Xem mẫu
- mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIV NĂM 2006 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút ( ) Xác đị nh các phần tử trên đường chéo chính của ma trận Câu 1: Cho ma trận ( ) . Dễ dàng tính ra Giải: Ta có vớ i => . Từ đó suy ra Do đó các phần tử trên đường chéo chính là ( ) ( ) ( ). Chứng minh rằng ( ) Câu 2: Cho ma trận Giải: Tính toán, ta thấy ma trận chéo hóa được. Do đó, tồn tại ma trận khả nghị ch sao cho ( ) l à ma trận chéo. , trong đó Suy ra ( ) ( ) ( ) => ( ) ( ) ( ) Ta có: do cả đị nh thức này đề u khác . Câu 3: Xác đị nh để hệ phương trình sau có nghi ệ m độc l ập tuyế n tính ( ) ( ) ( ) ( ) { Giải: Gọi l à ma trận hệ số của phương trình 1
- mt ( ) ( ) ( ) ( )) ( Nhân dòng vớ i rồi cộng vào dòng ( ), ta được ( ) Nhân dòng vớ i rồi cộng vào dòng ( ), ta được ( ) Dễ dàng suy ra rằng hệ phương trình có nghi ệ m độc l ập tuyế n tính thì . Câu 4: Cho l à ma trận vuông cấp sao cho mỗi dòng của nó chứa đúng phần tử khác , trong đó phần tử nằm ở đường chéo chính là , phần tử còn l ại là . Chứng minh ma trận khả nghị ch. ( ) Giải: Đặt . Ta chứng minh bằng phản chứng. Gi ả sử ngược l ại, suy bi ế n. Kí hi ệ u l à cột thứ của , khi đó có thể coi các cột của l a2 vector phụ thuộc tuyế n tính trong . Đo vậy phải có một tổ hợp tuyế n tính () trong đó ít nhất một hệ số khác . Gi ả sử | | *| | | | | |+ . Đương nhiên | | . Gi ả sử ( ). Từ ( ) suy ra hai phần tử khác không của dòng thứ l à Suy ra | | | | | | mâu thẫn với cách chọn | | . V ậy khả nghị ch. Câu 5: Cho l à ma trận vuông cấp thỏa mãn các đi ề u ki ệ n và . Chứng minh rằng l à ma trận suy bi ế n. Giải: Nế u thì hi ể n nhiên Nế u , x ét ánh x ạ được xác đị nh như sau () Khi đó ( ) l à không gian con của ). Gọi * + l à một vector khác bất có số chi ề u là (do kì của ( ). Khi đó . Bằng quy nạp, ta thu được đẳng thức 2
- mt ( ) ( ) Suy ra . Như vậy . Nghĩa là hệ phương trình tuyế n tính ( ) có nghi ệ m không tầm thường. V ậy l à ma trận suy bi ế n. Câu 6: Cho đa thức ( ) bậc có nghi ệ m thực phân bi ệ t l ớn hơn . Chứng minh rằng đa thức () ( )() () () ( ( )) có ít nhất nghi ệ m thực phân bi ệ t. Giải: Ta có ( ) ( ) ( ) vớ i ( ) () () () () ( ). Gọi l à các nghiệm () của ( ) và . Khi đó phương trình cũng có nghi ệ m này. Theo đị nh lí Rolle, phương trình ( ( )) hay đa thức ( ) () ( ) có nghi ệ m trong mỗi khoảng ( ) : ( ) có Mặt khác, đa thức nghi ệ m là . Lại áp dụng đị nh lí Rolle, phương trình ( ( )) hay đa thức ( ) có nghi ệ m trong mỗi khoảng ( ) nên thì đa thức ( ) có ít nhất Nế u nghi ệ m thực phân bi ệ t. Bây gi ờ, gi ả sử tồn tại sao cho Thế thì () () () () Do đó ( ) () hay ( ) . Suy ra ( ) , Như vậy đa thức ( ) có , với nghi ệ m phân bi ệ t (!). V ậy, đa thức ( ) có nghi ệ m thực phân bi ệ t. 3
- mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XV NĂM 2007 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút * + ( ) l à ma trận vuông cấp có các tính chất sau: Câu 1: Cho . Gi ải hệ phương trình đại số tuyế n tính ( ) với l à ma trận đơn vị cấp , do đó () Giải: Ta có . V ậy hệ phương trình chỉ có nghi ệ m tầm thường. Câu 2: Gi ả sử l à các ma trận vuông cấp thỏa mãn đi ề u ki ệ n trong đó l à hai số thực khác 0. Chứng minh rằng Giải: Theo gi ả thi ế t ta có: ( )( ) ( )( ) ( )( ) Suy ra hay Do đó hay . ( ) () Câu 3: Cho trong đó phần tử . Tính , - nên () Giải: Nế u thì Nế u thì 1 1 ... 1 1 1 2 ... n-1 n 2 2 ... 2 2 1 2 ... n-1 n 3 3 ... 3 3 1 2 ... n-1 n = B1 + B2 A= + n-1 n-1 n - 1 n - 1 n ... 1 2 ... n-1 n n n n ... n 1 2 ... n-1 ( ) Dễ thấy => . Kí hi ệ u l à ma . / . Khi đó trận con cấp 2 nằm bên trái phía trên của , nên . V ậy nế u và nế u . Câu 4: Tìm tất cả các đa thức ( ) , - thỏa () ,( ) ( )- Giải: Ta chứng minh . Thật vậy, gi ả sử tồn tại đa thức () thỏa mãn gi ả thi ế t bài toán. Xét hệ số của ở hai vế của đẳng thức bài toán, ta thu được: ( ) => . Đi ề u này mâu thuẫn với . Trường hợp 1: ( ) , thay vào hệ thức đã cho, ta thu được 4
- mt ,( ) ( ) - () Trường hợp 2: ( ) . Theo gi ả thi ế t, ta có ,( ) ( ) ( ) ( ) - . V ậy ( ) Suy ra . Thử l ại, mọi đa thức bậc hai có dạng trên đề u thỏa mãn bài Toán. ( ). Tìm tất cả các ma trận vuông Câu 5: Cho ma trận cấp sao cho . ( ) ( ) Giải: ( ) ( ) () Kí hi ệ u: ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó ( ) tương đương hay . Ta thấy và . Mặt khác với và ta có: . Do đó ∑ ∑ ( ) ( ) Tóm l ại, ta thu được . V ậy ma trận có dạng ( ) Ngược l ại, dễ dàng ki ể m tra được mọi ma trận có dạng như trên đề u thỏa mãn đi ề u ki ệ n bài Toán. . / l à ma trận vuông cấp Câu 6: Gi ả sử khả nghị ch. Chứng minh rằng nế u l à ma trận vuông cấp khả nghị ch thì ma trận cấp được xác đị nh bởi hệ thức . / cũng khả nghị ch. . / . / thỏa mãn hệ phương trình ./ . /. / () GIải: Gi ả sử Khi đó { Nhân phương trình đầu với , phương trình hai v ới rồi trừ vế , ta được ( ) Do khả nghị ch nên => . Lập luận tương tự ta cũng có . V ậy hệ ( ) chỉ có nghi ệ m tầm thường. Do đó l à ma trận khả nghị ch. 5
- mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XVI NĂM 2008 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút l à các số thực, dãy * + l ập thành cấp số cộng công sai . Tính đị nh thức của ma trận Câu 1: Cho ( ) Giải: Ta có | | | | Cộng cột đầu vào cột cuối, ta được | | ( ) | | Do Ti ế p tục nhân hàng thứ vớ i rồi cộng vào hàng cuối cùng, nhân hàng thứ vớ i rồi cộng vào hàng thứ nhân hàng 1 với rồi cộng vào hàng ta được | | | | ( ) ( )( ) | | | | Cộng hàng cuối vào các hàng còn l ại, ta được: | | ( )( ) ( )( ) | | Câu 2: Cho l à ma trận thực vuông cấp thỏa mãn đi ề u ki ệ n . Chứng minh rằng tồn tại hai số thực phân bi ệ t và hai ma trận sao cho 6
- mt Giải: Cách 1: Đa thức đặc trưng của ( ) () Do nên => phương trình có hai nghi ệ m thực phân bi ệ t . Khi đó, đặt ( ) ( ) Suy ra V ậy Cách 2: Đa thức đặc trưng của ( ) () Do nên => phương trình có hai nghi ệ m thực phân bi ệ t hay có 2 giá trị riêng nên chéo hóa được ( ) ( ) [. ( )] / => ( ) . / . / . / . / . / Đặt . V ậy ta đã tìm được hai số thực phân bi ệ t l à hai giá trị riêng của và hai ma trận trên sao cho Câu 3: Cho l à ma trận vuông thực cấp , vế t là . Tổng các phần tử trên mỗi hàng của bằng và . Xác đị nh các giá trị riêng của Giải: Ta có và tổng các phần tử trên mỗi hàng của ma trận l à . Do đó đa thức đặc trưng của : () ( ) () Mặt khác | | | | | | ( )| | l à một giá trị riêng của . Thay vào ( ), ta được Suy ra 7
- mt () | | ( )( ) V ậy ma trận có l à giá trị riêng đơn và l à giá trị riêng kép. Câu 4: Cho các số thực . Chứng minh rằng tồn tại các ma trận thực vuông cấp thỏa mãn (∑ ) ∑ Giải: Đặt . Xét các ma trận cấp sau ( ) ( ) ( ) ( ) Do đó . Mặt khác: ∑ ( ) Khai tri ể n Laplace theo cột thứ nhất, ta được: (∑ ) Câu 5: Cho l à ma trận vuông cấp khả nghị ch. Mọi phần tử của các ma trận l à số nguyên. Chứng minh rằng nế u có giá trị riêng đề u là các số thực thì | ( )| Giải: Do các phần tử của đề u là số nguyên nên cũng là số nguyên. Mặt khác | || | | | => | | | | ( ) l à đa thức đặc trưng của nó. Gọi V ới mỗi ma trận , đặt l à tất cả các giá trị riêng thực của . Khi đó ( ) ∏ ( ). Xét đa thức () ( )/ ∏. () Ta có và ( ) ∏( ( )) ∏( ) ∏( )( ) ( ) l à ước của ( ). Do () nên ( ) ( ). V ậy Từ đó suy ra rằng | | | | | || | 8
- mt ( )( ) ( ) | | Câu 6: Tồn tại hay không đa thức ( ) bậc 2008 thỏa mãn đi ề u ki ệ n ( ) vớ i ? Tại sao? Giải: V ới mỗi x ét bi ể u thức () Bi ể u thức nói trên cho ta xác đị nh đa thức ( ) ( ) và đa thức này thỏa mãn yêu cầu bài Toán. Có thể gi ải theo cách khác như sau: V ớ i mỗ i đặt ( ) ( ( ))( ( )) ( ) () ( )( ) ( ( ))( ( )) ( ) Dễ dàng chứng minh đa thức () () ∑ thỏa mãn đi ề u ki ệ n bài Toán. 9
- mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XVII NĂM 2009 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Cho l à các số thực thỏa mãn các đẳng thức sau: { Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên , ta có Giải: Từ các hệ thức đã cho: . Theo đị nh lí Viete, chúng là nghi ệ m của phương trình ( ) . Dễ dàng thấy rằng bộ ba số l à V ậy . Câu 2: Tồn tại hay không một ma trận thực vuông cấp sao cho . / Giải: ( ) l à đa thức đặc trưng của ma trận . Cách 1: Gi ả sử tồn tại ma trận thỏa mãn yêu cầu đề bài. Kí hi ệ u Theo đị nh lí Caley-Hamilton ta có: (1đ) Bằng quy nạp: (1đ) 1/ Xét : . Khi đó / ( ) (1đ) . / . 2/ Xét : ( ) (1đ) => () . /, từ gi ả thi ế t suy ra Đặt . V ậy (1đ) Kế t luận: không tồn tại ma trận thỏa mãn đi ề u ki ệ n bài Toán. . / (1đ). Ta có: Cách 2: Gi ả sử tồn tại ma trận thỏa mãn yêu cầu đề bài. Đặt ( ) ( ) . / (1đ) ( ) Theo gi ả thi ế t, ta có: ( ) (1đ) 1/ Xét : ( ) ( ) . / (1đ) 2/ Xét hay : khi đó 10
- mt . / . / (1đ) Kế t luận: không tồn tại ma trận thỏa mãn đi ề u ki ệ n bài Toán. Câu 3: Cho l à các ma trận vuông cấp sao cho giao hoán với và , (ma trận đơn vị ) và ( ) a) Chứng minh rằng ( ) ( ) b) Nế u có thêm đi ề u ki ệ n hãy chứng tỏ Giải: a) Theo gi ả thi ế t, ta có: ( ) 0 ( )1 0 ( )1 Suy ra 0 ( )1 và 0 ( )1 l à nghị ch đảo của nhau nên chúng giao hoán [( )] [ ( )] [( )] [ ( )] Nhân phân phối l ại, ta được . b) Nế u có thêm đi ề u ki ệ n thì => ( ) ( ) ( ) ( )( ) Ta có: ( ) ( ) ,( ) ( )- ( ) ( ) ,( )( )- Câu 4: Tính , trong đó ( ) Giải: Đổi chỗ các dòng, cột, ta thấy ma trận đồng dạng với ma trận ( ) Ma trận của phép bi ế n đổi tuyế n tính (không suy bi ế n) là: ( ) 11
- mt ( ) Khi đó ma trận . Ta có ( ) . / Trong đó ( ) Ta có . Do đó ( ) ( Câu 5: Tìm tất cả các ma trận vuông cấp sao cho với mọi ma trận vuông cấp , ta đề u có ) Giải: ( ) => ( ) do ( ). Chọn ma trận , ta có => ( ) ( ) ( ) Gi ả sử , ta chọn ma trận tam giác trên ( ) { ( ) Khi đó ta thu được . Bằng cách đổi vị trí hàng hay cột để đưa phần tử bất kì của về vị trí góc trái trên cùng và l ặp l ại phép chứng minh trên ta được . V ậy ma trận cần tìm là ma trận . Câu 6: Thí sinh chọn một trong hai câu sau: a) Gi ải hệ phương trình: x6 2 x1 x2 x3 2 x4 x5 1 x x6 2 x2 2 x3 x4 x5 1 1 x1 x6 2 x2 2 x3 x4 x5 1 2 x1 x6 x2 x3 2 x4 x5 1 2 x1 2 x6 x2 x3 x4 x5 1 x1 x6 2 x2 x3 x4 2 x5 1 b) Ứng với mỗi đa thức ( ) với hệ số thực và có nhi ề u hơn một nghi ệ m thực, gọi ( ) l à khoảng cách nhỏ nhất gi ữa hai nghi ệ m thực bất kì của nó. Gi ả sử các đa thức với hệ số thực ( ) và ( ) () và có nghi ệ m thực phân bi ệ t. Chứng minh rằng ( ) () đề u có bậc Giải: a) Từ hai phương trình đầu: Từ phương trình 3, 4: => Từ phương trình 1, 3: . Từ phương trình 2, 4: => V ậy ta có => 12
- mt b) Gọi nghi ệ m của ( ) l à sao cho . Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Gi ả sử ( ) ( ) trong đó l à hai nghi ệ m gần nhau nhất trong số các nghi ệ m của ( ) ( ). Khi đó ( ) nên không là nghi ệ m của () () () () () Đặt ( ) ( )( )( ). Suy ra () ∑ () () () nghị ch bi ế n trên từng khoảng xác đị nh của nó. Kế t hợp với ( ) suy ra Dễ dàng nhận thấy hàm số () ( ) . Khi đó tồn tại duy nhất sao cho Hay . Dễ dàng ki ể m tra được ( )( ) và do đó Như vậy, ta có () () ∑ ∑ () 13
- mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XVIII NĂM 2010 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Cho l à các ma trận vuông cấp với hệ số thực sao cho ( ) ( ) ( ) ( ) a) Chứng minh rằng . b) Tìm ví dụ chứng tỏ kế t l uận trên không còn đúng n ế u chỉ có ( ) ( ) ( ) Giải: a) Nhận xét rằng đị nh thức ( ) ( ) l à một đa thức bậc của có nghi ệ m nên . Đị nh thức ( ) ( ) cũng l à đa thức bậc của . Mà ( ) () () . Do đó ta cũng có ( ) . ( ) - V ới thì ( ) ( ) () - V ới thì ( ) ( ) () - V ới thì ( ) . / ./ - V ới thì ta có ( ) V ậy . ( ) b ) Ch ọ n và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó nhưng Câu 2: Cho * +* +* + l à các dãy số thực được xác đị nh bởi và { Chứng minh rằng l à số nguyên chia hế t cho . Giải: ( ) ( )( ). Ta có Đặt => () ( )( ). Do đó Đa thức đặc trưng của l à: chéo hóa được và ( )( )( ) Suy ra : Tính toán ta được . 14
- mt Câu 3: a) Chứng minh rằng ứng với mỗi số nguyên dương, bi ể u thức có thể bi ể u di ễ n dưới dạng đa thức ( ) bậc không quá của các bi ế n . ( ). b) Hãy tìm tổng các hệ số của đa thức Giải: a) Ta chứng minh đẳng thức ( ) ( ) ( ) ( ) l à đa thức bậc không quá của các bi ế n :( ) - V ới ( ) - V ới : :( ) - V ới - Gi ả sử đẳng thức đúng với , ta chứng minh nó cũng đúng v ới , tức là ( ) ( ) ( ) ( ) Thật vậy, từ gi ả thi ế t quy nạp, ta có các đa thức ( ) ( ) ( ) bậc không ( ) l à các đa thức bậc không quá quá của các bi ế n . Suy ra của các bi ế n . ( ) ( ) tức là tìm b) Ta có . Ta tìm tổng các hệ số của ( ). Từ đị nh lí Viete, l à nghi ệ m của phương trình . Từ đó chỉ vi ệ c ( ) chọn , ta được . Câu 4: Xác đị nh các đa thức thực ( ) thỏa mãn đi ề u ki ệ n ()( ) ( ) Giải: Ta nhận thấy đa thức hằng ( ) và ( ) thỏa mãn bài Toán. Ta ch ứng minh các đa thức bậc dương không thỏa. Chú ý rằng đẳngthức trong bài Toán cũng đúng v ới giá trị phức. l à một nghi ệ m (thực hoặc phức) của ( ) . Nế u thì ( ) ( ) , trong đó () Gi ả sử Thế vào đi ề u ki ệ n đã cho, ta thu được: ()( ) ( ) ( ) Đi ề u này mâu thuẫn ( ) | có giá trị l ớn nhất trong các nghi ệ m của ( ). Khi đó . Ta có thể gi ả thi ế t modulo | V ậy và √( ) cũng là nghi ệ m. Do đó | | | | và |√( ) | √ √ Đặt : | | | | ( ) ( ) () Thay vào ti ế p, ta l ại có |√( ) √| ,( ) - ( )( ) ( ) () 15
- mt Theo ( ), ta có: *( ) + Mâu thuẫn với ( ). Câu 5: Chọn một trong hai câu sau: 5a) Cho l à ma trận thực, vuông cấp , có vế t là và . Tìm đa thức đặc trưng và đa thức tối ti ể u của . 5b) Cho l à các ma trận thực, vuông cấp , trong đó khả nghị ch và đồng thời giao hoán . Gi ả sử ( ) . Chứng minh giao hoán với nhau. Giải: 5a) Cách 1: Tính trực ti ế p Vì nên tồn tại vector khác sao cho các vector dòng còn l ại đề u bi ể u di ễ n tuyế n tính được qua nó. Do đó ma trận có dạng sau: ( ) Đặt . ( ) ( ) Khi đó và ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) • Ta có V ậy đa thức tối ti ể u của l à ( ) . () ( ) • Tính đị nh thức | | | | | | | | | | | | 16
- mt | | | | | | | | ( ) Dễ dàng chứng minh bằng quy nạp rằng: ( ) ( ) là ( ) ( ) V ậy đa thức đặc trưng của Cách 2: V ì hay ( ) nên có đúng vector riêng ứng với . Do vậy mà giá trị riêng còn l ại là một số thực. Từ đó chéo hóa được và trên đường chéo chỉ có một phần rử khác l à .Suy ra ngay đa thức đặc trưng và đa thức tối ti ể u. ( ) ( )( ) 5b) Từ gi ả thi ế t, suy ra hay ( )( ) ( ) ( ) Do khả nghị ch và đồng thời giao hoán cả nên Suy ra ( ) ( ) l à nghị ch đảo của nhau nên ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) V ậy ( ) ( ) tức . 17
- mt HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN TOÀN QUỐC LẦN THỨ XIX NĂM 2011 Môn thi: Đại số Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Xét không gian trên trường số thực , chứng minh rằng tập hợp * + độc l ập tuyế n tính trong không gian các hàm liên tục ( ) Giải: Gi ả sử ta có hệ thức tuyế n tính: (2đ) Chia 2 vế cho và l ấy gi ới hạn suy ra Quy nạp được . (3đ) Bài 2: Cho 3 dãy số * +* +* + x ác đị nh như sau: và { . Tính . ( ) ( ) Khi đó Giải: Đặt (1đ) là ( ) ( )( )( ) nên Đa thức đặc trưng của có 3 gtr (1đ) () () Cách 1: suy ra (1đ) ( Lập hpt cho bằng cách thay các giá trị đặc bi ệ t của t và gi ải ta tìm được ) (1đ) ( ) Suy ra (1đ) Cách 2: Chéo hóa kèm ma trận bi ế n đổi cơ sở (2đ) Tính (1đ) Bài 3: Cho các ma trận thực vuông cùng cấp . Đặt . Chứng minh rằng nế u ma trận giao hoán với cả hai ma trận và thì tồn tại số nguyên dương sao cho ( vớ i l à ma trận không cấp ) Giải: ( ) (2đ) * Chứng minh quy nạp V ới : ok ( ) Gi ả sử ta có , ta chứng minh Thật vậy ( ) ( ) ( ) ( ) * Lấy ( ) l à đa thức bậc bất kì. () ( ) Ta có Từ ( ) suy ra () () ( ) ( ) (1đ) 18
- mt Xét đa thức đặc trưng của : ( ) ( ) Ta có ( ) (2đ) () () () () Theo ( ) ta có Lại chọn ( ) ( ) và nhờ vào tính giao hoán của , ta có () () () ( ) Ti ế p tục quá trình này ta được: . sao cho nế u đa thức ( ) bậc Bài 4: Tìm đi ề u ki ệ n cần và đủ đối với các tham số có n nghi ệ m thực (kể cả bội) thì đa thức ( ) () ( ) cũng có nghi ệ m thực. Giải: * Đi ề u ki ệ n cần: l ấy ( ) ⁄ (1đ) ⁄ suy ra hoặc Qua gi ới hạn suy ra (1đ) * Đi ề u ki ệ n đủ: bổ đề ( ) () ( ) có đủ nghi ệ m thực (1đ) Để chứng minh, xét ( ) ( ) cũng có ( ) có nghi ệ m thực nên ( ) có nghi ệ m thực, nên nghi ệ m thực. (1đ) Áp dụng l ần nữa, ( ) ( ) có nghi ệ m thực từ đó chọn thích hợp để l à đi ề u ki ệ n đủ. (1đ) Bài 5: Hai sinh viên A và B chơi trò chơi như sau: Cho m ột bảng vuông ô, . Mỗi lượt, A chọn một số nguyên đi ề n vào vị trí ( ) nào đó (tùy chọn nhưng không l ặp l ại). Sau đó B được quyề n chỉnh sửa giá trị đó bằng cách gi ữ nguyên hoặc thêm bớt 1 đơn vị . Trò chơi kế t thúc sau khi đi ề n xong bảng để nhận được ma trận . B khẳng đị nh luôn có cách để nhận được ma trận khả nghị ch và không có đi ể m bất động (tức là không có vector để ). Khẳng đị nh của B đúng hay sai? Hãy chứng minh nhận đị nh của bạn. ( ) ( ) Giải: B chọn . (2đ) || ( )( ) (1đ) nên vector đồng dư ̅ Nế u có vector riêng tương ứng với 1 thì có thể chọn ( tức là các phần tử đề u l ấy mod 3) là vector riêng (1đ) Nhưng | | chỉ có giá trị riêng là . (1đ) Bài 6: Thí sinh chọn một trong hai câu sau: 6a. Tìm đi ề u ki ệ n của các tham số để hệ phương trình sau có nghi ệ m duy nhất ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) {( ) ( ) ( ) ( ) . /. Hãy tính 6b. Cho ma trận 19
- mt Giải: 6a) Đị nh thức tương ứng bằng ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) , ( )( )( )( )- => Trong đó đôi một phân bi ệ t (1đ) √( ) (2đ) => ( ) (2đ) √ 6b) Cách 1: => (1đ) Cách 2: . / . / => . / Đặt Khi đó: ( ) /( ) . . / √ . /. / √ ( ) => 20
Chính trị học
Báo chí - Truyền thông
Xã hội học
Giáo dục học
Tâm lý học
Lịch sử - Văn hoá
Triết học
Ngôn ngữ học
Thư viện thông tin
Văn học nước ngoài
Ngư nghiệp
Hành chính - Pháp luật
Địa lý - Địa danh
Văn học Việt nam
Lịch sử Đảng
CNXH - KH
Tư Tưởng HCM
Ngụ ngôn - Cổ tích
Ca dao - Tục ngữ
Hoá học
Sinh học
Y khoa - Dược
Kinh tế học