- Trang Chủ
- Luận Văn - Báo Cáo
- Đề tài: Xây dựng hệ thống kiểm soát chất lượng sản phẩm cho một sản phẩm mộc mỹ nghệ tại lang nghề sản xuất đồ gỗ (part 5)
Xem mẫu
- Đồ án tốt nghiệp
Tìm hiểu Chữ kí nhóm
và ứng dụng trong giao
dịch điện tử
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
LỜI NÓI ĐẦU
Trong xu hướng phát triển của thế giới và Việt Nam hiện nay, mạng Internet đang
đem đến sự bùng nổ thông tin một cách mạnh mẽ. Nó được sử dụng để truyền thư điện
tử, truy cập các website, kết nối các công sở, liên lạc với các khách hàng và sử dụng
các dịch vụ ngân hàng, các giao dịch điện tử…
Tiềm năng của mạng Internet là rất lớn. Như ta đã biết các giao tiếp, trao đổi thông
tin qua Internet đều sử dụng giao thức TCP/IP. Các gói tin truyền từ điểm nguồn tới
điểm đích sẽ đi qua rất nhiều máy tính trung gian, vì vậy độ an toàn thấp, nó rất dễ bị
xâm phạm, theo dõi và giả mạo trên đường truyền. Vấn đề không an toàn cho thông tin
trên đường truyền khiến nhiều người đắn đo trong việc sử dụng mạng Internet cho
những ứng dụng về tài chính, giao dịch ngân hàng, hoạt động mua bán và khi truyền
các thông tin kinh tế, chính trị vv…
Những biện pháp đảm bảo an toàn thông tin đưa ra đều nhằm đáp ứng 3 yêu cầu:
bảo mật thông tin, xác thực thông tin và toàn vẹn thông tin trên đường truyền. Các
hệ mã hóa thông tin bảo đảm tính bí mật nội dung thông tin, các sơ đồ chữ ký số bảo
đảm xác thực thông tin trên đường truyền.
Tuy nhiên, nhu cầu của con người không chỉ dừng lại ở việc giao dịch giữa các cá
nhân với nhau, mà còn giao dịch thông qua mạng giữa các nhóm người, các công ty,
các tổ chức khác nhau trên thế giới. Dựa trên những yêu cầu thực tế đó các nhà khoa
học đã nghiên cứu và đề xuất ra một kiểu chữ ký mới, đó chính là chữ ký nhóm.
Trong đồ án này tôi đã tìm hiểu và nghiên cứu về chữ ký nhóm. Đây là một loại
chữ ký điện tử cho phép một nhóm người tạo các chữ ký đại diện cho nhóm, và chỉ
những thành viên trong nhóm mới có thể ký vào các thông điệp của nhóm. Người quản
trị của nhóm có trách nhiệm thành lập nhóm và trong trường hợp cần thiết phải biết
được ai là người ký vào thông điệp.
Trong quá trình làm đồ án tốt nghiệp, em đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của
TS.Lê Phê Đô. Em xin chân thành cảm ơn! Đồng thời, em xin cảm ơn các thày cô giáo
bộ môn Tin học – trường Đại học Dân lập Hải Phòng đã trang bị cho em những kiến
thức cơ bản trong quá trình học tập tại trường.
1
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Chương I
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1 Cơ sở toán học
1.1.1. Ước số - Bội số
Định nghĩa : Ước số của a và b là c nếu c|a và c|b
Ước số chung lớn nhất : Là số lớn nhất mà a và b chia hết
Ký hiệu : c = gcd (a,b) ; (great common divisor)
Bội số chung nhỏ nhất : d là BCNN của a và b nếu ∀ c mà a|c , b|c → d|c
Ký hiệu : d = lcm (a,b) ; (least common multiple)
Tính chất: lcm (a,b) = a.b/gcd(a,b)
1.1.2. Số nguyên tố
Định nghĩa : Số nguyên tố là số chỉ chia hết cho 1 và chính nó, ngoài ra không còn
số nào nó có thể chia hết nữa. Hệ mật thường sử dụng số nguyên tố lớn cỡ 512bits và
thậm chí còn lớn hơn nữa.
Hai số m và n gọi là hai số nguyên tố cùng nhau khi ước số chung lớn nhất của
chúng bằng 1. Chúng ta có thể viết như sau:
UCLN(m,n) = 1
1.1.3. Khái niệm nhóm
Định nghĩa : Nhóm là bộ đôi (G, ∗ ), trong đó G là tập ≠ φ và ∗ là một phép toán
hai ngôi trong G thỏa mãn ba tiên đề sau
1. Phép toán nhóm kết hợp
∀ a, b, c ∈ G
a * (b * c) = (a * b) * c
2. Có một phần tử 0 ∈ G được gọi là phần tử đơn vị thỏa mãn
∀ a ∈G
a*0=0*a
3. Với mỗi a ∈ G, tồn tại một phần tử a-1 ∈ G được gọi là nghịch đảo
a * a-1 = a-1 * a = 0
Nhóm được gọi là giao hoán (hay nhóm Abel) nếu
∀ a, b ∈ G
a*b=b*a
1.1.4. Nhóm hữu hạn
Định nghĩa : Nhóm (G, ∗ ) hữu hạn nếu |G| là hữu hạn. Số các phần tử của nhóm G
được gọi là cấp của nhóm.
Ví dụ :
Tập các số nguyên Z với phép cộng sẽ tạo nên một nhóm. Phần tử đơn vị
của nhóm này được kí hiệu là 0, phần tử ngược của một số nguyên a là
số nguyên –a.
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
2
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Tập Zn với phép cộng modulo tạo nên một nhóm cấp n. Tập Zn với phép
toán nhân theo modulo n không phải là một nhóm vì không phải mọi
phần tử của nhóm đều có nghịch đảo. Tuy nhiên tập Z * sẽ là một nhóm
n
cấp φ (n) với phép toán nhân theo modulo n và có phần tử đơn vị là 1.
1.1.5. Nhóm con
Định nghĩa : Bộ đôi (S, ∗ ) được gọi là nhóm con của (G, ∗ ) nếu:
S ⊂ G, phần tử trung gían e ∈ S
x, y ∈ S ⇒ x * y ∈ S
1.1.6. Nhóm Cyclic
Định nghĩa : Nhóm G được gọi là nhóm cyclic nếu tồn tại một phần tử α ∈ G sao
cho với mỗi b ∈G có một số nguyên I sao cho b = αi. Phần tử α như vậy được gọi là
phần tử sinh của G
Nếu G là một nhóm và a ∈ G thì tập tất cả các lũy thừa của a sẽ tạo nên một nhóm
con cyclic của G. Nhóm này được gọi là nhóm con sinh bởi a và được kí hiệu là a
1.1.7. Các thuật toán trong Z
Cho a và b là các số nguyên không âm và nhỏ hơn hoặc bằng n. Cần chú ý rằng số
các bit trong biểu diễn nhị phân của n là [lgn] + 1 và số này xấp xỉ bằng lg n. Số các
phép toán bit đối với bốn phép toán cơ bản trên các số là cộng , trừ, nhân và chia sử
dụng các thuật toán kinh điển được tóm lược trên bảng sau. Các kỹ thuật tinh tế hơn
đối với các phép toán nhân và chia sẽ có độ phức tạp nhỏ hơn.
Phép toán Độ phức tạp bit
Cộng a+b 0(lg a + lg b) = 0 (lg n)
Trừ a–b 0(lg a + lg b) = 0 (lg n)
0 ((lg a) * (lg b)) = 0 ((lg n)2)
Nhân a*b
0 ((lg a) * (lg b)) = 0 ((lg n)2)
Chia a = qb + r
1.1.8. Thuật toán Euclide : Tính UCLN của 2 số nguyên
VÀO : Hai số nguyên không âm a và b với a > b
RA : UCLN của a và b
(1). while b ≠ 0 do
R ← a mod b, a ← b, b ← r
(2). Return (a)
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
3
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
1.1.9. Thuật toán Euclide mở rộng
VÀO : Hai số nguyên không âm a và b với a > b
RA : d = UCLN (a, b) và các số nguyên x và y thỏa mãn ax + by = d
(1) Nếu b = 0 thì đặt d ← a, x ← l, y ← 0 và return (d, x, y)
(2) Đặt x2 ← l, x1 ← 0, y2 ← 0, y1 ← l
(3) while b > 0 do
1. q ← [a/b], r ← a – qb, x ← x2 – qx1 , y ← y2 – qy1
2. a ← b, b ← r, x2 ← x1, x1 ← x, y2 ← y1 , y1 ← y
(4) Đặt d ← a, x ← x2, y ← y2 và return (d, x, y)
1.1.10. Định nghĩa hàm Φ Euler
Định nghĩa : Với n≥1 chúng ta gọi φ (n) là tập các số nguyên tố cùng nhau với n
nằm trong khoảng [1,n].
Tính chất :
Nếu p là số nguyên tố → φ (p) = p-1
Nếu p=m.n , gcd(m,n)=1
→ φ (p)= φ (m).φ (n)
Nếu n = p1e p2 p3 .... pke là thừa số nguyên tố của n thì
e e 3 k
1 2
1⎞ ⎛ 1⎞
⎛ 1 ⎞⎛
→ φ (n) = n ⎜1 − ⎟...⎜1 − ⎟
⎟⎜1 −
⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ pk ⎟
p1 ⎠⎝ p2 ⎠ ⎝
⎝ ⎠
1.1.11. Đồng dư thức
Định nghĩa : Cho a và b là hai số nguyên tố, a được gọi là đồng dư với b theo
modulo n, ký hiệu là a ≡ b(mod n) nếu a, b chia cho n có cùng số dư.
Ví dụ : 24 ≡ 9 mod 5 vì 24 - 9 = 3 * 5
-11 ≡ 17 mod 7 vì -11 - 17 = -4 * 7
Tính chất :
Đối với a, a1, b, b1, c ∈ Z ta có :
a ≡ a (mod n)
a ≡ b (mod n) ↔ b ≡ a (mod n)
a ≡ b (mod n) , b ≡ c (mod n) → a ≡ c (mod n)
a ≡ a1 (mod n) , b ≡ b1 (mod n)
a+b≡ a1+b1 (mod n)
a.b ≡ a1.b1 (mod n)
1.1.12. Số nghịch đảo
Định nghĩa : Cho a ∈ Zn. Một số nguyên x ∈ Zn gọi là nghịch đảo của a theo mod n
nếu a.x ≡ 1mod n..
-1
Nếu có số x như vậy thì nó là duy nhất và ta nói a là khả nghịch. Ký hiệu là a . Có
thể suy ra rằng a khả nghịch theo mod n khi và chỉ khi gcd (a,n)=1.
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
4
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
1.1.13. Nhóm nhân Z*n
Định nghĩa : Nhóm nhân của Zn ký hiệu là Z*n là tập hợp các phần tử sao cho gcd
(a,n)=1. Đặc biệt với n là số nguyên tố thì Z*n={ a ∈ Zn | 1≤a≤n-1}
Định nghĩa : Cho a ∈ Z*n khi đó bậc của a kí hiệu là ord (a) là một số nguyên
dương t nhỏ nhất sao cho a t ≡ 1(mod n).
1.1.14. Định nghĩa thặng dư bậc 2
Định nghĩa : Cho a ∈ Z*n gọi a là thặng dư bậc 2 theo modulo n nếu tồn tại x sao
cho x2 ≡ a (mod n) . Nếu không tồn tại thì gọi a là bất thặng dư bậc 2. Tập tất cả các
thặng dư bậc hai modulo n được kí hiệu là Qn , còn tập tất cả các thặng dư không bậc
hai được kí hiệu là Q n .
1.1.15. Phần dư China CRT ( Chinese Remainder Theorem)
Nếu các số nguyên n1, n2, …, nk là nguyên tố cùng nhau từng thì hệ các phương
trình đồng dư:
x ≡ a1 (mod n1)
x ≡ a2 (mod n2)
………………
x ≡ ak (mod nk)
sẽ có nghiệm duy nhất theo modulo n (n = n1, n2, …, nk)
k
∑
x= ai Ni Mi mod n
i =1
Trong đó Ni = n / ni và Mi = N i−1 mod ni
Các tính toán này có thể được thực hiện bởi 0 ((lg n )2) các phép toán trên bit.
Ví dụ : Cặp phương trình đồng dư
x ≡ 5 (mod 9)
x ≡ 19 (mod 23) có nghiệm duy nhất x ≡ 203 (mod 207)
Tính chất
Nếu (n1, n2) = 1 thì cặp phương trình đồng dư
x ≡ a (mod n1), x ≡ a (mod n2)
có một nghiệm duy nhất x ≡ a (mod n1, n2)
1.1.16. Độ phức tạp tính toán
Lý thuyết thuật toán và các hàm số tính được ra đời từ những năm 30 của thế kỉ 20
đã đặt nền móng cho việc nghiên cứu các vấn đề “ tính được ”, “ giải được ” trong toán
học. Tuy nhiên từ các “ tính được ” đến việc tính toán thực tế là một khoảng cách rất
lớn. Có rất nhiều vấn đề chứng minh là có thể tính được nhưng không tính được trong
thực tế dù có sự trợ giúp của máy tính. Vào những năm 1960 lý thuyết độ phức tạp
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
5
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
tính toán được hình thành và phát triển nhanh chóng, cung cấp nhiều hiểu biết sâu sắc
về bản chất phức tạp của các thuật toán và các bài toán, cả những bài toán thuần túy lý
thuyết đến những bài toán thường gặp trong thực tế.
Độ phức tạp tính toán của một tiến trình tính toán là số ô nhớ được dùng hay số các
phép toán sơ cấp được thực hiện trong tiến trình tính toán đó. Dữ liệu đầu vào đối với
một thuật toán thường được biểu diễn qua các từ trong một bảng kí tự nào đó. Độ dài
của một từ là số kí tự trong từ đó.
1.1.17. Các thuật toán trong Zn
Cho n là một số nguyên dương. Các phần tử của Zn sẽ được biểu thị bởi các số
nguyên Q21 = {0, 1, 2, … n-1}.
Ta thấy rằng, nếu a, b ∈ Zn thì
a+b với a + b < n
(a + b) mod n = a + b – r.n với a + b ≥ n
Bởi vậy phép cộng ( và trừ ) theo modulo có thể thực hiện đựợc mà không cần
phép chia. Phép nhân modulo của a và b có thể được thực hiện bằng cách nhân các số
nguyên thông thường rồi lấy phần dư của kết quả sau khi chia cho n. Các phần tử
nghịch đảo trong Zn có thể được tính bằng cách dùng thuật toán Euclide mở rộng được
mô tả dưới đây:
1.1.18. Thuật toán ( Tính các nghịch đảo trong Zn )
: a ∈ Zn
VÀO
: a-1 mod n (nếu tồn tại)
RA
1. Dùng thuật toán Euclide mở rộng để tìm các số nguyên x và y sao
cho ax + ny = d trong đó d = (a, n)
2. Nếu d >1 thì a-1 mod n không tồn tại. Ngược lại return (x)
Phép lũy thừa theo modulo có thể được thực hiện có hiệu quả bằng thuật toán nhân
và bình phương có lặp. Đây là một thuật toán rất quan trọng trong nhiều thủ tục mật
mã. Cho biểu diễn nhị phân của a là :
t
∑ ki2i trong đó mỗi ki ∈ {0, 1} khi đó
i =0
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
6
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
( ) (a ) ...(a )
t k0 k1 kt
∏a
ak =
0
21 2t
ki
2k = a 2
i =0
Thuật toán nhân và bình phương có lặp để lấy lũy thừa trong Z n
: a ∈ Zn và số nguyên k, (0 ≤ k < n) có biểu diễn nhị phân :
VÀO
t
∑k 2
k= i
i
i =0
: ak mod n
RA
1. Đặt b ← l. Nếu k = 0 thì return (b)
2. Đặt A ← a
3. Nếu k0 = 1 thì đặt b ← a
4. for i from l to t do
1. Đặt A ← A2 mod n
2. Nếu ki = l thì đặt b ← A*b mod n
5. Return (b).
Số các phép toán bit đối với phép toán cơ bản trong Zn
Phép toán Độ phức tạp bit
Cộng modulo 0(lg n)
Trừ modulo 0(lg n)
0 ((lg n ) 2 )
Nhân modulo
0 ((lg n ) 2 )
Nghịch đảo modulo
0 ((lg n ) 3 )
Lũy thừa modulo
Độ phức tạp bit của các phép toán cơ bản trong Zn
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
7
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
1.1.19. Hàm một phía - Hàm một phía có cửa sập
Một hàm một phía là hàm mà dễ dàng tính toán ra quan hệ một chiều nhưng rất khó
để tính ngược lại.
Ví dụ : Biết giả thiết x thì có thể dễ dàng tính ra f(x), nhưng nếu biết f(x) thì rất khó
tính ra được x. Trong trường hợp này khó có nghĩa là để tính ra được kết quả thì phải
mất rất nhiều thời gian để tính toán.
F(x) được gọi là hàm một phía có cửa sập nếu tính xuôi y = f(x) thì dễ nhưng tính
ngược x =f −1 (y) thì khó tuy nhiên nếu có “ cửa sập ” thì vấn đề tính ngược trở nên dễ
dàng. Cửa sập ở đây là một điều kiện nào đó giúp chúng ta dễ dàng tính ngược.
Ví dụ :
y = f(x) = xb mod n tính xuôi thì dễ nhưng tính ngược x = ya mod n thì khó vì phải
biết a với a * b ≡ 1 (mod(φ (n))) trong đó φ (n) = (p-1)(q-1). Nhưng nếu biết cửa sập p,
q thì việc tính n = p * q và tính a trở nên dễ dàng.
Hộp thư là một ví dụ về hàm một phía có cửa sập. Bất kỳ ai cũng có thể bỏ thư vào
thùng. Bỏ thư vào thùng là một hành động công cộng. Mở thùng thư không phải là
hành động công cộng. Nó là việc khó khăn, bạn sẽ cần đến mỏ hàn để phá hoặc những
công cụ khác. Hơn nữa nếu bạn có “ cửa sập ” ( Trong trường hợp này là chìa khóa của
hòm thư ) thì công việc mở hòm thư thật dễ dàng.
1.2 Tìm hiểu về mật mã
Mật mã học là khoa học nghiên cứu sự an toàn, toàn vẹn của dữ liệu, xác nhận sự
tồn tại và xác nhận tính nguyên bản của thông tin.
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
8
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Sơ đồ khối một hệ truyền tin mật
Thám mã
Bản rõ Bản mã Bản mã Bản rõ
Nguồn tin Bộ mã hóa Kênh mở Bộ giải mã Nhận tin
(không an toàn)
KD
KE
A B
Kênh an toàn
Nguồn khóa
Định nghĩa : Một hệ mật mã là một bộ năm (P, C, K, E, D) thoả mãn các điều kiện
sau đây:
+ P là một tập hữu hạn các bản rõ.
+ C là một tập hữu hạn các bản mã.
+ K là một tập hữu hạn các khoá.
+ Với mỗi k ∈ K, có một hàm lập mã e ∈ E
k
e :P→C
k
và một hàm giải mã d ∈ D
k
d : C → P sao cho d (e k (x)) = x với mọi x ∈ P
k k
Trong thực tế, P và C thường là bảng chữ cái (hoặc tập các dãy chữ cái có độ
dài cố định).
1.2.1. Mã cổ điển
Hệ mã cổ điển (hệ mã đối xứng) là hệ mật mã mà khóa mã hóa có thể dễ dàng tìm
được từ khóa giải mã và ngược lại. Trong nhiều trường hợp, khóa mã hóa và khóa giải
mã là giống nhau.
Hệ mật mã cổ điển yêu cầu người gửi và người nhận phải thỏa thuận một mã trước
khi tin tức được gửi đi, khóa này phải được cất giữ bí mật. Độ an toàn của hệ này phụ
thuộc vào khóa. Nếu để lộ khóa, thì bất kỳ người nào cũng có thể mã hóa và giải mã
thông điệp đó.
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
9
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Các đặc điểm của hệ mã cổ điển
1. Các phương pháp mã hóa cổ điển đòi hỏi người mã hóa và người giải mã phải
có cùng chung một khóa.
2. Khóa phải được giữ bí mật tuyệt đối, khóa phải được gửi đi trên kênh an toàn.
Vì dễ dàng xác định một khóa nếu biết khóa kia.
Nhược điểm chính của phương pháp này là khóa được truyền trên kênh an toàn nên
chi phí tốn kém và không kịp thời. Ưu điểm là tốc độ mã hóa và giải mã rất nhanh.
Các hệ mật mã cổ điển cũng dùng chung một khoá cho việc lập mã và giải mã, các
bản rõ và bản mã thường dùng cơ sở là bảng chữ cái trong ngôn ngữ tự nhiên. Và
trong phần này ta sẽ dùng bảng chữ cái tiếng Anh làm ví dụ.
Nơi ứng dụng
Hệ mã cổ điển thường được sử dụng trong môi trường mà khóa có thể dễ dàng trao
chuyển bí mật. Nó cũng được dùng để mã hóa thông tin khi lưu trữ trên đĩa.
1.2.1.1. Mã dịch chuyển
Định nghĩa : Mã dịch chuyển: (P, C, K, E, D)
P = C = K = Z với k ∈ K, định nghĩa e (x) = (x + k) mod 26
26 k
d (y) = (y – k) mod 26
k
(x, y ∈ Z )
26
Ví dụ: Dùng khoá k = 2 để mã hoá dòng thư:
"madichchuyen'"
dòng thư đó tương ứng với dòng số
m a d i c h c h u y e n
12 0 3 8 2 7 2 7 20 24 4 13
Qua phép mã hoá e sẽ được:
2
14 2 5 10 4 9 4 9 22 26 6 15
o c f k e j e j w z g p
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
10
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Bản mã sẽ là:
“ocfkejejwzgp”
Nhận được bản mã đó, dùng d để nhận được bản rõ.
2
Cách đây 2000 năm mã dịch chuyển đã được Julius Ceasar sử dụng, với khoá k=3
mã địch chuyển được gọi là mã Ceasar.
Tập khoá phụ thuộc vào Z với m là số khoá có thể.
m
Trong tiếng Anh tập khoá chỉ có 26 khoá có thể, việc thám mã có thể được thực
hiện bằng cách duyệt tuần tự 26 khoá đó, vì vậy độ an toàn của mã dịch chuyển rất
thấp.
1.2.1.2. Mã thay thế
Định nghĩa Mã thay thế: (P, C, K, E, D)
P = C = Z , K = S (Z ) Với mỗi π є K, tức là một hoán vị trên Z , ta xác định
26 26 26
e (x) = π (x)
π
-1
d (y) = π (y)
π
-1
với x, y є Z , π là nghịch đảo của π
26
Ví dụ: π được cho bởi (ở đây ta viết chữ cái thay cho các con số thuộc Z ):
26
a b c d e f g h i j k l m n
z y x w v u t s r q p o n m
o p q r s t u v w x y z
l k j i h g f e d c b a
Bản rõ:
“mathaythe”
sẽ được mã hoá thành bản mã (với khoá π):
“nzgszbgsv”
-1
Dễ xác định được π , và do đó từ bản mã ta tìm được bản rõ.
Mã thay thế có tập hợp khoá khá lớn - bằng số các hoán vị trên bảng chữ cái, tức số
26
các hoán vị trên Z , hay là 26! > 4.10 . Việc duyệt toàn bộ các hoán vị để thám mã là
26
rất khó, ngay cả đối với máy tính. Tuy nhiên, bằng phương pháp thống kê, ta có thể dễ
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
11
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
dàng thám được các bản mã loại này, và do đó mã thay thế cũng không thể được xem
là an toàn
1.2.1.3. Mã Affine
Định nghĩa Mã Affine: (P, C, K, E, D)
P = C = Z , K = { (a, b) є Z x Z : (a, 26) = 1 }
26 26 26
với mỗi k = (a, b) є K ta định nghĩa:
e (x) = ax + b mod 26
k
-1
d (y) = a (y – b) mod 26
k
trong đó x, y є Z
26
Ví dụ: Lấy k = (5, 6).
Bản rõ:
“maaffine”
m a a f f i n e
x 12 0 0 5 5 8 13 4
Y=5x + 6 mod 26
14 6 6 5 5 20 19 0
y o g g f f u t a
Bản mã:
“oggffuta”
Thuật toán giải mã trong trường hợp này có dạng:
d (y) = 21(y − 6) mod 26
k
Với mã Affine, số các khoá có thể có bằng (số các số ≤ 26 và nguyên tố với 26) ×
26, tức là 12 × 26 = 312. Việc thử tất cả các khoá để thám mã trong trường hợp này
tuy khá mất thì giờ nếu tính bằng tay, nhưng không khó khăn gì nếu dùng máy tính.
Do vậy, mã Affine cũng không phải là mã an toàn
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
12
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
1.2.1.4. Mã Vingenere
Định nghĩa Mã Vingenere: (P, C, K, E, D)
Cho m là số nguyên dương.
P = C = K = (Z 26 )m
với mỗi khoá k = (k , k ,…,k ) ∈ K có:
1 2 m
e (x , x ,…, x ) = (x + k , x + k ,…, x + k )
k 1 2 m 1 1 2 2 m m
d (y , y ,…, y ) = (y – k , y – k ,…, y – k )
k 1 2 m 1 1 2 2 m m
các phép cộng phép trừ đều lấy theo modulo 26
Ví dụ: Giả sử m = 6 và khoá k là từ CIPHER - tức k = (2, 8, 15, 7, 4, 17).
Bản rõ:
“mavingenere”
m a v i n g e n e r e
x 12 0 21 8 13 6 4 13 4 17 4
k 2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4
y 14 8 10 15 17 23 6 21 19 24 8
o i k p r x g v t y i
Bản mã
“ oikprxgvtyi ”
Từ bản mã đó, dùng phép giải mã d tương ứng, ta lại thu được bản rõ.
k
Chú ý: Mã Vingenere với m = 1 sẽ trở thành mã Dịch chuyển.
m
Tập hợp các khoá trong mã Vingenere mới m ≥ 1 có tất cả là 26 khoá có thể có.
Với m = 6, số khoá đó là 308.915.776, duyệt toàn bộ chừng ấy khoá để thám mã bằng
tính tay thì khó, nhưng với máy tính thì vẫn là điều dễ dàng.
1.2.1.5. Mã Hill
Định nghĩa Mã Hill: (P, C, K, E, D)
Cho m là số nguyên dương.
P = C = (Z 26 )m
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
13
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
K = { k ∈ (Z 26 )mxm
mxm : (det(k), 26) = 1 }
với mỗi k ∈ K định nghĩa:
e (x , x ,…, x ) = (x , x ,…, x ).k
k 1 2 m 1 2 m
-1
d (y , y ,…, y ) = (y , y ,…,y ).k
k 1 2 m 1 2 m
⎛11 8 ⎞
Ví dụ: Lấy m = 2, và k = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝3 7⎠
Với bộ 2 ký tự (x , x ), ta có mã là (y , y ) = (x , x ). k được tính bởi
1 2 1 2 1 2
y = 11.x + 3.x
1 1 2
y = 8.x + 7.x
2 1 2
Giả sử ta có bản rõ: “tudo”, tách thành từng bộ 2 ký tự, và viết dưới dạng số ta
được 19 20 | 03 14 , lập bản mã theo quy tắc trên, ta được bản mã dưới dạng số là: 09
06 | 23 18, và dưới dạng chữ là “fgxs”.
Chú ý:
Để đơn giản cho việc tính toán, thông thường chọn ma trận vuông 2×2. Khi đó có
thể tính ma trận nghịch đảo theo cách sau :
⎛a b⎞
Giả sử ta có k = ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝c d ⎠
−1
⎛a b⎞
k −1 = ⎜
⎜c d ⎟
Ta có ma trận nghịch đảo ⎟
⎝ ⎠
Và được tính như sau
−b ⎞
⎛d
⎜ ⎟
−1
⎛ a b⎞
⎟ = ⎜ ad − bc ad − bc ⎟
⎜
⎜c d ⎟ ⎜ −c a⎟
⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ad − bc ad − bc ⎠
Một chú ý là để phép chia luôn thực hiện được trên tập Z thì nhất thiết định thức
26
của k: det(k) = (ad – bc) phải có phần tử nghịch đảo trên Z , nghĩa là (ad – bc) phải là
26
một trong các giá trị : 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, hoặc 25. Đây cũng là điều
kiện để ma trận k tồn tại ma trận nghịch đảo.
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
14
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
-1
Khi đó: k .k = I là ma trận đơn vị (đường chéo chính bằng 1)
−b ⎞
⎛d
⎜ ⎟
−1
⎛ a b ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎜ ad − bc ad − bc ⎟ ⎛ a b ⎞ ⎛1 0 ⎞
⎜
⎜c d ⎟ ⎜c d ⎟ = ⎜ − c ⎜ ⎟=⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟ a ⎟ ⎜ c d ⎟ ⎜ 0 1⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎜ ⎟
⎝ ad − bc ad − bc ⎠
⎛11 8 ⎞
Định thức của ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝3 7 ⎠
Là 11*7 – 8*3 = 1 ≡ 1 mod 26
Khi đó
−1
⎛ 7 − 8 ⎞ ⎛ 7 18 ⎞
⎛11 8 ⎞
⎜ 3 7 ⎟ = ⎜ − 3 11 ⎟ ≡ ⎜ 23 11⎟ mod 26
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
1.2.1.6. Mã hoán vị
Định nghĩa Mã hoán vị: (P, C, K, E, D)
Cho m là số nguyên dương.
P=C=Z ,K=S
26 m
ek (x1 , x2 , ..., xm ) = (xπ (1) , xπ (2 ) , ..., xπ (m ) )
( )
d k ( y1 , y2 , ..., ym ) = yπ −1 (1) , yπ −1 (2 ) , ..., yπ −1 (m )
với mỗi k = π ∈ S , ta có
m
-1
Trong đó π là hoán vị nghịch đảo của π
Ví dụ: Giả sử m = 4, và khoá k được cho bởi phép hoán vị π
1 2 3 4
2 3 4 1
-1
Khi đó phép hoán vị nghịch đảo π là:
1 2 3 4
4 1 2 3
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
15
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Bản rõ:
“ mahoanvi ”
m a h o a n v i
vt 1 2 3 4 1 2 3 4
π 1→2 2→3 3→4 4→1 1→2 2 →3 3→4 4→1
vt 2 3 4 1 2 3 4 1
a h o m a h o m
Bản mã:
“ ahomahom ”
Dùng hoán vị nghịch đảo, từ bản mật mã ta lại thu được bản rõ.
Chú ý:
Mã hoán vị là một trường hợp riêng của mã Hill. Thực vậy, cho phép hoán vị π của
{1, 2,…, m}, ta có thể xác định ma trận K = (k ), với
π ij
Thì dễ thấy rằng mã Hill với khoá K trùng với mã hoán vị với khoá π.
π
Với m cho trước, số các khoá có thể có của mã hoán vị là m!
Dễ nhận thấy với m = 26 ta có số khóa 26! (mã Thay thế)
1.2.2. Mã khóa công khai
Trong mô hình mật mã cổ điển trước đây mà hiện nay đang được nghiên cứu,
A(người gửi) và B (người nhận) chọn khóa bí mật K. Sau đó dùng K để tạo luật mã
hóa ek và luật giải mã dk. Trong hệ mật này dk hoặc giống ek hoặc khác, nếu để lộ ek thì
làm cho hệ thống mất an toàn.
Nhược điểm của hệ mật này là nó yêu cầu phải có thông tin trước về khóa K giữa
A và B qua một kênh an toàn trước khi gửi một bản mã bất kỳ. Trên thực tế điều này
rất khó đảm bảo. Chẳng hạn khi A và B ở cách xa nhau và họ chỉ có thể liên lạc với
nhau bằng E-mail. Trong tình huống đó A và B không thể tạo một kênh bảo mật với
giá phải chăng.
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
16
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Ý tưởng xây dựng một hệ mật khóa công khai là tìm một hệ mật không có khả
năng tính tóan để xác định dk khi biết ek. Nếu thực hiện được như vậy thì quy tắc mã ek
có thể được công khai bằng cách công bố nó trong một danh bạ (bởi vậy nên có thuật
ngữ hệ mật khóa công khai).
Ưu điểm của hệ mật khóa công khai là ở chỗ A (hoặc bất kỳ A) có thể gửi một bản
tin đã mã hóa cho B (mà không cần thông tin trước về khóa mật) bằng cách dùng mật
mã công khai ek. Người nhận A sẽ là người duy nhất có thể giải mã được bản mã này
bằng việc sử dụng luật giải bí mật dk của mình. Có thể hình dung hệ mật này tương tự
như sau: A đặt một vật vào một hộp kim loại và rồi khóa nó lại bằng một khóa số do B
để lại. Chỉ có B là người duy nhất có thể mở được hộp vì chỉ có anh ta mới biết tổ hợp
mã của khóa số của mình.
Ý tưởng về một hệ mật khóa công khai được Diffie và Hellman đưa ra vào năm
1976. Còn việc hiện thực hóa nó thì do Riyesrt, Shamir và Ableman đưa ra lần đầu vào
năm 1977, họ đã tạo nên hệ mật nổi tiếng RSA và một số hệ mật khác. Độ bảo mật của
hệ RSA dựa trên độ khó của việc phân tích ra thừa số nguyên lớn.
Nơi ứng dụng
Sử dụng chủ yếu trên các mạng công khai như Internet, khi mà việc trao chuyển
khóa bí mật tương đối khó khăn. Đặc trưng nổi bật của hệ mã hóa khóa công khai là cả
khóa công khai và bản mã đều có thể gửi đi trên một kênh thông tin không an toàn.
1.2.2.1. Mã RSA
Hệ mật này sử dụng tính toán trong Zn, trong đó n là tích của 2 số nguyên tố phân
biệt p và q. Ta thấy rằng φ(n) = (p – 1).(q – 1).
Định nghĩa
Cho n = p.q trong đó p và q là các số nguyên tố. Đặt P = C = Zn và định nghĩa:
K = {(n, p, q, a, b): n = p.q, p, q là các số nguyên tố, a.b ≡ 1 mod φ(n)}
Với K = (n, p, q, a, b) ta xác định: eK (x) = xb mod n
dK (y) = ya mod n
và
(x, y ∈ Zn) Các giá trị n và b được công khai và các giá trị p, q, a được giữ kín
Ví dụ:
Chọn p = 2, q = 5. Tính n = p.q = 2*5 = 10
φ(n)= (p – 1).(q – 1) = 1*4 = 4
Do UCLN(φ(n), b) = 1 nên chọn b = 3
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
17
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
a.b ≡ 1 mod φ(n) nên chọn a = 7
Giả sử G muốn gửi bản rõ x = 3 tới N, G phải tính:
y = eK(x)= xb mod n = 33 mod 10 = 7
Khi N nhận được bản mã y = 7, anh ta sử dụng số mũ a mật để tính:
x = dK(y) = ya mod n = 77 mod 10 = 3
Đó chính là bản rõ mà G đã mã hoá.
Độ mật của hệ RSA được dựa trên giả thiết là hàm mã eK(x) = xb mod n là hàm
một chiều. Bởi vậy thám mã sẽ gặp khó khăn về mặt tính toán để giải mã một bản
mã. Cửa sập cho phép N chính là thông tin về phép phân tích thừa số n (n = p.q). Vì
N biết phép phân tích này nên anh ta có thể tính
φ(n) = (p – 1).(q – 1) và rồi tính số mũ giải mã a bằng cách sử dụng thuật toán
Eculide mở rộng.
1.2.2.2. Mã Elgamal
Mô tả hệ mã Elgamal
Hệ mật mã ElGamal được T.ElGamal đề xuất năm 1985, dựa vào độ phức tạp của
bài toán tính lôgarit rời rạc, và sau đó đã nhanh chóng được sử dụng rộng rãi không
những trong vấn đề bảo mật truyền tin mà còn trong các vấn đề xác nhận và chữ ký
điện tử.
Bài toán logarithm rời rạc trong Zp là đối tượng trong nhiều công trình nghiên cứu
và được xem là bài toán khó nếu p được chọn cẩn thận. Cụ thể là không có một thuật
toán thời gian đa thức nào cho bài toán logarithm rời rạc. Để gây khó khăn cho các
phương pháp tấn công đã biết, p phải có ít nhất 150 chữ số và (p – 1) phải có ít nhất
một thừa số nguyên tố lớn
Hệ mật Elgamal là một hệ mật không tất định vì bản mã phụ thuộc vào cả bản rõ x
lẫn giá trị ngẫu nhiên k do G chọn. Bởi vậy sẽ có nhiều bản mã được mã từ cùng một
bản rõ.
Bài toán logarithm rời rạc trong Zp:
Đặc trưng của bài toán: I = (p, α, β) trong đó p là số nguyên tố, α ∈ Z p là
phần tử nguyên thuỷ (hay phần tử sinh), β ∈ Z *
p
Mục tiêu: Hãy tìm một số nguyên duy nhất a, 0 ≤ a ≤ p – 2 sao cho:
αa ≡ β (mod p)
Ta sẽ xác định số nguyên a bằng log α β.
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
18
- Đồ án tốt nghiệp Tìm hiểu Chữ kí nhóm và ứng dụng trong giao dịch điện tử
Định nghĩa mã hoá công khai Elgamal trong Z * :
p
Cho p là số nguyên tố sao cho bài toán logarithm rời rạc trong Z p là khó giải.
Cho α ∈ Z * là phần tử nguyên thuỷ. Giả sử P = Z * , C = Z * x Z * . Ta định
p p p p
nghĩa: K = {(p, α, a, β): β ≡ αa (mod p)}
Các giá trị p, α, β được công khai, còn a giữ kín.
Với K =(p, α, a, β) và một số ngẫu nhiên bí mật k ∈ Z p −1 , ta xác định:
eK(x, k) = (y1, y2).
y1 = αk mod p
Trong đó:
y2 = x. βk mod p
với y1, y2 ∈ Z * ta xác định:
p
dK(y1, y2) = y2(y1a) – 1 mod p
Ví dụ:
Chọn p = 7
α ∈ Z * là phần tử nguyên thuỷ nên α = 3
p
Chọn a sao cho 0 ≤ a ≤ p – 2 nên a = 2
Khi đó : β = αa mod p = 32 mod 7 = 2
Chọn một số ngẫu nhiên bí mật k ∈ Z p −1 , chọn k =3
Giả sử G muốn gửi thông báo x = 3 cho N, G phải tính:
eK(x, k) = (y1, y2)
Trong đó:
y1 = αk mod p = 33 mod 7 = 6
y2 = x. βk mod p = 3*23 mod 7 = 3
Khi N thu được bản mã (y1, y2) = (6, 3), anh ta sẽ tính:
x = dK(y1, y2) = y2(y1a)-1 mod p = 3*(62)-1 mod 7 = 3
Đó chính là bàn rõ mà G đã mã hoá
Sinh viên: Phạm Thị Hiểu Lớp CT702
19
nguon tai.lieu . vn
