- Trang Chủ
- Cơ khí - Chế tạo máy
- Giáo trình Sức bền vật liệu (Nghề: Cắt gọt kim loại - Cao đẳng): Phần 2 - Trường CĐ nghề Việt Nam - Hàn Quốc thành phố Hà Nội
Xem mẫu
- Chương 5
Xoắn thuần túy
Giới thiệu
Biến dạng xoắn thuần túy thanh tròn gặp rất nhiều trong thực tế đặc biệt là
trong các chi tiết máy dạng trục.
Ví dụ: Mũi khoan khi đang khoan, trục vít, trục bánh lái, chìa vặn....
Mục tiêu
- Trình bày được khái niệm về xoắn thuần túy, biến dạng trong xoắn.
- Vẽ được biểu đồ momen xoắn nội lực, phân tích và tính được ứng suất
trên mặt cắt.
- Tính được biến dạng trong thanh chịu xoắn.
- Tính thành thạo ba bài toán cơ bản của sức bền theo điều kiện bền và
điều kiện cứng.
- Có ý thức trách nhiệm, chủ động học tập.
Nội dung
5.1 Khái niệm về xoắn thuần túy
5.1.1 Định nghĩa
Thanh chịu xoắn thuần túy là thanh mà ngoại lực tác dụng là các ngẫu lực
hay các mô men có chiều quay ngược nhau và có mặt phẳng tác dụng trùng với
các mặt cắt ở trong thanh.
Ví dụ: Mũi khoan, trục động cơ, trục hộp giảm tốc…
5.1.2 Nội lực và biểu đồ mô men xoắn nội lực
5.1.2.1 Nội lực
Xét thanh thẳng có tiết diện tròn
chịu tác dụng của các mô men như hình
vẽ (Hình 5.1) m m
Dùng phương pháp mặt cắt để xác
định nội lực.
Ta xác định được mô men xoắn nội
m MZ
lực Mz có:
- Phương: Trùng với mặt cắt
ngang của thanh
Hình 5.1
57
- -Trị số: Bằng tổng đại số của các mômen ngoại lực tác dụng (Mz= m)
*Quy ước dấu
Mômen xoắn nội lực: Ký hiệu: Mz
+ Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt thấy mô men Mz quay cùng chiều kim
đồng hồ thì Mz mang dấu dương.
+ Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt thấy mô men Mz quay ngược chiều kim
đồng hồ thì Mz mang dấu âm.
- Đơn vị: N.m, KN.m, …
5.1.2.2 Biểu đồ nội lực
Các bước vẽ biểu đồ nội lực
- Bước 1: Xác định phản lực liên kết (nếu cần)
- Bước 2: Chia đoạn cho thanh, dựa trên cơ sở vị trí tác dụng của mômen
tương ứng với một điểm, hai điểm liên tiếp là một đoạn.
- Bước 3: Xác định nội lực trong từng đoạn
+ Dùng phương pháp mặt cắt, cắt thanh làm hai phần, giữ lại một
phần để khảo sát
+ Đặt nội lực vào mặt cắt (giả định nội lực Mz dương )
+ Viết phương trình cân bằng và giải các phương trình giá trị của
nội lực
- Bước 4: Vẽ biểu đồ nội lực
+ Kẻ đường thẳng song song với trục thanh gọi là đường không.
+ Kẻ các đoạn thẳng song song với nhau và vuông góc với đường không
+ Điền dấu, điền giá trị nội lực
Ví dụ 1: Cho thanh chịu xoắn thuần m2 m1
túy như trên (hình 5.2): m1= 20 KNm,
m2= 60 KNm. Vẽ biểu đồ nội lực cho A B C
thanh AC?
Hình 5.2
Bài làm
- B1: Xác định phản lực liên kết (hình5.3)
Ta có phương trình cân bằng
58
- m z mA m1 m2 0
mA m2 m1 60 20 40KN .m
- B2: Chia đoạn cho thanh: mA m2 m1
1 2
AB, BC
- B3: Xác định nội lực trên A B C
từng đoạn 1 2
+ Xét đoạn AB: Dùng mặt cắt mA Mz1-1 1
2
(1-1) cắt thanh, xét cân bằng phần 2-2 m1
A M z
bên phải, ta có:
1 C
M Z11 m2 m1 0 2
20KN.m
M Z11 m2 m1 50 30 20KN 0
Mz
+ Xét đoạn BC: Dùng mặt cắt 40KN.m
(2-2) cắt thanh, xét cân bằng phần
bên phải, ta có: Hình 5.3
M Z22 m1 0
M Z22 m1 30KN
- B4: Vẽ biểu đồ nội lực (hình5.3)
*Nhận xét: Nhìn vào biểu đồ ta thấy đoạn AB là đoạn nguy hiểm nhất
5.1.3 Liên hệ giữa mô men ngoại lực với công suất và vận tốc góc
Giữa công suất của động cơ truyền đến các trục của mô men xoắn ngoại
lực tác dụng lên trục có mối quan hệ sau:
Công A do mô men M thực hiện khi trục quay một góc α trong thời gian t
là:
A = M.α (5-1)
A
Vậy công suất: W = M . M . (5-2)
t t
W
Từ đó rút ra: M (5-3)
Trong đó: - M là mô men xoắn ngoại lực (Nm)
- W là công suất (w)
59
- - ω là vận tốc góc (rad/s)
- n là tốc độ vòng quay (vòng/phút)
.n
Vận tốc góc: (rad/s) (5-4)
30
Trong kỹ thuật người ta còn sử dụng công thức sau:
W
M 9,55. (Nm) (5-5)
n
W
W tính bằng mã lực ta có: M 7162. (Nm) (5-6)
n
5.2 Ứng suất và biến dạng trong thanh mặt cắt tròn chịu xoắn
5.2.1 Biến dạng
Xét một thanh thẳng l
a
có tiết diện tròn, chiều dài
là l, bán kính R.
+ Trước khi cho O` O
thanh chịu xoắn (Hình A B
5.4)
- Kẻ lên mặt ngoài Hình 5.4
của thanh các đường
thẳng song song với trục
thanh, các đường thẳng l a
này đặc trưng cho các thớ
dọc. m
- Kẻ các đường tròn B` φ
vuông góc với trục của A γ
thanh, các đường này đặc
trưng cho các mặt cắt Hình 5.5
ngang.
Tác dụng vào thanh mô men xoắn m làm cho thanh chịu xoắn.
+ Sau khi cho thanh chịu xoắn (Hình 5.5)
Nhận xét:
- Các thớ dọc:
+ Các thớ dọc bị lệch đi so với ban đầu một góc là , nhưng chúng vẫn
song song với nhau và không còn song song với trục của thanh.
60
- : là góc trượt của các thớ dọc
+ Xét thớ dọc là trục OO`, ta thấy thớ OO` không bị lệch đi so với ban
đầu, vậy biến dạng góc của thớ OO` bằng 0. Xét thớ dọc cách trục một khoảng
r bất kỳ (r < Rmax) ta thấy r tăng thì góc tăng, khi r đạt Rmax ta thấy góc đạt giá
trị lớn nhất. Như vậy góc có giá trị thay đổi từ 0 đến max
Ta có: 0 ≤ ≤ max
Vậy ta thấy thớ dọc trùng với trục thanh không bị biến dạng góc = 0.
Càng tiến ra mặt trụ ngoài cùng thì góc càng tăng dần và ở mặt trụ ngoài cùng
thì góc đạt gia trị lớn nhất là max
- Các mặt cắt ngang:
+ Khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không đổi, chiều dài thanh không
đổi vậy thanh không có biến dạng dọc trục (dài)
+ Các mặt cắt ngang vẫn tròn, vẫn phẳng và vẫn vuông góc với trục thanh.
+ Xét điểm B thuộc thanh, ta thấy trước biến dạng điểm B là giao điểm
của thớ dọc thứ nhất với mặt đầu tự do, nhưng sau chịu xoắn điểm B dịch
chuyển thành điểm B`. Như vậy ta thấy điểm B dịch chuyển một cung tương
ứng là cung BB`, tức là mặt đầu tự do xoay đi một góc tương ứng là φ.
φ : là góc xoay của mặt cắt ngang
Xét điểm A thuộc mặt đầu cố định, ta thấy điểm A không bị xoay, vậy góc
xoay của mặt đầu cố định bằng 0 tức φ = 0
Xét mặt cắt ngang cách mặt đầu tự do một khoảng là a ta thấy mặt cắt này
cũng bị xoay đi một góc (như hình vẽ), góc xoay này lớn hơn 0 nhưng nhỏ hơn
góc φ của mặt đầu tự do.
Vậy ta có: 0 max .
Kết luận: Biến dạng trong thanh chịu xoắn là biến dạng trượt của vật liệu.
Biến dạng của các phần tử vật liệu trên mặt cắt ngang là khác nhau.
5.2.2 Ứng suất
- Ứng suất sinh ra trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy là ứng
suất tiếp ký hiệu: x
5.2.2.1 Biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang
Theo định luật Húc có: G. (5-7)
61
- Trong đó:
A τmax B
- G là mô đun đàn hồi trượt của vật liệu, G =
const
O
- γ là biến dạng trượt của vật liệu
+ Quy luật phân bố ứng suất:
- Khi R=0 γ = 0 x = 0
- Khi R tăng γ tăng x tăng Hình 5.6
- Khi Rmax γ max x max
Biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang (Hình 5.6)
Chú ý: Biểu đồ phân bố ứng suất trên chỉ thể hiện ứng suất sinh ra tại các
điểm thuộc bán kính OA. Xoay biểu đồ ứng suất đó một góc 360 0 ta có thể biểu
diễn được ứng suất sinh ra tại tất cả các điểm thuộc mặt cắt ngang
Nhận xét biểu đồ:
- Ứng suất tăng dần từ tâm mặt cắt đến bán kính lớn nhất của mặt cắt và
đạt giá trị lớn nhất khi bán kính lớn nhất.
- Ứng suất có giá trị thay đổi từ 0 x max
5.2.2.2 Ứng suất lớn nhất trên mặt cắt ngang
* Ứng suất lớn nhất được xác định bằng công thức:
MZ
max (5-8)
Wp
Trong đó:
- Mz: Mô men xoắn nội lực (Ncm; KNm ,…)
- Wp: Mômen chống xoắn của mặt cắt ngang của thanh (chiều dài3)
Jp
Wp (5-9)
R
+ Với mặt cắt ngang của thanh có tiết diện tròn đặc:
Jp .D 4 .2 .D3
Wp 0,02.D3 (5-10)
R 32.D 16
+ Với mặt cắt ngang ngang của thanh có tiết diện tròn rỗng
62
- .D3.1 4
0,2.D3.1 ;
d
Wp
4
(5-11)
32 D
Trong đó: - D là đường kính ngoài
- d là đường kính trong
5.3 Tính toán về xoắn thuần túy
5.3.1 Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản.
5.3.1.1 Điều kiện bền
Điều kiện cần và đủ để thanh chịu xoắn thuần túy đảm bảo độ bền là ứng
suất sinh ra trên mặt cắt ngang của thanh phải nhỏ hơn hoặc bằng ứng suất cho
phép.
max x (5-12)
Nếu chi tiết đảm bảo điều kiện trên nó sẽ đảm bảo độ bền khi chịu lực.
5.3.1.2 Ba bài toán cơ bản
a. Kiểm tra bền
Từ điều kiện bền ta có công thức kiểm tra độ bền:
Mz
max x (5-13)
Wp
- Tìm ứng suất lớn nhất
- So sánh ứng suất lớn nhất với ứng suất cho phép
- Kết luận:
+ Nếu max X thanh đủ bền
+ Nếu max X thanh không đủ bền
b. Xác định kích thước mặt cắt ngang hợp lý
Từ điều kiện bền ta có
Mz
Wp
x (5-14)
+ Với mặt cắt ngang của thanh có tiết diện tròn đặc:
63
- Ta xác định được đường kính hợp lý của thanh là
D
M z .0,2
D3
x (5-15)
* Chú ý: Nên chọn đường kính hợp lý của thanh trong khoảng:
D D D 5%D (5-16)
c. Xác định lực tác dụng hợp lý
M X (m) WX X (5-17)
Bài tập ứng dụng
Bài 1: Thanh AD chịu tác dụng của các mô men như trên hình vẽ:
m1 = 30KNcm; m2= m3 m2 m1
60KNcm; m3 = 50KNcm
Vẽ biểu đồ mô men A B C D
xoắn nội lực cho thanh AD?
Hình 5.7
Bài làm
- Xác định phản lực liên m1
mA 1 m3 2 m2 3
kết(hình 5.8)
Ta có phương trình cân A B C D
bằng 1 2 3
m A mA m1 m2 m3 0 mA -1Mz 1 1
2 m1
2 m2
mA m3 m2 m1 50 60 30 Mz
-2
A
mA 40KN .cm 1 C D
2 3 m1
- Chia đoạn cho thanh: AB, Mz 3
-3
BC, CD
D
- Xác định nội lực trên từng
3
đoạn 90K
Ncm
+ Xét đoạn AB: Dùng mặt 40K 30K
cắt (1-1) cắt thanh, xét cân bằng Ncm Ncm
phần bên phải, ta có: Mz
M Z11 mA 0
Hình 5.8
11
M Z mA 40KNcm
64
- + Xét đoạn BC: Dùng mặt cắt (2-2) cắt thanh, xét cân bằng phần bên phải,
ta có:
M Z22 m1 m2 0
M Z22 m1 m2 30 60 90KNcm
+ Xét đoạn CD: Dùng mặt cắt (3-3) cắt thanh, xét cân bằng phần bên phải,
ta có:
M Z33 m1 0
M z33 m1 30KNcm
- Bước4: Vẽ biểu đồ nội lực (Hình 5.8)
*Nhận xét : Nhìn vào biểu đồ ta thấy đoạn BC là đoạn nguy hiểm nhất
5.3.2 Điều kiện cứng và ba bài toán cơ bản
5.3.2.1 Điều kiện cứng
Là điều kiện sao cho: θmax ≤ [θ] (5-18)
- θmax là góc xoắn tỷ đối lớn nhất tính được (đơn vị: Rad/m).
- [θ] là góc xoắn tỷ đối cho phép thường cho Rad / m , (nếu cho
là / m thì đổi ra Rad/m với 3600 =2.π rad)
0
- Trường hợp thanh chỉ có một mômen xoắn ngoại lực và tiết diện không
đổi:
Mz
max (5-19)
G.J p
Trường hợp thanh có nhiều đoạn, mỗi đoạn có nội lực Mzi và độ cứng
M zi
GJpi khác nhau thì ta phải tính i trên từng đoạn: i (5-20)
G.J pi
Sau đó tìm max để kiểm ta theo điều kiện cứng.
3.2.2. Ba bài toán cơ bản
+ Bài toán kiểm tra độ cứng
+ Bài toán xác định kích thước hợp lý theo điều kiện cứng
+ Bài toán xác định tải trọng cho hợp lý theo điều kiện cứng
Câu hỏi ôn tập
1. Trình bày các định nghĩa thanh chịu xoắn nêu quy ước dấu nội lực Mz
và các bước vẽ biểu đồ nội lực Mz của thanh chịu xoắn thuần túy?
2.Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn
thuần túy?
65
- 3. Viết công thức tính ứng suất lớn nhất sinh ra trên mặt cắt ngang của
thanh chịu xoắn thuần túy? Giải thích các ký hiệu?
4. Viết các công thức tính toán của các bài toán cơ bản tính theo điều kiện
bền cho thanh chịu xoắn thuần túy?
5. Viết các công thức tính toán của các bài toán cơ bản tính theo điều kiện
cứng cho thanh chịu xoắn thuần túy?
Bài tập
m2 m1
Bài 1 : Cho thanh chịu xoắn thuần túy
như trên hình 5.9: m1= 30KNm, m2=
50KNm. Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực A B C
cho thanh AC?
Bài 2: Trục chịu xoắn thuần túy có Hình 5.9
tiết diện tròn đường kính d= 4cm (hình 5-
9), Chịu tác dụng của các mômen m1= 80KNcm; m2= 50KNcm; m3 = 60KNcm
a. Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AD?
b. Kiểm ta độ bền cho thanh AD? Biết x 10KN / cm2
m3 m2 m1
A B C D
Hình 5.10
Bài 3: Trục AB có tiết diện tròn có các đường kính tương ứng là d1= 4cm,
d2 = 6cm (hình 5.11), thanh chịu tác dụng của các lực dọc trục m1 = 50KNcm;
m2=160 KNcm
a. Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AD?
b. Vẽ biểu đồ ứng suất cho thanh AD?
c. Tính bền cho thanh AD? Biết τ]x = 10 KN/cm2
m 2
m 1
A d2 d1 D
Hình 5.11
66
- Chương 6
Uốn ngang phẳng
Giới thiệu
Biến dạng uốn ngang phẳng thanh thẳng chúng ta gặp rất nhiều trong thực
tế đặc biệt là trong các chi tiết máy, các dầm chịu tải thẳng đứng.
Ví dụ: Thanh dầm của kết cấu mái, dầm chịu tải thẳng đứng trong kết cấu
dàn....
Mục tiêu
- Trình bày được khái niệm về uốn ngang phẳng.
- Vẽ được biểu đồ nội lực trong thanh chịu uốn ngang phẳng.
- Áp dụng thành thạo ba bài toán cơ bản theo điều kiện bền về ứng suất
pháp
- Tính được độ võng và góc xoay của một số dầm chịu uốn đơn giản.
- Có ý thức trách nhiệm, chủ động học tập.
Nội dung
6.1 Khái niệm về uốn ngang phẳng
- Khi có ngoại lực tác dụng, trục của thanh bị cong đi người ta nói thanh
chịu uốn.
- Nếu trục thanh bị cong nhưng vẫn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng thì
thanh bị uốn ngang phẳng
- Ngoại lực: lực tập trung, lực phân bố, ngẫu lực…nằm trong mặt phẳng
tải trọng của thanh
- Mặt phẳng tải trọng của thanh là mặt phẳng đi qua trục thanh và chứa tải
trọng của thanh.
- Khi ngoại lực tác là các ngẫu lực hoặc mômen lực có mặt phẳng tác dụng
trùng với mặt phẳng tải trọng của thanh thì thanh chịu uốn phẳng thuần túy.
6.2 Nội lực và biểu đồ nội lực
6.2.1 Nội lực
- Thanh uốn phẳng có hai thành phần nội lực là lực cắt Qy và mô men uốn
nội lực MX
- Thanh uốn phẳng thuần túy có một và chỉ một thành phần nội lực là
mômen uốn nội lực MX
67
- - Quy ước dấu(Hình 6.1)
+ Lực cắt Q mang dấu (+) khi pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay 90 0
theo chiều kim đồng hồ đến trùng với véc tơ lực Qy và ngược lại Qy mang dấu
âm
Mx(+) Qy(+)
Phần trái
Phần phải
Mx(+)
Qy(+)
Hình 6.1 Qui ước dấu Lực cắt và Mô men
+ Mômen uốn có dấu (+) nếu nội lực làm cho thanh căng thớ về phía
dương của trục y và ngược lại
6.2.2 Biểu đồ nội lực
Các bước vẽ biểu đồ nội lực
- Bước 1: Xác định phản lực liên kết (nếu cần)
- Bước 2: Chia đoạn cho thanh, dựa trên cơ sở điểm đặt của lực tương ứng
với một điểm, hai điểm liên tiếp là một đoạn.
- Bước 3: Xác định nội lực trong từng đoạn
+ Dùng phương pháp mặt cắt, cắt thanh làm hai phần, giữ lại một phần để
khảo sát
+ Đặt nội lực vào mặt cắt (giả định nội lực dương)
+ Viết phương trình cân bằng và giải các phương trình
- Bước 4: Vẽ biểu đồ nội lực.
+ Kẻ đường thẳng song song với trục thanh gọi là đường không.
+ Kẻ các đoạn thẳng song song với nhau và vuông góc với đường không
+ Điền dấu, điền giá trị nội lực P
Ví dụ 1: Cho dầm AC dài a= 1m, chịu tác A
dụng lực uốn P= 60KN. Vẽ biểu đồ nội lực Qy, B C
Mx cho dầm AC? a a
Hình 6.2
68
- Bài giải
* Xác định phản lực liên kết YA P Yc
XA
X X A 0 A B C
a a
Y Y A YC P 0 YA
1
XA Mx 1
m A m A ( P) m A (YC ) 0
z1 1 1
Q
X A 0 2
Yc
Mx
YA YC 100 2
C
P.a Y .2a 0 Q2 z2
C
2
30KN
Q
X A 0
YA 30 KN 30KN
P 60
YC 30 KN Mx
2 2
* Chia thanh làm 2 đoạn: AB, 30KNm
BC
Hình 6.3
+ Xét đoạn AB: Dùng mặt cắt
(1-1) cắt thanh, mặt cắt (1-1) tiến từ
A đến B, tức là ( 0 z1 a ).
Xét cân bằng phần trái, ta có:
+ F y Q1 YA 0
Q1 YA 30KN
+ M x1 YA .z1 0
M x1 YA .z1
- Khi z1 = 0 Mx1 = 0 KNm
- Khi z1 = a = 1m Mx1 = 30 KNm
+ Xét đoạn BC: Dùng mặt cắt (2-2) cắt thanh, mặt cắt (2-2) tiến từ C đến
B, tức là (0 ≤ z2 ≤ a ). Xét cân bằng phần phải, ta có:
+ F y Q2 YC 0
Q2 YC 30KN
+ M x 2 YC .z2 0 M x 2 YC .z2
69
- - Khi z2 = 0 Mx2 = 0 KNm
- Khi z2 = a = 1m Mx2 = 30 KNm q
Ví dụ 2: Cho thanh AB chịu tác dụng của lực
A
phân bố q= 10 N/m, chiều dài thanh l= 10 m. B
l
(Hình 6.4)
Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm AB ? Hình 6.4
Bài giải
* Xác định phản lực liên kết
PX X A 0 X A 0
PY YA YB q.l 0 YA YB q.l 100
l 10
m A q.l. l YB .l 0 YB q. 10. 50 KN
2 2 2
X A 0
YA 50 KN
Y 50 KN
B
* Chia đoạn và xác định nội YA q YB
lực XA
+ Xét đoạn AB: Cắt thanh A l B
AB bởi mặt cắt (1-1) cách gốc A l/2 q YB
một khoảng z ( 0 z l ). 1
Mx
Xét cân bằng phần phải, ta có O B
Q1 z
* F y Q1 YB q.z 0 50N
Q
Q1 YB q.z 0
50N
Q1 50 10 z Mx
- Khi z = 0 Q1 = -50N
- Khi z = l =10m Q1 = 125Nm
50N
Hình 6.5
z
* M x YB .z q.z. 0
2
70
- z2
M x YB .z q.
2
M x 50.z 5.z 2
- Khi z = 0 Mx = 0 Nm
- Khi z = l/2 = 5m Mx = 125 Nm
- Khi z = l = 1m Mx = 0 Nm
* Vẽ biểu đồ nội lực: Hình 6.5
6.3 Định lý Gin- rap- sky và PP vẽ nhanh biểu đồ lực cắt và mô men uốn
Xét một dầm có mặt cắt chữ nhật(b
- Kẻ lên mặt ngoài của thanh các đường thẳng song song với trục thanh: đặc
trưng cho các thớ dọc, và kẻ các đường thẳng vuông góc với trục: đặc trưng cho
các mặt cắt ngang
Tác dụng ngoại lực là hai mômen uốn, thanh chịu uốn thuần túy (hai ngẫu
lực nằm trong mặt phẳng đối xứng chứa trục thanh)
+ Sau khi cho thanh chịu uốn (Hình 6.7b,c)
1
2
3
4
5
Mặt trung hòa
a,
B m
Thớ trung hòa m C
1
2
m 3 m A
4 D
5
Trục trung hòa
l1
c,
b, Hình 6.7
* Nhận xét
- Trục thanh bị cong đi so với ban đầu, trục thanh bị biến dạng
- Các mặt cắt ngang:
Khi có ngoại lực tác dụng các mặt cắt ngang trong thanh bị xoay đi một
góc, nhưng vẫn phẳng và vẫn vuông góc với tiếp tuyến của trục thanh và không
còn song song với nhau nữa
- Các thớ dọc:
+ Các thớ dọc trong thanh bị uốn cong đồng dạng với trục thanh và chiều
dài của chúng có sự thay đổi liên tục từ thớ dọc bị co lại ngắn nhất (l1) tới thớ
dọc bị dãn dài nhất (l2) như vậy từ thớ dọc ngắn nhất đến thớ dọc dài nhất
(l1 < l < l2) sẽ có một thớ có chiều dài không thay đổi. Thớ có chiều dài không
thay đổi đó gọi là thớ trung hòa.
+ Tập hợp tất cả các thớ trung hòa thanh sẽ tạo thành một lớp thớ gọi là
lớp thớ trung hòa (mặt trung hòa)
+ Giao tuyến của lớp thớ trung hòa với mặt cắt ngang gọi là trục trung hòa
+ Nếu mặt cắt ngang là mặt cắt đối xứng thì trục trung hòa sẽ trùng với
trục đối xứng trên mặt cắt ngang.
* Kết luận: Biến dạng trong thanh chịu uốn là biến dạng kéo - nén đồng
thời của vật liệu
72
- 6.4.2 Ứng suất
- Ký hiệu: u
- Ứng suất trong thanh chịu uốn là ứng suất pháp
- Ứng suất không đều trên mặt cắt (biến dạng không đều)
+ Vật liệu trùng trục trung hòa không bị biến dạng kéo-nén, càng xa trục
trung hòa ứng suất càng tăng và xa trục trung hòa nhất thì ứng suất là lớn nhất
Xét phần chịu kéo: σ A
Theo định luật Húc ta có min
Nén
E. (6-3)
O x O
Mà: E = const
Kéo ymax
l l
Xét phần dương của thanh: có 2
l
A' σ
+ Khi y = 0 ε = 0 k = 0 y max
Hình 6.8
+ Khi y tăng ε tăng k tăng
+ Khi ymax εmax = max
Biểu đồ ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh chịu uốn
+ Tại trục trung hòa có y = 0 = 0
+ Tại thớ ngoài cùng có y =
h
có max , min
2
+ Ứng suất lớn nhất khi y lớn nhất: ymax= h/2
* Ứng suất kéo lớn nhất trên mặt cắt ngang bằng công thức:
Mx
max
k
(6-4)
Wxk
Jx
Trong đó: Wxk k
; là mô men chống uốn của mặt cắt ngang.
ymax
* Ứng suất nén lớn nhất trên mặt cắt ngang bằng công thức:
Mx
max
n
(6-4`)
Wxn
Jx
Trong đó: Wxn n
là mô men chống uốn của mặt cắt ngang.
ymax
73
- - σmax là ứng suất lớn nhất trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn
- Wx là mô men chống uốn
- Mx là mô men uốn nội lực
+ Mặt cắt ngang hình chữ nhật(hình 6.9) có:
bh3 bh 2 b2h
Jx= Wx ,Wy (6-5)
12 6 6
h
+ Mặt cắt ngang hình tròn có: O
d4 d3
Jx= Wx Wy 0,1d 3 (6-6) b
64 32
Trong đó:- b và h được xác định như hình vẽ bên Hình 6.9 Mặt cắt
hình chữ nhật
- d là đường kính của mặt cắt ngang
Wx càng lớn khả năng chống uốn càng cao vì max càng giảm.
* Với các mặt cắt có hình dạng phức tạp(hình
6.10) thì mô men chống uốn có thể tra bảng trong sổ
tay kỹ thuật.
Bằng hàng loạt thí nghiệm và lý thuyết đàn
hồi đã chứng minh: mặt cắt ngang của dầm chịu uốn
ngang phẳng không hoàn toàn phẳng và vuông góc và
trục thanh như uốn thuần tuý, nhưng sự biến dạng
của mặt cắt ngang dù là không đáng kể và có thể bỏ
qua.Vì vậy, người ta vẫn dùng công thức ứng suất
Hình 6.10
pháp của uốn phẳng thuần tuý.
6.5 Tính toán về uốn ngang phẳng
6.5.1 Điều kiện bền về ứng suất pháp và ba bài toán cơ bản
6.5.1.1 Điều kiện bền về ứng suất pháp
Điều kiện cần và đủ để thanh chịu uốn đảm bảo độ bền là ứng suất sinh ra
trên mặt cắt ngang của thanh phải nhỏ hơn hoặc bằng ứng suất cho phép.
max k ,n (6-7)
6.5.1.2 Ba bài toán cơ bản
a. Kiểm tra bền
* Với vật liệu dẻo thì k n k , n do đó chỉ cần tính cho một biến dạng
74
- Công thức kiểm tra độ bền:
k ,n
Mx
max (6-8)
Wx
* Với vật liệu dòn thì k n nên cần kiểm tra độ bền cho cả hai biến
dạng kéo và nén
Mx
Phần chịu kéo: max
k
k (6-9)
Wxk
Mx
Phần chịu kéo: max
n
n (6-10)
Wxn
Với thanh chịu uốn vật liệu thường dùng là vật liệu dẻo nên công thức
kiểm tra độ bền thường dùng là công thức (6-8)
- Tìm ứng suất lớn nhất
- So sánh ứng suất lớn nhất với ứng suất cho phép
- Kết luận: + Nếu max k ,n thanh đủ độ bền
+ Nếu max k ,n thanh không đủ độ bền
b. Xác định kích thước mặt cắt ngang hợp lý
Mx
Wx
k ,n YA P Yc
XA
(6-11)
A B C
c. Xác định lực tác dụng hợp lý a a
YA
M u M x Wx . k ,n
XA 1
Mx 1
z1 Q
1 1
(6-12) Yc
2
Mx 2
C
6.5.2 Toán áp dụng Q22 z2
30KN
Bài 1: Dầm AC có mặt cắt chữ nhật Q
cạnh (b x h = 6x8)cm chịu tác dụng
lực uốn P= 60KN, chiều dài dầm 30KN
2a = 2m, dầm được tựa trên 2 gối đỡ Mx
như hình 6.11.
30KNm
- Vẽ biểu đồ nội lực Qy, Mx cho
Hình 6.11
dầm AC?
75
- - Hãy kiểm tra độ bền của dầm theo ứng suất pháp? Biết: 100MN / m2
Bài giải
* Vẽ biểu đồ nội lực (Ví dụ 1 trang 51)
* Kiểm tra độ bền của dầm theo ứng suất pháp.
Áp dụng công thức kiểm tra độ bền:
k , n
Mx
max
Wx
- Có mô men chống uốn Wx
b.h 2 6.82
Wx 64cm3 64.10 6 (m3)
6 6
- Mô men uốn nội lực là:
M x max 30KNm 30.10 3 MNm
- Ứng suất lớn nhất trên mặt cắt ngang tại điểm nguy hiểm (B) của dầm
M x 30.103
max 6
468MN / m2
Wx 64.10
So sánh ta thấy max 468MN / m2 100MN / m2
Kết luận : Dầm AC không đảm bảo độ bền.
6.6 Biến dạng của dầm chịu uốn
Xét một thanh thẳng chịu uốn ngang phẳng. Sau khi chịu uốn, trục thanh bị
cong đi, đường cong của thanh gọi là đường đàn hồi(Hình 6.12)
Phương trình của đường đàn hồi
y = y(z) (6-13)
Xét chuyển vị của điểm K ta thấy sau biến dạng điểm K di chuyển thành
điểm K`. Khi đó chuyển vị vủa điểm K là:
ƒK = KK`
z
- Phân KK` thành 2 thành P
phần u và v K
u: là thành phần nằm ngang v y(z) z
K` u Đường đàn hồi
v: là thành phần thẳng đứng
Hình 6.12
76
nguon tai.lieu . vn