Đề tài: Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp LỜI MỞ ĐẦU ­ Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài toán khó đối với học sinh lớp 12 và cũng ít tài liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài toán này. ­ Với đề thi trắc nghiệm đại học như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp kết quả của bài toán cực trị sẽ làm cho học sinh không có cái nhìn tổng quan về phương pháp giải các dạng toán này. ­ Chính vì lý do đó, nay tôi viết đề tài “ CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU “ nhằm hệ thống hóa một số dạng toán cực trị của bài toán này phục vụ cho công tác giãng dạy của các bạn đồng nghiệp, cũng như một tài liệu để học sinh tham khảo trong quá trỉnh học. ­ Đề tài gồm bốn phần : khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất, hiệu điện thế của các thiết bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ tự cảm L, theo giá trị của điện dung C và theo giá trị của tần số góc . ­ Vì thời gian có hạn, nên trong quá trình viết có thể có nhiều thiếu xót, mong được sự đóng góp của quý đồng nghiệp và các em học sinh. Trang 1 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp MỤC LỤC I. Sự thay đổi R trong mạch R­L­C mắc nối tiếp 1. Có hai giá trị R1 R2 cho cùng một giá trị công suất 2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại. 3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R II. Sự thay đổi L trong mạch R­L­C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm. 1. Có hai giá trị L1 L2 cho cùng giá trị công suất 2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng. 3. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax 4. Có hai giá trị L1 L2 cho cùng giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo L1 và L2. 5. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRrmax III. Sự thay đổi C trong mạch R­L­C mắc nối tiếp. 1. Có hai giá trị C1 C2 cho cùng giá trị công suất 2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng. 3. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax 4. Có hai giá trị C1 C2 cho cùng giá trị UL và giá trị ZC để UCmax tính theo C1 và C2. 5. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCRrmax IV. Sự thay đổi trong mạch R­L­C mắc nối tiếp 1. Giá trị làm cho Pmax 2. Khảo sát sự biến thiên công suất theo . 3. Có hai giá trị 1 2 cho cùng công suất và giá trị làm cho Pmax tính theo 1 và 2 4. Giá trị làm cho hiệu điện thế ULmax Trang 2 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp 5. Giá trị làm cho hiệu điện thế Ucmax Trang 3 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp I. Sự thay đổi R trong mạch R­L­C mắc nối tiếp: Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định : u =U0 cos(ωt +ju ) R L,R0 C A B R là một biến trở, các giá trị R0 , L và C không đổi. Gọi Rtd = R + R0 1. Có hai giá trị R1 R2 cho cùng một giá trị công suất 2 ­ Công suất tiêu thụ trên mạch là : P = Rd I2 = Rd Rd +(ZL ZC )2 ­ Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không đổi ứng với hai giá trị R1 và R2 . Khai triển biểu thức trên ta có: PRd RdU+ P(ZL ZC=) 0 ­ Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên có hai nghiệm phân biệt R1 và R2. Theo định lý Viète (Vi­et): Rtd .R2td =(ZL ZC )2 2 1td +R2td = P (R+ R0)(R+ R0=) (ZL ZC )2 2 R +R2 +2R0 = P ­ Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất 2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại a. Giá trị R làm công suất toàn mạch cực đại 2 ­ Ta có:P = Rd I2 = Rd Rd +(ZL 2 ZC )2 = Rd + (ZL ZC )2 td ­ Đặt A= Rd + (ZL ZC )2 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy(Côsi) cho A td A= Rd + (ZL ZC )2 td 2 Rd (ZL ZC )2 = 2 ZL ZC= const td ­ Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra. Vậy: Rd = ZL ZC ­ Khi đó giá trị cực đại của công suất là: 2 P ax = 2 ZL ZC = 2 U2 1td .R2td 2 U2 (R +R0 )(R2 +R0 ) Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất. Lưu ý: Khi ZL ZC< R0 thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho công suất toàn mạch cực đại là R = 0. b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại Trang 4 Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp ­ Công suất của biến trở R là 2 2 P = R I2 = R (R+ R0)2 +(ZL ZC )2 = (R+ R0)2 +(ZL ZC )2 R ­ Đặt mẩu thức của biểu thức trên là : A= (R+ R0)2 +(ZL ZC )2 = R+ R+ ­ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được: (ZL R ZC )2 +2R0 A= R+ R0 +(ZL ZC )2 +2R0 2 R R+ (ZL R ZC )2 +2R0 = 2 R0 +(ZL ZC )+ 2R= const ­ Ta thấy rằng PRmax khi Amin nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó: R = R0 +(ZL ZC )2 ­ Công suất cực đại của biến trở R là: Rmax = 2 U2 R0 +(ZL ZC )+ 2R0 c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại, cường độ dòng điệncực đại, hiệu điện thế cuộn dây cực đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại. ­ Ta có : Pây = R0I2;Ud = I ZL + R0 ;Uc = IZC I = U (R+ R0)2 +(ZL ZC )2 ­ Vì R0; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường độ dòng điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng Imax khi giá trị của biến trở R = 0. 3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R ­ Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta thường dùng phương pháp khảo sát hàm số: ­ Ta có công suất toàn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số: 2 P = Rd I2 = Rd Rd +(ZL ZC )2 Rd = R+ R0 ­ Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có: P`(R) =U2 (RZ +(ZC )2ZC )td)2 Khi P`(R) = 0�(ZL ZC )2 R= 0�R= ZL ZC �= R ZL ZC R0 Bảng biến thiên : R 0 ZL ZC R0 + Trang 5 ... - tailieumienphi.vn