Đề tài: Một số vấn đề về không gian Sobolev

Lời cảm tạ  Thời gian thắm thoát thoi đưa, chớp mắt mà em đã hoàn thành bốn năm đại học. Nhớ ngày nào, đầu khóa học, ba còn đưa đến trường gặp thầy cô mới, bạn bè mới với bao bỡ ngỡ lo lắng. Vậy mà cuối cùng em cũng trải qua bốn năm học. Bốn năm học tập với biết bao khó khăn, vất vả, có những lúc vấp ngã em tưởng như mình không thể vượt qua. Nhưng mong muốn được làm luận văn khi tốt nghiệp đã thúc đẩy em phấn đấu nhiều trong học tập. Cuối cùng với kết quả đạt được trong các năm đầu, em được bộ môn phân công làm luận văn dưới sự hướng dẫn của thầy Phạm Gia Khánh. Được làm luận văn là một niềm vui, niềm vinh dự lớn đối với em. Nhưng bên cạnh đó cũng có không ít nỗi lo và gặp nhiều khó khăn, nào là khan hiếm tài liệu, thời gian hạn hẹp, mà kiến thức thì mới và tương đối khó… Nhưng với kiến thức mà em được thầy cô bộ môn trang bị trong các năm qua cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Phạm Gia Khánh cũng như sự động viên giúp đỡ của gia đình, bạn bè, cuối cùng cuốn luận văn cũng được hoàn thành. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy hướng dẫn, các thầy cô khác trong bộ môn, cùng gia đình và bạn bè. Cần Thơ, tháng 5 năm 2009 Người viết Sinh viên. Phạm Trần Nguyệt Thảo - 1 - PHẦN MỞ ĐẦU  1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như đã biết, việc nghiên cứu quá trình động trong tự nhiên cũng như trong xã hội thường dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình đạo hàm riêng bằng việc định lượng hóa các đặc trưng của đối tượng nghiên cứu bằng các đại lượng toán học. Nhưng ta cũng dễ nhận thấy rằng các quy luật tự nhiên thường dẫn đến các hệ thức phi tuyến giữa các tham biến nên cần phải xét phương trình vi phân phi tuyến. Tuy nhiên, khi đó xuất hiện những khó khăn toán học thực sự. Bởi vậy, khi xây dựng mô hình toán học chúng ta buộc phải bớt tính chính xác và bỏ qua những phần thêm phi tuyến bé hoặc chuyển sang tuyến tính hóa trong một lân cận của nghiệm đã cho bằng cách đưa bài toán về bài toán tuyến tính. Vẫn chưa đủ, để giải bài toán này ta lại có những sự thay đổi nhất định đối với giả thiết của bài toán tương ứng nghiệm của nó cũng có những thay đổi nhất định. Khi đó, việc tìm nghiệm cổ điển của bài toán mới vẫn còn rất phức tạp, vì thế, đầu tiên người ta xây dựng nghiệm suy rộng của nó, sau đó thiết lập độ trơn của chúng và chứng minh nó là nghiệm cổ điển của bài toán. Nói như vậy để thấy rằng, không gian nghiệm của bài toán được giải đã có nhiều thay đổi so với không gian nghiệm của bài toán thực tế ban đầu. Vì vậy, việc chọn các không gian hàm cho nghiệm của các bài toán có một vai trò quan trọng để đảm bảo tính đặt đúng của bài toán. Một không gian phiếm hàm tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev. Có phần yêu thích toán học ứng dụng và được sự hướng dẫn gợi ý của thầy Phạm Gia Khánh để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa học cũng như bước đầu làm quen với “Phương trình đạo hàm riêng hiện đại” em đã quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về không gian Sobolev”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chất liên quan đến không gian Sobolev. Đặc biệt quan trọng và cũng là mục tiêu chính đó là xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và giải các bài tập có liên quan đến nó. - 2 - Qua đó, giúp củng cố các kiến thức đã được học trong suốt 4 năm đại học như: giải tích 1, 2, không gian tôpô, độ đo và tích phân Lebesgue, giải tích hàm… 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Quá trình làm luận văn đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu, nhưng chủ yếu là phương pháp tổng kết kinh nghiệm. Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét trong quá trình nghiên cứu lí thuyết. Đầu tiên, sau khi tìm được nguồn tài liệu tham khảo thì tổng hợp các kiến thức trong đó với các kiến thức sẵn có. Sau đó, tiến hành so sánh, phân tích chúng, chọn ra những kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đó đưa ra những nhận xét riêng. Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu một cách rõ ràng. Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh, đánh giá cũng được kết hợp sử dụng trong giải và sắp xếp các bài tập. Sau khi tổng hợp các bài tập từ các nguồn tư liệu khác nhau, sẽ tiến hành phân tích, so sánh, chọn lọc các bài tập hay phù hợp với nội dung lí thuyết sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí. Cuối cùng, tiến hành phân tích, đánh giá để giải một cách chi tiết, trình bàymột cách rõ rang. 4. NỘI DUNG LUẬN VĂN Nội dung của luận văn gồm 2 chương. Chương 1. Gồm 4 §, trong đó §1. Không gian Lp , §2. Biến đổi Fourier, §3. Hàm suy rộng, §4. Không gian Sobolev. Ở đây, chỉ tập trung giới thiệu một số định nghĩa, định lí, tính chất và các ví dụ có liên quan mà không quan tâm đến việc chứng minh các định lí, tính chất đó. Chương 2. Giải chi tiết và sắp xếp một cách tương đối hợp lí các bài tập có liên quan đến phần lí thuyết đã giới thiệu ở chương 1. - 3 - PHẦN NỘI DUNG  CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1. Không gian Lp 1.1 Không gian Lp Cho (,S,) là một không gian độ đo, trong đó  là một tập con mở của không gian Euclide n chiều Rn, S là  -đại số trên tập đo được Lebesgue và là độ đo Lebesgue. Cho 1 p  , ta định nghĩa không gian Lp như sau Với 1 p < , ta định nghĩa Lp ={ f : f là hàm đo được và  f (x)p d(x)<  } và 1/ p) 1/ p) f p =   f x d x  =  f d  Với p = , ta định nghĩa L ={ f : f là hàm đo được và f (x)  k hầu khắp nơi,k > 0} và f  = inf {K > 0: f (x)  K hầu khắp nơi} Chú ý. Nói f (x)  k hầu khắp nơi tương đương với nói rằng (x : f (x) > K)= 0. Nếu f , g là hai hàm đo được thỏa f (x)= g(x) hầu khắp nơi thì f và g được xem là giống nhau. Do đó, f p = 0 khi và chỉ khi f (x)= 0 hầu khắp nơi, với 1 p  . Cho 1 p  , chỉ số q thỏa p + q =1 được gọi là số mũ liên hợp của p. Ta thấy, p =1 thì q = . Ngược lại, p =  thì q =1. - 4 - 1.2 Một số định lí và bất đẳng thức 1.2.1 Bổ đề Cho a, b là hai số thực không âm, p, q là cặp số mũ liên hợp. Khi đó, ab  ap + bq . 1.2.2 Bất đẳng thức Hoder. Nếu f ∈Lp và g ∈ Lq thì fg ∈L và fg 1  f p g q Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∃A,B∈R+ sao cho A f (x)p = B g(x)q . 1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski. Nếu f ,g ∈ Lp thì f + g p  f p + g p , với 1 p  . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∃A,B∈R+, A2 + B2  0 sao cho Af = Bg . 1.2.4 Định lí. Lp là không gian Banach. 1.2.5 Định lí. Lp là không gian phản xạ, với 1< p < . 1.3 Tích chập Cho f , g ∈L (), tích chập của f và g được định nghĩa là f ∗ g(x)=  f (x − y)g(y)dy 1.4 Giá của hàm 1.4.1 Định nghĩa. Cho f là một hàm liên tục trên Rn. Giá của f , kí hiệu là supp f , là bao đóng của tập x: f (x) 0. Kí hiệu Cc (Rn) là kí hiệu tập tất cả các hàm liên tục với giá compact. Cc (Rn) thường được viết là D(Rn). 1.4.2 Ví dụ  Cho f :RR được xác định e−1/x2 ,x > 0 0 ,x  0 Khi đó, f ∈C . - 5 - ... - tailieumienphi.vn