1. Trang Chủ
  2. Khoa học tự nhiên
  3. Đề tài: Áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản

Đề tài: Áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản

Trong hoá học, đại lượng quan trọng nhất là năng lượng E của một nguyên tử, phân tử hay siêu phân tử và sự thay đổi năng lượng dọc theo toạ độ của phản ứng hoá học.Người làm hoá học cần có các thông tin này để hiểu diễn biến và cơ chế của phản ứng hoá học dựa trên những nguyên lý của nhiệt động lực học và động học để có thể kiểm soát hay thay đổi được chúng. Cung cấp thông tin về năng lượng của một hệ phân tử ở mọi trạng thái e là một... Kho¸ luËn tèt nghiÖp 1 Luận văn tốt nghiệp Đề tài: Áp dụng

Thể loại Tài liệu miễn phí Khoa học tự nhiên

Số trang 73

Ngày tạo 8/29/2018 7:02:09 PM +00:00

Loại tệp DOC

Kích thước

Tên tệp

Tải Đề tài: Áp dụng phương trình Srodinger cho một số ... (.docx) Tải Đề tài: Áp dụng phương trình Srodinger cho một số ... (.pdf)

Xem mẫu

  1. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 1 Luận văn tốt nghiệp Đề tài: Áp dụng phương trỡnh Srodinger cho một số hệ đơn giản Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  2. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 2 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài này, ngoài sự nỗ lục của bản thân tôi đã được sự giúp đỡ tận tình, khoa học của cô giáo Th.s Lê Thị Thuỷ cùng sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ Hoá, các bạn sinh viên lớp K1 - ĐHSP lý – hoá và sự động viên tinh thần của gia đình, bạn bè. Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến cô giáo – Th.s Lê Thị Thuỷ người trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ hoá đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình và các bạn trong tập thể K1 - ĐHSP lý hoá đã động viên, góp ý để đè tài của tôi được tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Thanh Hoá, tháng 5 năm 2010 Đặng Thị Thuý Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  3. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 3 PHẦN I : PHẦN MỞ ĐẦU I .Lí do chọn đề tài : Trong hoá học, đại lượng quan trọng nhất là năng lượng E của một nguyên tử, phân tử hay siêu phân tử và sự thay đổi năng lượng dọc theo toạ độ của phản ứng hoá học.Người làm hoá học cần có các thông tin này để hiểu diễn biến và cơ chế của phản ứng hoá học dựa trên những nguyên lý của nhiệt động lực học và động học để có thể kiểm soát hay thay đổi được chúng. Cung cấp thông tin về năng lượng của một hệ phân tử ở mọi trạng thái e là một mục đích chính của việc áp dụng những nguyên lý cơ học lượng tử vào hoá học. Có thể nói sự ra đời của cơ học lượng tử là một cuộc cách mạng trong vật lý nói riêng và các lĩnh vực khoa học tự nhiên nói chung. Cơ học lượng tử cho phép khảo sát bằng lý thuyết các hệ hoá học vi mô từ electron, nguyên tử cho tới phân tử hay tập hợp lớn hơn một cách chi tiết.Kết quả của sự khảo sát đó là cơ sở định lượng để giải thích kết quả thực nghiệm và từng bước hướng dẫn thực nghiệm. Một trong những cơ sở quan trọng hàng đầu của cơ học lượng tử ( CHLT) là phương trình Srodinger ở trạng thái dừng. Chỉ có thể giải thích được chính xác phương trình này khi xét hệ 1e, 1 hạt nhân ( hệ đơn giản). Trên cơ sở kết quả này, một số khái niệm quan trọng của hoá học được hình thành. Những khái niệm đó không chỉ giúp chúng ta hiểu sâu mà còn góp phần quan trọng trong việc cung cấp kiến thức cơ bản phục vụ cho việc học hoá học được tốt hơn. Không giống như mô hình của nguyên tử Bo. Các điện tử trong mô hình sóng là các đám mây điện tử chuyển động trên các quỹ đạo và vị trí của chúng Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  4. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 4 được đặc trưng bởi phân bố xác suất chứ không phải là một điểm rời rạc. Điểm mạnh của mô hình này là nó tiên đoán được các dãy nguyên tố có tính chất tương tự nhau về mặt hoá học trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hoá học. Với chuyên ngành hoá học đặc biệt là trong hoá học vô cơ đó là những kiến thức cơ bản để giải thích cấu tạo và tính chất lý hoá học của các nguyên tố. Cơ học lượng tử và phương trình Srodinger là một lý thuyết khó, trừu tượng và phức tạp. Trong trường đại học do điều kiện thời gian, sinh viên ngành hoá học chưa có điều kiện tìm hiểu sâu về những ứng dụng cụ thể của phương trình Srodinger vào hệ đơn giản. Để góp phần làm tăng hiệu quả học tập của mình và giúp cho các bạn sinh viên yêu thích lĩnh vực này hiểu biết sâu sắc, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “ Áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản" II .Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình Srodinger tổng quát trong CHLT, từ đó xây dựng phương trình Srodinger ở trạng thái dừng. Nghiên cứu những ứng dụng của phương trình Srodinger trong các hộp thế và trường xuyên tâm. Trên cơ sở đó làm sáng tỏ những ưu điểm khi áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản. Đây cũng là những kiến thức rất cần thiết dùng làm tài liệu cho giáo viên và sinh viên môn hoá học. Đồng thời đó cũng là những kiến thức vô cùng quan trọng giúp cho việc giảng dạy của em sau khi ra trường đạt kết quả cao hơn. III - Đối tượng nghiên cứu: Phương trình Srodinger tổng quát và phương trình Srodinger không phụ thuộc thời gian. Phương trình và nghiệm phương trình Srodinger trong bài toán hộp thế và trường xuyên tâm. Nghiệm phương trình Srodinger cho hệ đơn giản. Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  5. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 5 IV - Nhiệm vụ nghiên cứu: 1. Khái quát chung về phương trình Srodinger 1.1. Cơ sở hình thành phương trình Srodinger 1.2. Hàm sóng - phương trình Srodinger tổng quát 1.3. Phương trình Srodinger không phụ thuộc thời gian. 1.4. Những định luật bảo toàn trong CHLT 2. Áp dụng phương trình Srodinger trong bài toán hộp thế 2.1. Bài toán hộp thế một chiều 2.2. Bài toán hộp thế ba chiều 3. Áp dụng của phương trình Srodinger trong trường xuyên tâm 3.1. Trường xuyên tâm 3.2. Toạ độ cầu 3.3. Biểu thức của một số toán tử của hạt trong hệ toạ độ cầu 3.4. Trị riêng của toán tử L2 và Lz 3.5. Hàm cầu 3.6. Hạt chuyển động trong trường xuyên tâm 4. Áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản 4.1. Mở đầu 4.2. Phương trình Srodinger 4.3. Kết quả giải phương trình Srodinger 4.4. Quang phổ nguyên tử hidro 4.5. Hàm mật độ - Mây electron 4.6. Obitan nguyên tử 5. Giá trị - ý nghĩa 4 số lượng tử 6. Một số dạng bài toán trong hệ đơn giản V - Phương pháp nghiên cứu Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  6. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 6 Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến CHLT và phương trình Srodinger, các tài liệu liên quan đến hoá học lượng tử. Sử dụng công cụ toán học : Sử dụng các kiến thức giải thích, đại số ...để xác định năng lượng, hàm sóng...của hạt vi mô Tham khảo ý kiến của các thầy cô hướng dẫn làm đề tài nghiên cứu. PHẦN II : NỘI DUNG A - CƠ SỞ LÝ THUYẾT I - KHÁI QUÁT CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH SRODINGER 1 - Cơ sở hình thành phương trình Srodinger. Trong những năm 1926- 1927 Srodinger ( 1887- 1961) đã hình thành một lý thuyết trên cơ sở hoàn toàn mới. Ông xuất phát từ tư tưởng của Đơ Brơi về sóng vật chất và từ sự tương tự quang cơ. Lưỡng tính sóng hạt của ĐơBrơi Năm 1924 nhà vật lí Pháp Luis ĐơBrơi cho rắng các vi hạt cũng có lưỡng tính sóng hạt như ánh sáng. Theo ĐơBrơi, ứng với chuyển động của hạt tự do ( tức có thế năng U = 0 ) có một quá trình sóng gọi là sóng liên đới của hạt ( hay sóng ĐơBrơi) lan  truyến theo hướng vectơ xung lượng P = mv của hạt và có bước sóng  xác định như sau:  h h P = P = mv = hay    mv với m : khối lượng của hạt v : tốc độ hạt h : hằng số plăng h = 6,625.10-34j.s = 6,625.10-27ec.s 2. Hàm sóng ( ) - phương trình Srodinger tổng quát. 2.1- Hàm sóng : Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  7. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 7 Trong CHLT trạng thái chuyển động của electron được đặc trưng bằng hàm sóng  ( pơxi).  là hàm hữu hạn, liên tục, đơn trị và bằng 0 ở những chỗ không có mặt electron và thoã mãn điều kiện chuẩn hoá hàm sóng: 2  dt = 1 toàn không gian Mây electron là miền không gian gần hạt nhân nguyên tử. Trong đó xác suất có mặt electron là nhiều nhất( khoảng 90%).Mây electron được xác định bằng một bề mặt gồm các điểm có mật độ xác suất bằng nhau. Các mây electron khác nhau có hình dạng và kích thước khác nhau. VD : Mây electron 1s có dạng hình cầu r = 0,529 A0 2.2 . Phương trình Srodinger tổng quát: Hàm sóng  (q, t ) mô tả trạng thái của hệ lượng tử biến thiên trong thời gian theo phương trình Srodinger tổng quát:  ˆ i = H (1) t Trong đó : i =  1 ˆ ˆ H là toán tử Hamintơn của hệ, trong trường hợp tổng quát, H ˆ ˆ ˆ ˆ có thể phụ thuộc cả vào t, tức là H  H ( p, q, t ) 3. Phương trình Srodinger không phụ thuộc thời gian. a, Thiết lập phương trình: khi hệ lượng tử là kín( không tương tác với bên ngoài) hợac chuyển ˆ động trong một trường ngoài không dổi theo t thì H của hệ không chứa t : Hˆ ˆ ˆ ˆ ˆ H  H ( p, q ) tức là 0 t Khi đó có thể tách biến q và t của  (q, t ) tức là có thể viết ; Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  8. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 8  (q, t ) =  (q). f (t ) (2) Thay pt (2) vào (1) ta có :  q . f t  ˆ  i  H . q . f t  t f t  ˆ i  q .  f t H . q  t 1 df t  ˆ  q  i H (3) f t  dt  q  Vế trái của phương trình (3) phụ thuộc vào biến t.Vế phải của phương trình (3) phụ thuộc vào biến q. Do đó hai vế chỉ có thể bằng nhau nếu chúng bằng một hằng số chung  nào đó.Khi đó ta có : df t  i  f t  (4) dt ˆ H q   . q  (5) ˆ Phương trình (5) là phương trình trị riêng của H . Khi không chứa t thì trị ˆ riêng của H là năng lượng toàn phần E của hệ lượng tử. ˆ Vì H là ecmít    E  số thực Trong CHLT, các trạng thái của hệ có mức năng lượng E xác định ( không phụ thuộc thời gian ) gọi là trạng thái dừng. Vậy ta có ; ˆ H q   E q  (6) (6) gọi là phương trình Srodinger dừng ( không phụ thuộc thời gian), thường gọi đơn giản là phương trình Srodinger. Đó là phương trình quan trọng nhất của hoá học lượng tử. 2 ˆ ˆ ˆ ˆ Với H là toán tử Hamintơn : H  T  U   h 2 ˆ  U (7) 2 8 m   q  là hàm sóng của e E : là năng lượng toàn phần của e.Gọi là trị riêng của toán tử Hamintơn. Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  9. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 9 Thay (7) vào (6) ta có : ˆ H . q   E q   0 2   h   q   ( E  U ). q   0 2 2  8 m 2 2 8 m    q   2 ( E  U ) q   0 h 2 2 2 Với    2 2   2   2 x y z Ta có phương trình Srodinger dạng cụ thể hơn :  2 2 2  2         8 m E  U   0 (8)  2 2 2 2  x  y  z  h   Nghiệm của phương trình Srodinger là hàm sóng  và năng lượng toàn phần E Hàm sóng Srodinger là hàm sóng có vô số nghiệm :  1 , 2 ... n Phương trình chỉ có nghiệm đúng cho 1e và gần đúng cho hệ nhiều e b, Một vài thuộc tính của trạng thái dừng : 2  q,t  + / Trong trạng thái dừng mật độ xác suất không thay đổi theo thời gian ( tức được bảo toàn) ˆ +/ Trong trạng thái dừng, nếu toán tử A không chứa t tức là : ˆ A dA 0 0 t dt Vậy A được bảo toàn ( không phụ thuộc thời gian) 4. Những định luật bảo toàn cần lưu ý trong cơ học lượng tử: a/ Trong CHLT , đại lượng vật lý A gọi là hằng số hay tích phân chuyển động khi : Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  10. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 10 ˆ A + 0 t   ˆ ˆ + H, A  0 Nếu hệ ở trạng thái dừng thì trạng thái này cũng là trạng thái riêng của ˆ ˆ ˆ toán tử A ( vì A giao hoán với H ).Khi đó trị trung bình của A đồng nhất với trị ˆ riêng của toán tử A và trị này được bảo toàn. Mặt khác : H , H   0 ˆ ˆ Hˆ khi 0 t thì năng lượng E của hệ là tích phân chuyển động. Theo định nghĩa : + Nếu hệ ở trạng thái dừng thì E = const + Nếu hệ không ở trạng thái dừng thì E = const b/ Định luật bảo toàn tính chẵn lẻ : Trong CHLT có định luật bảo toàn tính chẵn lẻ, có liên quan đến phép biến đổi gọi là nghịch đảo toạ độ hay nghịch đảo không gian tức là đổi dấu toạ độ q thành – q.Đối với một hạt, điều này ứng với sự thay đổi hệ toạ độ phải bằng hệ toạ độ trái. Gọi toán tử chẵn lẽ hay toán tử nghịch đảo toạ độ Iˆ là toán tử khi tác dụng lên hàm sóng thì làm đổi dấu tất cả toạ độ ˆ I q     q  Gọi I là trị riêng của toán tử Iˆ : Iˆ q   I q  Nếu tác dụng Iˆ hai lần thì các toạ độ không đổi : 2 2 ˆ I  q   I  q    q  suy ra I2 = 1 nên I =  1 .Do đó : Iˆ q     q    q  Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  11. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 11 Vậy khi đổi dấu tất cả toạ độ thì hàm sónh không đổi ( nếu là hàm chẵn ) hoặc đổi dấu ( nếu là hàm lẻ). ˆ ˆ Nếu H của hệ là bất biến trong phép nghịch đảo toạ độ thì H giao hoán  với Iˆ tức là có chung hàm riêng với Iˆ : H , Iˆ  0 . Khi đó tính chẵn lẻ là tích phân chuyển động. Nếu hàm sóng có tính chẵn lẻ xác định ở thời điểm đầu thì tính chẵn lẻ này được bảo toàn. II . ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SRODINGER TRONG BÀI TOÁN HỘP THẾ. 1. Mô hình hộp thế 1 chiều : a/ Giả sử electron chuyển động tự do (U = 0) theo trục x trên một đoạn giới hạn 0  x  a trong hộp thế chữ nhật chiều sâu vô hạn, thành hộp phản xạ lý tưởng, chiều rộng hộp bằng a. U  U  Điều kiện biên bài toán :  x 0 0  xa 0 U=0 0 a x b/ Phương trình Srodinger cho hạt chuyển động trong hố thế : 2    x   8  m E  x   0 2 2 2 x h 2 2 ( vì U = 0 ,    0 ) 2 2 y z 2 2 8 m 8 m    x  + 2   x 0 đặt K2 = 2 E > 0 h h    x  + K2  x  = 0 ( 9) Phương trình ( 9) là phương trình vi phân đơn giản có nghiệm dạng :     A cosKx x + B.sinKx Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  12. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 12 Đối chiếu với điều kiện biên bài toán ta có: + Tại x = 0 A =0 + Tại x = a     = BsinKa = 0 x n sinKa = 0  Ka = n   K  ( với n = 1, 2, 3...) a  n   n x   B sin   a x  Hàm sóng  nx  mô tả chuyển động của e trong hộp thế một chiều với chiều rộng a thế năng U = 0 2 a  2 nx  a Vậy ta có :   nx  dx  1    B sin  dx  1 0  a  0 2 a  B  2nx  2  1  cos 0  a  dx  1 2 B 2 a 1 B  2 a Vậy hàm sóng sau khi được chuẩn hoá trở thành : 2 nx  n x   a sin a Hàm sóng  n  x  không phụ thuộc vào số nguyên n = 1, 2, 3....gọi là số lượng tử 2 2 8 mE c, Mặt khác từ phương trình : K = 2 h và K= n 2 K  n  2 2 a a suy ra E= hn 2 2 8m a Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  13. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 13 Dựa vào phương trình trên ta xác định được năng lượng toàn phần của electron trong hộp thế 1 chiều. Năng lượng toàn phần này nhận các giá trị gián đoạn, rời rạc, phụ thuộc vào n. Ta nói rằng năng lượng của hạt trong giéng thế bị lượng tử hoá. Đối với một hạt trạng thái E1 có năng lượng thấp nhất ứng với n =1 gọi là trạng thái cơ bản, cavs trạng thái có năng lượng cao hơn gọi là trạng thái kích thích 2 E1 = h  En = n E1 2 2 8m a d, Nút của hàm sóng : Nút của hàm sóng là những điểm mà tại đó  n  0 không kể ở hai thành giếng 2 (+) Với n = 1 Ta có :    2 sin x và E1 = h 2 x a a 8m a x     0  sin x a  0  x =0 hoặc x= a x a   x max  sin a 1 x  2 2 (+) Với n = 2 Ta có :  2 x   2 sin 2x và E2 = 4 h  4 E1 2 a a 8m  2x a  2 x   0  sin a  0  x  hoặc x = 0 2 2x a  2  x  max  sin a 1 x  4 2x 3a  2  x  min  sin a  1  x  4 2 và E3 = 9 h 2  9 E1 2 3x (+) Với n = 3 Ta có :  3 x   sin a a 8m  3x a 2a  3 x   0  sin a  0  x  0, x  , x  3 3 ,x  a Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  14. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 14 3x a 5a  3 x  max  sin a 1 x  ,x  6 6 3x a  3 x  min  sin a  1  x  2 n (x) E E3=2E1 E3  3 ( x) E2=4E1  2 ( x) E2 h/8ma2  1 ( x) E1 x 0 . 0 a/2 a 2  n (x 2. Mô hình hộp thế 3 chiều) : Xét e (electron) chuyển động tự do trong hộp thế 3 chiều :      32 ( x) V  V V V x y z E = Ex + Ey + Ez  xyz   x . y . z   22 ( x) Ta có phương trình Srodinger cho electron là : 2  1  2 E  U   0  2 (8 ) m x với U = 0 x h 0 Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  15. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 15  2 2 2  2          8m E  E  E XYZ  0 2 2 2 2 x y z x  y z  h   c b 2 2 2 2  YZ . d 2  XZ d 2  XY d 2  m X Y Z 8 2 E  E  E XYZ  0 x y z dx dy dz h 1 2 2  1 2 2   2 2    . d 2   2 Ex   . d 2   2 Ey   d 2   2 Ez  0 X 8 m  Y 8 m  1 Z 8 m X d  Y d  Z dz   x h   y h   h  2 2 2 2 Ta có : d 2   2 E x  0  d 2   2 E x X  0 1 X 8 m X 8 m (10) X dx h dx h 2 2 8 m d 2 2 Y 1 d Y 8 m 2  2 E y Y 0 (11) Y d y2  2 Ey  0 d y h h 2 2 2 2 1 d Z 8 m d Z 8 m 2  2 Ez  0  d 2  2 Ez Z  0 (12) Z dz h z h Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  16. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 16 Vậy nghiệm của phương trình (10) , (11). (12) lần lượt là : 2 2 Pt (1) là :   2 sin n x x  E x= nh x nx  X  2 a a 8m a 2 2 2 n sin y y nh y Pt (2) là :  ny Y   b b Ey = 2 8m b 2 2  sin nz z nh 2 Pt (3) là : nz Z   Ez = z 2 c c 8m c Vậy ta có :  xyz   nx  X  . ny Y  . nz  Z  E = Ex + Ey + Ez 2 h n  n  n  2 2 2 =  x y z  8m  a b  c 2 2 2     Chú ý : nx, ny, nz là 3 số lượng tử trong không gian 3 chiều của e ( số lượng tử chính n, số lượng tử phụ l, số lượng tử từ m ) III. ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SRODINGER TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM 1.Trường xuyên tâm : 1.1. Khái niệm: Trường lực được gọi là trường lực đối xứng xuyên tâm nếu lực tác dụng vào một vật chuyển động trong trường đó đi qua một điêm cố định được chọn làm tâm của trường và độ lớn của lực tác dụng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ vị trí của vật đến tâm của trường, không phụ thuộc vào phương  Từ đó ta có thế năng U  r  chỉ là hàm của r nghĩa là : U = U r  Mặt khác hàm sóng của hạt :    r  Xét một hạt có khối lượng mo chuyển động trong trường xuyên tâm. Theo Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  17. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 17 2 ˆ ˆ2 dễ thấy :  L , L z   0 ,  H , L   0 , ˆ ˆ công thức (14), (15), (17)       Vì vậy 3 toán tử có chung hàm riêng  r , ,  Vậy  r , ,   Rr  .Y lm ,  1.2. Sự bảo toàn tính chẵn lẻ của trạng thái hạt trong trường xuyên tâm.   Trong phép nghịch đảo toạ độ : r  r . Khi đó tác dụng của phép nghịch đảo toạ độ I lên hàm cầu như sau : ˆ I .Y lm ,   1 Y l lm  ,  Vậy hàm cầu là hàm riêng của toán tử Iˆ và ứng với trị riêng I = 1 l I = -1 khi l lẻ ( l = 1, 3, 5...) I = 1 khi l chẵn ( l = 0, 2, 4...) Tất cả các trạng thái có l chẵn ( trạng thái s, d...) đều là trạng thái chẵn ( không đổi dấu ) trong phép nghịch đảo toạ độ. Tất cả trạng thái có l lẻ ( trạng thái p, f...) đều là trạng thái lẻ ( đổi dấu) trong phép nghịch đảo toạ độ Khi hạt chuyển động trong trường xuyên tâm thì : H , Iˆ  0 hay tính chẵn ˆ lẻ của hạt được bảo toàn. 2. Toạ độ cầu : Hạt có mô men động được xét tốt nhất trong hệ toạ độ cầu. Một điểm M được xác địng bởi 3 toạ độ cầu là một khoảng cách r và hai góc  và  .    Toạ độ r = r là độ dài véc tơ vị trí r  OM . Nó chỉ nhận những giá trị không âm từ 0   Góc  tính từ trục z đến OM, biến thiên từ 0   (rad) Góc  tính từ trục x đến hình chiếu OM' của OM trên mặt phẳng xoy biến thiên từ 0 đến 2  (rad) Mối liên hệ giữa toạ độ đềcac và toạ độ cầu là : Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  18. z Kho¸ luËn tèt nghiÖp 18 M  x = r.sin  cos   y y = r.sin  sin  x z = r.cos  M’ r2 = x2 + y2 + z2 Khi lấy tích phân của những hàm phụ thuộc vào các toạ độ của một hạt Khi lấy tích phân của những hàm phụ thuộc vào các toạ độ của một hạt trong toàn không gian thì cấn biết phần tử thể tích dT và phạm vi biến thiên toàn không gian của các toạ độ. Đối với toạ độ Đêcác ta có : -   x, y, z   , dT = dxdydz Đối với toạ độ cầu dT có dạng phức tạp hơn : dt = r2drsin d = r2drd  ( với d   sin dd ) 0  r   0   0    2 d  là phần tử góc khối tính theo đơn vị steradian.Toàn bộ mặt cầu có diện tích là 4  r 2 , góc khối tương ứng với nó là   4 ( steradian) 3. Biểu thức của một số toán tử trong hệ toạ độ cầu: 3.1. Toán tử Laplaxơ : Trong toạ độ cầu toán tử laplaxơ của một hạt trong toạ độ cầu có dạng : 2 2  1   2       r  2  2 r   2 (13) r r r  r  r 2 Với     .  sin    1  1  2 sin      sin 2    2  là laplaxiên góc ( phần laplaxiên chỉ phụ thuộc vào  ,  ) 2 3.2. Toán tử ˆ L và ˆ L z của một hạt trong toạ độ cầu có dạng : Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  19. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 19 2 2  ˆ L     (14), ˆ L z  i  (15) ( i = 1 ) 3.3 Toán tử động năng của một hạt có dạng : 2 2   ˆ  2     2  (16) 2m  T   2m   r 2 r 3.4. Toán tử Hamintơn của một hạt là : 2 2 H  T  U    r   2  U (17) 2 ˆ ˆ ˆ 2m 2m r 2 4./ Trị riêng của ˆ L và ˆ L z 4.1. Trị riêng của ˆ L z : Trong toạ độ cầu ta có :  ˆ L z  i  Xuất phát từ phương trình trị riêng ta có: U ˆ L U  L U  i   L U z z z U i i   L z d  ln U  L z   const U   i  U  C e Lz  ( C là hằng số với  , C  C r ,   ) Dựa vào điều kiện đơn trị của hàm riêng ta có : U r , ,0  U r , ,2  i i  C r ,   C r ,   e L zz  e  L z  1 2 2  2  2  cos L  1 z L z  2m ( với m  Z )      L z  m 2 4.2. Trị riêng của toán tử ˆ L Trong CHLT ta có hệ thức giao hoán như sau : Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
  20. Kho¸ luËn tèt nghiÖp 20 L , L    L ˆ ˆz  ˆ  L , L    L ˆ ˆz  ˆ  ( với ˆ ˆ L L x ˆ ˆ iL ,L  y  ˆ L x ˆ i L ) y  ˆ ˆ ˆ ˆ L L L L L z  ˆ  z  ˆ ˆ ˆ ˆ z ˆ L L  L L   L   z   ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ L L  L L L z   z  ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (*) L L  L L L z   z  (*) được viết lại là : ˆ ˆ ˆ ˆ L L L L z   z ˆ L  ( * 1) tác dụng lên hai vế của (*1) với Um ta có: ˆ ˆ L LU L LU z ˆ ˆ  m  z m ˆ L  U m ˆ ˆ  m L U   L U  m  m ˆ   m  1 L  U m Như vậy : ˆ LU  m là hàm riêng của toán tử ˆ L z tương ứng với trị riêng m  1 Mặt khác hàm riêng của toán tử ˆ L z tương ứng với trị riêng m  1 là U m 1 Xét hàm số không suy biến ( các hàm sóng được sai khác nhau một hằng số nhân)  ˆ LU  m  const.U m1 Mặt khác :  ˆ2, ˆ   0  ˆ 2 và ˆ có chung hàm riêng L Lz   L L z Vì Um phải có ý nghĩa vật lý nên m phải giới nội tức là nếu gọi l là giá trị lớn nhất của m thì : ˆ LU  l  const U l 1  0 Sinh viªn : §Æng ThÞ Thuý K1- §HSP Lý Ho¸
nguon tai.lieu . vn
Thạc sĩ - Tiến sĩ - Cao học Công nghệ thông tin Kinh tế - Thương mại Tài chính - Ngân hàng Kiến trúc - Xây dựng Điện-Điện tử-Viễn thông Cơ khí - Chế tạo máy Công nghệ - Môi trường Báo cáo khoa học Quản trị kinh doanh Khoa học xã hội Khoa học tự nhiên Nông - Lâm - Ngư Y khoa - Dược