Xem mẫu
- Đề án
Í nghĩa về việc đo lường và thử nghiệm
- CÁC PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH HÀM THƯ NG DÙNG
Phương pháp 1: H s b t ñ nh.
Nguyên t c chung:
+) D a vào ñi u ki n bài toán, xác ñ nh ñư c d ng c a f(x), thư ng là f(x) = ax + b ho c
f(x) = ax2+ bx + c.
+) ð ng nh t h s ñ tìm f(x).
+) Ch ng minh r ng m i h s khác c a f(x) ñ u không th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x f ( y ) + x ) = xy + f ( x ) ∀x, y ∈ R (1) .
L i gi i:
x = 1
Thay vào (18) ta ñư c: f ( f ( y ) + 1) = y + f (1) ( a ) .
y∈R
( )
Thay y = − f (1) − 1 vào (a) suy ra: f f ( − f (1) − 1) + 1 = −1 . ð t a = f ( − f (1) − 1) + 1 ta
ñư c: f ( a ) = −1 .
y = a
Ch n ta ñư c: f ( x f ( a ) + x ) = xa + f ( x ) ⇒ xa + f ( x ) = f ( 0 ) .
x ∈ R
ð t f ( 0 ) = b ⇒ f ( x ) = −a x + b . Th vào (1) và ñ ng nh t h s ta ñư c:
a = 1
a 2 = 1 f ( x) = x
⇒ a = −1 ⇒
.
− a b − a = −a f ( x) = −x
b = 0
V y có hai hàm s c n tìm là f ( x ) = x và f ( x ) = − x .
Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn: f ( f ( x ) + y ) = y f ( x − f ( y ) ) ∀x, y ∈ R ( 2 ) .
L i gi i:
Cho y = 0; x ∈ R : (2) ⇒ f ( f ( x ) ) = 0 ∀x ∈ R ( a ) .
( )
Cho x = f ( y ) : (2) ⇒ f f ( f ( y ) ) + y = y f ( 0 ) ( a ' ) .
( a ) + ( a' ) ⇒ f ( y ) = y f ( 0) . ð t f ( 0 ) = a ⇒ f ( y ) = ay ∀y ∈ R . Th l i (2) ta ñư c:
a 2 ( x 2 + y 2 ) + a ( y − x y ) = 0 ∀x, y ∈ R ⇔ a = 0 ⇒ f ( x ) = 0 ∀x ∈ R . V y có duy nh t hàm s
f ( x ) = 0 th a mãn bài toán.
Ví d 3: Tìm f , g : R → R th a mãn:
2 f ( x ) − g ( x ) = f ( y ) − y ∀x, y ∈ R
(a)
.
f ( x) g ( x) ≥ x +1
∀x ∈ R (b )
L i gi i:
Cho x = y ∈ R khi ñó ( a ) ⇒ f ( x ) = g ( x ) − x .Thay l i (a) ta ñư c:
1
- g ( x ) = 2 x − 2 y + g ( y ) ∀x, y ∈ R (c).
Cho y = 0; x ∈ R : t (c) ta ñư c: g ( x ) = 2 x + g ( 0 ) . ð t g ( 0 ) = a ta ñư c:
g ( x ) = 2 x + a , f ( x ) = x + a . Th vào (a), (b) ta ñư c:
2 x + a = 2 x + a
(a), (b) ⇔ ( ∀x ∈ R ) ⇔ 2 x 2 + ( 3a − 1) x + a 2 − 1 ≥ 0 ∀x ∈ R
(
x + a )( 2 x + a ) ≥ x + 1
2
⇔ ( a − 3) ≤ 0 ⇔ a = 3 . V y f ( x ) = x + 3 ; g ( x ) = 2 x + 3 .
Ví d 4: ða th c f(x) xác ñ nh v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n:
2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 , ∀x ∈ ℝ (1). Tìm f(x).
L i gi i:
Ta nh n th y v trái c a bi u th c dư i d u f là b c nh t: x, 1 – x v ph i là b c hai x2.
V y f(x) ph i có d ng: f(x) = ax2 + bx + c.
Khi ñó (1) tr thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 – x)2 + b(1 – x) + c = x2 ∀x ∈ ℝ do ñó:
3ax2 + (b – 2a)x + a + b + 3c = x2, ∀x ∈ ℝ
1
a = 3
3a = 1
2
ð ng nh t các h s , ta thu ñư c: b − 2a = 0 ⇔ b =
a + b + 3c = 0 3
1
c = − 3
1
V y: f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1)
3
Th l i ta th y hi n nhiên f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ta ph i ch ng minh m i hàm s khác f(x) s không th a mãn ñi u ki n bài toán:
Th t v y gi s còn hàm s g(x) khác f(x) th a mãn ñi u ki n bài toán.
Do f(x) không trùng v i g(x) nên ∃x0 ∈ ℝ : g ( x0 ) ≠ f ( x0 ) .
Do g(x) th a mãn ñi u ki n bài toán nên: 2 g ( x) + g (1 − x) = x 2 , ∀x ∈ ℝ
Thay x b i x0 ta ñư c: 2 g ( x0 ) + g (1 − x0 ) = x0 2
Thay x b i 1 –x0 ta ñư c: 2 g (1 − x0 ) + g ( x0 ) = (1 − x0 ) 2
1
T hai h th c này ta ñư c: g ( x0 ) = ( x0 2 + 2 x0 − 1) = f ( x0 )
3
ði u này mâu thu n v i g ( x0 ) ≠ f ( x0 )
1
V y phương trình có nghi m duy nh t là f ( x) = ( x 2 + 2 x − 1)
3
2
- Nh n xét: N u ta ch d ñoán f(x) có d ng nào ñó thì ph i ch ng minh s duy nh t c a các
hàm s tìm ñư c.
Ví d 5: Hàm s y = f(x) xác ñ nh, liên t c v i ∀x ∈ ℝ và th a mãn ñi u ki n:
f(f(x)) = f(x) + x, ∀x ∈ ℝ
Hãy tìm hai hàm s như th .
L i gi i:
Ta vi t phương trình ñã cho dư i d ng f(f(x)) – f(x) = x (1).
V ph i c a phương trình là m t hàm s tuy n tính vì v y ta nên gi s r ng hàm s c n tìm
có d ng: f(x) = ax + b.
Khi ñó (1) tr thành: a( ax + b) + b – (ax + b) = x , ∀x ∈ ℝ hay (a2 –a )x + ab = x, ∀x ∈ ℝ
a 2 − a = 1 a = 1 + 5 a = 1 − 5 1± 5
ñ ng nh t h s ta ñư c: ⇔ 2 ∨ 2 ⇒ f ( x) = x.
ab = 0 b = 0 b = 0 2
Hi n nhiên hai hàm s trên th a mãn ñi u ki n bài toán (vi c ch ng minh s duy nh t dành
cho ngư i ñ c).
Ví d 6: Hàm s f : ℤ → ℤ th a mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau:
a ) f ( f ( n)) = n, ∀n ∈ ℤ (1)
b) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ ℤ (2)
c) f (0) = 1 (3)
Tìm giá tr f(1995), f(-2007).
L i gi i:
Cũng nh n xét và lý lu n như các ví d trư c, ta ñưa ñ n f(n) ph i có d ng: f(n) = an +b.
Khi ñó ñi u ki n (1) tr thành: a 2 n + ab + b = n, ∀n ∈ ℤ
a 2 = 1 a = 1 a = −1
ð ng nh t các h s , ta ñư c: ⇔ ∨
ab + b = 0 b = 0 b = 0
a = 1
V i ta ñư c f(n) = n. Trư ng h p này lo i vì không th a mãn (2).
b = 0
a = −1
V i ta ñư c f(n) = -n + b. T ñi u ki n (3) cho n = 0 ta ñư c b = 1.
b = 0
V y f(n) = -n + 1.
Hi n nhiên hàm s này th a mãn ñi u ki n bài toán.
Ta ph i ch ng minh f(n) = -n +1 là hàm duy nh t th a mãn ñi u ki n bài toán:
Th t v y gi s t n t i hàm g(n) khác f(n) cũng th a mãn ñi u ki n bài toán.
T (3) suy ra f(0) = g(0) = 1, f(1) = g(1) = 0.
S d ng ñi u ki n (1) và (2) ta nh n ñư c: g(g(n)) = g(g(n+2)+2) ∀n ∈ℤ .
3
- do ñó g(g(g(n))) = g(g(g(n+2)+2)) ∀n ∈ℤ Hay g(n) = g(n+2)+2 ∀n ∈ℤ .
Gi s n0 là s t nhiên bé nh t làm cho f (n0 ) ≠ g (n0 )
Do f(n) cũng th a mãn (4) nên ta có:
g (n0 − 2) = g (n0 ) + 2 = f (n0 ) + 2 = f (n0 − 2)
⇔ g (n0 − 2) = f (n0 − 2)
Mâu thu n v i ñi u ki n n0 là s t nhiên bé nh t th a mãn (5).
V y f(n) = g(n), ∀n ∈ ℕ
Ch ng minh tương t ta cũng ñư c f(n) = g(n) v i m i n nguyên âm.
V y f(n) = 1 – n là nghi m duy nh t.
T ñó tính ñư c f(1995), f(-2007).
BÀI T P
Bài 1: Tìm t t c các hàm s f : ℝ → ℝ th a mãn ñi u ki n:
f ( x + y ) + f ( x − y ) − 2 f ( x) f (1 + y ) = 2 xy (3 y − x 2 ), ∀x, y ∈ ℝ .
ðáp s : f(x) = x3.
Bài 2: Hàm s f : ℕ → ℕ th a mãn ñi u ki n f(f(n)) + f(n) = 2n + 3, ∀n ∈ ℕ. Tìm f(2005).
ðáp s : 2006.
Bài 3: Tìm t t c các hàm f : ℕ → ℕ sao cho: f ( f (n)) + ( f (n))2 = n 2 + 3n + 3, ∀n ∈ ℕ.
ðáp s : f(n) = n + 1.
x −1 1− x 8 2
Bài 4: Tìm các hàm f : ℝ → ℝ n u: 3 f −5f = , ∀x ∉ 0, − ,1, 2
3x + 2 x − 2 x −1 3
28 x + 4
ðáp s : f ( x) =
5x
Bài 5: Tìm t t c các ña th c P(x) ∈ ℝ [ x] sao cho: P(x + y) = P(x) + P(y) + 3xy(x + y),
∀x , y ∈ ℝ
ðáp s : P(x) = x3 + cx.
Phương pháp 2: phương pháp th .
2.1. Th n t o PTH m i:
2x +1
Ví d 1: Tìm f: R\{2} → R th a mãn: f = x + 2 x ∀x ≠ 1 (1) .
2
x −1
2x +1
L i gi i: ð t t = ⇒ MGT t = R \ {2} (t p xác ñ nh c a f). Ta ñư c:
x −1 x ≠1
t +1 3t 2 − 3
x= th vào (1): f (t ) = 2
∀t ≠ 2 . Th l i th y ñúng.
t−2 (t − 2)
4
- 3x 2 − 3
V y hàm s c n tìm có d ng f ( x) = 2
.
( x − 2)
Nh n xét:
+ Khi ñ t t, c n ki m tra gi thi t MGT t ⊃ D . V i gi thi t ñó m i ñ m b o tính ch t: “Khi
x∈Dx
t ch y kh p các giá tr c a t thì x = t cũng ch y kh p t p xác ñ nh c a f”.
3x 2 − 3
2 ( x ≠ 2)
+ Trong ví d 1, n u f: R → R thì có vô s hàm f d ng: f ( x) = ( x − 2 ) (v i a∈R
a ( x = 2)
tùy ý).
Ví d 2: Tìm hàm f : ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] → R th a mãn:
f ( x − x 2 − 1) = x + x 2 − 1 ∀ x ≥ 1 ( 2 ) .
x − t ≥ 0
L i gi i: ð t t = x − x 2 − 1 ⇔ x 2 − 1 = x − t ⇔ 2 2
x −1 = ( x − t )
x ≥ t
x ≥ t t2 +1 t ≤ −1
⇔ 2 2 2
⇔ 2
t +1 . H có nghi m x ⇔ ≥t ⇔
x − 1 = x − 2 xt + t x = 2t 0 < t ≤ 1
2t
⇒ t ∈ ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] . V y MGT t = D = ( −∞; −1] ∪ ( 0;1] .
x ≥1
1 1
V i t = x − x 2 − 1 thì x + x 2 − 1 = ⇒ f (t ) = th a mãn (2).
t t
1
V y f ( x) = là hàm s c n tìm.
x
2 3x − 1 x + 1
Ví d 3: Tìm f : R\ ;3 → R th a mãn: f = ∀x ≠ 1, x ≠ −2 ( 3) .
3 x + 2 x −1
3x − 1 2 2t + 1 t+4
L i gi i: ð t t = ⇒ MGT t = R \ ;3 ⇒ x = th vào (4) ta ñư c: f (t ) =
x+2 ( x ≠2)
x ≠1
3 3−t 3t − 2
x+4
th a mãn (3). V y hàm s c n tìm là: f ( x) = .
3x − 2
Ví d 4: Tìm f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn:
x f ( x f ( y )) = f ( f ( y )) ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) (4) .
L i gi i:
Cho y = 1, x ∈ ( 0; + ∞ ) ta ñư c: x f ( x f (1)) = f ( f (1)) .
1 1
Cho x = ta ñư c: f ( f (1) = 1⇒ x f ( x f (1)) = 1 ⇒ f ( x f (1)) = . ð t:
f (1) x
5
- f (1) a
t = x. f (1) ⇒ f (t ) = ⇒ f (t ) = (v i a = f (1) ). Vì f (1) ∈ ( 0; + ∞ ) ⇒ MGT t = ( 0; + ∞ ) .
t t x∈( 0; +∞ )
a a
V y f ( x) = . Th l i th y ñúng ( a > 0 ) . Hàm s c n tìm là: f ( x) = v i ( a > 0 ) .
x x
Ví d 5: Tìm hàm f: ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn:
1 3 3
f (1) = ; f ( xy ) = f ( x). f + f ( y ). f ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) ( 5 ) .
2 y x
L i gi i:
1
Cho x = 1; y = 3 ta ñư c: f ( 3) = .
2
3
Cho x = 1; y ∈ ( 0; + ∞ ) ta ñư c: f ( y ) = f . Th l i (5) ta ñư c:
y
3
f ( xy ) = 2 f ( x) f ( y ) ∀x, y ∈ ( 0; + ∞ ) (5') . Thay y b i ta ñư c:
x
2
3 1 2
f ( 3) = 2 f ( x )) f ⇒ = ( f ( x ) ) . Th l i th y ñúng.
x 2
1
V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = ∀x > 0 .
2
Ví d 6: Tìm hàm f: R → R th a mãn:
( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) = 4 xy ( x 2 + y 2 ) ∀x, y ∈ R ( 6) .
L i gi i: Ta có:
( 6) ⇔ ( x − y ) f ( x + y ) − ( x + y ) f ( x − y ) =
1 2 1 2
= ( x + y ) − ( x − y ) + ( x + y ) + ( x − y ) ( x + y ) + ( x − y ) − ( x + y ) − ( x − y )
4 4
u = x − y 1
ð t
v = x + y
2
(
ta ñư c: v f ( u ) − u f ( v ) = ( u + v )( u − v ) ( u + v ) − ( u − v )
4
2
)
⇒ v f ( u ) − u f ( v ) = u 3v − v 3u ⇔ v ( f ( u ) − u 3 ) = u ( f ( v ) − v3 )
+ V i uv ≠ 0 ta có:
f ( u ) − u 3 f ( v ) − v3 f (u ) − u3
= ∀u , v ∈ R* ⇒ = a ⇒ f ( u ) = au + u 3 ∀u ≠ 0 .
u v u
+ V i u = 0; v ≠ 0 suy ra: f ( u ) − u 3 = 0 ⇔ f ( u ) = u 3 ⇒ f ( 0 ) = 0 .
Hàm f ( u ) = au + u 3 th a mãn f ( 0 ) = 0 . V y f ( u ) = au + u 3 ∀u ∈ R
Hàm s c n tìm là: f ( x ) = ax + x3 ( a ∈ R ) . Th l i th y ñúng.
2.2. Th n t o ra h PTH m i:
6
- Ví d 1: Tìm hàm f: R → R th a mãn: f ( x ) + x f ( − x ) = x + 1 ∀x ∈ R (1) .
L i gi i:
ð t t = − x ta ñư c: f ( −t ) − t f ( t ) = −t + 1 ∀t ∈ R (1) . Ta có h :
f ( x) + x f (−x) = x +1
⇒ f ( x ) = 1 . Th l i hàm s c n tìm là: f ( x ) = 1 .
− x f ( x ) + f ( − x ) = − x + 1
x −1
Ví d 2: Tìm hàm s f : R \ { 0,1 } → R Th a mãn: f ( x ) + f = 1 + x ∀x ∈ R
*
( 2) .
x
x −1
L i gi i: ð t x1 = , ( 2 ) ⇔ f ( x ) + f ( x1 ) = 1 + x .
x
x1 − 1 1
ð t x2 = = , ( 2 ) ⇔ f ( x1 ) + f ( x2 ) = 1 + x1 .
x1 x −1
x2 − 1
ð t x3 = = x, ( 2 ) ⇔ f ( x2 ) + f ( x ) = 1 + x2 .
x2
f ( x1 ) + f ( x ) = 1 + x
1 + x − x1 + x2 1 1 1
Ta có h f ( x2 ) + f ( x1 ) = 1 + x1 ⇒ f ( x ) = = x+ + . Th l i th y
2 2 x 1− x
f ( x ) + f ( x2 ) = 1 + x2
1 1 1
ñúng. V y hàm s c n tìm có d ng: f ( x ) = x + + .
2 x 1− x
x −1
Ví d 3: Tìm hàm s f : R \ { − 1;0;1 } → R th a mãn: x f ( x ) + 2 f = 1 ∀x ≠ −1 ( 3) .
x +1
L i gi i:
x −1
ð t x1 = , ( 3) ⇒ x f ( x ) + 2 f ( x1 ) = 1 .
x +1
x1 − 1 1
ð t x2 = = − , ( 3) ⇒ x 1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) = 1 .
x1 + 1 x
x2 − 1 x + 1
ð t x3 = = , ( 3) ⇒ x2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) = 1 .
x2 + 1 x − 1
x3 − 1
ð t x4 = = x , ( 3) ⇒ x3 f ( x3 ) + 2 f ( x ) = 1 .
x3 + 1
x f ( x ) + 2 f ( x1 ) = 1
x1 f ( x1 ) + 2 f ( x2 ) = 1 4 x2 − x + 1
Ta có h ⇒ f ( x) = . Th l i th y ñúng.
x2 f ( x2 ) + 2 f ( x3 ) = 1 5 x ( x − 1)
x f x + 2 f x = 1
3 ( 3) ( )
7
- 4 x2 − x + 1
V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = .
5 x ( x − 1)
BÀI T P
1
1) Tìm f : R \ { 1 } → R th a mãn: f 1 + = x 2 + 1 ∀x ∈ R .
x
a b − ax x2 a
2) Tìm f : R \ − → R th a mãn: f = 4 ∀x ≠ − (a, b là h ng s cho
b bx + a x + 1 b
trư c và ab ≠ 0 ).
3) Tìm f : R → R th a mãn: f ( 2002 x − f ( 0 ) ) = 2002 x 2 ∀x ∈ R .
1 1
4) Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn: f ( x ) + f = 1 ∀x ∈ R \ { 0;1} .
2x 1 − x
1− x
5) Tìm f : R \ { ± 1; 0} → R th a mãn: ( f ( x ) ) f = 64 x ∀x ∈ R \ {−1} .
1+ x
2 2x 2
6) Tìm f : R \ → R th a mãn: 2 f ( x ) + f = 996 x ∀x ≠ .
3 3x − 2 3
x −3 x+3
7) Tìm f : R \ { ± 1 } → R th a mãn: f + f = x ∀x ≠ ±1 .
x +1 1− x
8) Tìm f : R → R th a mãn: 2 f ( x ) + f (1 − x ) = x 2 ∀x ∈ R .
1
9) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) + f = x 2008 ∀x ∈ R* .
x
1 x −1 1
10) Tìm f : R \ ± → R th a mãn: f ( x ) + f = x ∀x ≠ .
3 1 − 3x 3
a2
11) Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) + f = x ∀x ≠ a ( a > 0) .
a−x
f ( 2 x + 1) + 2 g ( 2 x + 1) = 2 x
12) Tìm f , g : R \ { 1 } → R th a mãn: x x ∀x ≠ 1 .
f + g =x
x −1 x −1
Phương pháp 3: Phương pháp chuy n qua gi i h n.
2 x 3x
Ví d 1: Tìm hàm s f : R → R liên t c, th a mãn: f ( x ) + f = ∀x ∈ R (1) .
3 5
L i gi i:
2x 3
ð t x1 = ; (1) ⇒ f ( x ) + f ( x1 ) = x .
3 5
2 x1 3
ð t x2 = ; (1) ⇒ f ( x1 ) + f ( x2 ) = x1 .
3 5
8
- 2 xn 3
ð t xn +1 = , n ∈ N * ; (1) ⇒ f ( xn ) + f ( xn +1 ) = xn .
3 5
3
f ( x ) + f ( x1 ) = 5 x (1)
f (x )+ f (x ) = 3 x
( 2)
1 2 1
Ta có h 5
……
f x + f x 3
( n ) ( n+1 ) = xn ( n + 1)
5
Nhân dòng phương trình th (i) v i (-1)i+1 r i c ng l i ta ñư c:
3 2 2 2
2 n
n+2
f ( x ) + ( −1) f ( xn +1 ) = x 1 − + − ⋯ + − ( *) .
5 3 3
3
( f l.tôc )
Xét lim ( −1) f ( xn +1 ) = lim f ( xn +1 ) =
n+ 2
f ( lim xn +1 ) = f ( 0 ) .
n+ 2
M t khác (1) suy ra f(0) = 0 nên lim ( −1) f ( xn +1 ) = 0 .
3 1 9x
L y gi i h n hai v c a (*) ta ñư c: f ( x ) = x = . Th l i th y ñúng.
5 1 + 2 25
3
9x
V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = .
25
Ví d 2: Tìm hàm s f liên t c t i xo= 0 th a mãn:
f : R → R và 2 f ( 2 x ) = f ( x ) + x ∀x ∈ R ( 2) .
L i gi i:
t t
ð t t = 2 x ta ñư c: 2 f ( t ) = f + ∀t ∈ R ( 2' ) .
2 2
1 *
tn +1 = 2 tn , ∀n ∈ N
Xét dãy: . Thay dãy {tn} vào (2’) ta ñư c:
t = 1 t
1 2
1 1
f ( t ) = 2 f ( t1 ) + 4 t (1)
f (t ) = 1 f (t ) + 1 t
1 ( 2 ) . Th
2
2
4
1
(n) vào ( n − 1) → ( n − 2 ) → ⋯ ta ñư c:
⋯⋯
f t 1 1
( n −1 ) 2 ( n ) 4 n −1 (n)
= f t + t
1 1 1 1
f (t ) =
2 n
f ( tn ) + n +1 f ( tn −1 ) + n f ( tn − 2 ) + ⋯ + 2 t
2 2 2
(* ) .
'
9
- n
1 1 1 1 1
Thay tn = t vào (*’) ta ñư c: f ( t ) = n f ( tn ) + t 2 + 4 + ⋯ + 2 n
2 2 2 2 2
(* ) .
"
1 t
Vì f liên t c t i xo = 0 nên lim n f ( tn ) = 0 . L y gi i h n 2 v (*”) suy ra: f ( t ) = . Th
2 3
l i th y ñúng.
Nh n xét:
+) N u dãy {xn} tu n hoàn thì ta gi i theo phương pháp th r i quy v h pt hàm.
+) N u dãy {xn} không tu n hoàn nhưng f liên t c t i xo = 0 và {xn} → 0 thì s d ng
gi i h n như VD1.
+ N u {xn} không tu n hoàn, không có gi i h n thì ph i ñ i bi n ñ có dãy {tn} có
gi i h n 0 và làm như ví d 1.
BÀI T P
1) Tìm f : R → R th a mãn:
a) f liên t c t i xo = 0,
b) n f ( nx ) = f ( x ) + nx ∀n ∈ N , n ≥ 2; ∀x ∈ R .
x 10
2) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn: f ( 3 x ) + f = x .
3 3
3) Tìm f : R → R liên t c t i xo = 0, th a mãn:
m f ( mx ) − n f ( nx ) = ( m + n ) x ∀m, n ∈ N * , m ≠ n , ∀x ∈ R .
Phương pháp 4: Phương pháp xét giá tr .
+) ðây là phương pháp cơ s c a m i phương pháp khác.
+) Khi v n d ng phương pháp c n chú ý s d ng k t qu v a có ñư c.
( a ) f ( x ) ≥ 0 ∀x ∈ R
Ví d 1: Tìm f : R → R th a mãn: .
( b ) f ( x + y ) ≥ f ( x ) + f ( y ) ∀x, y ∈ R
L i gi i:
x = 0 f ( 0) ≥ 0
Cho suy ra ⇒ f (0) = 0 .
y = 0 f ( 0) ≥ 2 f ( 0)
f ( 0) ≥ f ( x ) + f ( − x ) f ( x) + f ( − x ) ≤ 0
Cho y = − x ⇒ ⇒
f ( x ) ≥ 0, f ( − x ) ≥ 0
f ( x ) ≥ 0, f ( − x ) ≥ 0
⇒ f ( x ) = f ( − x ) = 0 ∀x ∈ R . V y f ( x ) = 0 . Th l i th y ñúng.
Ví d 2: Tìm f : R → R th a mãn:
1 1 1
f ( xy ) + f ( yz ) − f ( x ) f ( yz ) ≥ ∀x, y, z ∈ R ( 2) .
2 2 4
L i gi i:
10
- 2
2 1 1 1
Cho x = z , y = 1 ta ñư c: f ( x ) − ( f ( x ) ) ≥ ⇔ f ( x ) − ≤ 0 ⇔ f ( x ) = . Th l i th y
4 2 2
ñúng.
Ví d 3: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) = Max { xy − f ( y ) } ∀x ∈ R ( 3) .
y∈R
L i gi i: ( 3) ⇒ f ( x ) ≥ xy − f ( y ) ∀x, y ∈ R .
t2
Cho x = y = t ∈ R ⇒ f ( t ) = ∀t ∈ R (a) .
2
T (a) suy ra:
y2 x2 1 2 x2 x2
xy − f ( y ) ≤ xy − = − ( x − y) ≤ ⇒ f ( x ) = Max { xy − f ( y ) } ≤ ∀x ∈ R (b )
2 2 2 2 y∈R 2
x2
( a ) + (b) ⇒ f ( x) = . Th l i th y ñúng.
2
Ví d 4: Tìm f : R → R th a mãn:
f ( x + y ) ≥ f ( x ) f ( y ) ≥ 2008x + y ∀x, y ∈ R ( 4) .
L i gi i:
2
Cho x = y = 0 ⇒ f ( 0 ) ≥ ( f ( 0 ) ) ≥ 1 ⇒ f ( 0 ) = 1 .
Cho
1
x = − y ∈ R ⇒ 1 = f ( 0 ) ≥ f ( x ) f ( − x ) ≥ 1⇒ f ( x ) f ( − x ) = 1⇒ f ( x ) = ∀x ∈ R (a) .
f ( −x)
f ( x ) ≥ 2008 x > 0
Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) ≥ 2008 ⇒ x
(b) .
f ( − x ) ≥ 2008 > 0
−x
1 1
Theo ( a ) + ( b ) ⇒ f ( x ) = ≤ = 2008x ( c ) . ( b ) + ( c ) ⇒ f ( x ) = 2008x . Th l i
f ( − x ) 2008− x
th y ñúng.
Ví d 5: Tìm f : [ a; b ] → [ a ; b ] th a mãn:
f ( x ) − f ( y ) ≥ x − y ∀x, y ∈ [ a ; b ] (a < b cho trư c) (5).
L i gi i:
Cho x = a ; y = b ⇒ f ( a ) − f ( b ) ≥ a − b = b − a ( a ) .
vì f ( a ) , f ( b )∈ [ a ; b ] nên f ( a ) − f ( b ) ≤ a − b = b − a ( b ) .
11
- f
(a) = a
f (b) = b
( a ) + ( b ) ⇒ f ( a ) − f ( b ) = b − a ⇔ .
f (a) = b
f
(b) = a
f (a) = a
+) N u thì:
f (b) = b
Ch n y = b ; x ∈ [ a ; b ] ⇒ f ( x ) ≤ x ( c ) .
Ch n y = a ; x ∈ [ a ; b ] ⇒ f ( x ) ≥ x ( d ) .
(c) + (d ) ⇒ f ( x) = x .
f (a) = b
+) N u thì:
f (b) = a
Ch n y = b ; x ∈ [ a ; b ] r i ch n y = a ; x ∈ [ a ; b ] như trên ta ñư c: f ( x ) = a + b − x . Th
l i th y ñúng.
Nh n xét:
+) T VD1 → VD5 là các BPT hàm. Cách gi i nói chung là tìm các giá tr ñ c bi t – có
th tính ñư c trư c. Sau ñó t o ra các BðT “ngư c nhau” v hàm s c n tìm ñ ñưa ra k t
lu n v hàm s .
+) Vi c ch n các trư ng h p c a bi n ph i có tính “k th a”. T c là cái ch n sau ph i
d a vào cái ch n trư c nó và th các kh năng có th s d ng k t qu v a có ñư c.
Ví d 6: Tìm f : R → R th a mãn:
π
f ( 0 ) = a ; f = b ( a, b cho tr−íc )
2 (6) .
f ( x + y ) + f ( x − y ) = 2 f ( x ) cos y ∀x, y ∈ R
L i gi i:
π π π
Cho y = ; x ∈ R ta ñư c: f x + + f x − = 0 (a) .
2 2 2
Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( y ) + f ( − y ) = 2a cos y (b) .
π π π
Cho x = ; y ∈ R ta ñư c: f + y + f − y = 2b cos y (c) .
2 2 2
12
- π π
f x+ + f x− =0
2 2
π π π
( a ) + (b) + ( c ) ⇒ f x− + f − x = 2a cos x − .
2 2 2
π π
f x + + f − x = 2b cos x
2 2
Gi i h ta ñư c: f ( x ) = a cos x + b sin x . Th l i th y ñúng.
Ví d 7: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) + sin x sin y ∀x, y ∈ R (7) .
L i gi i: Ta th y f ( x ) = cos x là m t hàm s th a mãn.
2 f (0) = 0
Cho x = y = 0 ⇔ ( f ( 0 ) ) = f ( 0 ) ⇔ .
f (0) = 1
N u f ( 0 ) = 0 thì: Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) = − f ( 0 ) = 0 ∀x ∈ R . Th l i ta ñư c:
sin x sin y = 0 ∀x, y ∈ R ⇒ vô lý. V y f ( x ) = 0 không là nghi m (7).
N u f ( 0 ) = 1 thì cho
x = − y ⇒ f ( x ) f ( − x ) = 1 + ( − sin 2 x ) = cos 2 x ⇒ f ( x ) f ( − x ) = cos 2 x ( a ) .
π
f =0
π 2
Cho x = ⇒ .
2 π
f − = 0
2
π π
N u f = 0 thì: Cho x = ; y ∈ R th vào (7) suy ra:
2 2
π
f y + + sin y = 0 ⇒ f ( y ) = cos y ∀y ∈ R . Th l i th y ñúng.
2
π
N u f − = 0 tương t như trên ta ñư c: f ( y ) = cos y ∀y ∈ R .
2
V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = cos x .
Ví d 8: Tìm f , g : R → R th a mãn: f ( x ) − f ( y ) = cos ( x + y ) g ( x − y ) ∀x, y ∈ R ( 8) .
L i gi i:
π π π
Ch n x = − y; y∈ R (8) ⇒ f − y − f ( y) = 0 ⇔ f − y = f ( y) (a) .
2 2 2
π π π
Ch n x = + y ; y ∈ R ( 8 ) ⇒ f + y − f ( y ) = − sin 2 y.g ( b ) .
2 2 2
13
- π π π
( a ) + (b) ⇒ f + y− f − y = − sin 2 y. g ( c ) .
2 2 2
π π
Theo (8): f + y − f − y = − g (2y) (d ) .
2 2
( c ) + ( d ) ⇒ g ( 2 y ) = sin 2 y. g
π
∀y ∈ R ⇒ g ( 2 x ) = a sin 2 x ⇒ g ( x ) = a sin x ∀x ∈ R .
2
π
(v i a = g cho trư c.)
2
a
Cho y = 0; x ∈ R ⇒ f ( x ) − f ( 0 ) = cos x. g ( x ) ⇒ f ( x ) = sin 2 x + b (b = f ( 0 )) , ∀x ∈ R .
2
a
f ( x ) = sin 2 x + b
Th l i 2 hàm s : 2 (V i a, b là h ng s cho trư c). Th a mãn (8).
g ( x ) = a sin x
f ( − x ) = − f ( x ) ∀x ∈ R ( a )
Ví d 9: Tìm f : R → R th a mãn: f ( x + 1) = f ( x ) + 1 ∀x ∈ R ( b ) .
f 1 f ( x)
= 2 ∀x ≠ 0 ( c )
x x
L i gi i:
x +1
Ta tính f ñ n f ( x ) theo hai cách:
x
x +1 1 1 f ( x)
f = f 1 + = 1 + f = 1 + 2 ∀x ≠ 0 ( a ) .
x x x x
x 1
f f 1 − 2
x +1 x +1 x +1 1
=
x +1
f 2
= 2
= 1 + f − =
x x x x x +1
x +1 x +1
x +1
2
1 x +1
2
f ( x + 1)
= 1 + − f = 1 − =
x x +1 x ( x + 1)
2
x +1
2
1+ f ( x)
1 − ∀x ≠ 0, x ≠ 1 ( b ) .
x ( x + 1)
2
( a ) + ( b ) ⇒ f ( x ) = x ∀x ≠ 0; x ≠ 1 .
V i x = 0; ( a ) ⇒ f ( 0 ) = 0 th a mãn f ( x ) = x .
V i x = 1; ( a ) ⇒ f ( −1) = − f (1) :
Cho x = 0; ( b ) ⇒ f (1) = 1 ⇒ f ( −1) = −1 th a mãn f ( x ) = x .
14
- V y f ( x ) = x ∀x ∈ R . Th l i th y ñúng .
Ví d 10: Tìm f : R \ { 0 } → R th a mãn:
f (1) = 1 ( a )
1 1 1
f = f . f ∀x, y ≠ 0 ( b ) .
x+ y x y
( x + y ) f ( x + y ) = xy f ( x ) f ( y ) ∀x, y tháa m n xy ( x + y ) ≠ 0 ( c )
L i gi i:
1 1
Cho x = y ∈ R* , ( b ) ta ñư c: f = 2 f ⇒ f ( x ) = 2 f ( 2 x ) ∀x ≠ 0 (*)
2x x
2 2
Cho x = y ∈ R* , ( c ) ta ñư c: 2 x f ( 2 x ) = x 2 ( f ( x ) ) ⇔ 2 f ( 2 x ) = x ( f ( x ) ) ∀x ≠ 0 (*' ) .
2
Th (*) vào (*’) suy ra: f ( x ) = x ( f ( x ) ) (* ) .
"
Gi s : ∃ xo ≠ 1, xo ∈ R* sao cho: f(xo) = 0. Thay x = 1 − xo ; y = xo vào (*”) ta ñư c: f(1) = 0
trái v i gi thi t f(1) = 1. V y f ( x ) ≠ 0 ∀x ≠ 1; x ≠ 0 .
1
Vì f (1) = 1 ≠ 0 nên t (*”) suy ra f ( x ) = ∀x ≠ 0 . Th l i th y ñúng.
x
Ví d 11: Tìm f : R → R th a mãn:
f (1) = 1 ( a )
f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 xy ∀x, y ∈ R ( b ) .
f 1 f ( x)
= 4 ∀x ≠ 0 ( c )
x x
L i gi i:
Cho x = y = 0, ( b ) ⇔ f ( 0 ) = 0
Cho x = y = t ≠ 0, ( b ) ⇔ f ( 2t ) − 2 f ( t ) = 2t 2 (1) .
1 1 1 1
Cho x = y = , (b) ⇔ f − 2 f = 2 ( *)
2t t 2t 2t
1 f (t ) 1 f ( 2t ) f (t ) f ( 2t )
(c) ⇒ f
1
T = 4 ; f = 4
. Th vào (*) ta ñư c: 4 − 2 4
= 2 ( 2) .
t t 2t ( 2t ) t ( 2t ) 2t
(1) + ( 2 ) ⇒ f ( t ) = t 2 ∀t ≠ 0 . T f ( 0 ) = 0 ⇒ f ( t ) = t 2 ∀t ∈ R . Th l i th y ñúng.
Ví d 12: Cho hàm s f : ( 0; + ∞ ) → ( 0; + ∞ ) th a mãn:
f ( x)
f = y f ( y ) f ( f ( x ) ) ∀x, y ∈( 0; + ∞ ) (12 ) .
y
15
- L i gi i: Cho:
x = y = 1 ⇒ f ( f (1) ) = f (1) . f ( f (1) ) ⇒ f (1) = 1 vì f ( f (1) ) ≠ 0 ⇒ f ( f (1) ) = 1 .
1
f
f (1) y a .
x = 1; y ∈ ( 0; + ∞ ) ⇒ f = y f ( y ) f ( f (1) ) = y f ( y ) ⇔ f ( y ) = ( )
y y
M t
1
f f ( y)
1
khác: f ( f ( y ) ) = f = y f ( y ) f f = y f ( y ) f ( y f ( y ) ) = y f ( y )
y
f
y y 1
y
1 1
= y f ( y) f f ( f ( y )) .
y y
1 1 1
Vì f ( f ( y ) ) ≠ 0 nên y f ( y ) f = 1 ⇔ f ( y) f = 1 (b) .
y y y
1
( a ) + (b) ⇒ f ( y ) = ∀y ∈( 0; + ∞ ) . Th l i th y ñúng.
y
Ví d 13: Tìm f : R → R th a mãn:
1
f ( 0) = ( a )
2 .
∃ a ∈ R : f ( a − y ) f ( x ) + f ( a − x ) f ( y ) = f ( x + y ) ∀x, y ∈ R ( b )
L i gi i:
1
Cho x = y = 0, ( b ) ⇒ f ( a ) = .
2
Cho y = 0; x ∈ R ta ñư c: f ( x ) = f ( x ) . f ( a ) + f ( 0 ) . f ( a − x ) ⇒ f ( x ) = f ( a − x ) ( c ) .
2 2
Cho y = a − x ; x ∈ R ta ñư c: f ( a ) = ( f ( x ) ) + ( f ( a − x ) ) (d ) .
1
2 1 f ( x) = 2
( c ) + ( d ) ⇒ 2 ( f ( x )) = ⇔ .
2 f ( x) = − 1
2
1
N u ∃ xo ∈ R sao cho: f ( xo ) = − thì:
2
2
1 (b)
x x x x (c) x
− = f ( xo ) = f o + o = 2 f o . f a − o = 2 f o ≥ 0 ⇒ Vô lí.
2 2 2 2 2 2
1
V y f ( x) = ∀x ∈ R . Th l i th y ñúng.
2
16
- Ví d 14: (VMO.1995)
Tìm f : R → R th a mãn: f (( x − y ) ) = x
2 2 2
− 2 y f ( x ) + ( f ( y ) ) ∀x, y ∈ R (14 ) .
L i gi i:
2 f ( 0) = 0
Cho x = y = 0 ⇒ f ( 0 ) = ( f ( 0 ) ) ⇔ .
f ( 0) = 1
y = 0
N u f ( 0 ) = 0 : Cho ta ñư c: f ( x 2 ) = x 2 ⇒ f ( t ) = t ∀t ≥ 0
x ∈ R
2 2
Cho x = y ∈ R ta ñư c: f ( 0) = x2 − 2 x f ( x ) + ( f ( x ) ) ⇔ ( f ( x ) − x ) = 0 ⇔ f ( x ) = x .
Th l i th y ñúng.
y = 0
N u f ( 0 ) = 1: Cho ta ñư c: f ( x 2 ) = x 2 + 1 ⇔ f ( t ) = t + 1 ∀t ≥ 0 .
x∈R
2 2
Cho x = 0; y ∈ R ta ñư c: f ( y 2 ) = −2 y + ( f ( y ) ) ⇒ ( f ( y ) ) = f ( y 2 ) + 2 y
2 f ( y) = y +1
= y 2 + 1 + 2 y = ( y + 1) ⇒ .
f ( y) = − y −1
Gi s ∃ yo ∈ R sao cho: f ( yo ) = − yo − 1 . Ch n x = y = yo ta ñư c:
2 f ( yo ) = yo − 1
1 = yo − 2 yo f ( yo ) + ( f ( yo ) ) ⇔
2
.
f ( yo ) = yo + 1
N u f ( yo ) = yo − 1 ⇒ − yo − 1 = yo − 1 ⇒ yo = 0 v f ( 0 ) = −1 (lo¹i) .
N u f ( yo ) = yo + 1 ⇒ − yo − 1 = yo + 1 ⇒ yo = −1 ⇒ f ( −1) = 0 .
Th a mãn: f ( yo ) = yo + 1 . V y f ( y ) = y + 1 ∀y ∈ R . Th l i th y ñúng.
Ví d 15: (VMO.2005)
Tìm f : R → R th a mãn: f ( f ( x − y ) ) = f ( x ) f ( y ) − f ( x ) + f ( y ) − xy ∀x, y ∈ R (15 ) .
L i gi i:
2
Cho x = y = 0 ⇒ f ( f ( 0 ) ) = ( f ( 0 ) ) . ð t f ( 0 ) = a ⇒ f ( a ) = a 2 .
2 2
Cho x = y ∈ R ⇒ ( f ( x ) ) = x 2 + f ( a ) ⇒ ( f ( x ) ) = x 2 + a 2 (*) .
2 2 f ( x) = f (−x)
⇒ ( f ( x )) = ( f ( − x )) ⇒ .
f ( x) = − f (−x)
N u ∃ xo ∈ R* sao cho f ( xo ) = f ( − xo ) :
+ Ch n x = 0; y = − xo ⇒ f ( f ( xo ) ) = a f ( − xo ) − a + f ( − xo ) ( a ) .
17
- + Ch n y = 0; x = − xo ⇒ f ( f ( xo ) ) = a f ( xo ) + a − f ( xo ) ( b ) .
( a ) + ( b ) ⇒ a ( f ( xo ) − f ( − xo ) ) − ( f ( xo ) + f ( − xo ) ) + 2a = 0 ( c ) .
(*) 2
Vì f ( xo ) = f ( − xo ) nên f ( xo ) = a ⇒ ( f ( xo ) ) = x0 + a 2 ⇒ a 2 = x0 + a 2 ⇒ xo = 0 trái v i
2 2
gi thi t xo ∈ R* .
V y f ( x ) = − f ( − x ) ∀x ∈ R . Ta th y (c) không ph thu c vào xo nên ta có:
a ( f ( x ) − f ( − x ) ) − ( f ( x ) + f ( − x ) ) + 2a = 0 ( c ) . Thay f ( x ) = − f ( − x ) suy ra:
a = 0
a ( f ( x ) + 1) = 0 ⇔ .
f ( x ) = −1
(*) 2 f ( x) = x
+ N u a = 0 ⇒ ( f ( x )) = x2 ⇔ .
f ( x) = −x
Gi s t n t i xo ∈ R* ñ f ( xo ) = xo . Khi ñó (b) suy ra:
xo = f ( xo ) = a xo + a − xo ⇒ xo = 0 trái gi thi t xo ∈ R* .
V y f ( x ) = − x ∀x ∈ R . Th l i th y ñúng
+ N u f ( x ) = −1 ∀x ∈ R . Th l i ta ñư c (15 ) ⇔ xy = 2 ∀x, y ∈ R . Vô lí.
V y hàm s c n tìm là: f ( x ) = − x .
Nh n xét: Có m t suy lu n hay nh m l n ñư c s d ng các VD:
1
2 1 f ( x) = 2 2 2 f ( y ) = y +1
VD13 ( f ( x ) ) = ⇔ ; VD14 ( f ( y ) ) = ( y + 1) ⇔ ;
4 f ( x) = − 1 f ( y ) = − y − 1
2
2 f ( x) = x
VD15 ( f ( x ) ) = x 2 ⇔ , ñó là hi u sai:
f ( x) = −x
1
2 1 f ( x ) = 2 ∀x ∈ R
( f ( x )) = ⇔ ;
4 f ( x ) = − 1 ∀x ∈ R
2
2 2 f ( y ) = y + 1 ∀x ∈ R
( f ( y ) ) = ( y + 1) ⇔ ;
f ( y ) = − y − 1 ∀x ∈ R
2 f ( x ) = x ∀x ∈ R
( f ( x )) = x2 ⇔ .
f ( x ) = − x ∀x ∈ R
18
- 2 1
Th c t thư ng là như v y nhưng v m t logic thì không ñúng. ( f ( x ) ) = thì f ( x ) có th
4
1 1
2 ( x ≥ 0)
2 1 f ( x) = 2
là hàm khác n a như f ( x ) = . Như v y ( f ( x )) = ⇔ ch
− 1 ( x < 0 ) 4 f ( x) = − 1
2
2
1
ñúng v i m i x c th ch không th k t lu n ch có hai hàm s f ( x) = ∀x ∈ R ho c
2
1
f ( x) = − ∀x ∈ R .
2
1 1
ð gi i quy t v n ñ này ta thư ng “th ” f ( x ) = ∀x ∈ R ho c f ( x ) = − ∀x ∈ R vào ñ
2 2
1
bài ñ tìm hàm s không th a mãn (trong VD13 thì f ( x ) = không th a mãn) sau ñó l p
2
1
lu n ph ñ nh là ∃ xo : f ( xo ) = − ñ d n ñ n vô lí!
2
Ví d 16: Tìm f : (0,1) → ℝ th a mãn: f(xyz) = xf(x) + yf(y) +zf(z) ∀x, y , z ∈ (0,1) .
L i gi i:
Ch n x = y = z: f(x3) = 3xf(x).
Thay x, y, z b i x2: f(x6) = 3 x2 f(x2).
M t khác: f(x6) = f(x. x2 .x3) = xf(x) + x2 f(x2) + x3 f(x3).
⇒ 3 x2 f(x2) = xf(x) + x2 f(x2) + 3x4 f(x) ⇔ 2 x2 f(x2) = xf(x) + 3x4 f(x)
3x3 + 1
⇒ f ( x2 ) = f ( x), ∀x ∈ ℝ
2
Thay x b i x3 ta ñư c :
3 x9 + 1
f ( x6 ) = f ( x 3 ), ∀x ∈ ℝ
2
3x9 + 1
⇒ 3x 2 f ( x 2 ) = 3 xf ( x), ∀x ∈ ℝ
2
3x3 + 1 3x9 + 1
⇒ 3x 2 f ( x) = 3 xf ( x), ∀x ∈ ℝ
2 2
⇒ f ( x) = 0, ∀x ≠ 0
V y f(x) = 0 v i m i x ∈(0; 1).
BÀI T P
5
1) Tìm f : N → R th a mãn: f ( 0 ) ≠ 0; f (1) = ;
2
f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) + f ( x − y ) ∀x, y ∈ N , x ≥ y .
2) Tìm f : N → R th a mãn: f ( m + n ) + f ( n − m ) = f ( 3n ) ∀m, n ∈ N , n ≥ m .
19
nguon tai.lieu . vn
