- Trang Chủ
- Báo cáo khoa học
- Báo cáo nghiên cứu khoa học: Luật mạnh số lớn cho mảng phù hợp các phần tử ngẫu nhiên trong không gian Banach p-trơn đều
Xem mẫu
- LuËt m¹nh sè lín cho m¶ng phï hîp c¸c phÇn tö ngÉu
nhiªn trong kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu
NguyÔn V¨n Qu¶ng (a) , NguyÔn TrÇn ThuËn (b)
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i nghiªn cøu luËt m¹nh sè lín cho m¶ng phï
hîp c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn trong kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu. Mét sè kÕt qu¶ chóng
t«i ®−a ra lµ tæng qu¸t h¬n c¸c kÕt qu¶ tr−íc ®ã.
1 Më ®Çu
N¨m 1973, Smythe [8] ® thu ®−îc luËt m¹nh sè lín Kolmogorov cho m¶ng
nhiÒu chØ sè c¸c biÕn ngÉu nhiªn. LuËt sè lín Marcinkiewicz-Zygmund ®èi víi m¶ng
nhiÒu chiÒu ®−îc Gut [2], Klesov [3],... thiÕt lËp. N¨m 2005, L. V. Thanh [9] ® më
réng LuËt m¹nh sè lín Kolmogorov cho m¶ng hai chiÒu c¸c biÕn ngÉu nhiªn (nhËn
gi¸ trÞ thùc) trong tr−êng hîp kh«ng cïng ph©n phèi. LuËt m¹nh sè lín cho m¶ng hai
chØ sè c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trªn kh«ng gian Banach Rademacher d¹ng
p ® ®−îc A. Rosalsky vµ L. V. Thanh nghiªn cøu trong [6] vµ [7]. Tuy nhiªn c¸c kÕt
qu¶ trªn chØ xÐt cho m¶ng nhiÒu chiÒu c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn ®éc lËp k× väng kh«ng.
B»ng viÖc giíi thiÖu kh¸i niÖm m¶ng phï hîp vµ m¶ng c¸c hiÖu martingale, chóng
t«i ® thiÕt lËp ®−îc luËt m¹nh sè lín cho m¶ng phï hîp - mét d¹ng më réng cña
LuËt m¹nh sè lín Kolmogorov - vµ luËt m¹nh sè lín kiÓu Marcinkiewicz-Zygmund
cho m¶ng phï hîp c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn.
Trong bµi b¸o nµy, ta lu«n gi¶ sö (Ω, F , P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt ®Çy ®ñ cè
®Þnh. Víi a, b ∈ R, max{a, b} vµ min{a, b} ®−îc kÝ hiÖu lÇn l−ît lµ a ∨ b vµ a ∧ b. KÝ hiÖu
C lµ mét h»ng sè d−¬ng, nh−ng h»ng sè ®ã kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i gièng nhau trong
c¸c lÇn xuÊt hiÖn. KÝ hiÖu log chØ logarit c¬ sè 2 vµ log+ x = log(1 ∨ x). Víi x 0, kÝ
hiÖu [x] lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng v−ît qu¸ x.
§Þnh nghÜa 1.1. Kh«ng gian Banach kh¶ li X ®−îc gäi lµ kh«ng gian Banach p-tr¬n
®Òu (1 p 2) nÕu
x+y + x−y
Cτ p
− 1; ∀ x, y ∈ X ;
ρ(τ ) = sup x = 1, y = τ
2
víi C lµ mét h»ng sè nµo ®ã.
VÝ dô. Mäi kh«ng gian Hillbert thùc, kh¶ li lµ kh«ng gian Banach 2-tr¬n ®Òu. C¸c
kh«ng gian p , Lp víi 1 < p < ∞ lµ c¸c kh«ng gian p ∧ 2-tr¬n ®Òu.
§Þnh lý sau ®©y cña Assouad ®−a ra ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét kh«ng gian Banach
kh¶ li X lµ kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu.
§Þnh lý 1.2. (Assouad [10]) Kh«ng gian Banach kh¶ li X lµ p-tr¬n ®Òu (1 p 2) nÕu
vµ chØ nÕu víi mäi q 1, tån t¹i h»ng sè C > 0 sao cho víi mäi martingale {Sn , Fn , n 1}
nhËn gi¸ trÞ trªn X ®Òu cã
n
p q /p
q
Si − Si−1 ∀n ∈ N.
E Sn CE , (1.1)
i=1
(BÊt ®¼ng thøc Marcinkiewicz - Zygmund)
1 NhËn bµi ngµy 01/6/2009. Söa ch÷a xong 05/8/2009.
- §Þnh lý 1.3. (Assouad, Hoffmann Jφrgensen [10]) Kh«ng gian Banach thùc X lµ p-
tr¬n ®Òu (1 p 2) khi vµ chØ khi tån t¹i sè d−¬ng L sao cho víi mäi x, y ∈ X , ta
cã
p p p
+ L y p.
+ x−y
x+y 2x (1.2)
Cho (Ω, F , P) lµ kh«ng gian x¸c suÊt, X lµ kh«ng gian Banach kh¶ li vµ B(X ) lµ
σ -®¹i sè tÊt c¶ c¸c tËp Borel trong X . Cho m¶ng hai chiÒu {Fmn , m 1, n 1} c¸c σ -®¹i
sè con cña F víi chØ sè trong N × N. Khi ®ã m¶ng hai chiÒu {Xmn , Fmn , m 1, n 1}
®−îc gäi lµ m¶ng phï hîp nÕu tháa m n c¸c ®iÒu kiÖn sau:
1. Xmn lµ Fmn /B(X ) ®o ®−îc.
2. Víi mçi n ∈ N vµ m2 > m1 th× Fm1 n ⊂ Fm2 n , víi mçi m ∈ N vµ n2 > n1 th×
Fmn1 ⊂ Fmn2 .
Chó ý r»ng ®Þnh nghÜa m¶ng phï hîp ë ®©y cña chóng t«i kh¸c víi ®Þnh nghÜa m¶ng
phï hîp ® ®−îc nªu trong [4] vµ [5]. Trong c¸c ®Þnh nghÜa ®ã, kh¸i niÖm m¶ng phï
hîp ®−îc x©y dùng dùa trªn quan hÖ thø tù tÇn sè trªn N2 .
∗
KÝ hiÖu Fmn = σ (Fm−1 ∞ F∞ n−1 ) víi F∞n = σ ( m 1 Fmn ) vµ Fm∞ = σ ( n 1 Fmn ). Ta
quy −íc r»ng F0∞ = F∞0 = {∅, Ω}.
Mét m¶ng phï hîp {Xmn , Fmn ; m 1, n 1} ®−îc gäi lµ m¶ng c¸c hiÖu martingale nÕu
∗
E{Xmn |Fmn } = 0 hÇu ch¾c ch¾n (h.c.c) ∀m, n ∈ N.
VÝ dô sau ®©y cho chóng ta thÊy ®−îc sù tån t¹i cña kh¸i niÖm m¶ng c¸c hiÖu
martingale.
VÝ dô 1. Cho {Xmn , m 1, n 1} lµ m¶ng c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn ®éc lËp cã k× väng 0.
∗
Víi mäi m 1, n 1, gäi Fmn lµ σ -®¹i sè sinh bëi Xmn , khi ®ã E(Xmn |Fmn ) = EXmn = 0
vµ {Xmn , Fmn ; m 1, n 1} lËp thµnh mét m¶ng c¸c hiÖu martingale.
VÝ dô 2. Cho d y (Xn , Fn , n 1) lµ mét hiÖu martingale nµo ®ã nh−ng (Xn , n 1)
kh«ng ®éc lËp. Víi mäi n 1, ®Æt
Xmn = Xn nÕu m = 1 vµ Xmn = 0 nÕu m > 1;
Fmn = Fn , m ≥ 1.
Ta cã
víi mäi m
Xmn ∈ Fmn 1, n 1;
∞
∗ ∗
nÕu m = 1; nÕu m > 1.
Fmn = Fn−1 Fmn Fn
=σ
n=1
Khi ®ã {Xmn , Fmn , m 1, n 1} lµ m¶ng c¸c hiÖu martingale nh−ng kh«ng lµ m¶ng
c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn ®éc lËp k× väng 0.
Tõ hai vÝ dô trªn ta thÊy r»ng tËp hîp tÊt c¶ m¶ng c¸c hiÖu martingale thùc sù
réng h¬n tËp hîp tÊt c¶ m¶ng c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn ®éc lËp k× väng 0.
M¶ng c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn {Xmn , m 1, n 1} bÞ chÆn ngÉu nhiªn bëi phÇn tö
ngÉu nhiªn X nÕu tån t¹i h»ng sè C < ∞ tháa m n
C P{ X > t}, víi mäi t
P{ Xmn > t} 0, m 1, n 1.
- Tõ ®iÒu kiÖn trªn chóng ta dÔ dµng thÊy r»ng nÕu {Xmn , m 1, n 1} lµ m¶ng
c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn cïng ph©n phèi th× nã bÞ chÆn ngÉu nhiªn bëi phÇn tö ngÉu
nhiªn X11 vµ khi ®ã C = 1.
Bæ ®Ò sau ®©y cho ta mét c¸ch chøng minh sù héi tô hÇu ch¾c ch¾n cña m¶ng c¸c
phÇn tö ngÉu nhiªn vµ nã rÊt hay ®−îc sö dông trong qu¸ tr×nh chøng minh sù héi
tô hÇu ch¾c ch¾n cña m¶ng c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn.
Bæ ®Ò 1.4. Gi¶ sö {Xmn , m 1} lµ m¶ng hai chiÒu c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn.
1, n
1. Víi ε > 0 bÊt k×, nÕu
∞ ∞
P( Xmn > ε) < ∞,
m=1 n=1
th× Xmn → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞.
2. Víi p > 0, nÕu
∞ ∞
p
< ∞,
E Xmn
m=1 n=1
th× Xmn → 0 h.c.c vµ trong Lp khi m ∨ n → ∞.
Chøng minh. Víi mçi ε > 0, ®Æt
∞
Ak ( ε ) = ( Xmn > ε), k 1,
m∨n=k
khi ®ã d y {Ak (ε), k 1} lµ d y gi¶m c¸c biÕn cè, ®Æt
∞ ∞
1
vµ
A(ε) = Ak (ε) A= A( ε ) = A .
l
ε>0
k=1 l=1
∞ ∞
1. Víi mäi k 1, v× chuçi kÐp m=1 n=1 P( Xmn > ε) héi tô nªn phÇn ®u«i
P{ Xmn > ε} cña nã sÏ dÇn tíi 0 khi k → ∞. Ta cã:
m∨n k
P(Ak (ε)) = P{ sup Xmn > ε} P{ Xmn > ε} → 0 k → ∞.
khi
m∨n k
m∨n k
Tõ ®©y ta suy ra
P(A(ε)) = lim P(Ak (ε)) = lim P{ sup Xmn > ε} = 0,
k→∞ k→∞ m∨n k
®iÒu nµy kÐo theo P(A( 1 )) = 0 víi ∀ l 1. Do ®ã ta cã P(A) = 0.
l
th× ω ∈ A( 1 ) víi ∀ l 1, tõ ®©y ta
NÕu ω ∈ A suy ra r»ng øng víi mçi l ∈ N, tån t¹i
/ / l
1
kl sao cho l víi mäi m ∨ n kl , ®iÒu nµy kÐo theo lim Xmn (ω ) = 0.
Xmn (ω )
m∨n→∞
V× P(A) = 0 nªn Xmn → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞.
- 2. Víi p > 0, do chuçi kÐp ∞=1 ∞ E Xmn p héi tô nªn hiÓn nhiªn suy ra E Xmn p
→
m n=1
0 khi m ∨ n → ∞. Do ®ã Xmn → 0 trong Lp khi m ∨ n → ∞.
MÆt kh¸c, víi mäi k 1 vµ ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Markov ta cã
∞ ∞ ∞ ∞
1 p
(do gi¶ thiÕt)
< ∞.
P( Xmn > ε) E Xmn
εp
m=1 n=1 m=1 n=1
Theo ý thø nhÊt ta suy ra Xmn → 0 h.c.c khi m ∨ n → ∞.
2 LuËt m¹nh sè lín cho m¶ng phï hîp c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn
trong kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu
Bæ ®Ò sau sÏ thiÕt lËp bÊt ®¼ng thøc cùc ®¹i cho m¶ng c¸c hiÖu martingale trong
kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu.
Bæ ®Ò 2.1. Cho 0 < p 2. Cho {Xij ; 1 i m, 1 j n} lµ hä mn phÇn tö ngÉu nhiªn
trong kh«ng gian Banach kh¶ li. Khi 1 < p 2 ta gi¶ thiÕt thªm {Xij , Fij ; 1 i m, 1
j n} lµ m¶ng c¸c hiÖu martingale trong kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu th×
k l m n
p
p
max Xij C E Xij , (2.1)
E
1km
i=1 j =1 i=1 j =1
1ln
víi h»ng sè C kh«ng phô thuéc vµo m vµ n.
Chøng minh. Trong tr−êng hîp 1 < p 2 :
§Æt Skl = k=1 l =1 Xij , Yl = max Skl víi mçi l = 1, 2, ..., n. NÕu σl lµ σ -®¹i sè sinh
i j
1km
l} th× σl ⊂ Fi∗l+1 víi mäi i
bëi {Xij ; 1 1, ®iÒu nµy kÐo theo
i m, 1 j
E(Xi l+1 |σl ) = E(E(Xi l+1 |Fi∗l+1 )|σl ) = 0 h.c.c.
Do ®ã ta cã
E(Sk l+1 |σl ) = E(Skl + X1 l+1 + · · · + Xk l+1 |σl )
= E(Skl |σl ) + E(X1 l+1 |σl ) + · · · + E(Xk l+1 |σl ) = Skl h.c.c.
Suy ra {Skl , σl ; 1 n} lµ martingale. V× { Skl , σl ; 1 n} lµ martingale d−íi
l l
kh«ng ©m víi mçi k = 1, 2, ..., m nªn { max Skl = Yl , σl ; 1 n} lµ martingale d−íi
l
1km
kh«ng ©m. Theo bÊt ®¼ng thøc Doob (xem [1], tr. 255)
p
= E( max Yl )p p
max Skl C EYn . (2.2)
E
1km 1ln
1ln
∗ ∗
MÆt kh¸c, v× {Skn , Fk+1 1 }m lµ martingale nªn { Skn , Fk+1 1 }m lµ martingale d−íi
k=1 k=1
kh«ng ©m. TiÕp tôc ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Doob ta cã
p
p p
EYn = E max Skn C E Smn . (2.3)
1km
- k
∗ ∗
Ta l¹i cã {Sml , F1 l+1 }n vµ { Xil , Fk+1 l }m (víi mçi l = 1; ...; n) lµ c¸c martingale.
l=1 k=1
i=1
V× vËy theo §Þnh lý 1.2 ta cã
n n
p
p p
(Sml − Sm l−1 ) E Sml − Sm l−1
E Smn =E C
l=1 l=1
n m mn
p
p
=C Xkl C E Xkl . (2.4)
E
l=1 k=1 k=1 l=1
KÕt hîp (2.2), (2.3) vµ (2.4) cho ta (2.1).
Tr−êng hîp cßn l¹i 0 < p 1, ta cã
k l k l
p p
max Xij max Xij
E E
1km 1km
i=1 j =1 1 l n i=1 j =1
1ln
mn m n
p
p
=E Xij E Xij .
i=1 j =1 i=1 j =1
Ta còng nhËn ®−îc (2.1).
Bæ ®Ò ®−îc chøng minh hoµn toµn.
§Þnh lý sau ®©y sÏ thiÕt lËp luËt m¹nh sè lín cho m¶ng phï hîp - mét d¹ng më
réng cña LuËt m¹nh sè lín Kolmogorov trong tr−êng hîp kh«ng cïng ph©n phèi.
§Þnh lý 2.2. Cho α > 0, β > 0 vµ 1 p 2. Cho {Xij , Fij ; i 1} lµ m¶ng phï hîp
1, j
trong kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu X . NÕu
∞ ∞
E Xij p
< ∞, (2.5)
(iα j β )p
i=1 j =1
th×
m n
1 ∗
Xij − E{Xij |Fij } → 0 m ∨ n → ∞.
h.c.c khi (2.6)
mα nβ i=1 j =1
Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt, {Xij , Fij ; i 1, j 1} lµ m¶ng phï hîp nªn Xij −
∗
1, j 1 lËp thµnh m¶ng c¸c hiÖu martingale.
E{Xij |Fij }, Fij ; i
Theo §Þnh lý 1.3 vµ sö dông bÊt ®¼ng thøc Jensen cho k× väng cã ®iÒu kiÖn ta cã
∗ ∗
p p p
E Xij − E{Xij |Fij } + L E{Xij |Fij }
E 2 Xij
∗
p p p
+ L E E{ Xij |Fij } = (L + 2)E Xij
2E Xij . (2.7)
§Æt
m n
Smn S2k l
− αk 2βl .
∗
vµ
Xij − E{Xij |Fij }
Smn = Tkl = max
mα nβ (2 2 )
k k+1
2 m
- Víi mäi ε > 0, theo bÊt ®¼ng thøc Markov ta cã
∞ ∞ ∞ ∞
S2k 2l 1 p
>ε E S2k 2l
P
(2αk 2βl ) (2αk 2βl )p εp
k=1 l=1 k=1 l=1
2k 2l
∞ ∞ ∗ p
E Xij − E{Xij |Fij }
i=1 j =1
C (do (2.4))
(2αk 2βl )p
k=1 l=1
2k 2l
∞ ∞ p
j =1 E Xij
i=1
C (do (2.7))
(2αk 2βl )p
k=1 l=1
∞∞ ∞ ∞ ∞ ∞
E Xij p E Xij p
C C
(2αk 2βl )p α[logi] 2β [logj ] )p
(2
i=1 j =1 k=[logi] l=[logj ] i=1 j =1
∞ ∞
E Xij p
< ∞.
C (theo (2.5))
(iα j β )p
i=1 j =1
Theo Bæ ®Ò 1.4 ta thu ®−îc
S2k 2l
−→ 0 k ∨ l → ∞.
h.c.c khi (2.8)
(2αk 2βl )
TiÕp theo, víi ε > 0 tïy ý, ta cã
S2k 2l ε Smn ε
P{|Tkl | > ε} > +P max >
P αk 2βl ) α nβ
(2 2 m 2
k k+1
2 m
P
(2αk 2βl ) (2αk 2βl )
2 2
2k m
P
2 2
1 m 2k+1
1 n 2l+1
2p p
2 p
p
E S2k 2l + max Smn
E
(2αk 2βl )p εp (2αk 2βl )p εp 1 m 2k+1
1 n 2l+1
2k 2l 2k+1 2l+1
C 2p C 2p
p p
E Xij + αk βl p p E Xij
(2αk 2βl )p εp (2 2 ) ε
i=1 j =1 i=1 j =1
(do Bæ ®Ò 2.1 vµ (2.7))
k l k+1 l+1
2 2 2 2
E Xij p E Xij p
C +C
(2αk 2βl )p (2α(k+1) 2β (l+1) )p
i=1 j =1 i=1 j =1
2k+1 2l+1
E Xij p
C .
α(k+1) 2β (l+1) )p
(2
i=1 j =1
- §iÒu nµy kÐo theo
∞ 2k+1 2l+1
∞ ∞ ∞
E Xij p
P{|Tkl | > ε} C α(k+1) 2β (l+1) )p
(2
k=1 l=1 i=1 j =1
k=1 l=1
∞∞
E Xij p
< ∞.
C
(iα j β )p
i=1 j =1
Theo Bæ ®Ò 1.4 ta thu ®−îc
Tkl −→ 0 k ∨ l → ∞.
h.c.c khi (2.9)
MÆt kh¸c, víi 2k m < 2k+1 vµ 2l n < 2l+1 ta cã
Smn Smn S2k l S2k l S2k 2l
− αk 2βl + αk 2βl Tkl + . (2.10)
m α nβ mα nβ 2αk 2βl
22 22
Khi cho k ∨ l → ∞ th× m ∨ n → ∞.
KÕt hîp (2.8) vµ (2.9) víi (2.10) ta cã (2.6).
HÖ qu¶ sau ®©y ®−îc suy trùc tiÕp tõ §Þnh lý 2.2.
HÖ qu¶ 2.3. Cho α > 0, β > 0 vµ 1 p 2. Cho {Xij , Fij ; i 1} lµ m¶ng c¸c hiÖu
1, j
martingale trong kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu X . NÕu
∞ ∞
E Xij p
< ∞,
(iα j β )p
i=1 j =1
th×
m n
1
Xij → 0 m ∨ n → ∞.
h.c.c khi (2.11)
mα nβ i=1 j =1
NhËn xÐt 1. Tr−êng hîp 0 < p 1, ta còng nhËn ®−îc (2.11) trong HÖ qu¶ 2.3 mµ
∗
kh«ng cÇn ®Õn ®iÒu kiÖn h×nh häc cña kh«ng gian Banach vµ ®iÒu kiÖn E{Xmn |Fmn } =
0.
NhËn xÐt 2. Khi α = β = 1 vµ X = R (t−¬ng øng p = 2), §Þnh lý 2.2 chÝnh lµ mét më
réng ®èi víi d¹ng hai chØ sè cña ®Þnh lý Kolmogorov ® ®−îc Smythe [8] chøng minh.
§Þnh lý tiÕp theo sÏ thiÕt lËp kiÓu luËt m¹nh sè lín Marcinkiewicz-Zygmund cho
m¶ng hai chiÒu c¸c phÇn tö ngÉu nhiªn.
§Þnh lý 2.4. Cho 1 < r < p 2 vµ {Xmn , Fmn ; m 1, n 1} lµ m¶ng phï hîp trong
kh«ng gian Banach p-tr¬n ®Òu X . Gi¶ sö {Xmn , m 1, n 1} bÞ chÆn ngÉu nhiªn bëi
phÇn tö ngÉu nhiªn X . NÕu E X r log+ X < ∞ th×
m n
1 ∗
Xij − E{Xij |Fij } → 0 m ∨ n → ∞.
h.c.c khi (2.12)
1
(mn) r i=1 j =1
- Chøng minh. Gäi F lµ hµm ph©n phèi cña X , d(k) lµ sè −íc sè d−¬ng cña sè
1 1
nguyªn d−¬ng k. §Æt Xij = Xij I( Xij (ij ) r ), Xij = Xij I( Xij > (ij ) r ).
Khi ®ã víi mçi i vµ j ta cã
∗ ∗ ∗
Xij − E{Xij |Fij } = (Xij − E{Xij |Fij }) + (Xij − E{Xij |Fij }). (2.13)
§Çu tiªn ta chøng minh r»ng
m n
1 ∗
Xij − E{Xij |Fij } → 0 m ∨ n → ∞.
h.c.c khi (2.14)
1
(mn) r i=1 j =1
p
∞ d(k)
= O(i1− r log i) ta cã c¸c ®¸nh gi¸
Sö dông k=i k p
r
1 1
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
p (ij ) r kr
E Xij 1 d(k )
p
xp dF (x)
C x dF (x) = C
p p p
(ij ) r (ij ) r kr
0 0
i=1 j =1 i=1 j =1 k=1
1 1
∞ ∞ ∞
k ir ir
d(k ) d(k )
xp dF (x) = C xp dF (x)
=C p p
1 1
kr kr
(i−1) r (i−1) r
i=1 i=1
k=1 k=i
1 1
∞ ∞
ir ir
xp
logi
log+ x dF (x)
xp dF (x)
C C
p p
i r −1 r −1 )r
1 1
(x
(i−1) r (i−1) r
i=1 i=1
∞
xr log+ x dF (x) log+ X < ∞.
r
C CE X
0
1
Theo §Þnh lý 2.2 khi α = β = ta thu ®−îc (2.14).
r
TiÕp theo ta sÏ chøng minh
m n
1 ∗
(Xij − E{Xij |Fij }) → 0 m ∨ n → ∞.
h.c.c khi (2.15)
1
(mn) r
i=1 j =1
n 1
d(k)
= O( n1− r log n) ta cã c¸c ®¸nh gi¸
ThËt vËy, sö dông 1
k=1
kr
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞
E Xij 1 d(k )
|x| dF (x) |x|dF (x)
C C
1 1 1
1 1
(ij ) r (ij ) r kr
(ij ) r kr
i=1 j =1 i=1 j =1 k=1
1 1
∞ ∞
i (i+1) r (i+1) r
d(k ) 1
1− r
|x|dF (x) |x|dF (x)
C C i logi
1 1 1
kr ir ir
i=1 k=1 i=1
∞
|x| log+ |x| dF (x) log+ X < ∞.
r r
C CE X
1
Theo §Þnh lý 2.2 khi α = β = 1 vµ p = 1 ta thu ®−îc (2.15).
r
KÕt hîp (2.13) vµ (2.14) víi (2.15) ta cã (2.12).
- t i liÖu tham kh¶o
[1] Y. S. Chow and H. Teicher, Probability Theory: Independence, Interchangeability,
Martingales, 3rd Ed. Springer-Verlag, New York, 1997.
[2] A. Gut, Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for
random variables with multidimensional indices, Ann. Probab., 6, 1978, pp. 469-482.
[3] O. I. Klesov, The law of large numbers for multiple sums of independent identically
distributed random variables, Theory Probab. Math. Statist, 50, 1995, pp. 77-87.
[4] N. V. Quang and N. V. Huan, On the weak law of large numbers for double arrays of
Banach space valued random elements, Journal of Probability and Statistical Science,
6, No. 2, 2008, pp. 125-134.
[5] N. V. Quang and N. N. Huy, Weak law of large numbers for adapted double arrays
of random variables, J. Korean Math. Soc. 45, No 3, 2008, pp. 795-805.
[6] A. Rosalsky and L. V. Thanh, Strong and weak law of large numbers for double
sums of independent random elements in Rademacher type p Banach spaces, Stochas-
tic Analysis and Applications, 24, 2006, pp. 1097-1117.
[7] A. Rosalsky and L. V. Thanh, On almost sure and mean convergence of normed
double sums of Banach space valued random elements, Stochastic Analysis and Ap-
plications, 25, 2007, pp. 895-911.
[8] R. T. Smythe, Strong law of large numbers for r-dimensional arrays of random
variables, Ann. Probab 1, 1973, pp. 164-170.
[9] L. V. Thanh, Strong law of large numbers and Lp -convergence for double arrays
of independent random variables, Acta Math Vietnam, 30, No. 3, 2005, pp. 225-232.
[10] W. A. Woyczynski, Geometry and martingale in Banach spaces II. Independent
increments, Marcel Dekker, Press New York, 1978.
Summary
strong law of large numbers for adapted double arrays
of random elements of p-uniformly smooth Banach space
In this paper, we study the strong law of large numbers for adapted double arrays
of random elements in a p-uniformly smooth Banach space. Some our results are more
general than well-known ones.
(a) Khoa To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh
(b) 46A To¸n, tr−êng §¹i häc Vinh.
nguon tai.lieu . vn
