Xem mẫu
- Đề tài " Hiệu ứng Doppler "
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
Mở đầu .......................................................................................... 2
HIỆU ỨNG DOPPLER TRONG ÂM THANH. .......................... 3
I. Máy dò chuyển động – nguồn bất động. ............................. 3
II. Nguồn chuyển động – máy dò bất động: ............................. 5
III. Nguồn và máy dò cùng chuyển động: ................................. 7
IV. Hiệu ứng Doppler với những tốc độ thấp: .......................... 7
V. Những tốc độ siêu âm:......................................................... 8
HIỆU ỨNG DOPPLER CHO ÁNH SÁNG ............................... 11
KHÔNG TÍNH ĐẾN HIỆU ỨNG TƯƠNG ĐỐI TÍNH. ........... 11
THUYẾT TƯƠNG ĐỐI HẸP EINSTEIN ................................. 12
I. Mở đầu:.............................................................................. 12
II. Các tiên đề ANHSTANH:.................................................. 13
1. Nguyên lý tương đối: .....................................................................13
2. Nguyên lý về sự bất biến của vận tốc ánh sáng: ...........................13
III. Động học tương đối tính- phép biến đổi LOREN (
LORENTZ). ................................................................................ 14
1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galileo với thuyết tương đối
Anhstanh. ......................................................................................14
2. Phép biến đổi Lorentz. ...................................................................15
IV. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz: ............................. 17
1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả: ......................17
2. Sự co ngắn Lorentz: ......................................................................18
3. Định lý tổng hợp vận tốc: ..............................................................19
V. Động học tương đối tính: .................................................. 21
1. Quan niệm mới về động lượng:.....................................................21
2. Động lượng và năng lượng: ..........................................................22
3. Các hệ quả:....................................................................................23
a. Từ hệ thức Anhstanh ta tìm được năng lượng nghỉ của vật nghĩa là năng
lượng lúc vật đứng yên( m = m0). ................................................................ 23
b. Khi bình phương thiếu (32) ta được: ............................................................ 23
c. Ứng dụng vào hiện tượng phân rã hạt nhân. ............................................... 24
4. Ý nghĩa triết học của hệ thức Anhstanh: ......................................24
Hiệu ứng Doppler tương đối tính. .............................................. 25
Tài liệu tham khảo...................................................................... 28
Trang 1
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
Mở đầu
N ăm 1842, nhà vật lý người Áo, Johann Christian Doppler
(1803-1852) đã mô tả sự biến đổi trong tần số của sóng
âm mà người quan sát thu được khi có sự dịch chuyển
tương đối giữa người và nguồn. Cụ thể là khi nguồn âm tiến gần
đến người quan sát thì tần số sóng người quan sát thu được sẽ
tăng lên so với tần số thực của nguồn (là tần số mà người quan
sát và nguồn đều đứng yên). Còn khi nguồn âm rời xa người
quan sát thì tần số thu được sẽ giảm đi. Ta sẽ dễ dàng thấy được hiện tượng này
qua tiếng còi hụ của xe lửa hay xe cứu thương. Khi chúng còn ở xa ta, tiếng còi
nghe nhỏ và càng tiến lại gần thì tiếng còi nghe càng lúc càng to và chát. Hiện
tượng biến đổi này được gọi là hiệu ứng Doppler. Hiệu ứng này đã được kiểm tra
bằng thực nghiệm vào năm 1845 bởi Ballor tại Hà Lan “ Dùng động cơ kéo một
số người thổi kèn”.
Hiệu ứng Doppler không chỉ đúng với sóng âm thanh m à còn đúng với sóng điện
từ ( kể cả sóng cực ngắn và sóng ánh sáng). Cảnh sát dùng rada phát những tia
sóng cực ngắn với tần số f nào đó về phía chiếc xe đang chạy. Những sóng cực
ngắn này bị phản xạ trở lại máy rada khi nó đập vào chiếc xe với tần số f’ do có
sự chuyển động tương đối giữa chiếc xe với máy rada. Máy rada đã chuyển sự
chênh lệch giữa f và f’ thành tốc độ của chiếc xe trên bản chỉ thị của máy và cảnh
sát nhìn vào đó để biết được chiếc xe có phạm luật hay không.
Tốc độ chỉ trên bản chỉ thị của máy rada chính là tốc độ của xe chuyển động
thẳng hướng với máy rada. Bất kỳ một sự chệch hướng nào đều làm giảm f’. Nếu
sóng rada vuông góc với vận tốc của xe thì nó sẽ không đo được vận tốc của xe (
vì lúc này f’ = f và bảng chỉ của máy sẽ chỉ một vận tốc bằng 0 cho xe).
Hiệu ứng Doppler về ánh sáng đã cho phép những nhà thiên văn xác định được
tốc độ của các ngôi sao và những dãi Ngân Hà so với trái đất. Fizeau là người
đầu tiên trình bày hiệu ứng Doppler cho sóng ánh sáng và dự đoán ứng dụng vào
các vạch quang phổ.
Trang 2
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
HIỆU ỨNG DOPPLER
TRONG ÂM THANH.
S
V VD V
D
VS = 0
Hình 1
Một nguồn âm bất động S phát ra một mặt sóng cầu lan truyền với tốc độ âm thanh V.
Một máy dò chuyển động với vận tốc VD tiến về nguồn. Máy dò sẽ thu được một tần số
sóng cao hơn tần số được phát ra từ nguồn.
I. Máy dò chuyển động – nguồn bất động.
Trong hình trên máy dò D (detector) đang chuyển động với một tốc độ VD tiến về
nguồn S đứng yên, phát ra những mặt sóng cầu với bước sóng λ và tần số f. Những sóng
này chuyển động với tốc độ của âm thanh V( V=342 m/s), Những mặt sóng thu một bước
sóng riêng lẻ. Tần số sóng được tìm thấy bởi D là một tỷ lệ. Nếu D đứng yên thì t ỷ lệ đó
là f nhưng vì D đang chuyển động vào những sóng nên t ỷ lệ thu được lớn hơn và do đó
tần số f’ lớn hơn f.
Trước hết ta xét trường hợp mà trong đó D bất động (hình 2):
Trong thời gian t, những mặt sóng chuyển động về phía phải một khoảng Vt . Số
lượng bước sóng trong khoảng Vt đó là số bước sóng bị chắn bởi D trong thời gian t và số
lượng đó là Vt/λ. Tỷ lệ mà ở đó D chắn những bước sóng có tần số dao động f được tìm
Vt
V
bởi D là: f (1)
t
Trong trường hợp này, với D bất động, không có hiệu ứng Doppler: tần số sóng được
tìm thấy bởi D là tần số được phát ra bởi S.
Trang 3
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
(a)
V
(b)
Hình 2.
Những mặt sóng (a) lan tới và (b) đi qua máy dò D. Chúng chuyển động một khoảng
Vt về phía phải trong thời gian t.
Ta xét trường hợp mà trong đó máy dò D chuyển động ngược chiều với sóng.( hình 3)
Trong thời gian t, những mặt sóng chuyển động về phía phải một khoảng Vt như
trước. Nhưng bây giờ D chuyển động về phía bên trái một khoảng VDt. Do đó trong thời
gian t này, khoảng dịch chuyển tương đối của những mặt sóng so với máy dò D là: V +
VDt. Số lượng bước sóng trong khoảng cách t ương đối này là số lượng bước sóng bị chắn
bởi D trong thời gian t:
Vt VD t
T ỷ lệ mà ở D chắn những bước sóng trong trường hợp này là tần số f’ được cho bởi
công thức :
Vt VD t
V VD
f ' (2)
t
V
VD
(a)
D
V
VD
(b)
D
Hình 3.
Trang 4
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
Những mặt sóng lan tới (a) và (b) chuyển qua máy dò D đang chuyển động ngược
chiều với sóng trong thời gian t, các sóng truyền đi một khoảng Vt về phía phải và D di
chuyển một khoảng VDt về phía trái.
V
Từ (1) tac có:
f
Do đó (2) trở thành:
V VD V VD
f ' f. (3)
V V
f
Chú ý rằng trong công thức (3) f’ phải lớn hơn f trừ khi VD = 0.
Tương tự, chúng ta có thể xác định được tần số sóng được tìm thấy bởi D nếu D
chuyển động ra xa nguồn. Trong trường hợp này, những mặt sóng truyền đi một khoảng
Vt – VDt tương đối so với máy dò trong khoảng thời gian t, và f’ được tính bởi công thức:
V VD
f ' f . (4)
V
Trong công thức (4) f’ phải nhỏ hơn f trừ khi VD = 0.
Ta có thể kết hợp kết quả của hai công thức (3) và (4) như sau:
V VD
f ' f . (5)
V
(máy dò chuyển động, nguồn bất động)
Chúng ta có thể xác định dấu nào sử dụng trong công thức (5) bằng việc nhớ lại
những kết quả vật lý: khi máy dò chuyển động về phía nguồn thì tần số sóng lớn hơn (
tiến tới có nghĩa lớn hơn) thì công thức (5) mang dấu (+), nếu ngược lại thì mang dấu (-).
II. Nguồn chuyển động – máy dò bất động:
Nếu cho máy dò đứng yên trong không khí và để cho nguồn S chuyển động về phía D
với tốc độ VS (hình 4) chuyển động của S làm thay đổi bước sóng của các sóng âm thanh
mà nó phát ra và tần số sóng sẽ được tìm thấy bởi D.
1
Để nhìn thấy sự thay đổi này, cho T(= ) là thời gian phát ra giữa hai mặt sóng liên
f
tiếp W1 và W2. Trong thời gian t, mặt sóng W1 truyền đi một khoảng VT. Ở cuối thời
gian T, mặt sóng W2 được phát ra. Theo hướng nguồn chuyển động, khoảng cách giữa
W1 và W2 là VT – VST.
Trang 5
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
W1
W7
W2
VS
S
X
S1 S7 D
(Hình 4)
Máy dò bất động, nguồn S chuyển động về phía D với vận tốc VS. Mặt sóng W1 phát
ra khi nguồn S1, mặt sóng W7 phát ra khi nguồn tại S7. Vào lúc được mô tả thì nguồn ở S,
máy dò tiếp nhận một tần số cao hơn bởi vì nguồn chuyển động đuổi theo những mặt
sóng mà chúng phát ra dẫn đến một bước sóng giảm ' theo hướng chuyển động của nó.
Nếu D thu được những sóng đó thì nó thu được tần số f’, được tính bằng công thức:
V V V
f '
' VT VS t V V S
f f
Suy ra:
V
f ' f . (6)
V VS
Chú ý: f’ lớn hơn f trừ khi VS = 0.
Khi S chuyển động theo hướng ngược lại, bước sóng ' của những sóng đó là VT +
VST. Nếu D thu được những sóng đó tức là nó thu được một tần số f’ được tính bằng
công thức:
Trang 6
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
V
f ' f . (7)
V VS
Ta có thể kết hợp công thức (6) và (7) như sau:
V
f ' f . (8)
V VS
(nguồn chuyển động, máy dò bất động)
Để xác định dấu nào được sử dụng trong công thức (8) ta nhớ lại kết quả vật lý: khi
nguồn chuyển động về phía máy dò thì tần số sóng sẽ lớn hơn (tiến tới có nghĩa là lớn
hơn). Khi đó dấu được dùng là dấu âm (-), ngược lại là dấu (+).
III. Nguồn và máy dò cùng chuyển động:
Ta có thể kết hợp hai công thức (5) và (8) để tạo ra một hiệu ứng Doppler tổng quát.
Trong đó cả nguồn và máy dò cùng chuyển động trong không khí.
V VD
f ' f . (9)
V VS
(nguồn và máy dò cùng chuyển động)
Trong đó:
f’ : tần số của máy dò thu được.
f: tần số phát ra từ nguồn.
V: vận tốc âm thanh (V= 342 m/s)
VD: vận tốc của máy dò.
VS : vận tốc của nguồn.
Nếu nguồn bất động: VS = 0 (9) trở về (5):
V VD
f ' f .
V
Nếu máy dò bất động: VD = 0 (9) trở về (8):
V
f ' f .
V VS
Dấu (+) và (-) được quy ước giống như ở các phần trên ( tiến tới có nghĩa là lớn hơn).
IV. Hiệu ứng Doppler với những tốc độ thấp:
Những hiệu ứng Doppler của một máy dò chuyển động ( công thức (5)) và của một
nguồn chuyển động( công thức (8)) là khác nhau, mặc dù máy dò và nguồn chuyển động
với cùng vận tốc. Tuy nhiên nếu các vận tốc đủ nhỏ (nghĩa là VD
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
Thật vậy, từ (9) ta có:
V V D V S VS V VD
V VD
f .1 S
f ' f . f.
V VS V VS V VS
(10)
V VD U
f ' f .1 S f .1
V V
Với :
U VS VD
V. Những tốc độ siêu âm:
Nếu một nguồn chuyển động về phía một máy dò đứng yên với một tốc độ bằng tốc
độ âm thanh ( VS = V). Từ công thức (8) cho ta biết trước rằng tần số f’ mà máy dò thu
được vô cùng lớn. Điều này có nghĩa là nguồn chuyển động quá nhanh đến nỗi nó theo
kịp các mặt sóng cầu do nó phát ra như hình (5a) cho thấy. Điều gì xảy ra khi tốc độ của
nguồn vượt quá tốc độ âm thanh?
Đối với tốc độ siêu âm, công thức (8) không còn được áp dụng. Hình (5b) mô tả
những mặt sóng cầu mà tại những vị trí khác nhau của nguồn, bán kính của bất kỳ mặt
sóng nào trong hình này là Vt. Trong đó, V là tốc độ của âm thanh, t là thời gian đã trôi
qua kể từ lúc nguồn phát ra mặt sóng đó.
Chú ý: tất cả những mặt sóng tụ lại dọc theo một cái võ bọc hình chữ V như hình
(5b). Ở đó, không gian ba chiều của nó là một hình nón. Dọc theo bề mặt của hình nón
này tồn tại một sóng giật ( sóng xung kích), bởi vì sự tụ lại của những mặt sóng đã gây ra
một sự tăng giảm áp suất đột ngột của không khí khi bề mặt của nó đi qua bất cứ điểm
nào. Từ hình (5b) ta thấy rằng nửa gốc của hình nón ( được gọi là hình nón Mach) được
cho bởi công thức:
V .t V
sin (11)
VS .t VS
(góc của hình nón Mach)
V
T ỷ lệ được gọi là t ỷ lệ của vật chuyển động so với tốc độ âm thanh trong môi
VS
trường chung quanh. Khi ta nghe nói một máy bay đặc biệt nào đó bay với tốc độ Mach
2,3 có nghĩa là tốc độ của máy bay gấp 2,3 lần tốc độ của âm thanh trong không khí mà
qua đó máy bay đã bay.
Sóng giật được phát sinh bởi một máy bay siêu âm hoặc một đầu tên lửa (xem hình 6)
tạo ra một luồng âm gọi là “ sự bùng nổ âm thanh”. Một kết quả t ương tự (được gọi là
bức xạ Cerenkov) xảy ra đối với ánh sáng nhìn thấy khi những điện tử đi qua nước hoặc
môi trường trong suốt nào khác với những tốc độ lớn hơn tốc độ của ánh sáng trong môi
trường đó.
Trang 8
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
VS
S
X
Hình (5a)
Nguồn âm thanh S chuyển động với tốc độ bằng tốc độ âm thanh. Do đó nó chuyển
động theo kịp các mặt sóng mà nó phát ra.
W6
V.t
W1 S
VS
S1 X
S6
VSt
Hình (5b)
Trang 9
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
Một nguồn S đang chuyển động ở tốc độ VS lớn hơn tốc độ âm thanh và do đó nó
chuyển động nhanh hơn sự lan truyền các mặt sóng do nó phát ra, khi nguồn đang ở vị trí
S1 nó phát ra mặt sóng W1, và ở vị trí S10 nó phát ra mặt sóng W10. Tất cả những mặt sóng
cầu lan truyền với tốc độ âm thanh và tụ lại dọc theo bề mặt của một hình nón được gọi là
hình nón Mach, hình thành một sóng giật.
Hình 6.
Trang 10
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
Hiệu ứng Doppler cho ánh
sáng
Không tính đến hiệu ứng
tương đối tính.
Chúng ta dễ bị sai lầm khi áp dụng hiệu ứng Doppler cho ánh sáng từ công thức (9),
đơn giản bằng cách thay thế vận tốc ánh sáng C cho vận tốc âm thanh V. Ta cần tránh sai
lầm này, nguyên nhân là do sóng âm thanh cũng như tất cả các sóng cơ học khác đòi hỏi
một môi trường (chẳng hạn không khí) cho sự dẫn truyền của chúng. Nhưng đối với sóng
ánh sáng nó có thể truyền trong chân không. Tốc độ của âm thanh luôn luôn phụ thuộc
vào môi trường nhưng tốc độ ánh sáng thì không. Tốc độ ánh sáng luôn luôn có cùng giá
trị C trong tất cả các hướng và trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính.
Mặc dù phương trình Doppler cho ánh sáng và âm thanh là bắt buộc phải khác nhau.
Nhưng với những tốc độ khá nhỏ, chúng cho kết quả gần đúng như nhau. Điều này cũng
không có gì lạ bởi vì tất cả những tiên đoán của thuyết tương đối tại các vận tốc nhỏ cho
ta kết quả của lý thuyết cổ điển. Do đó, công thức (10) với V được thay thế bằng C vẫn
giữ cho ánh sáng U
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
U2
Do U f) nghĩa là nguồn và máy dò
đang tiến lại gần nhau.
Nếu bước sóng tăng ( ' ) thì tần số sóng giảm (f’ < f) nghĩa là nguồn và máy dò
đang lùi ra xa nhau.
Trong thiên văn học, khi quan sát các thiên hà người ta thấy có độ dịch chuyển của
các vạch phổ cho bởi nguyên tố tương ứng được phân tích qua máy quang phổ thì người
ta cho rằng độ dịch chuyển này là do hiệu ứng Doppler gây ra. Độ dịch chuyển của các
vạch phổ tỷ lệ với vận tốc U là vận tốc tương đối giữa thiên hà và trái đất. Nếu khoảng
cách giữa thiên hà và trái đất tăng lên, các vạch phổ lệch về phía đầu đỏ của quang phổ
nhìn thấy. Trường hợp ngược lại nếu khoảng cách giảm về phía đầu xanh.
Thuyết tương đối hẹp
EINSTEIN
I. Mở đầu:
Trong một thời gian dài, cơ học Newton, hay còn gọi là cơ học cổ điển đã chiếm một
địa vị thống trị trong sự phát triển khoa học. Trên cơ sở cơ học Newton, đã hình thành
những quan niệm về không gian, thời gian và vật chất. Theo những quan niệm đó thì
không gian, thời gian và vật chất không phụ thuộc vào chuyển động, cụ thể là khoảng
thời gian đều như nhau trong mọi hệ quy chiếu đứng yên hay chuyển động. Tóm lại theo
Newton thời gian, không gian tuyệt đối, không phụ thuộc vào chuyển động, khối lượng
của vật chất là bất biến.
Đến cuối thế kỷ 19 đầu thế kỷ 20, khoa học và kỹ thuật phát triển rất mạnh, người ta
bắt đầu gặp những vật chuyển động nhanh với vận tốc vào cỡ vận tốc ánh sáng C trong
chân không (C=300000 km/s) khi đó xuất hiện mâu thuẫn với các quan điểm của cơ học
Newton, cụ thể là: không gian, thời gian, khối lượng m đều phụ thuộc vào chuyển động.
Những khó khăn đó, cơ học Newton không giải quyết được. Rút ra kết luận: Cơ học
Newton chỉ áp dụng được cho các vật chuyển động với vận tốc nhỏ so với vận tốc ánh
sáng (V
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
vận tốc V
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
III. Động học tương đối tính- phép biến đổi LOREN
( LORENTZ).
1. Sự mâu thuẫn của phép biến đổi Galileo với thuyết tương đối
Anhstanh.
Theo các phép biến đổi Galileo, thời gian diễn biến của một quá trình vật lý trong các
hệ quy chiếu quán tính K và K’ đều như nhau:
t = t’
khoảng cách giữa hai điểm 1 và 2 nào đó trong các hệ K và K’ đều bằng nhau.
l x 2 x1 l ' x 2 ' x1 '
(các đại lượng có dấu phẩy đều được xét trong hệ K’)
Vận tốc tuyệt đối v của chất điểm bằng tổng vect ơ các vận tốc tương đối V’ và vận
tốc theo V của hệ quán tính K’ đối với hệ K.
v = V’ + V (13)
Tất cả những kết quả đó đều đúng đối với các chuyển động chậm (v
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
Từ một điểm A bất kỳ, trên trục X’ có đặt một bóng đèn phát tín hiệu sáng theo hai
phía ngược nhau của trục X.
Đối với hệ K’ bóng đèn là đứng yên vì cùng chuyển động với hệ K’. Do vận tốc tín
hiệu sáng đến B và C ở cách đều A cùng một lúc. Đối với hệ K các tín hiệu sáng tới điểm
B và C sẽ xảy ra không đồng thời.
Theo nguyên lý tương đối Anhstanh vận tốc truyền của tín hiệu sáng ở trong hệ K’
bằng C. Đối với hệ K điểm B chuyển động đến gặp tín hiệu sáng gửi từ A đến B. Còn
điểm C chuyển động ra xa tín hiệu từ A gửi đến C, do đó trong hệ K tín hiệu sáng gửi đến
điểm sớm hơn.
Định luật cộng vận tốc (13) hệ quả của nguyên lý tương đối Galileo cũng không áp
dụng được ở đây. Theo nguyên lý này vận tốc truyền ánh sáng theo chiều dương của trục
X bằng C + V, theo chiều âm trục X bằng C – V. Điều này mâu thuẫn với thuyết tương
đối Anhstanh.
2. Phép biến đổi Lorentz.
Qua trên ta thấy, phép biến đổi Galileo không thỏa mãn các yêu cầu của thuyết tương
đối. Phép biến đổi các tọa độ không gian và thời gian khi chuyển từ hệ quán tính này
sang hệ quán tính khác thỏa mãn các yêu cầu thuyết tương đối Anhstanh, do Loren tìm ra
được mang tên ông.
Xét hai hệ quán tính K và K’ nói trên.
Giả sử lúc đầu hai gốc O và O’ trùng nhau, hệ K’chuyển động so với K với vận tốc V
theo phương X.
Gọi (xyzt) và (x’y’z’t’) là các tọa độ của không gian và thời gian lần lượt xét trong
các hệ K và K’.
Vì theo thuyết tương đối thời gian không có tính chất tuyệt đối mà trái lại phụ thuộc
vào hệ qui chiếu nên thời gian trôi đi trong hai hệ sẽ khác nhau, nghĩa là t t ' .
Giả sử tọa độ X’ liên hệ với X và t theo phương trình :
X’ = f(X.t) (14)
Để tìm dạng phương trình f(X.t) ta viết phương trình chuyển động của các gốc tọa độ
O và O’ trong hai hệ K và K’.
Đối với hệ K, gốc O’ chuyển động với vận tốc V.
X – Vt = 0 (15)
(trong đó X là tọa độ của gốc O’ xét với hệ K)
Đối với hệ K’ gốc O’ là đứng yên. Tọa đô X’ của nó trong hệ K’ bao giờ cũng bằng
không.
X’ = 0.
Muốn phương trình (14) áp dụng đúng cho hệ K’, thay X’ = 0 vào (14) ta thu được
(15) thì f(X.t) chỉ có thể khác (X – Vt ) một số nhân nào đó:
X’ = (X – Vt ) (16)
Đối với hệ K’ gốc O chuyển động với vận tốc –V. Nhưng đối với hệ K gốc O là đứng
yên. Tương tự ta có:
X = (X’ + Vt) (17)
( là hệ số nhân)
Trang 15
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
Theo tiên đề thứ nhất của Anhstanh mọi hệ quán tính đều t ương đương nhau. Từ (16)
có thể suy ra (17) và ngược lại bằng cách thay thế V V , X ' X , t ' t . Ta rút ra :
.
Theo tiên đề thứ hai, ta có trong hệ K và K’:
Nếu X = Ct thì X’ = Ct’. thay vào (16)(17)
Ct’ = (Ct – Ct’)
Ct = (Ct’ + Vt’)
Với ; t = t’.
1
Suy ra: (18)
V2
1 2
C
Vậy:
x Vt x 'Vt
x' x
2
V2
V
1 2 1 2
C C
Và:
V V
t 2 x t ' 2 x '
C C
t' t
2
V2
V
1 2 1 2
C C
Vì hệ K chuyển động dọc theo trục X nên y = y’ và z = z’. Ta thu được công thức
biến đổi Lorent:
V
t 2 x
x Vt C
x' ; y’ = y ; z’ = z ; t ' (19)
2
V2
V
1 2 1 2
C C
(19) cho phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ K sang hệ K’
V
t ' 2 x '
x 'Vt C
x ; y’ = y ; z’ = z ; t (20)
2
V2
V
1 2 1 2
C C
(20) cho phép biến đổi tọa độ và thời gian từ hệ K’ sang hệ K.
(19)(20) được gọi là phép biến đổi Loren. Qua đó ta thấy được mối liên hệ mật thiết
giữa không gian và thời gian.
V
Từ kết quả trên khi C hay 0 thì (19)(20) chuyển thành các công thức của
C
phép biến đổi Galileo.
x’ = x – Vt’ ; y’ = y ; z’ = z; t’ = t .
x = x’ + Vt ; y’ = y ; z’ = z; t’ = t .
Điều kiện C tương ứng với quan niệm tương tác tức thời.
Trang 16
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
V
Điều kiện tương ứng với sự gần đúng cổ điển.
C
Khi V > C các tọa độ X,t trở nên ảo, điều đó chứng tỏ không thể có các chuyển động
với vận tốc lớn hơn vận tốc ánh sáng C. Cũng không thể dùng hệ quy chiếu chuyển động
với vận tốc ánh sáng, vì khi đó mẫu số trong các công thức (19) (20) sẽ bằng không.
IV. Các hệ quả của phép biến đổi Lorentz:
1. Khái niệm về tính đồng thời và quan hệ nhân quả:
Giả sử rằng trong hệ quán tính K có hai hiện t ượng ( biến cố): A1(x1, y1, z1, t1) và
A2(x2, y2, z2, t2) với x1 x 2 . Ta tìm khoảng thời gian t 2 't1 ' giữa hai hiện tượng trong hệ
K’ chuyển động với vận tốc V dọc theo trục X. Từ công thức biến đổi Loren thu được:
V
t 2 t1 2 x x 2 x1
C (21)
t 2 't1 '
V2
1 2
C
Suy ra hiện tượng xảy ra đồng thời trong hệ K (t1 = t2) sẽ không đồng thời ở hệ K’ và
t 2 't1 ' 0 chỉ có trường hợp ngoại lệ là khi cả hai biến cố xảy ra đồng thời tại những điểm
có cùng giá trị của X (tọa độ y có thể khác nhau).
Như vậy khái niệm đồng thời chỉ là một khái niệm tương đối, hai biến cố có thể đồng
thời ở trong một hệ quy chiếu này nói chung có thể không đồng thời ở trong một hệ quy
chiếu khác.
Công thức (21) chứng tỏ rằng đối với các biến cố đồng thời trong hệ K, dấu của t 2 't1 '
được xác định bởi dấu biểu thức (x2 – x1)V. Do đó, trong các hệ quán tính khác nhau (
với các giá trị khác nhau của V) hiệu t 2 't1 ' sẽ không những khác nhau về độ lớn mà còn
khác nhau về dấu. Điều đó có nghĩa là thứ tự của các biến cố A1 và A2 có thể bất kỳ.
Tuy nhiên điều trình bày nói trên không được xét cho các biến cố có liên hệ nhân quả
với nhau. Liên hệ nhân quả là một liên hệ giữa nguyên nhân, kết quả. Nguyên nhân bao
giờ cũng xảy ra trước kết quả, quyết định sự ra đời của kết quả.
Ví dụ: một viên đạn được bắn ra (nguyên nhân)
Viên đạn trúng đích ( kết quả)
Thứ tự của các biến cố có quan hệ nhân quả bao giờ cũng được bảo đảm trong mọi hệ
quán tính.
Nếu ta gọi A1(x1 t1) là biến cố viên đạn được bắn ra và A2(x2 t2) là biến cố viên đạn
trúng đích. Coi hai biến cố đều xảy ra trên trục x. Trong hệ K t2 > t1. Gọi v là vận tốc viên
đạn và giả sử x2 > x1
x1 = vt1 ; x2 = vt2.
Thay vào công thức (21):
Suy ra:
Trang 17
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
t 2 t1 1 Vv2
C
t 2 't1 '
V2
1
C2
Ta có v < C nếu t2 > t1 thì t 2 ' t1 ' . Nghĩa là trong hệ K, K’ bao giờ biến cố viên đạn
trúng đích cũng xảy ra sau biến cố viên đạn được bắn ra, thứ tự nhân quả bao giờ cũng
được tôn trọng.
2. Sự co ngắn Lorentz:
Dựa vào các công thức (19),(20) chúng ta so sánh độ dài của một vật và khoảng thời
gian của một quá trình ở hai hệ K và K’.
Giả sử có một thanh đứng yên trong hệ K’ đặt dọc theo trục x’, độ dài của nó trong hệ
K’ bằng :
l 0 x 2 ' x1 '
Gọi l là độ dài của nó trong hệ K. Muốn như vậy ta phải xác định vị trí các đầu của
thanh trong hệ K tại cùng thời điểm. Từ phép biến đổi Loren:
V V
x2 x1
t2 t1
C2 C2
x2 ' x1 '
V2 V2
1 2 1 2
C C
Với t2 = t1:
x x1
x 2 ' x1 ' 2
V2
1 2
C
V2
l l0 1 2 (22)
Suy ra:
C
Vậy:
“Độ dài (dọc theo phương chuyển động) của thanh trong hệ quy chiếu mà thanh
chuyển động ngắn hơn độ dài của thanh ở trong hệ mà thanh đứng yên.”
(nói cách khác, khi vật chuyển động, kích thước của nó bị co ngắn theo phương
chuyển động).
Như vậy kích thước của vật sẽ khác nhau tùy thuộc vào chỗ ta quan sát ở trong hệ
đứng yên hay chuyển động. Điều đó nói lên tính chất của không gian trong các hệ quy
chiếu đã thay đổi. Hay không gian có tính chất t ương đối. Nó phụ thuộc vào chuyển
động. Trường hợp vận tốc của chuyển động nhỏ ( V
- Trường ĐH Sư Phạm HCM- Khoa Vật Lý
GVHD: LÊ VĂN HOÀNG
Giả sử có một đồng hồ đứng yên trong hệ K’. Ta xét hai biến cố xảy ra tại cùng một
điểm A có các tọa độ (x’ y’ z’) trong hệ K’, khoảng thời gian giữa hai biến cố trong hệ K’
bằng t t 2 't1 ' . Chúng ta tìm khoảng thời gian giữa cùng hai biến trên ở hệ K.
V V
t 2 ' t1 '
x' x'
C2 C2
;
t2 t1
V2 V2
1 2 1 2
C C
Rút ra:
t 2 't1 '
t t 2 t1
V2
1
C2
Hay:
V2
t ' t 1 t (23)
C2
Vậy:
Khoảng thời gian t ' của quá trình trong hệ K’ chuyển động bao giờ cũng nhỏ hơn
khoảng thời gian t xảy ra của cùng quá trình đó trong hệ K đứng yên. Nếu trong hệ K’,
chuyển động có gắn một đồng hồ và trong hệ K cũng gắn một đồng hồ, thì khoảng thời
gian của cùng một quá trình xảy ra được ghi trên đồng hồ của hệ K’ sẽ nhỏ hơn khoảng
thời gian ghi trên đồng hồ của hệ K. Ta có thể nói: “ đồng hồ chuyển động chạy chậm
hơn đồng hồ đứng yên”. Khoảng thời gian để xảy ra một quá trình sẽ khác nhau tùy thuộc
vào chỗ ta quan sát quá trình đó ở trong hệ đứng yên hay chuyển động.
Khoảng thời gian có tính chất tương đối. Nó không phụ thuộc vào chuyển động. Nếu
V
nguon tai.lieu . vn