Xem mẫu
- Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
PhÇn Ii: c¬ së lý thuyÕt c¸n ngang vµ nghiªng
*******
Ch−¬ng 6
C¸n ngang
6.1- BÒ mÆt tiÕp xóc gi÷a dông cô vµ trôc c¸n
Qu¸ tr×nh biÕn d¹ng ngang gi÷a trôc c¸n vµ ph«i ta h×nh dung nh− qu¸ tr×nh
rÌn tù do mét thanh thÐp trßn, sau mçi lÇn ®Ëp bóa ng−êi ta l¹i quay ph«i mét gãc
bÐ vµ tiÕp tôc ®Ëp bóa lÇn thø hai. Qu¸ tr×nh ®−îc tiÕp tôc cho ®Õn khi ph«i ®−îc kÐo
dµi ra vµ tiÕt diÖn ngang bÞ gi¶m ®i. NÕu thùc hiÖn qu¸ tr×nh ®ã theo s¬ ®å c¸n nh−
h×nh 6.1a th× hai trôc c¸n thay thÕ cho bóa ®Ëp.
Qu¸ tr×nh c¸n ngang th−êng
2b
R gÆp trong c«ng nghÖ s¶n xuÊt
b ph«i èng cho c«ng nghÖ c¸n èng
∆r kh«ng hµn, s¶n xuÊt bi cÇu, c¸n
l
c¸c lo¹i b¸nh r¨ng, bul«ng vµ c¸c
r chi tiÕt cã tiÕt diÖn thay ®æi theo
a) b) chu kú, c¸n ph«i cho c«ng nghÖ
l chÕ t¹o m¸y...
Ngµy nay ph−¬ng ph¸p c¸n
ngang xo¾n ®−îc sö dông réng r·i
H×nh 6.1- S¬ ®å qu¸ tr×nh c¸n ngang trong nÒn c«ng nghiÖp hiÖn ®¹i.
a) C¸n ngang V× vËy, ph−¬ng ph¸p c¸n ngang
b) RÌn tù do ph«i trßn ®· ®−îc nghiªn cøu s©u réng c¶
vÒ lý thuyÕt vµ thùc nghiÖm.
6.2- TÝnh c¸c ®¹i l−îng biÕn d¹ng khi c¸n ngang
L−îng biÕn d¹ng khi c¸n ngang chÝnh lµ sù gi¶m nhá cña b¸n kÝnh vËt c¸n
sau mét chu kú c¸n lµ 1/2 vßng quay cña nã (1/2 vßng quay cña ph«i v× ta cã hai
trôc c¸n ®ång thêi nÐn lªn ph«i).
NÕu ta ký hiÖu l−îng biÕn d¹ng ®ã lµ ∆r th× ta cã (h×nh 6.2):
x + y = ∆r
víi, x = r − r 2 − b2
vµ y = R − R2 − b2
Nh− vËy, ta cã ®−îc l−îng biÕn d¹ng ∆r:
∆r = ⎛ R − R 2 − b 2 ⎞ + ⎛ r − r 2 − b 2 ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (6.1)
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng 77
- Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
trong ®ã, b: chiÒu réng bÒ mÆt tiÕp xóc
R
b R = D/2: b¸n kÝnh trôc c¸n
x
∆r r: b¸n kÝnh vËt c¸n tr−íc lóc c¸n
r d y d: ®−êng kÝnh vËt c¸n sau 1 lÇn c¸n
Tõ (6.1) ta cã thÓ ®−a vÒ d¹ng:
⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎛b⎞ ⎟ ⎜ ⎛b⎞ ⎟
∆r = R⎜1 − 1 − ⎜ ⎟ ⎟ + r⎜1 − 1 − ⎜ ⎟ ⎟ (6.2)
l ⎜ ⎝R⎠ ⎟ ⎜ ⎝r⎠ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Khai triÓn vµ bá ®i c¸c sè h¹ng bËc cao ta
nhËn ®−îc:
H×nh 6.2- S¬ ®å tÝnh
l−îng biÕn d¹ng ∆r ⎛b⎞
2
1⎛ b ⎞
2
1− ⎜ ⎟ ≈ 1− ⎜ ⎟
⎝R⎠ 2⎝R⎠
(6.3)
2 2
⎛b⎞ 1⎛b⎞
1− ⎜ ⎟ ≈ 1− ⎜ ⎟
⎝r⎠ 2⎝ r ⎠
Thay (6.3) vµo (6.2) ta cã:
2.R.r.∆r
b= (6.4)
R+r
NÕu tiÕp tôc biÕn ®æi (6.4) b»ng c¸ch thay: r = d/2 + ∆r, ta cã:
∆r.d + 2 ∆r 2
b= (6.5)
d 2 ∆r
1+ +
D D
Qua biÓu thøc (6.5) ta nhËn xÐt: nÕu D → ∞ (tr−êng hîp Ðp ph«i gi÷a hai
tÊm ph¼ng) vµ víi l−îng Ðp ∆r rÊt bÐ so víi D th×:
d ∆r
≈ ≈0
D D
®ång thêi nÕu bá qua ®¹i l−îng 2∆r2, ta cã:
b = ∆r.d (6.6)
∆r
Ký hiÖu = ε lµ l−îng biÕn d¹ng cña ph«i sau 1/2 lÇn quay cña nã so víi
d
b
®−êng kÝnh, vËy: = ε (6.7)
d
V× trong qu¸ tr×nh c¸n, tiÕt diÖn cña ph«i cã h×nh d¸ng ovan nªn ®é dµi cung
tiÕp xóc cã lín lªn, v× thÕ biÓu thøc (6.7) ®−îc viÕt d−íi d¹ng:
b
=ϕ ε (6.8)
d
trong ®ã, ϕ: hÖ sè biÕn ®æi chiÒu réng cña bÒ mÆt tiÕp xóc khi c¸n ngang.
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng 78
- Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
B©y giê chóng ta sÏ xÐt xem l−îng biÕn d¹ng tíi h¹n ε cã gi¸ trÞ bao nhiªu?
§Ó xÐt vÊn ®Ò nµy chóng ta kh¶o s¸t s¬ ®å
m«men quay cña ph«i vµ m«men c¶n l¹i sù quay
S/2 c
x nµy trªn h×nh 6.3.
S/2
Ph«i quay ®−îc lµ do m«men cña lùc ma
f.P
P α s¸t T t¹o ra víi tay ®ßn a. Ta ký hiÖu m«men nµy
f.P P lµ M1: M1 = T.a = P.f.a (6.9)
a
Hai trôc c¸n t¸c ®éng lªn ph«i c¸c lùc lµ
P, c¸c lùc nµy t¹o ra mét m«men quay víi tay
D/2 ®ßn lµ c, ký hiÖu lµ M2:
M2 = P.c (6.10)
H×nh 6.3- S¬ ®å m«men Trong tr−êng hîp ph«i ngõng quay th× M1
khi c¸n ngang = M2, nªn: f.a = c (6.11)
Gi¶ thiÕt r»ng chiÒu dµi cung tiÕp xóc b»ng ®é dµi d©y cung vµ ®iÓm ®¹t cña
lùc P ë chÝnh gi÷a d©y cung. Víi mét gi¸ trÞ cña c nh− ë h×nh 6.3, ta cã:
C = S + d.sinα (d.sinα = x)
trong ®ã, S: ®é dµi d©y cung
a = d.cosα (d: ®−êng kÝnh vËt c¸n sau mét lÇn c¸n)
Thay c vµ a vµo (6.11) ta cã:
S
= f . cos α − sin α (6.12)
d
MÆt kh¸c, tõ h×nh 6.3 ta nhËn thÊy
2
S ⎛S⎞
= sin α, do vËy cos α = 1 − sin 2 α = 1 − ⎜ ⎟
D ⎝D⎠
Thay vµo (6.12) ta cã:
⎡ 2⎤
S ⎛S⎞ S
= f⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ − (6.13)
d ⎢ ⎝D⎠ ⎥ D
⎣ ⎦
S f
hay, = (6.14)
d 2
⎛ d⎞
⎜1 + ⎟ + f
2
⎝ D⎠
V× hÖ sè ma s¸t f < 1 nªn f2 cã thÓ bá qua vµ trÞ sè gÇn ®óng cña biÓu thøc
(6.14) cã thÓ viÕt nh− sau:
S f
≈ (6.15)
d d
1+
D
Nh− ®· nãi ë trªn, qu¸ tr×nh quay cña ph«i lu«n cã hiÖn t−îng t¹o «van nªn
trÞ sè tíi h¹n cña tû sè S/d (®é dµi tiÕp xóc tíi h¹n) cã gi¸ trÞ:
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng 79
- Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
⎛S⎞ ϕ.f
⎜ ⎟ = (6.16)
⎝ d ⎠ th 1 + d
D
Ta coi ®é dµi cung tiÕp xóc cã gi¸ trÞ nh− chiÒu réng b ®· t×m ®−îc (6.8) th×:
ϕ.f
= ϕ ε th (6.17)
d
1+
D
f2
V× vËy, ε th = 2
(6.18)
⎛ d⎞
⎜1 + ⎟
⎝ D⎠
Trong thùc tÕ th× tû sè gi÷a chiÒu réng cña bÒ mÆt tiÕp xóc víi ®−êng kÝnh
cña ph«i lµ rÊt bÐ, lùc ma s¸t còng rÊt nhá. V× vËy, cã thÓ ®¸nh gi¸ mét c¸ch gÇn
®óng tû sè l/d vµ εth trong khi hÖ sè ma s¸t biÕn ®æi trªn chiÒu réng cña bÒ mÆt tiÕp
xóc tõ 0 (ë gi÷a) ®Õn mét gi¸ trÞ tíi h¹n còng chØ b»ng hÖ sè ma s¸t tr−ît, cã nghÜa
lµ: 0 < f < ftr−ît
V× vËy, trÞ sè hÖ sè ma s¸t trung b×nh cã gi¸ trÞ:
fTB = 0,5.ftr−ît
NÕu ta gi¶ thiÕt r»ng ftr−ît = 0,3 vµ khi tû sè d/D ≈ 0 th× theo biÓu thøc (6.18)
l−îng biÕn d¹ng tû ®èi tíi h¹n εth cã gi¸ trÞ:
ε th =
(0,5.0,3)2
≈ 2,25%
1+ 0
VËy, khi c¸n ngang l−îng biÕn d¹ng tû ®èi rÊt bÐ, bÐ h¬n gi¸ trÞ tíi h¹n trªn.
6.3- Sù xuÊt hiÖn biÕn d¹ng dÎo khi c¸n ngang
D−íi t¸c dông cña ngo¹i lùc (lùc cña trôc c¸n) sù diÔn biÕn cña biÕn d¹ng
dÎo trªn mét mÆt c¾t nµo ®ã cña vïng biÕn d¹ng sÏ lµ mét tæng vµ sù t−¬ng quan
gi÷a c¸c øng suÊt trong vïng biÕn d¹ng còng nh− biÕn d¹ng khi c¸n däc. Muèn
nghiªn cøu vÊn ®Ò nµy ph¶i gi¶i ®−îc bµi to¸n vÒ øng suÊt, ë ®©y còng lµ bµi to¸n
ph¼ng v× ta chØ xÐt trªn mét mÆt c¾t nµo ®ã cña tiÕt diÖn.
Gi¶ thiÕt tiÕt diÖn lµ mét vßng trßn, trªn mét ®−êng kÝnh th¼ng ®øng cã hai
lùc (nÐn) xuyªn t©m vµ ®−îc tËp trung ë t©m. Ta biÕt r»ng, nÕu mét ®Üa chÞu hai lùc
nÐn nh− ë h×nh 6.4 th× ë t©m ®Üa chÞu mét hÖ thèng øng suÊt nÐn ®µn håi mµ ph−¬ng
tr×nh viÕt trong hÖ täa ®é trô lµ:
⎧
⎪σ ρ = − π.r (1 + 2 cos 2θ)
P
⎪
⎪
⎨σ θ = −
P
(1 − 2 cos 2θ) (6.19)
⎪ π.r
⎪ 2P
⎪τρθ = π.r sin 2θ
⎩
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng 80
- Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
víi θ: gãc biÕn ®æi (h×nh 6.4).
σy=σρ øng suÊt trªn biªn giíi
A A gi÷a vïng ®µn håi vµ dÎo ë t¹i
σx=σθ t©m vßng trßn ph¶i tho¶ m·n
γ c¸c ph−¬ng tr×nh vÒ ®µn håi vµ
O
b dÎo, nghÜa lµ ph¶i tho¶ m·n
θ r0 r θ r ®−îc hÖ ph−¬ng tr×nh (6.20):
1
B B ⎧ ∂σ ρ 1 ∂τρθ σ ρ − σ θ
⎪ =− + =0
τxy ⎪ ∂ρ ρ ∂θ ρ
fk ⎪ 1 ∂σ ∂τ ρθ τ ρθ
⎪ θ
+ +2 =0
σy ⎨ ρ ∂θ ∂ρ ρ
⎪
( )
⎪∇ 2 σ ρ − σ θ = 0
H×nh 6.4- S¬ ®å t¸c dông lùc trªn ⎪
mét tiÕt diÖn trßn khi c¸n ngang ⎩( )
⎪ σ ρ − σ θ 2 + 4 τρθ = K 2
2
ë ®©y ký hiÖu ∇ lµ ®¹o hµm bËc hai cña hai øng suÊt σρ vµ σθ (σx vµ σy).
∂2 ∂2
∇ =
2
+
∂ρ 2 ∂θ 2
NÕu ta thay ®æi c¸c gi¸ trÞ cña øng suÊt ë biÓu thøc (6.19) vµo ph−¬ng tr×nh
dÎo ë biÓu thøc (6.20), ta cã:
2 2
⎛ P ⎞ ⎛ P ⎞
16⎜ ⎟ . cos 2 2θ + 16⎜ ⎟ sin 2 2θ = K 2 (6.21)
⎝ π.r ⎠ ⎝ π.r ⎠
P K
Suy ra, =± (6.22)
π.r 4
Cã nghÜa lµ víi mét ®iÒu kiÖn nh− ë biÓu thøc (6.22) th× ph−¬ng tr×nh dÎo
tho¶ m·n, cã nghÜa lµ ë t©m vßng trßn b¾t ®Çu cã biÕn d¹ng dÎo.
VËy víi l−îng Ðp bao nhiªu th× ë t©m vßng trßn b¾t ®Çu cã biÕn d¹ng dÎo ?
Lùc toµn bé t¸c dông lªn bÒ mÆt tiÕp xóc khi c¸n ngang lµ:
P = p.l (N)
trong ®ã, l lµ chiÒu réng bÒ mÆt tiÕp xóc (®é dµi trªn h×nh trô lµ l).
Tõ biÓu thøc (6.22) ta suy ra:
1 πK 1 πK
= ⇔ = (6.23)
r 4 p d 8 p
NÕu víi mét lùc ®¬n vÞ trung b×nh tÝnh theo biÓu thøc (4.36) ta nhËn thÊy
r»ng: ¶nh h−ëng cña ma s¸t tiÕp xóc khi c¸n ngang lµ kh«ng ®¸ng kÓ v× t¶i träng
mang tÝnh tËp trung, ®ång thêi tû sè gi÷a chiÒu réng b vµ d cïng rÊt nhá, cho nªn cã
thÓ coi nσ ≈ 1.
¶nh h−ëng cña biÕn cøng vµ tèc ®é biÕn d¹ng cïng cã gi¸ trÞ nH = nv = 1 v×
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng 81
- Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
qu¸ tr×nh lµ c¸n nãng, mÆt kh¸c t¶i träng còng lµ t¶i träng tÜnh. V× vËy biÓu thøc
(4.36) cã d¹ng: p = nβ.nc.σS (6.24)
Trªn c¬ së thùc nghiÖm cña Smirn«p th×:
l l
nc = 2 − v× nhá nªn nc = 2.
d d
Nh− chóng ta ®· biÕt ¶nh h−ëng cña chiÒu réng còng cã nghÜa lµ ¶nh h−ëng
cña σ2. Trong biÕn d¹ng ph¼ng trÞ sè K = nβ.σS = 1,15.σS vµ v× vËy trªn c¬ së cña
biÓu thøc (6.24): p = nβ.nc.σS = 2.K (6.25)
K 1
Do ®ã, = . Thay gi¸ trÞ nµy vµo biÓu thøc (6.23) ta cã:
p 2
l π 1
= . ≈ 0,2
d 4 2
Nh− vËy trë l¹i biÓu thøc (6.8) ta nhËn ®−îc l−îng biÕn d¹ng:
2
⎛l l⎞
ε=⎜ . ⎟
⎜d ϕ⎟ (v× l = b)
⎝ ⎠
0,04
hay, ε= 2
ϕ
ë ®©y ϕ lµ ®é «van khi c¸n ngang vµ nÕu ϕ cµng t¨ng th× l−îng biÕn d¹ng cµng bÐ.
C¸c sè liÖu thùc nghiÖm cho thÊy: ϕ = 1,4.
Nh− vËy trÞ sè ε sÏ lµ:
0,04
ε = 2 = 2%
1,4
So s¸nh gi¸ trÞ nµy víi sè liÖu thùc nghiÖm cña mét sè tac sgi¶ cho thÊy kh¸
bÐ. Víi sè liÖu thùc nghiÖm cña ¤r¬nop vµ S¬v©ykin lµ 4%, cña Phor¬mitrep lµ 5%,
cña Xevedenc« lµ 8%.
VÊn ®Ò nµy mét lÇn n÷a cho thÊy r»ng, khi c¸n ngang vµ c¸n nghiªng cã mét
sù gi¶m c−êng ®é biÕn d¹ng dÎo tõ ngoµi vµo trong t©m cña tiÕt diÖn do trÞ sè rÊt
nhá cña l−îng Ðp tíi h¹n.
NÕu nh− biÕn d¹ng dÎo nhê mét lo¹t c¸c l−îng Ðp tíi h¹n mµ thÈm thÊu ®Õn
t©m cña tiÕt diÖn th× trªn c¬ së cña c¸c biÓu thøc (6.19) vµ (6.22) øng suÊt cña ngo¹i
lùc ®−îc x¸c ®Þnh theo biÓu thøc:
⎧
⎪σ ρ = − 4 (1 + 2 cos 2θ )
K
⎪
⎪
⎨σ θ = − (1 − 2 cos 2θ )
K
(6.26)
⎪ 4
⎪ K
⎪τρθ = 2 sin 2θ
⎩
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng 82
- Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
NÕu nh− biÕn d¹ng dÎo ch−a thÈm thÊu ®Õn t©m tiÕt diÖn th× øng suÊt ë t©m
cña tiÕt diÖn ®−îc tÝnh theo biÓu thøc:
⎧
⎪σ ρ = − n. 4 (1 + 2 cos 2θ )
K
⎪
⎪
⎨σ θ = − n. (1 − 2 cos 2θ )
K
(6.27)
⎪ 4
⎪ K
⎪τρθ = n. 2 sin 2θ
⎩
víi, n lµ mét hÖ sè biÕn ®æi trong ph¹m vi tõ 0 < n < 1 tuú thuéc vµo gi¸ trÞ cña
ngo¹i lùc hoÆc l−îng Ðp hÖ sè n còng cã thÓ t×m tõ ®iÒu kiÖn:
P
(1 + 2 cos 2θ) = n K (1 + 2 cos 2θ)
π.r 4
4P 4 P
Suy ra: n= =
π.r.K π.r K
V× P = p.l vµ r = d/2 nªn:
8 p l
n= . .
π K d
l K 1 p
Tr−íc ®©y chóng ta ®· cã: = ϕ ε ; = hay = 2
d p 2 K
16
VËy, n= .ϕ ε
π
Víi ϕ = 1,4: n = 7,1 ε
Nh− h×nh 6.4, θ lµ gãc biÕn ®æi tõ 0 ÷ γ víi mét gi¸ trÞ rÊt bÐ cho nªn cos2θ
= 1 vµ sin2θ = 0. V× vËy, tõ biÓu thøc (6.26) ta cã:
⎧σ ρ = 0,75.n.K
⎪
⎨σ θ = 0,25.n.K (6.28)
⎪τ = 0
⎩ ρθ
6.4- T×m gi¸ trÞ øng suÊt do ngo¹i lùc g©y ra trong vïng biÕn d¹ng b»ng c¸ch
gi¶i ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng khi biÕn d¹ng ph¼ng
Víi bµi to¸n ph¼ng, ph−¬ng tr×nh vi ph©n c©n b»ng kÕt hîp víi ®iÒu kiÖn dÎo lµ:
⎧ ∂σ x ∂τ xy
⎪ + =0
⎪ ∂x ∂y
⎪ ∂σ y ∂τ xy
⎪
⎨ + =0 (6.29)
⎪ ∂y ∂x
⎪ ( )2
⎪ σ x − σ y + 4τ xy = 4 K
2 2
⎪
⎩
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng 83
- Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
NÕu ta tiÕp tôc lÊy ®¹o hµm bËc hai cña biÓu thøc (6.29) víi x, y th×:
∂ 2 τ xy ∂ 2 τ xy
∂2
∂x∂y
(
σx − σy = 2 − 2 )
∂ x ∂ y
vµ víi: (σ x − σ y ) = ± 2 K 2 − τ2
xy
∂ 2 τ xy ∂ 2 τ xy ∂2
Ta cã: − = ±2 K 2 − τ2
xy (6.30)
∂2x ∂2y ∂x∂y
§Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh (6.30) víi c¸n nghiªng cÇn cã nh÷ng gi¶ thiÕt vµ nhËn
xÐt: - Tû sè l/d rÊt bÐ.
- TrÞ sè øng suÊt tiÕp thay ®æi tõ 0 ®Õn f.K khi ®i gi÷a bÒ mÆt tiÕp xóc
ra ngoµi biªn. V× vËy ta coi τxy = 0 th× nã kh«ng phô thuéc vµo täa ®é y.
∂ 2 τ xy
V× vËy, =0
∂2x
τxy = C1x + C2
víi h»ng sè C1 vµ C2 lÊy theo ®iÒu kiÖn biªn nh− sau:
x = 0 vµ τxy = 0 th× C2 = 0
Suy ra, τxy = C1x
V× vËy tõ biÓu thøc (6.29) ta rót ra:
∂σ y ∂τ xy
=− = C1 (6.31)
∂y ∂x
LÊy tÝch ph©n ta cã: σy = C1y + f(x) (6.32)
VÒ mÆt trÞ sè th×: σy = p = nσ.nH.nv.nc.nβ.σS
trong ®ã, nσ = 1; nH = 1; nv = 1; nc = 2 vµ nβ.σS = K
Khi y = r th× σy = -2K
NÕu biÕn d¹ng thÈm thÊu ®Õn t©m tiÕt diÖn vµ gi¶ thiÕt n = 1 th× tõ biÓu thøc
(6.28) khi y = 0; σy = -0,75K. D×ng ®iÒu kiÖn biªn nµy cho biÓu thøc (6.32) ta cã:
1,25K
f(x) = -0,75K; C 1 =
r
y
VËy, σ y = 1,25K − 0,75K (6.33)
r
Víi τxy = C1x, ta cã:
Kx
τ xy = ± 1,25 (6.34)
r
Khi b = x, ta cã: f.K = Kb/r nªn f = 1,25b/r = 1,25γ
Thùc tÕ gi¸ trÞ nµy rÊt bÐ so víi 1 nªn 1,25x/r còng lµ mét ®¹i l−îng rÊt bÐ, v×
vËy mµ ph−¬ng tr×nh dÎo cã thÓ viÕt d−íi d¹ng:
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng 84
- Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
2
⎛ 2 τ xy ⎞ 2
(σ x − σ y ) = ν.K 1 − ⎜
⎜ K ⎟
⎟ = ν.K 1 − ⎛
⎜
2,5.x ⎞
⎟ ≈ ν.K (6.35)
⎝ ⎠ ⎝ r ⎠
Víi ®iÒu kiÖn biªn n = 1 vµ ν = ±1 th× tõ biÓu thøc (6.28) ta x¸c ®Þnh øng
suÊt σθ = σx. Trªn c¬ së c¸c biÓu thøc (6.33) vµ (6.35) ta cã:
y
σ x = −1,25K + 0,25K (6.36)
r
C¸c hµm sè theo biÓu thøc (6.33) vµ (6.36) còng sÏ tho¶ m·n ph−¬ng tr×nh vi
ph©n c©n b»ng (6.29) víi mäi gi¸ trÞ cña hÖ täa ®é x, y. Khi x = 0, ®iÒu kiÖn dÎo viÕt
d−íi d¹ng cña biÓu thøc (6.35) vµ biÓu thøc nµy cã d¹ng nh− ®iÒu kiÖn dÎo viÕt
trong hÖ trôc chÝnh (x = 0 trªn mét ®−êng kÝnh th¼ng ®øng, h×nh 6.4), ta cã:
⎧
⎪τ xy = τρθ = 0
⎪
⎪ Kρ
⎨σ y = σ ρ = −1,25 − 0,75K (6.37)
⎪ r
⎪ Kρ
⎪σ x = σ θ = −1,25 r + 0,25K
⎩
NÕu nh− biÕn d¹ng dÎo ch−a thÈm thÊu ®Õn t©m tiÕt diÖn th× ®iÒu kiÖn biªn
cña bµi to¸n theo biÓu thøc (6.28) vµ ph−¬ng tr×nh dÎo cã d¹ng:
σx - σy = ν.n.K (6.38)
B»ng c¸ch gi¶i t−¬ng tù nh− trªn, ta nhËn ®−îc kÕt qu¶:
⎧
⎪τ ρθ = 0
⎪
⎪ Kρ
⎨σ ρ = (− 2 + 0,75n ) − 0,75K (6.39)
⎪ r
⎪ Kρ
⎪σ θ = (− 2 + 0,75n ) r + 0,25K
⎩
Tæng hîp c¸c biÓu thøc (6.26) vµ (6.37) ta cã c¸c kÕt qu¶ nh− b¶ng:
øng suÊt cña ngo¹i lùc t¹i t©m tiÕt diÖn cña ph«i
θ (®é) TrÞ sè øng suÊt σρ TrÞ sè øng suÊt σθ σz = (σρ + σθ)/2
0 - 0,75K.n + 0,25K.n - 0,25K.n
45 - 0,25K.n - 0,25K.n - 0,25K.n
90 + 0,25K.n - 0,75K.n - 0,25K.n
øng suÊt cña ngo¹i lùc trªn chu vi cña ph«i
θ (®é) TrÞ sè øng suÊt σρ TrÞ sè øng suÊt σθ σz = (σρ + σθ)/2
0 - 2K -K - 1, 5K.n
45 0 -K - 0,5K.n
90 0 -K - 0,5K.n
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng 85
- Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
Nh− chóng ta ®· biÕt khi c¸n ngang th× ph«i võa quay võa bÞ biÕn d¹ng vµ
sau mét vµi l−îng Ðp tíi h¹n trong ph«i xuÊt hiÖn øng suÊt kÐo theo ph−¬ng h−íng
kÝnh do qu¸ tr×nh biÕn d¹ng kh«ng ®Òu g©y ra vµ còng lµ kÕt qu¶ cña ®Æc ®iÓm tËp
trung ngo¹i lùc trªn mét ®−êng kÝnh. Ngoµi ra khi c¸n ngang ph«i chÞu ®iÒu kiÖn
biÕn d¹ng ph©n líp trªn c¸c ph©n tè vßng trßn, song ph«i l¹i lµ mét quÇn thÓ ®Æc sÝt
v× thÕ mµ trong ph«i xuÊt hiÖn ra øng suÊt kÐo trong khi ®ã øng suÊt ë ngoµi l¹i chÞu
øng suÊt nÐn do trôc c¸n ®em l¹i.
6.5- Nh÷ng kÕt qu¶ thùc nghiÖm khi c¸n ngang
Ng−êi ta tiÕn hµnh c¸n trªn 3 mÉu cã tû sè gi÷a chiÒu dµi vµ ®−êng kÝnh kh¸c
nhau (h×nh 6.5). Sè liÖu thùc nghiÖm nghiªn cøu tû sè d·n dµi cña c¸c líp ë chu vi bªn
ngoµi cña h×nh trô llk/l0 vµ c¸c líp ë t©m cña mÉu thö llu/l0 khi ε kh«ng ®æi.
llk/l0; llu/l0 l0/d0 < 3 l0/d0 = 3
1,06
ε = 1,5%
1,04
llk/l0 1%
1,02 0,5%
l0/d0 > 3
1,00 0,5%
llu/l0
1% 1,5%
0,98
0 1 2 3 4 5 l0/d0
a) b)
H×nh 6.5- Sù phô thuéc hÖ sè kÐo dµi ë c¸c líp mÆt ngoµi vµ
t©m trôc cña ph«i vµo tû sè gi÷a chiÒu dµi vµ ®−êng kÝnh mÉu
a) Sè liÖu thùc nghiÖm; b) S¬ ®å
KÕt qu¶ thùc nghiÖm nh− trªn h×nh 6.5a. Tõ c¸c kÕt qu¶ thùc nghiÖm ta cã
nhËn xÐt: - Khi l0/d0 < 3 th× ë t©m cã hiÖn t−îng co.
- Khi l0/d0 > 3 th× cã d·n dµi.
- Khi l0/d0 = 3 ta cã chiÒu dµi kh«ng ®æi ë mäi l−îng Ðp ®Õn chõng
nµo mµ t¹i t©m ch−a h×nh thµnh nh÷ng vÕt rçng. Chóng ta còng nhËn ra r»ng, khi
ls/dv = 3 th× s¬ ®å biÕn d¹ng ë t©m ph«i lµ biÕn d¹ng ph¼ng v× ë ®©y ®· xuÊt hiÖn
nh÷ng lç rçng.
C¸n ngang cã mét quy luËt rÊt kh¾t khe gi÷a biÕn d¹ng ®µn håi vµ biÕn d¹ng
dÎo, do vËy cïng t©m ph«i dÔ bÞ ph¸ huû. Còng v× vËy mµ kÝch th−íc h×nh häc cña
ph«i còng sÏ bÞ biÕn ®æi theo mét quy luËt nhÊt ®Þnh theo chiÒu trôc cña c¸c l−îng
Ðp theo ®−êng kÝnh. Sù h×nh thµnh c¸c lç rçng lµ kÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh chuyÓn tõ
tr¹ng th¸i dÎo sang tr¹ng th¸i ph¸ huû.
Ng−êi ta c¸n mét ph«i thÐp h×nh trô ë nhiÖt ®é 10600C trªn m¸y c¸n cã
®−êng kÝnh D = 400 mm. KÕt qu¶ thùc nghiÖm nh− ë h×nh 6.6. Qua ®å thÞ ta thÊy
khi l−îng Ðp ∆d/d0% lµ 7,75% th× biÕn d¹ng cña líp ngoµi vµ líp trong kh¸c biÖt
nhau rÊt lín, l−îng Ðp cµng t¨ng cµng cã sù kh¸c biÖt. Trªn h×nh 6.6 cßn cho biÕt sù
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng 86
- Gi¸o tr×nh: Lý thuyÕt c¸n
thay ®æi tû sè Vn/V0 (tû träng khèi l−îng riªng). ë l−îng Ðp 7,75% vïng t©m ph«i
bÞ ph¸ huû vµ nã ®−îc coi lµ l−îng Ðp tíi h¹n.
llk/l0; llu/l0
Vn/V0.100%
1,8 4,0
Vn/V0
1,6 3,0
1,4 2,0
llk/l0
1,2 1,0
1,0 llu/l0 0
0,8
0,6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 ∆d/d0.100%
H×nh 6.6- Sù kh¸c nhau cña hÖ sè kÐo dµi ë líp ngoµi vµ trong
t©m khi c¸n ngang mét ph«i trßn thÐp 0,16%C ë nhiÖt ®é 10600C
Tr−êng §¹i häc B¸ch khoa - §¹i häc §µ N½ng 87
nguon tai.lieu . vn