Đề tài: Khảo sát độ cong Gauss - độ cong trung bình và đường trắc địa của lớp các mặt thông dụng - mặt cực tiểu

Khaûo saùt ñoä cong Gauss - ñoä cong trung bình vaø ñöôøng traéc ñòa cuûa lôùp caùc maët thoâng duïng - maët cöïc tieåu Hoaøng Coâng Phuùc Trường ĐHSP Tp.HCM, 2004 MUÏC LUÏC Trang LÔØI NOÙI ÑAÀU 1 CHÖÔNG 1 Caùc khaùi nieäm cô baûn veà ñöôøng – maët trong E3 1. Ñöôøng trong En 3 1.1. Cung trong En 3 1.2. Cung song chính quy trong E3 – Ñoä cong- Ñoä xoaén 4 2. Maët trong E3 12 2.1. Maûnh tham soá – Caùc ñònh nghóa 12 2.2. AÙnh xaï Weingarten 14 2.3. Caùc daïng cô baûn I vaø II cuûa maët S – Ñoä cong 16 phaùp daïng. Coâng thöùc Meusnier vaø coâng thöùc Euler. 2.4. Nhöõng ñöôøng ñaùng chuù yù treân maët S trong E3 18 2.5. Toùm taét sô löôïc veà maët- coâng thöùc tính toaùn 25 CHÖÔNG 2. Khaûo saùt ñoä cong trung bình vaø ñoä cong Gauss 33 Cuûa maët - Ñoä cong traéc ñòa – Cung traéc ñòa I. Maët baäc hai 33 II. Maët sinh ra bôûi caùc ñöôøng tieáp tuyeán cuûa moät 51 ñöôøng cong trong R3 III. Maët keû 52 IV. Maët troøn xoay 61 CHÖÔNG 3. Maët cöïc tieåu 68 1. Maët Scherk 72 2.Maët Enneper 75 - Baûng toùm taét ñoä cong Gauss – Ñoä cong Trung bình 80 Ñoä cong traéc ñòa cuûa maët KEÁT LUAÄN 86 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO LÔØI NOÙI ÑAÀU Trong vaøi thaäp nieân gaàn ñaây Hình hoïc vi phaân phaùt trieån raát maïnh, ñoái töôïng nghieân cöùu laø hình hoïc treân caùc ña taïp khaû vi maø cô sôû ban ñaàu cuûa noù laø lyù thuyeát ñöôøng, maët trong E3. Vieäc naém vöõng caùc kieán thöùc ôû böôùc naøy seõ taïo ñieàu kieän thuaän lôïi cho nghieân cöùu hình hoïc vi phaân sau naøy. Khaûo saùt tính chaát noäi taïi laø moät trong nhöõng vaán ñeà ñöôïc quan taâm khi nghieân cöùu hình hoïc vi phaân treân ña taïp vì vaäy khaûo saùt ñoä cong Gauss, ñoä cong trung bình vaø ñöôøng traéc ñòa cuûa lôùp caùc maët thoâng duïng laø vaán ñeà khoâng theå thieáu. Ñeà taøi cuûa toâi ñaëc bieät quan taâm ñeán vaán ñeà naøy. Luaän vaên goàm 3 chöông - Chöông 1: Daønh cho vieäc nhaéc laïi moät soá pheùp tính lieân quan ôû treân ñaõ ñöôïc chöùng minh ôû caùc saùch veà hình vi phaân. Ñaây laø moät coâng cuï khoâng theå thieáu cho vieäc nghieân cöùu caùc phaàn sau. - Chöông 2: Daønh cho vieäc nghieân cöùu ñoä cong Gauss K, ñoä cong trung bình H ñoàng thôøi tìm caùc ñöôøng tham soá hoùa cuûa löôùi ñöôøng toïa ñoä ñoùng vai troø laø ñöôøng traéc ñòa treân maët thoâng duïng ñöôïc xeùt nhö maët caàu, Elipsoid Hyperboloid, eliptic moät taàng, hai taàng, parabolid eliptic, parabolid Hyperbolic, maët keû helicoid, Catenoid, xuyeán . . . 1 - Chöông 3: Trong lôùp caùc maët ña taïp treân ta quan taâm ñaëc bieät ñeán maët coù ñoä cong trung bình H = 0 maø ta goïi laø maët toái tieåu. Toâi xin ñöôïc baøy toû loøng bieát ôn chaân thaønh ñoái vôùi thaày Nguyeãn Haø Thanh Tieán só giaûng vieân khoa Toaùn – Tin tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Tp Hoà Chí Minh ñaõ heát söùc taän tình giuùp ñôõ toâi trong suoát quaù trình thöïc hieän luaän vaên. Toâi cuõng xin caûm ôn caùc Thaày Coâ trong khoa ñaõ nhieät tình giaûng daïy toâi trong suoát quaù trình hoïc taäp, caûm ôn phoøng Khoa hoïc Coâng ngheä – Sau Ñaïi hoïc vaø baïn beø trong lôùp ñaõ taïo ñieàu kieän giuùp ñôõ toâi hoaøn thaønh luaän vaên naøy. 2 CHÖÔNG 1 CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN VEÀ ÑÖÔØNG – MAËT TRONG E3 Chöông naøy daønh cho vieäc nhaéc laïi caùc kieán thöùc cô baûn veà lyù thuyeát ñöôøng vaø maët cuøng vôùi caùc keát quaû ñaõ coù nhaèm laøm cô sôû cho vieäc tính toaùn vaø khaûo saùt trong caùc chöông coøn laïi. §1.ÑÖÔØNG TRONG En ( n = 2,3 ) 1.1. Cung trong En 1.1.1. Ñònh nghóa cung tham soá: Moãi aùnh xaï γ : J → En töø moät khoaûng J ⊂ R vaøo En goïi laø moät cung tham soá (hay moät quyû ñaïo) trongEn Hai cung tham soá γ : J →En t 6γ(t) vaø r:I →En t 6 r(t) (I , J laø nhöõng khoaûng trong R; γ vaø r khaû vi ) goïi laø töông ñöông neáu coù vi phoâi λ: J →En t 6λ(t) sao cho ro λ = γ Deã thaáy ñoù laø moät quan heä töông ñöông. Moãi lôùp töông ñöông cuûa quan heä ñoù goïi laø moät cung trong En ; moãi cung tham soá cuûa lôùp töông ñöông ñoù goïi laø moät tham soá hoùa cuûa cung ; vi phoâi λ goïi laø pheùp bieán ñoåi tham soá cuûa cung. 1.1.2. Ñieåm chính quy vaø ñieåm kyø dò Cho cung Γ xaùc ñònh bôûi γ : J →En t 6γ (t) Ñieåm to cuûa Γ maø γ’ (t0) ≠ 0 goïi laø 1 ñieåm chính quy cuûa Γ coøn neáu γ’ (t0) = 0 goïi laø 1 ñieåm kyø dò cuûa Γ Cung maø moïi ñieåm laø chính quy goïi laø moät cung chính quy. 3 ... - tailieumienphi.vn