tìm hiểu định nghĩa và tính chất
của các chúng.
Khóa luận còn khảo sát ứng dụng của các hàm toán này trong việc giải các bài
toán biên.
3. Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 49 trang, 15 hình và 3 bảng được thể hiện qua hai chương:
Chương 1: Hệ thống một số hàm toán đặc biệt
Giới thiệu một số hàm toán đặc biệt thường được sử dụng trong vật lý lý thuyết
và vật lý toán như hàm Bessel hay tổng quát hơn là hàm trụ, đa thức Legendre cổ
điển, đa thức Legendre liên hợp và hàm cầu.
Chương 2: Ứng dụng của một số hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán
biên
Trình bày ứng dụng của các hàm toán đặc biệt thông qua việc giải một số bài
toán biên như bài toán truyền nhiệt trong một hình trụ dài vô hạn, bài toán khảo
sát sự rung động của bề mặt trống và bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu
dài.
Cuối cùng là phần kết luận và hướng phát triển của đề tài.
4
- Chương 1
Hệ thống một số hàm toán
đặc biệt
1.1. Hàm Bessel và các hàm trụ
Hàm Bessel xuất hiện trong nghiệm của các phương trình có chứa toán tử
Laplace 4 trong mặt phẳng tọa độ Oxy .
Xét phương trình
∂ 2u ∂ 2u
−4u(x, y) ≡ − − = λu + f (x, y).
∂x2 ∂y 2
Trong hệ tọa độ cực (r, ϕ) thì phương trình đã cho có dạng
1 ∂ 2 u˜
1 ∂ ∂ u˜
− r − u + f˜(r, ϕ),
= λ˜
r ∂r ∂r r2 ∂ϕ2
với u˜(r, ϕ) = u(r cos ϕ, r sin ϕ).
Nếu nghiệm hàm u˜(r) không phụ thuộc vào ϕ và f = 0 thì phương trình đã cho
trở thành
1
u00 (r) + u0 (r) + λu(r) = 0.
r
Phương trình này được xem như là trường hợp riêng của phương trình Bessel.
Ta có phương trình Bessel ở dạng tổng quát
x2 u00 + xu0 + (x2 − ν 2 )u = 0. (1.1)
5
- Mỗi nghiệm hàm khác 0 của phương trình Bessel được gọi là hàm trụ.
1.1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm Bessel
Xét các tính chất cơ bản của hàm Bessel và các hàm trụ. Vì phương trình (1.1)
có điểm đặc biệt x = 0, nên nghiệm hàm u(x) của nó có thể được biểu diễn ở dạng
chuỗi lũy thừa tổng quát
∞
X
σ
u(x) = x ak x k , (1.2)
k=0
với a0 6= 0, số mũ σ và các hệ số ak thỏa mãn định nghĩa. Chuỗi lũy thừa (1.2) có
khả vi đến cấp bất kì. Thay chuỗi (1.2) vào phương trình (1.1) và đồng nhất hệ số
hai vế của phương trình theo lũy thừa của x, ta thu được các biểu thức truy hồi
sau
a0 (σ 2 − ν 2 ) = 0
a1 [(σ + 1)2 − ν 2 ] = 0
a2 [(σ + 2)2 − ν 2 ] + a0 = 0 (1.3)
.......................
ak [(σ + k)2 − ν 2 ] + ak−2 = 0, k = 2, 3, ...
Từ phương trình đầu tiên của hệ (1.3), ta suy ra σ 2 − ν 2 = 0 hay σ = ±ν . Chú ý
k
rằng, khi ν 6= , k = 1, 2, ... thì ta có điều kiện sau
2
(σ + k)2 − ν 2 6= 0; k = 1, 2, 3, ... (1.4)
Từ phương trình đầu tiên của hệ (1.3), khi σ = ±ν , ta suy ra
a1 = 0 (1.5)
Theo điều kiện (1.4), từ phương trình cuối cùng của hệ (1.3) ta thu được công
thức truy hồi
ak−2
ak = − , k = 2, 3, ... (1.6)
(σ + k + ν)(σ + k − ν)
Từ biểu thức (1.5) và (1.6), ta thấy rằng tất cả các hệ số với chỉ số dưới lẻ đều
bằng 0, còn các hệ số với chỉ số dưới chẵn có thể được biểu diễn qua a0 . Xét trường
6
- hợp σ = ν , khi đó, trong biểu thức (1.6) cho k = 2p, ta thu được
a2p−2
a2p = − 2
. (1.7)
2 p(p + ν)
Áp dụng công thức (1.7) một cách tuần tự, ta thu được
(−1)p a0
a2p = . (1.8)
22p p!(ν + 1)(ν + 2)...(ν + p)
Như vậy, nghiệm của phương trình Bessel (1.1) được xác định với độ chính xác
theo thừa số tùy ý a0 . Ta có thể cho a0 ở dạng
1
a0 = , (1.9)
2ν Γ(ν + 1)
với Γ là hàm Gamma–Euler. Theo tính chất của hàm Gamma–Euler [? ]
Γ(ν + 1)(ν + 1)(ν + 2)...(ν + p) = Γ(p + 1 + ν)
Từ công thức (1.8) và (1.9), ta thu được
(−1)p
a2p = .
22p+ν Γ(ν + 1)Γ(p + 1 + ν)
Xét chuỗi
∞
(−1)k
X x 2k+ν
Jν (x) = . (1.10)
Γ(k + 1)Γ(k + ν + 1) 2
k=0
Dùng quy tắc d’Alembert, có thể chứng minh được chuỗi (1.10) hội tụ tuyệt đối
với mọi x.
Định nghĩa: Chuỗi (1.10) được gọi là hàm Bessel loại một bậc ν và được ký
hiệu là Jν (x).
Ta thấy rằng hàm Jν (x) là một nghiệm riêng của phương trình Bessel (1.1).
Xét trường hợp khi σ = −ν . Đặt Yν (x) = J−ν (x), thực hiện một cách tương tự,
ta cũng sẽ đi đến định nghĩa sau
Định nghĩa: Chuỗi (1.10), ứng với σ = −ν
∞
(−1)k
X x 2k−ν
Yν (x) = (1.11)
Γ(k + 1)Γ(k − ν + 1) 2
k=0
7
- Hình 1.1. Hàm Bessel loại một Jn (x) ứng với n = 0, 1, 2.
là hàm Bessel loại hai bậc ν .
Hình 1.2. Hàm Bessel loại hai Yn (x) ứng với n = 0, 1, 2.
Khi ν nhận giá trị không nguyên (ν 6= ±1, ±2..) thì hàm Yν (x) là nghiệm thứ hai
của phương trình Bessel. Nghiệm này sẽ độc lập tuyến tính với hàm Bessel loại
một Jν (x) nên các hàm Jν (x) và Yν (x) sẽ hình thành một hệ nghiệm cơ bản của
phương trình Bessel bậc ν .
8
- Nếu ν = n – số nguyên, thì
Yn (x) = (−1)n Jn (x). (1.12)
Khi đó các hàm Yn (x) và Jn (x) sẽ phụ thuộc tuyến tính và không hình thành hệ
nghiệm hàm cơ bản.
Ta chứng minh biểu thức (1.12). Vì Γ(−k) = ∞, k = 0, 1, ..., nên tổng chuỗi trong
công thức (1.11) bắt đầu từ giá trị k = n, ta có
∞
(−1)k
X x 2k−n
Yn (x) =
Γ(k − n + 1)Γ(k + 1) 2
k=n
∞
(−1)n+s
X x 2s+n
=
Γ(s + 1)Γ(s + n + 1) 2
s=0
= (−1)n Jn (x).
Các hàm trụ Bessel với các chỉ số dưới liên tiếp nhau (ν − 1, ν và ν + 1) cùng các
đạo hàm liên hệ với nhau bằng hệ thức truy hồi
2ν
Jν+1 (x) = −Jν−1 (x) + Jν (x), (1.13)
x
ν
Jν0 (x) = −Jν+1 (x) + Jν (x), (1.14)
x
ν
Jν (x) = Jν−1 (x) − Jν (x). (1.15)
x
Chú ý rằng, các hàm trụ Bessel với chỉ số dưới là số bán nguyên được biểu diễn
thông qua các hàm sơ cấp. Thật vậy, ta có
1 √
Γ = π
2
và
1 · 3 · · · (2k + 1) √
3
Γ +k = π,
2 2k+1
Từ phương trình (1.10), ta có
∞ x 2k+ 12
X (−1)k
J 1 (x) =
2 k!Γ( 32 + k) 2
k=0
r ∞ r
2 X (−1)k 2x+1 2
= x = sin x.
πx (2k + 1)! πx
k=0
9
- Tương tự, ta cũng có r
2
Y 1 (x) = cos x.
2 πx
Chú ý rằng, từ công thức (1.13) và các biểu thức của các hàm số J 12 (x) và Y 12 (x) ta
có công thức tổng quát sau
r
2 1 πn 1 πn
h i
Jn+ 1 (x) = Pn sin x − + Qn cos x − ,
2 πx x 2 x 2
với Pn (v) và Qn (v) là những đa thức có bậc không vượt quá n phụ thuộc vào v ,
ngoài ra Pn (0) = 1, Qn (0) = 0.
Khi x → ∞ thì ta có công thức tiệm cận của hàm Bessel
r
2 πν π
h 1 i
Jν (x) = cos x − − +O . (1.16)
πx 2 4 x
Điểm không của hàm Bessel: Là những điểm mà tại đó hàm Bessel nhận giá
trị bằng 0 [7]. Ở đây ta chỉ xét điểm không của hàm Bessel loại một có chỉ số dưới
là số nguyên. Cụ thể, xét phương trình Jn (x)=0. Phương trình này luôn có một bộ
nghiệm dương và các nghiệm này được phân bố theo thứ tự tăng dần, tức là
(n) (n) (n)
µ1 < µ2 < ... < µk < ...
Thực hiện tính toán các giá trị của 6 điểm không đầu tiên của hàm J0 (x) với độ
chính xác đến 4 chữ số thập phân, ta được:
(0) (0) (0)
µ1 = 2.4048, µ2 = 5.5201, µ3 = 8.6537,
(0) (0) (0)
µ4 = 11.7015, µ5 = 14.9309, µ6 = 18.0711.
Chú ý rằng, ta có thể tìm không điểm của hàm Bessel bằng cách sử dụng công
thức tiệm cận (1.16), cụ thể cho Jν (x) = 0, ta suy ra
(ν) 3π πν
µk = + + kπ, k ∈ Z.
4 2
1.1.2. Các hàm trụ khác
Cùng với hàm Bessel Jν (x) thì trong các bài toán vật lý thường sử dụng các
hàm trụ khác [8]. Ta xét một số hàm trụ sau
Hàm Hankel loại một
(1) i
Hν (x) = [Jν (x)e−iπν − Yν (x)], ν 6= n, n ∈ Z,
sin πν
10
-
(1) i ∂Jν (x) ∂Yν (x)
Hn (x) = Jn (x) + − (−1)n , ν = n;
π ∂ν ∂ν
Hàm Hankel loại hai
(2) 1
Hν (x) = [Jν (x)eiπν − Yν (x)], ν 6= n, n ∈ Z,
i sin πν
(2) i ∂Jν (x) ∂Yν (x)
Hn (x) = Jn (x) − − (−1)n , ν = n;
π ∂ν ∂ν
Hàm Neumann
1
Nν (x) = [Jν (x) cos πν − Yν (x)], ν 6= n, n ∈ Z,
sin πν
1 ∂Jν (x) ∂Yν (x)
Nn (x) = − (−1)n , ν = n;
π ∂ν ∂ν
Hàm Infeld và hàm Macdonald
π πi π
(1)
Iν (x) = exp − νi Jν (ix), Kν (x) = exp νi Hν (ix).
2 2 2
Hàm Hankel loại một và loại hai được biểu diễn qua hàm Bessel và Neumann
như sau
(1) (2)
Hν (x) = Jν (x) + iNν (x), Hν (x) = Jν (x) − iNν (x). (1.17)
Sử dụng công thức tiệm cận của các hàm Bessel Jν (x), ta có các biểu thức tiệm
cận của các hàm trụ như sau
r
2 π π
h i
(1) − 32
Hν (x) = exp i x − ν − +O x ,
πx 2 4
r
2 π π
h i
(2) − 32
Hν (x) = exp −i x − ν − +O x ,
πx 2 4
r
2 π π
Nν (x) = sin x − ν −
3
+ O x− 2 , (1.18)
πx 2 4
ex
1 + O(x−1 ) ,
Iν (x) = √
2πx
r
π −x
1 + O(x−1 ) .
Kν (x) = e
2x
Một bộ đôi hàm số bất kỳ từ bộ các hàm số Jν (x), Nν (x), Hν(1) (x), Hν(2) (x) tạo
thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình Bessel với mọi giá trị của ν . Từ đó ta
11
- có công thức nghiệm tổng quát của phương trình Bessel là
u(x) = C1 Jν (x) + C2 Nν (x)
hoặc
(1) (2)
u(x) = C1 Hν (x) + C2 Hν (x).
Nếu trong phương trình Bessel, ta thay x bởi ix, thì các hàm Infeld và Macdonald
sẽ tạo thành hệ nghiệm cơ bản của phương trình, từ đó ta có nghiệm tổng quát
u(x) = C1 Iν (x) + C2 Kν (x).
Khi x → 0, ta có biểu thức mô tả trạng thái của các hàm trụ
1
2 ν
Jν (x) ≈ , ν ≥ 0;
Γ(ν + 1) x
2 x
ln , ν = 0,
Nν (x) ≈ π Γ(ν)
2 −ν
x
− , ν > 0;
π 2
2 x
±i ln , ν = 0,
(1,2) π 2 −ν
Hν (x) ≈
±i Γ(ν) x , ν > 0;
π 2
ln 2 , ν = 0,
Kν (x) ≈ 1 x x −ν
Γ(ν) , ν > 0.
2 2
1.2. Đa thức Legendre
1.2.1. Đa thức trực giao cổ điển Legendre
Trong các bài toán vật lý toán và vật lý lý thuyết, đa thức Legendre là một hệ
đa thức hoàn chỉnh và trực giao. Đa thức Legendre có thể được định nghĩa theo
nhiều cách khác nhau và mỗi cách định nghĩa làm nổi bật các tính chất cũng như
những ứng dụng khác nhau trong việc giải các bài toán biên.
Ta sẽ tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của đa thức Legendre thông qua
12
- phương trình vi phân của bài toán Sturm–Liouville
d dy
(1 − x2 ) λy = 0, −1 ≤ x ≤ 1, (1.19)
dx dx
|y(−1)| < ∞, |y(1)| < ∞. (1.20)
Phương trình (1.19) được gọi là phương trình vi phân Legendre. Ta sẽ tìm nghiệm
của phương trình (1.19) trong lân cận của điểm x = 0 ở dạng chuỗi lũy thừa
∞
X
y(x) = ak x k . (1.21)
k=0
Thay biểu thức (1.21) vào phương trình (1.19) và thực hiện một số phép biến
đổi cơ bản, ta thu được
∞
X
[(k + 2)(k + 1)ak+2 + (λ − k 2 − k)ak ]xk = 0,
k=0
suy ra
[(k + 2)(k + 1)ak+2 + (λ − k 2 − k)ak ]xk = 0, k = 0, ∞.
Từ đó, ta có công thức truy hồi
λ − k2 − k
ak+2 = − ak . (1.22)
(k + 2)(k + 1)
Công thức này cho phép ta biểu diễn các hệ số chẵn qua hệ số a0 và các hệ số
lẻ qua a1 .
Khi a0 6= 0, a1 = 0, ta có nghiệm riêng chỉ chứa lũy thừa bậc chẵn của x
∞
X
y1 (x) = a2p x2p . (1.23)
p=0
Khi a0 = 0, a1 6= 0 – nghiệm riêng chỉ chứa lũy thừa bậc lẻ của x
∞
X
y2 (x) = a2p+1 x2p+1 . (1.24)
p=0
Ta thấy rằng, các chuỗi y1 (x) và y2 (x) hội tụ trên đoạn [−1; 1]. Nếu λ = n(n + 1),
thì |y(−1)| < ∞, |y(1)| < ∞.
13
- Thật vậy, từ công thức truy hồi (1.22), khi λ = n(n + 1), ta có
an+2 = an+4 = ... = an+2p = ... = 0,
nghĩa là một trong các chuỗi (1.23) hoặc (1.24) sẽ triệt tiêu và sẽ tạo thành đa
thức bậc n.
y(x) = Pn (x), n = 0, ∞.
Đa thức trên là hàm riêng của bài toán (1.19), (1.20). Các đa thức này được gọi
là đa thức Legendre.
Xét một số tính chất của đa thức Legendre [11]
1. Các đa thức Legendre trực giao trên đoạn [−1; 1] với trọng số p(x) = 1, tức là
ˆ 1
Pn (x)Pm (x)dx = 0, n 6= m.
−1
Thật vậy, theo phương trình Legendre, ta có các đồng nhất thức sau:
d dPn
(1 − x2 ) + n(n + 1)Pn (x) ≡ 0,
dx dx
d dPm
(1 − x2 ) + m(m + 1)Pm (x) ≡ 0.
dx dx
Nhân phương trình thứ nhất với Pm (x), và phương trình thứ hai với Pn (x), trừ vế
theo vế và sau đó lấy tích phân trên đoạn [−1; 1], ta được
ˆ 1
d dPn d dPm
Pm (1 − x2 ) − Pn (1 − x2 ) dx
−1 dx dx dx dx
ˆ 1
= [m(m + 1) − n(n + 1)] Pn (x)Pm (x)dx
−1
hay ˆ 1
d 2 dPn dPm
(1 − x ) Pm − Pn dx
−1 dx dx dx
ˆ 1
= (m − n)(m + n + 1) Pn (x)Pm (x)dx.
−1
Từ đó ˆ 1
Pn (x)Pm (x)dx
−1
14
-
- 1
a dPn dPm
-
= (1 − x2 ) Pm − Pn
- = 0,
(m − n)(m + m + 1) dx dx
nguon tai.lieu . vn
