Xem mẫu
- BỘ CÔNG THƯƠNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM
TP.HỒ CHÍ MINH
ĐỀ TÀI :
TÌM HIỂU VỀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG
GVHD : NGUYỄN TRƯỜNG SINH
- NHÓM 13 :
DANH SÁCH THÀNH Công Việc :
V IÊN o Làm PowerPoint
•Phạm Xuân Khánh o Hoàn thiện tài liệu
•Chắng Gia Đức o Tìm kiếm tài liệu
•Trần Thanh Phong o Tìm kiếm tài liệu
•Phạm Thành Công o Thuyết trình bài
•Lưu Hải Triều giảng
•Nguyễn Thanh Vương o Xây dựng đề tài
- GIỚI THIỆU
Phần mở đầu : DẠNG TOÀN PHƯƠNG !..
Nhằm trang bị đầy đủ kiến thức cho tất cả các bạn
sinh viên về phần Đại số tuyến tính. Đặc biệt là những
kỹ năng cơ bản để học tốt những bài tập dạng toàn
phương,nhằm chuẩn bị cho tất cả các bạn sinh viên
trước kỳ kiểm tra cuối kỳ này. Đó cũng chính là một
trong những lý do, mà nhóm 13 chúng tôi làm đề tài tiểu
luận với việc “cung cấp kiến thức cho các bạn hiểu rõ”.
Chúng tôi chia bài tiểu luận thành những mục khác
nhau, với những mục riêng của từng phần. Trong đó có:
1.Tóm tắt lý thuyết và Giải bài tập ví dụ trong dạng toàn
phương. Ngoài ra chúng tôi còn đưa thêm một số bài
liên quan đến dạng toàn phương ,nhằm góp cho tất cả
các bạn hiểu rõ hơn về bài tập đó…
- 2. Tuy nhiên chắc chắn chúng tôi sẽ không tránh khỏi
những thiếu sót. Nhóm 13 rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp của tất cả các thầy cô và các bạn sinh
viên ở trong trường cũng như ngoài trường, để lần sau
nhóm 13 viết tiểu luận đạt kết quả cao hơn.
Nhóm 13 xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Trường
Sinh, Trường Đại học Công Nghiệp Thực phẩm Thành
phố Hồ Chí Minh đã giúp nhóm 13 hoàn thành bài tiểu
luận này.
Những chỉ dẫn và đóng góp của các bạn xin gửi về
Nhóm 13 qua Email:luclamkhanh@gmail.com.
Xin chân thành cảm ơn!...
- I. Khái niệm dạng toàn phương
1. Định nghĩa :
- Cho V là không gian vector n chiều trên R, hàm :
ω
xác định như sau, với mỗi : V R
x = ( x1 , x2 ,..., xn ) V
ω x ) = a11 x1 +2a12 x1 x2 +2a13 x1 x3 +... +2a1n x1 xn
2
(
+a22 x2 +2a23 x2 x3 +... +2a2 n x2 xn
2
+a33 x3 +... +2a3n x3 xn
2
....................
+an n xn
Được gọi là dạng toàn phương trên
2
V.
- Chứng minh định nghĩa :
Dạng toàn phương V.
ω( x) = a11 x12 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + ... + 2a1n x1 xn
+ a x + 2a23 x2 x3 + ... + 2a2 n x2 xn
2
22 2
+ a x + ... + 2a3 n x3 xn
2
33 3
....................
khi đó, sẽ có dạng ma trận + an n x 2
n
�11 a12 ... a1n �
a
sau:
� �
a12 a22 ... a2 n �
Aω = �
� ... ... �
... ...
� �
a a2 n ... an n �
�1n
- Ví dụ : Cho dạng toàn phương:
ω :R R, x = ( x1 , x2 , x3 )
3
Ta có : ω ( x) = 2 x 2 + 4 x x − 6 x x − x 2 + 2 x x + 8 x 2
1 12 13 2 23 3
Ta viết lại :
= 2 x + 2 x1 x2 + 2 x2 x1 − 3x1 x3 − 3x3 x1 − x + x2 x3 + x3 x2 + 8 x
2 2 2
1 2 3
Do đó ma trận có dạng toàn phương là :
2 −3 �
2
�
� �
Aω = �2 −1 1 �
�3 �
− 1 8�
�
- II. Dạng chính tắc của toàn phương :
Khi ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo
a11 0
0 ...
0
a22 ... 0
... ... ...
...
0 0 0 an n
ω ( x) = a x + a x + ... + a x .
2 2 2
Hay 11 1 22 2 nn n
Thì ta gọi đó là dạng chính tắc của dạng toàn
phương.
- Ví dụ minh họa:
� 0 0�
2
� �
� −1 0 �
2 x − x + 8x
2 2 2
K(x)= 0
ma trận tương ứng
1 2 3
� 0 8�
0
� �
� 0 0�
1
� �
x + 5x
2 2
L(x)= � 0 0�
0
ma trận tương ứng
1 3
� 0 5�
0
� �
� 0 0�
1
� �
x − 6x
2 2
V(x)= ma trận tương ứng 0 6 0�
�
1 2
� 0 0�
0
� �
- III. Luật quán tính :
1. Định lí 1 :
Chỉ số quán tính dương(âm) trong dạng chính
tắc của một dạng toàn phương không phụ thuộc
vào phương pháp đưa dạng toàn phương về dạng
chính tắc.
2. Định lí 2 :
Cho dạng toàn phương Q(x) trên Rn ,Q(x) xác
định dương (âm) khi và chỉ khi số quán tính
dương (âm) bằng n.
- Ví dụ:
1) Trong R3 , dạng toàn phương :
Q( x) = 2 x + x + 4 x
2 2 2
1 2 3
có chỉ số quán tính dương bằng 3 nên nó xác
định dương.
2) Trong R4 , dạng toàn phương
Q( x) = − 5 x − 2 x − x − 3x
2 2 2 2
1 2 3 4
có chỉ số quán tính âm bằng 4 nên nó xác định
âm
- Nhận xét :
1) Một dạng toàn phương xác định dương (âm)
khi và chỉ khi ma trận của nó chỉ có các giá trị
dương (âm).
2) Một dạng toàn phương là nữa xác định dương
(âm) khi và chỉ khi ma trận của nó có giá trị riêng
= 0 và các giá trị riêng còn lại đều dương (âm).
- 3.Định lí 3 :
Cho dạng toàn phương Q có ma trận là A. Khi
đó ta có :
a) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức
∆
con chính của A kđều dương;
b) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con
chính của A đan dấu với
∆< 0
1
- Ví dụ :
Q( x) = − x + 2 x1 x2 − 2 x − 2 x2 x3 − 2 x + 2 x1 x3
2 2 2
1 2 3
Ma trận của dạng toàn phương là
−
�1 1 1 �
� �
A = � −2 −1 �
1
� −1 −2 �
1
� �
Các định thức con chính
−1 1
∆ 3 = A = −1 < 0
∆1 = −1 < 0 ; ∆ 2 = =1> 0
−2
1
Vậy Q(x) là dạng toàn phương xác định âm.
- THE END !
Xin chân thành cảm ơn
mọi người đã lắng nghe
!..
nguon tai.lieu . vn
