Xem mẫu
IBOLYAI-KŐNYVEK
A Bolyai-könyvek legújabb, immáron 10. kötetét
tartja kezében az érdeklődő.
Hanka László és Zalay Miklós könyve régi hiányt
pótol a szakkönyvpiacon: a komplex függvénytan
nal ismerkedők számára nyújtanak segítséget.
Könyvük témája a komplex analízis és alkalmazáA szerzők a komplex algebra alapos ismerete mel
lett feltételezik az egy- és a többváltozós függ
vények analízisének alapszintű ismeretét is.
A bevezető feleleveníti a komplex algebra alapfo
galmait. A feladatgyűjtemény a továbbiakban a ko
rábbi kötetek szerkezetét követi: minden fejezet
ben rövid elméleti összefoglaló után kidolgozott
és gyakorló feladatok találliatók.
Ajánljuk a műszaki főiskolák és egyetemek, tudo
mányegyetemek hallgatóinak, valamint mindazok
nak, akik érdeklődnek a felsőbb matematika iránt.
ISBN 963-16-2816-7
I
628166
HANKA LÁSZLÓ-ZALAY MIKLÓS
KOMPLEX FÜGGVÉNYTAN
PÉLDATÁR
A BOLYAI-SOROZAT KÖTETEI
Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás
Solt György: Valószínűségszámítás
Lukács Ottó: Matematikai statisztika
Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek
Bárczy Barnabás: Integrálszámítás
Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
Urbán János: Matematikai logika
Fekete Zoltán-Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise
Urbán János: Határérték-számítás
HANKA LÁSZLÓ-ZALAY MIKLÓS
KOMPLEX
FÜGGVÉNYTAN
PÉLDATÁR
MŰSZAKI KÖNYVKIADÓ, BUDAPEST
Lektorálta:
URBÁN JÁNOS
TARTALOMJEGYZÉK
okleveles matematikus
© Hanka László, Zalay Miklós, 2003
© Műszaki Könyvkiadó, 2003
ISBN 963 16 2816 7
ISSN 1216 5344
Kiadja a Műszaki Könyvkiadó
Felelős kiadó: Bérezi Sándor ügyvezető igazgató
Felelős szerkesztő: Halmos Mária
Borítóterv: Németh Csongor
Műszaki vezető: Abonyi Ferenc
Műszaki szerkesztő: Ihász Viktória
Azonosító szám: MK-2816-7
Terjedelem: 21,06 (A/5) ív
E-mail: vevoszolg@muszakikiado.hu
Honlap: wv^w.muszakikiado.hu
Nyomdai munkák: Oláh Nyomdaipari Kft.
Felelős vezető: Oláh Miklós
ELŐSZÓ ....................................................................................
7
1. BEVEZETÉS .........................................................................
9
2. VALÓS VÁLTOZÓS KOMPLEX FÜGGVÉNYEK . . . .
2.1 Határérték, folytonosság.................................................
2.2 Valós változós komplex függvények differenciálása .
2.3 Valós változós komplex függvény integrálása ...........
16
16
23
30
3. KOMPLEX VÁLTOZÓS KOMPLEX FÜGGVÉNYEK .
3.1 Határérték, folytonosság.................................................
3.2 Lineáris függvények ......................................................
3.3 Speciális hatványfüggvények .......................................
3.4 Lineáris törtfüggvények .................................................
3.5 A Bolyai-geometria Poincaré-féle modellje ...............
3.6 Az exponenciális és a logaritmusfüggvény .................
3.7 Az általános hatványfüggvény ......................................
33
33
35
39
47
63
70
77
4. KOMPLEX FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA . . . .
4.1 Differenciálhatóság ........................................................
4.2 Taylor-sor .......................................................................
4.3 Hiperbolás és trigonometrikus függvények.................
4.4 Arkusz-és areafüggvények ...........................................
81
81
89
100
112
5. KOMPLEX FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA ...............
5.1 Komplex integrálok közvetlen kiszám ítása.................
5.2 A Cauchy-féle integrálformulák alkalmazása .............
5.3 Gauss-féle középértéktétel.............................................
118
124
152
166
6. LAURENT-SOROK. IZOLÁLT SZINGULÁRIS
HELYEK VIZSGÁLATA ....................................................
6.1 Izolált szinguláris helyek vizsgálata ............................
169
178
6.2 Laurent-sorok előállítása ...............................................
6.3 Fourier-sorok .................................................................
184
222
7. A REZIDUUMTÉTEL ÉS ALKALMAZÁSAI ...............
7.1 Reziduumszámítás ..........................................................
7.2 Komplex integrálok kiszámítása .................................
7.3 Logaritmikus reziduum .................................................
7.4 Valós integrálok kiszám ítása.........................................
7.5 Improprius integrálok kiszám ítása................................
226
234
246
262
270
274
8. FOURIER-SOR, FOURIER-INTEGRÁL..........................
8.1 Periodikus függvények Fourier-sora ............................
8.2 Periodikus függvények komplex Fourier-sora ...........
8.3 Fourier-transzformáit ....................................................
8.4 Mintavett függvények spektrálfelbontása....................
303
303
309
315
326
9. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ .....................................
9.1 Laplace-transzformáltak közvetlen kiszámítása .........
9.2 A generátorfüggvény deriválása...................................
9.3 A Laplace-transzformáit deriválása..............................
9.4 A generátorfüggvény primitív függvényének
transzformálása .................................................................
9.5 A Laplace-transzformáit integrálása ............................
9.6 Eltolási, hasonlósági tételek .........................................
9.7 Paramétert tartalmazó függvények transzformálása ..
9.8 Konvolúció .....................................................................
9.9 Inverz Laplace-transzformáció .....................................
9.10 Parciális törtekre bontás módszere ............................
9.11 A kifejtési tétel speciális alakja ..................................
9.12 A kifejtési tétel általános a la k ja ..................................
9.13 Nem valódi racionális törtfüggvények esete .............
9.14 Inverziós integrál ..........................................................
9.15 Taylor-sorok .................................................................
9.16 Numerikus sorok összegzése .....................................
9.17 Integrálok kiszámítása .................................................
9.18 Fourier-sorfejtés............................................................
9.19 Differenciálegyenletek és differenciálegyenlet
rendszerek ...........................................................................
9.20 Laplace-transzformációs táb lázat................................
331
334
345
347
349
351
353
357
359
363
368
370
374
380
386
391
395
399
401
407
413
ELŐSZÓ
Könyvünkkel a komplex függvénytannal ismerkedő Olvasók
számára kívántunk segítséget nyújtani. Olvasóinkról feltételezzük a
komplex algebrának, az egyváltozós függvények analízisének és a
többváltozós függvények analízisének bizonyos szintű ismeretét. A
könyv felépítése a Bolyai-sorozat könyveinek felépítését követi. A
fejezetek elején röviden ismertetjük a szükséges elméleti alapokat,
definiáljuk a lényegesebb fogalmakat, kimondjuk a fontosabb téte
leket. A feladatok megoldása során igyekszünk a tételek szükséges
és elégséges feltételeit megvilágítani, a fontosabb eljárásokat be
mutatni, s néhol utalunk a gyakorlati felhasználás lehetőségeire is.
Reméljük, hogy könyvünk eléri célját, sikerül az Olvasóval a téma
kör alapjait megismertetni, az alkalmazáshoz segítséget nyújtani, s
a mélyebb megismerés utáni vágyat felébreszteni. Végül köszön
jük a lektornak minden részletre kiterjedő rendkívül lelkiismeretes
munkáját.
A szerzők
nguon tai.lieu . vn
A Bolyai-könyvek legújabb, immáron 10. kötetét
tartja kezében az érdeklődő.
Hanka László és Zalay Miklós könyve régi hiányt
pótol a szakkönyvpiacon: a komplex függvénytan
nal ismerkedők számára nyújtanak segítséget.
Könyvük témája a komplex analízis és alkalmazáA szerzők a komplex algebra alapos ismerete mel
lett feltételezik az egy- és a többváltozós függ
vények analízisének alapszintű ismeretét is.
A bevezető feleleveníti a komplex algebra alapfo
galmait. A feladatgyűjtemény a továbbiakban a ko
rábbi kötetek szerkezetét követi: minden fejezet
ben rövid elméleti összefoglaló után kidolgozott
és gyakorló feladatok találliatók.
Ajánljuk a műszaki főiskolák és egyetemek, tudo
mányegyetemek hallgatóinak, valamint mindazok
nak, akik érdeklődnek a felsőbb matematika iránt.
ISBN 963-16-2816-7
I
628166
HANKA LÁSZLÓ-ZALAY MIKLÓS
KOMPLEX FÜGGVÉNYTAN
PÉLDATÁR
A BOLYAI-SOROZAT KÖTETEI
Bárczy Barnabás: Differenciálszámítás
Solt György: Valószínűségszámítás
Lukács Ottó: Matematikai statisztika
Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek
Bárczy Barnabás: Integrálszámítás
Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
Urbán János: Matematikai logika
Fekete Zoltán-Zalay Miklós: Többváltozós függvények analízise
Urbán János: Határérték-számítás
HANKA LÁSZLÓ-ZALAY MIKLÓS
KOMPLEX
FÜGGVÉNYTAN
PÉLDATÁR
MŰSZAKI KÖNYVKIADÓ, BUDAPEST
Lektorálta:
URBÁN JÁNOS
TARTALOMJEGYZÉK
okleveles matematikus
© Hanka László, Zalay Miklós, 2003
© Műszaki Könyvkiadó, 2003
ISBN 963 16 2816 7
ISSN 1216 5344
Kiadja a Műszaki Könyvkiadó
Felelős kiadó: Bérezi Sándor ügyvezető igazgató
Felelős szerkesztő: Halmos Mária
Borítóterv: Németh Csongor
Műszaki vezető: Abonyi Ferenc
Műszaki szerkesztő: Ihász Viktória
Azonosító szám: MK-2816-7
Terjedelem: 21,06 (A/5) ív
E-mail: vevoszolg@muszakikiado.hu
Honlap: wv^w.muszakikiado.hu
Nyomdai munkák: Oláh Nyomdaipari Kft.
Felelős vezető: Oláh Miklós
ELŐSZÓ ....................................................................................
7
1. BEVEZETÉS .........................................................................
9
2. VALÓS VÁLTOZÓS KOMPLEX FÜGGVÉNYEK . . . .
2.1 Határérték, folytonosság.................................................
2.2 Valós változós komplex függvények differenciálása .
2.3 Valós változós komplex függvény integrálása ...........
16
16
23
30
3. KOMPLEX VÁLTOZÓS KOMPLEX FÜGGVÉNYEK .
3.1 Határérték, folytonosság.................................................
3.2 Lineáris függvények ......................................................
3.3 Speciális hatványfüggvények .......................................
3.4 Lineáris törtfüggvények .................................................
3.5 A Bolyai-geometria Poincaré-féle modellje ...............
3.6 Az exponenciális és a logaritmusfüggvény .................
3.7 Az általános hatványfüggvény ......................................
33
33
35
39
47
63
70
77
4. KOMPLEX FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLÁSA . . . .
4.1 Differenciálhatóság ........................................................
4.2 Taylor-sor .......................................................................
4.3 Hiperbolás és trigonometrikus függvények.................
4.4 Arkusz-és areafüggvények ...........................................
81
81
89
100
112
5. KOMPLEX FÜGGVÉNYEK INTEGRÁLÁSA ...............
5.1 Komplex integrálok közvetlen kiszám ítása.................
5.2 A Cauchy-féle integrálformulák alkalmazása .............
5.3 Gauss-féle középértéktétel.............................................
118
124
152
166
6. LAURENT-SOROK. IZOLÁLT SZINGULÁRIS
HELYEK VIZSGÁLATA ....................................................
6.1 Izolált szinguláris helyek vizsgálata ............................
169
178
6.2 Laurent-sorok előállítása ...............................................
6.3 Fourier-sorok .................................................................
184
222
7. A REZIDUUMTÉTEL ÉS ALKALMAZÁSAI ...............
7.1 Reziduumszámítás ..........................................................
7.2 Komplex integrálok kiszámítása .................................
7.3 Logaritmikus reziduum .................................................
7.4 Valós integrálok kiszám ítása.........................................
7.5 Improprius integrálok kiszám ítása................................
226
234
246
262
270
274
8. FOURIER-SOR, FOURIER-INTEGRÁL..........................
8.1 Periodikus függvények Fourier-sora ............................
8.2 Periodikus függvények komplex Fourier-sora ...........
8.3 Fourier-transzformáit ....................................................
8.4 Mintavett függvények spektrálfelbontása....................
303
303
309
315
326
9. LAPLACE-TRANSZFORMÁCIÓ .....................................
9.1 Laplace-transzformáltak közvetlen kiszámítása .........
9.2 A generátorfüggvény deriválása...................................
9.3 A Laplace-transzformáit deriválása..............................
9.4 A generátorfüggvény primitív függvényének
transzformálása .................................................................
9.5 A Laplace-transzformáit integrálása ............................
9.6 Eltolási, hasonlósági tételek .........................................
9.7 Paramétert tartalmazó függvények transzformálása ..
9.8 Konvolúció .....................................................................
9.9 Inverz Laplace-transzformáció .....................................
9.10 Parciális törtekre bontás módszere ............................
9.11 A kifejtési tétel speciális alakja ..................................
9.12 A kifejtési tétel általános a la k ja ..................................
9.13 Nem valódi racionális törtfüggvények esete .............
9.14 Inverziós integrál ..........................................................
9.15 Taylor-sorok .................................................................
9.16 Numerikus sorok összegzése .....................................
9.17 Integrálok kiszámítása .................................................
9.18 Fourier-sorfejtés............................................................
9.19 Differenciálegyenletek és differenciálegyenlet
rendszerek ...........................................................................
9.20 Laplace-transzformációs táb lázat................................
331
334
345
347
349
351
353
357
359
363
368
370
374
380
386
391
395
399
401
407
413
ELŐSZÓ
Könyvünkkel a komplex függvénytannal ismerkedő Olvasók
számára kívántunk segítséget nyújtani. Olvasóinkról feltételezzük a
komplex algebrának, az egyváltozós függvények analízisének és a
többváltozós függvények analízisének bizonyos szintű ismeretét. A
könyv felépítése a Bolyai-sorozat könyveinek felépítését követi. A
fejezetek elején röviden ismertetjük a szükséges elméleti alapokat,
definiáljuk a lényegesebb fogalmakat, kimondjuk a fontosabb téte
leket. A feladatok megoldása során igyekszünk a tételek szükséges
és elégséges feltételeit megvilágítani, a fontosabb eljárásokat be
mutatni, s néhol utalunk a gyakorlati felhasználás lehetőségeire is.
Reméljük, hogy könyvünk eléri célját, sikerül az Olvasóval a téma
kör alapjait megismertetni, az alkalmazáshoz segítséget nyújtani, s
a mélyebb megismerés utáni vágyat felébreszteni. Végül köszön
jük a lektornak minden részletre kiterjedő rendkívül lelkiismeretes
munkáját.
A szerzők