Xem mẫu
- ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC GIÁO DỤC
BÀI TẬP NHÓM MÔN LÍ LUẬN DẠY HỌC
Đề tài: Ứng dụng phương pháp tọa độ giải một số bài toán hình học
không gian về góc và khoảng cách
Giáo viên hướng dẫn: T.S Nguyễn Chí Thành
Môn học: Hình học cơ sở
Người thực hiện: Phạm Thị Hải Yến
Sinh viên lớp: K54 A1S
Email: yenpth@hus.edu.vn
Hà nội, ngày 23 tháng 5 năm 2012
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
LỜI NÓI ĐẦU
Hình học không gian là một bộ phận quan trọng của chương trình toán trung học
phổ thông hiện nay. Các bài toán hình học không gian khá phức tạp và đòi hỏi người
học phải có tư duy tốt. Bên cạnh đó, một số bài toán về tính số đo góc, góc nhị diện
hay khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian nếu giải theo phương pháp
thông thường khá phức tạp và tốn nhiều thời gian nhưng nếu giải theo phương pháp
đặt hệ trục tọa độ thì sẽ đơn giản hơn nhiều.
Bản thân tôi nhận thấy hiện nay rất nhiều công cụ hỗ trợ cho việc tính toán với
tốc độ rất nhanh và chính xác vì thế việc giải quyết bài toán hình học thông qua đại
số giúp cho con người có thể tiết kiệm được khá nhiều thời gian, và có ý nghĩa về
mặt thực tế. Tất nhiên phương pháp này chỉ tối ưu với một lớp bài toán nào đó chứ
không phải lúc nào nó cũng tỏ ra hiệu quả.
Vì vậy khi nghiên cứu đề tài này, tôi chủ yếu tập trung vào các vấn đề sau:
• Dấu hiệu nhận biết và các bước giải một bài toán hình học không gian bằng
phương pháp tọa độ.
• Đưa ra một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình đặc biệt.
• Nêu một số bài tập hình học giải bằng phương pháp tọa độ trong không gian về
góc và khoảng cách.
• Trình bày một số bài tập hình học được giải theo hai phương pháp, phương pháp
tọa độ và phương pháp tổng hợp. Điều này giúp cho chúng ta có thể trở lên linh hoạt
trong việc lựa chọn phương pháp giải sao cho phù hợp với từng bài toán.
Nói chung phương pháp tọa độ trong không gian là một phương pháp không quá
khó để sử dụng tuy nhiên nó vẫn còn gây lúng túng với khá nhiều người. Nên trong
đề tài này tôi hi vọng sẽ cung cấp thêm cho mọi người một số kiến thức để giải các
bài toán hình học không gian về góc và khoảng cách bằng phương pháp tọa độ.
2
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
M C L C
I. Tóm tắt lí thuyết.......................................................................................................... 4
1. Các công thức liên quan đến tọa độ ...................................................................... 4
2. Các công thức về góc ............................................................................................ 4
3. Các công thức về khoảng cách .............................................................................. 5
II. Dấu hiệu nhận biết và các bước giải một bài toán hình học không gian bằng
phương pháp tọa độ........................................................................................................... 5
1. Những bài toán hình học không gian ở phần giả thiết có những dạng sau thì nên
dùng phương pháp tọa độ để giải ................................................................................. 5
2. Các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ........ 6
III. Trình bày một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình thường gặp ................. 6
IV. Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ về góc và
khoảng cách. ..................................................................................................................... 15
1. Một số ví dụ về giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ.
15
2. Một số bài toán hình học không gian được giải theo hai cách. ........................... 23
V. Ưu và nhược điểm của phương pháp giải các bài toán hình học bằng phương
pháp tọa độ trong không gian về góc và khoảng cách ................................................. 31
1. Ưu điểm của phương pháp giải các bài toán hình học không gian bằng phương
pháp tọa độ về góc và khoảng cách............................................................................ 31
2. Nhược điểm của phương pháp giải các bài toán hình học không gian bằng
phương pháp tọa độ về góc và khoảng cách .............................................................. 31
3
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN
I. Tóm tắt lí thuyết
1. Các công thức liên quan đến tọa độ
. ;. . ;. .
Phép toán tuyến tính: k. l
Tích vô hướng:
r r ⎛y yu ⎞
zu zu xu xu
Tích có hướng: u∧v =⎜ u ; ; ⎟
⎝ yv zv zv xv xv yv ⎠
2. Các công thức về góc
Góc giữa hai véc tơ:
|. |
cos ,
| |. | |
Góc giữa hai đường thẳng:
|. |
cos ∆ ; ∆
| |. | |
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
| ∆. |
sin ∆,
| ∆ || |
Góc giữa hai mặt phẳng:
.
cos ;
| |.
4
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
3. Các công thức về khoảng cách
uuuuuu uu
rr
MΔ M ∧ uΔ
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: d ( M ; Δ) = uu
r
uΔ
uuuuuu uu
rr
( )
M α M ∧ nα
Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: d ( M ; α ) = uu
r
un
uuuuuur ur uu r
( )
M 1 M 2 . u1 ∧ u 2
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d ( Δ 1 ; Δ 2 ) = ur uu r
u1 ∧ u 2
II. Dấu hiệu nhận biết và các bước giải một bài toán hình học không gian
bằng phương pháp tọa độ
1. Những bài toán hình học không gian ở phần giả thiết có những dạng sau thì
nên dùng phương pháp tọa độ để giải
Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vuông .
Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy và đáy là các tam giác
vuông , tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật…
Hình lập phương, hình chữ nhật
Hình đã cho có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trong mặt
phẳng đó có những đa giác đặc biệt: tam giác vuông , tam giác đều, hình thoi.
Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo được tam diện
vuông chẳng hạn: hai đường thẳng chéo nhau mà vuông góc, hoặc hay mặt phẳng
vuông góc.
Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen
thuộc như đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song ,vuông góc của
các đoạn thẳng hay đường thẳng tham gia trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa
độ.
5
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
2. Các bước giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp.
Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán.
Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ.
Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học
thông thường.
Ví dụ về một vài cách chuyển từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa
độ:
3 điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng tương đương với tọa độ một điểm
.
thỏa mãn phương trình đường thẳng đi qua hai điểm kia hoặc
uuu uuu uuur
rr
⎡ ⎤
4 điểm A, B, C, D phân biệt đồng phẳng tương đương ⎣ AB, AC ⎦ AD = 0
hoặc tọa độ của một điểm thỏa mãn phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
kia.
3 đường thẳng (có phương trình dạng chính tắc) đồng quy tương đương
hệ phương trình bao gồm 3 phương trình của 3 đường thẳng trên có nghiệm
duy nhất hoặc giao điểm của 3 đường thẳng này nằm trên đường thẳng kia.
III. Trình bày một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình thường gặp
Để giải được một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa
độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ sao cho thích hợp. Dưới đây là một số lưu ý
khi đặt hệ trục tọa độ:
- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán, sau đó tìm một quan hệ vuông góc ở mặt
đáy (tức là xác định hai đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông góc với nhau).
Nơi giao nhau của hai đường vuông góc đó chính là nơi ta đặt gốc tọa và đồng
thời hai trục kia cũng là hai trục tung và trục hoành.
- Từ gốc tọa độ ta dựng vuông góc với mặt đáy thì ta được trục Oz nằm
trên đường vuông góc đó là ta đã hoàn thành xong việc thiết lập hệ trục tọa độ.
6
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
- Nhìn vào hình vẽ và giả thiết của bài toán ta tìm tọa độ các điểm liên quan
đến yêu cầu bài toán, ta cần chú ý đến các quan hệ cùng phương, đồng
phẳng, vuông góc để tìm tọa độ các điểm đó.
Sau đây là một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình đặc biệt mà
ta thường sử dụng
Hình lập phương, hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’
(có số đo cạnh là các a, b, h)
Chọn hệ trục tọa độ như
hình vẽ:
Khi đó ta có:
0 ; 0; 0 ; 0; 0
; ;0 0; ; 0
’ 0; 0; ’ ; 0;
’;; ;;
’
Hình 1
7
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi ABCD
(AB =a; )
Chọn hệ trục tọa độ như
hình vẽ khi đó ta có:
α α
⎛ ⎞
A ( 0; − a cos ; 0), B ⎜ a sin ; 0; 0
2 2
⎝ ⎠
α⎞⎛ α
⎛ ⎞
C ⎜ 0; acos ; 0 ⎟ , D ⎜ −asin ; 0; 0 ⎟
⎝ 2⎠⎝ ⎠
2
α α
⎛ ⎞
A '(0; − a cos ; h ), B ' ⎜ a sin ; 0; h ⎟
⎝ ⎠
2 2
α α
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
C ' ⎜ 0; ac os ; h ⎟ , D ' ⎜ − asin ; 0; h ⎟ Hình 2
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2 2
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD(cạnh đáy bằng a, chiều cao h)
Chọn hệ trục tọa độ như
hình vẽ khi đó ta có:
⎛ 2 ⎞⎛ ⎞
2
A⎜ 0; −a ;0⎟B⎜ a ;0;0⎟
⎜ 2 ⎟⎜ ⎟
2
⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ 2⎞⎛ ⎞
2
C⎜ 0; a ;0⎟ D⎜ −a ;0;0⎟
⎜ 2 ⎟⎜ ⎟
2
⎝ ⎠⎝ ⎠
S ( 0;0;h )
Hình 3
8
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hình chóp tam giác đều S.ABC(cạnh đáy bằng a, chiều cao h)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
khi đó ta có:
⎛ a⎞⎛ 3 ⎞⎛a⎞
A⎜0;− ;0⎟, B⎜a ;0;0⎟,C⎜0; ;0⎟
⎜ ⎟
⎝ 2⎠⎝2 ⎠⎝2⎠
⎛a 3 ⎞ ⎛a 3 ⎞
H⎜ ;0;0⎟,S⎜ ;0; h⎟
⎜6 ⎟ ⎜6 ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
Hình 4
Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA (ABCD);
(AB = a; AD = b)
Chọn hệ trục tọa độ như hình
vẽ khi đó ta có:
A ( 0; 0; 0 ) B ( a ; 0; 0 ) C ( a ; b ; 0 )
D ( 0; b ; 0 ) S ( 0; 0; h )
Hình 5
9
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA (ABCD) chóp S.ABC có
ABCD là hình thoi và SA (ABCD)
(cạnh đáy bằng a; )
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ khi
đó ta có:
α α⎞
⎛
A ( − a cos ; 0; 0) B ⎜ 0;a sin ; 0 ⎟
⎝ 2⎠
2
α α⎞
⎛ ⎞⎛
C ⎜ ac os ; 0; 0 ⎟ D ⎜ 0; − asin ; 0 ⎟
2 2⎠
⎝ ⎠⎝
S ( 0; 0; h )
Hình 6
Hình chóp S.ABC có SA (ABC) và ∆ ABC vuông tại A
(AB = a; AC = b)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó ta có:
(0 ; 0 ; 0 ) B (a ; 0 ; 0 )
A
(0 ; b ; 0 ) S (0 ; 0 ; h )
C
Hình 7
10
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hình chóp S.ABC có SA (ABC); và ∆ABC vuông tại B
(cạnh AB = a; cạnh BC = b)
Chọn trục tọa độ như hình vẽ:
Ta có:
(0 ; a ; 0 ) B (0 ; 0 ; 0 )
A
(b ; 0 ; 0 ) S ( 0 ; a ; h )
C
Hình 8
Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), ∆ SAB cân tại S
và ∆ ABC vuông tại C (có CA = a; CB = b; chiều cao h)
Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Chọn điểm C làm gốc tọa độ
A ( a; 0; 0 ) B ( 0; b; 0 )
⎛a b ⎞
C ( 0; 0; 0 ) S ⎜ ; ; h ⎟
⎝2 2 ⎠
Hình 9
11
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Với hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC), ∆SAB cân tại S, ∆ABC vuông tại
A(cạnh AB = a; AC = b; chiều cao h)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó ta có:
A (0; 0; 0 ) B (a ; 0; 0 )
⎛ ⎞
a
C (0; b ; 0 ) S ⎜ 0; ; h ⎟
⎝ 2 ⎠
Hình 10
Hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC) và ∆ABC vuông cân tại C
∆SAB cân tại S (AC = BC = a)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
Khi đó ta có:
⎛ ⎞⎛ ⎞
a a
; 0 ⎟ B ⎜ 0; −
A ⎜ 0; ;0 ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
2 2
⎛a ⎞
; 0 ; 0 ⎟ S (0 ; 0 ; h )
C⎜
⎝2 ⎠
Hình 11
12
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’D’
(đáy là tam giác vuông tại A có cạnh AB = a; AC = b cạnh AA’= h)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Ta có:
0; 0; 0 , ; 0; 0 , 0; ; 0
’ 0; 0; , ’ ; 0; , ’ 0; ;
Hình 12
Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ (đáy ABC là tam giác đều; và AA’=h)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó ta có:
a ⎞ ⎛a 3 ⎞⎛a⎞
⎛
A ⎜ 0; − ; 0 ⎟ , B ⎜ ; 0; 0 ⎟ , C ⎜ 0; ; 0 ⎟
2 ⎠ ⎜2 ⎟⎝2⎠
⎝ ⎝ ⎠
⎛a 3 ⎞
⎛ a⎞ ⎛a⎞
A ' ⎜ 0; − ; h ⎟ , B ' ⎜ ; 0; h ⎟ , C ' ⎜ 0; ; h ⎟
⎜2 ⎟
2⎠ ⎝2⎠
⎝ ⎝ ⎠
Hình 13
13
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’
(đáy ABCD là hình thang cân); AA’ = h, AB = a, AD = b;
Chọn hệ trục tọa độ như hình
vẽ, ta có:
A( 0;0;0) , B( a.sinα;a.cosα;0)
sin ; cos ; 0
0; ; 0
A ' ( 0;0; h) , B ' ( a.sinα;a.cosα; h)
sin ; cos ;
′
′ 0; ;
Hình 14
Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ (đáy ABC là tam giác cân tại đỉnh A)
AA’= h; AB = AC = a;
Chọn hệ trục tọa độ như hình
vẽ. Khi đó ta có:
α α⎞
⎛
A ( 0;0;0 ) , B ⎜ a.sin ; a.cos ;0 ⎟
⎝ 2 2⎠
α α⎞
⎛
C ⎜ − a.sin ; a.cos ;0 ⎟ , S ( 0;0; h )
⎝ 2 2⎠
Hình 15
14
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV. Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ về góc
và khoảng cách.
1. Một số ví dụ về giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa
độ.
Bài toán 1 (Sách giải bài tập hình học 11_NXB Hà Nội)
Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với đáy và ∆ABC vuông tại C. Độ dài
của các cạnh là SA = 4; AC = 3; BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H đối
xứng với C qua M. Tính cosin góc giữa (HSB) và (SBC).
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
0; 0; 0 ; 1; 3; 0 ; 0; 3; 0 ;
0; 0; 4 ; 1; 0 ; 0
Mặt phẳng (P) qua H vuông góc với SB
tại I và cắt đường thẳng SC tại K, dễ
thấy:
uuu uur
r
[ H , SB, C ] = ( IH , IK ) (1)
uur uuur
SB = ( −1; −3; 4), SC = ( 0; −3; 4 ) Hình 16
⎧x = 1− t
⎪
Vậy phương trình tham số của SB là: ⎨ y = 3 − 3t
⎪ z = 4t
⎩
⎧x = 0
⎪
Và phương trình tham số của SC là: ⎨ y = 3 − 3t và( P) : x + 3 y − 4 z − 1 = 0
⎪ z = 4t
⎩
⎛ 17 51 18 ⎞ ⎛ 51 32 ⎞
⇒ I ⎜ ; ; ⎟ , K ⎜ 0; ; ⎟
⎝ 26 26 13 ⎠ ⎝ 25 25 ⎠
15
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
uuu
r 51 18 uur
Vậy ta có : IH = ⎛ ; − ; ⎞ ; IK = ⎛ − ;
34 ⎞
9 17 51
;−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ 26 26 13 ⎠ ⎝ 26 650 325 ⎠
9 ⎛ 17 ⎞ ⎛ 51 ⎞⎛ 51 ⎞ 18 ⎛ 34 ⎞
⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟⎜ ⎟+ ⎜−
uuu uur
r ⎟
IH .IK 26 ⎝ 26 ⎠ ⎝ 26 ⎠⎝ 650 ⎠ 13 ⎝ 325 ⎠
Nên cosθ = =
IH .IK 2 2 2 2 2 2
⎛ 9 ⎞ ⎛ 51 ⎞ ⎛ 18 ⎞ ⎛ 17 ⎞ ⎛ 51 ⎞ ⎛ 34 ⎞
⎜ ⎟ +⎜− ⎟ +⎜ ⎟ . ⎜− ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟
⎝ 26 ⎠ ⎝ 26 ⎠ ⎝ 13 ⎠ ⎝ 26 ⎠ ⎝ 650 ⎠ ⎝ 325 ⎠
Vậy cos = 0.14552.
Bài toán 2 (SGK hình học lớp 12_ NXB Giáo Dục)
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a. Chứng minh rằng đường chéo A’C (AB’D’)
b. Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo A’C và mặt
phẳng(AB’D’) là trọng tâm của tam giác AB’D’
c. Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (DA’C) và (C’BD)
d. Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA’C) và mặt phẳng
(ABB’A’)
Bài giải
Chọn hệ trục toạ Đề các vuông góc
Oxyz như hình vẽ:
0; 0; 0 ’ 0; 0;
; 0; 0 ; ’ ; 0; ;
; ;0 ’ ; ;0 ;
0; ; 0 ; ’ 0; ;
a. Chứng minh đường chéo
A’C (AB’D').
Ta có:
′,′ ; ;
= = Hình 17
16
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
uuuur
⎧ A ' C = ( a; a; −a ) uuuuruuuu r
⎪ uuuu ⎧
⎪ A ' C. AB ' = a + 0 − a = 0
2 2
⎪r
⎨ AB ' = ( a;0; a ) vì ⎨ uuuu uuuu
rr
⎪ A ' C. AD ' = 0 + a − a = 0
2 2
⎪ uuuur ⎩
⎪ AD ' = ( 0; a; a )
⎩
uuuu uuuu
r r
⎧ AC ' ⊥ AB '
⎪
⇔ ⎨ uuuu uuuu nênAC ' ⊥ ( AB ' D ' )
r r
⎪ AC ' ⊥ AD '
⎩
b. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác AB’D’
⎧x = t
⎪
Phương trình tham số của đường thẳng A’C là ⎨ y = t (t ∈ R )
⎪z = a − t
⎩
0
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (AB’D’) là:
Gọ i ’ ’ ’ . Tọa độ giao điểm G là nghiệm của hệ phương trình:
⎧ a
⎪x = 3
⎧x = t
⎪
⎪y = t
⎪ ⎪ ⎛a a a⎞
a
⇒ ⎨ y = hayG ⎜ ; ; ⎟ (1)
⎨
⎪z = a − t 3 ⎝3 3 3⎠
⎪
⎪x + y − z = 0 ⎪ 2a
⎩
⎪z = 3
⎩
Trong đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (AB’D’) là
′; ; ;
′ . Mặt khác:
x +x +x
⎧ a
x = A B' D' =
⎪ 3 3
⎪
y A + yB ' + yD a
⎪
= ( 2)
⎨y =
3 3
⎪
z A + z B ' + z D 2a
⎪
⎪z = =
3 3
⎩
So sánh kết quả (1) và (2) ta thấy giao điểm G của đường chéo A’C và mặt
phẳng (AB’D’) chính là trọng tâm của tam giác AB’D’
c. Tính ’ ’, ’
0.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (C’BD):
Trong đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (C’BD) là:
17
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Ta có: ( AB ' D ') : x + y − z = 0; ( C ' BD) : x + y − z − a = 0
⇒ ( AB ' D ') / / ( C ' BD )
a
⇒ d ( ( AB ' D ') , ( C ' BD ) ) = d ( B, ( AB ' D ') ) =
3
d. Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (DA’C) và (ABB’A’)
Ta có: ’’ véc tơ pháp tuyến của (ABB’A’)là =(0;1;0)
uu uuuu uuur
r r
Véc tơ pháp tuyến của (DA’C): n3 = ⎡ DA '; DC ⎤ = ( 0; a ; −a ) = a ( 0;1; −1)
2 2 2
⎣ ⎦
Véc tơ pháp tuyến của (ABB’A’) là =(0;1;0)
Véc tơ pháp tuyến của (DA’C): =(0;1;-1)
π
1
Vậy cos ( ( DA ' C ) ; ( ABB ' A ') ) = ⇒ ( ( DA ' C ) ; ( ABB ' A ') ) =
4
2
Bài tập 3 ( Sách phương pháp giải toán hình học giải tích trong không
gian_NXB Hà Nội)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông cân tại đỉnh A,
BC = 2a.
Biết góc giữa hai mặt phẳng (AB’C) và (BB’C) có số đo bằng .
2a.cos α
Chứng minh rằng: AA ' =
cos(π − 2α )
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, Vì BC = 2a và tam giác ABC vuông
0,0,0 , B(a√2, 0,0), C 0, √2, 0
cân tại A nên ta có:
Giả sử AA’=h, suy ra ′ 0,0, , B’(a√2, 0, ),C’ 0, √2,
18
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
,
Gọ i theo thứ tự là véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (AB’C) và
(BB’C), ta có:
ur uuur
( )
⎧n1 ⊥ AC 0, a 2,0 ur
( )
⎪
⇒ n1 h,0, −a 2
⎨ur uuu r
( )
⎪n1 ⊥ AB ' a 2,0, h
⎩
r uuu
r
( )
⎧n2 ⊥ BC −a 2, a 2,0 uu
r
⎪
⇒ n2 (1,1,0)
⎨uu uuur
r
⎪n2 ⊥ BB ' ( 0,0, h )
⎩
Ta có:
uruur
n1 n2 h
cosα = ur uu =
r
h2 + 2a 2 . 2
n1 n2
4a 2 .cos2α 2acosα
⇔ h2 = ⇔h=
cos (π − 2α )
1 − 2cos α2
Hình 18
Bài toán 4 (Phương pháp giải toán hình học giải tích trong không gian_NXB Hà
Nội)
Cho hình tứ diện OABC có các tam giác OAB, OBC, OCA đều là các tam giác
vuông tại đỉnh O. Gọi α, β, γ lần lượt là các góc hợp bởi (OBC),(OCA),(OAB) với
(ABC). Chứng minh rằng cos α+ cos β+ cos γ = 1
2 2 2
Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, khi đó ta có:
0; 0; 0 ; ; 0; 0 0; ; 0 , 0; 0;
; ;0 , ; 0;
Vậy
r uuu uuu
rr
n = ⎡ AB, AC ⎤ = ( bc; ac; ab ) là pháp tuyến của (ABC)
⎣ ⎦
19
- PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
r
i = (1, 0, 0 ) vì Ox (OBC) nên
r
i = (1,0,0) chính là véc tơ pháp tuyến của
mặt phẳng (OBC)
r
j = ( 0,1, 0 ) là véc tơ pháp tuyến của mặt
phẳng(OAC).
r
k = ( 0, 0,1) là véc tơ pháp tuyến của (OAB)
Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt
phẳng:
Hình 19
cosα = cos ( ( OBC ) ; ( ABC ) )
cos β = cos ( ( OBC ) ; ( ABC ) )
cosγ = cos ( ( OBC ) ; ( ABC ) )
Khi đó ta có:
b.c
cosα =
b2c2 + c2a2 + a2b2
ca
cosβ =
b2c2 + c2a2 + a2b2
a.b
cosγ =
b2c2 +c2a2 + a2b2
b2c2 + c2a2 + a2b2
Do đó: cos α + cos β + cos γ = 2 2 2 2 2 2 = 1
2 2 2
b c +c a +a b
20
nguon tai.lieu . vn
