- Trang Chủ
- Khoa học tự nhiên
- Báo cáo nghiên cứu khoa học: Chặn trên Segre cho chỉ số chính quy của s+2 điểm béo không nằm trên một (s-1) phẳng trong P n , s
Xem mẫu
- T P CHÍ KHOA H C Đ I H C HU , S 50-2009
CH N TRÊN SEGRE CHO CH S CHÍNH QUI C A s + 2 ĐI M
BÉO KHÔNG N M TRÊN M T (s − 1)−PH NG TRONG Pn , s ≤ n
Phan Văn Thi n, Đ u Văn Lương
Trư ng Đ i h c Sư ph m Hu , Đ i h c Hu
Tóm t t: Chúng tôi s ch ng minh d đoán c a N.V. Trung v ch n trên cho
ch s chính qui c a t p đi m béo là đúng cho t p s + 2 đi m béo không n m trên
m t (s − 1)−ph ng trong Pn , v i 1 ≤ s ≤ n. K t qu g n đây c a B. Benedetti, G.
Fatabbi và A. Lorenzini [1] v ch n trên cho ch s chính qui c a t p n + 2 đi m béo
không suy bi n trong Pn là m t trư ng h p trong k t qu c a chúng tôi khi s = n.
1. Gi i thi u
Cho P1 , . . . , Pr là các đi m phân bi t trong không gian x nh n-chi u Pn := Pn , k
v i k là trư ng đóng đ i s , m1 , . . . , mr là m t dãy các s nguyên dương. Cho
℘1 , . . . , ℘r là các iđêan nguyên t thu n nh t trong vành đa th c R := k [X0 , . . . , Xn ]
đư c xác đ nh b i các đi m P1 , . . . , Pr tương ng. Ký hi u m1 P1 + · · · + mr Pr là
lư c đ chi u không đư c xác đ nh b i iđêan ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘mr và g i
1 r
Z := m1 P1 + · · · + mr Pr
là m t t p đi m béo trong Pn .
Vành A := R/(℘m1 ∩ · · · ∩ ℘mr ) là vành to đ thu n nh t c a Z . Chúng ta bi t
1 r
r ng A = ⊕ At là k -đ i s phân b c Cohen-Macaulay m t chi u có s b i là
t≥0
r
mi + n − 1
e := .
n
i=1
Hàm Hilbert HA (t) := dimk At tăng ch t cho đ n khi nó đ t đ n s b i, t i đó
nó d ng. Ch s chính qui c a Z đư c đ nh nghĩa là s nguyên t bé nh t sao cho
HA (t) = e và chúng tôi ký hi u nó là reg(Z ).
V n đ tìm ch n trên cho ch s chính qui c a m t t p đi m béo là m t v n đ
có tính th i s , đã và đang đư c nhi u nhà toán h c quan tâm. Vi c tìm ra đư c
ch n trên t t cho ch s chính qui c a m t t p đi m béo tuỳ ý là v n đ khó, vì v y
ngư i ta thư ng gi i bài toán ch n trên này cho nh ng t p đi m có nh ng đi u ki n
nào đó (xem [1]-[4], [6]-[7]).
135
- V i t p các đi m béo tuỳ ý Z = m1 P1 + · · · + mr Pr trong P2 , Fulton [6] đã tìm
đư c ch n trên:
reg(Z ) ≤ m1 + · · · + mr − 1.
Ch n trên này sau đó đư c Davis và Geramita [4] m r ng cho t p các đi m béo
tùy ý trong Pn . Các tác gi này cũng đã ch ra r ng d u b ng xãy ra khi các đi m
n m trên m t đư ng th ng.
V i t p các đi m béo h u kh p trong P2 , Segre [7] đã ch ng minh:
m1 + · · · + mr
reg(Z ) ≤ max m1 + m2 − 1, n u m1 ≥ · · · ≥ mr .
2
Nh ng t p đi m như trên luôn trong v trí t ng quát. M t t p đi m béo trong Pn
đư c g i là v trí t ng quát n u không có j + 2 đi m trong chúng n m trên cùng
m t j -ph ng v i m i j < n. V i m t t p đi m béo v trí t ng quát trong P2 , M.V
Catalisano [2] đã ch ng minh:
m1 + · · · + mr
reg(Z ) ≤ max m1 + m2 − 1, n u m1 ≥ · · · ≥ mr .
2
K t qu trên sau đó đư c M.V. Catalisano, N.V. Trung và G. Valla [3] m r ng cho
t p các đi m béo v trí t ng quát trong Pn :
r
mi + n − 2
i=1
reg(Z ) ≤ max m1 + m2 − 1, n u m1 ≥ · · · ≥ mr .
n
Chúng tôi s g i nó là ch n trên Segre.
N.V. Trung đã đưa ra d đoán m t ch n trên t t cho t p các đi m béo tuỳ ý
trong Pn , ch n này là m r ng cho t t c các ch n trên:
reg(Z ) ≤ max{Tj | j = 1, . . . , n},
trong đó
q
mij + j − 2
j =1
| Pi1 , . . . , Piq n m trên m t j -ph ng
Tj = max .
j
D đoán này đã đư c P.V. Thi n [8], [9] ch ng minh trong trư ng h p n = 2, 3.
Các k t qu tương t cũng đư c đưa ra m t cách đ c l p b i G. Fatabbi và A.
Lorenzini [5] v i phương pháp ch ng minh khác. Vào năm 2002 P.V. Thi n [10]
cũng đã ch ng minh d đoán c a N.V. Trung là đúng cho t p các đi m kép tuỳ
ý trong P4 . G n đây, B. Benedetti, G. Fatabbi và A. Lorenzini đã ch ng minh d
đoán c a N.V. Trung là đúng cho t p n + 2 đi m béo Z = m1 P1 + · · · + mn+2 Pn+2
không suy bi n trong Pn [1, Theorem 4.8].
136
- Trong bài báo này, b ng m t phương pháp ch ng minh ng n g n hơn, chúng tôi
s ch ra d đoán c a N.V. Trung là đúng cho t p g m (s + 2) đi m béo không n m
trên m t (s − 1)-ph ng trong Pn , s ≤ n:
Đ nh lý. Cho s ≤ n và P1 , . . . , Ps+2 là các đi m không n m trên cùng m t (s − 1)-
ph ng trong Pn . Cho m1 , . . . , ms+2 là các s nguyên dương và Z = m1 P1 + · · · +
ms+2 Ps+2 . V i j = 1, . . . , n đ t
q
mij + j − 2
j =1
| Pi1 , . . . , Piq n m trên m t j -ph ng
Tj = max .
j
Khi đó
reg(Z ) ≤ max{Tj | j = 1, . . . , n}.
Rõ ràng là khi s = n, thì Z = m1 P1 + · · · + mn+2 Pn+2 là t p các đi m béo không
suy bi n trong Pn và chúng ta nh n đư c k t qu c a B. Benedetti, G. Fatabbi và
A. Lorenzini [1].
2. Ch ng minh Đ nh lý
Chúng tôi s c n đ n ba b đ sau đây, chúng đã đư c ch ng minh trong [3].
B đ đ u tiên cho phép ch ng minh qui n p trên s các đi m khi tính toán ch
s chính qui c a t p các đi m béo tuỳ ý:
B đ 0.1. [3, Lemma 1] Cho P1 , . . . , Pu , P là các đi m phân bi t trong Pn và
cho ℘ là iđêan xác đ nh b i đi m P . N u m1 , . . . , mu và a là các s nguyên dương,
J := ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘mu , và I = J ∩ ℘a , thì
1 u
reg(R/I ) = max {a − 1, reg(R/J ), reg(R/(J + ℘a ))} .
B đ th hai đưa ra m t tính ch t c a vành artin R/(J + ℘a ):
B đ 0.2. [3, Lemma 3] Cho P1 , . . . , Pu là các đi m phân bi t trong Pn và m1 , . . . , mu , a
là các s nguyên dương. Đ t J = ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘mu và ℘ = (X1 , . . . , Xn ). Khi đó
1 u
reg(R/(J + ℘a )) ≤ b
n u và ch n u X0−i M ∈ J + ℘i+1 v i m i đơn th c M b c i theo X1 , . . . , Xn ,
b
i = 0, . . . , a − 1.
B đ th ba mang tính ch t t h p:
B đ 0.3. [3, Lemma 4] Cho P1 , . . . , Pu , P là các đi m phân bi t trong Pn , cho
m1 ≥ · · · ≥ mu là các s nguyên dương và J = ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘mu . N u t là m t
1 u
u
s nguyên sao cho nt ≥ mi và t ≥ m1 , thì có th tìm đư c t siêu ph ng, g i là
i=1
L1 , . . . , Lt , không đi qua P tho mãn L1 · · · Lt ∈ J .
137
- m
Ch ng minh Đ nh lý: Đ t X = {P1 , . . . , Ps+2 }, I = ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘s+2 . Khi đó
s+2
1
reg(Z ) = reg(R/I ). N u X n m trong v trí t ng quát c a Pn , thì theo [3, Theorem
6] chúng ta có
s+2
reg(Z ) ≤ max m1 + m2 − 1, ( mi + n − 2)/n .
i=1
N u X không n m trong v trí t ng quát c a Pn , thì X n m trên m t s-ph ng.
V i s = 1, thì các đi m P1 , P2 , P3 n m trên cùng m t đư ng th ng. Theo [4]
chúng ta nh n đư c
reg(Z ) = m1 + m2 + m3 − 1 = T1 .
V y, chúng ta có th ch ng minh qui n p trên s. Chúng ta phân bi t hai trư ng h p
sau:
Trư ng h p 1: M i (s + 1) đi m c a X không n m trên cùng m t (s − 1)-ph ng.
ms+1
Đ t J = ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘s+1 , theo B đ 0.1 chúng ta nh n đư c
1
m
s+2
reg(Z ) = max{mj +2 − 1, reg(R/J ), reg(R/(J + ℘s+2 ))}.
Cho Ps+2 = (1, 0, · · · , 0), P1 = (0, 1, . . . , 0), ..., Ps = (0, . . . , 0, 1 , 0 . . . , 0). Khi
s+1
x c1 · · · x cn ,
c1 + · · · + cn = i, i =
đó ℘s+2 = (x1 , ..., xn ). V i m i đơn th c M = 1 n
1, ..., ms+2 − 1, đ t ml = ml − i + cl ; l = 1, ..., s; ms+1 = ms+1 và
s+1
ml + s − 1)/s
t = max m1 , ( .
l=1
Do X n m trên m t s-ph ng trong Pn nên v m t hình h c chúng ta có th xem
như X n m trong Ps . Theo B đ 0.3 chúng ta có th tìm đư c t các (s − 1)-ph ng,
g i là L1 , ..., Lt , không đi qua Ps+2 sao cho v i m i đi m Pl , l = 1, ..., s, thì luôn
luôn có ml các (s − 1)-ph ng trong {L1 , ..., Lt } đi qua đi m Pl đó. Vì v y, chúng ta
có th tìm đư c t các (n − 1)-ph ng, g i là H1 , ..., Ht , không đi qua Ps+2 tho mãn
H1 · · · Ht M ∈ J . Theo B đ 0.2 chúng ta nh n đư c
m
s+2
reg(R/(J + ℘s+2 )) ≤ t + i ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}.
M t khác, do Y = {P1 , ..., Ps+1 } n m trong v trí t ng quát c a Pn , nên theo [5,
Theorem 6] chúng ta nh n đư c
reg(R/J ) ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}.
T các k t qu trên suy ra reg(Z ) ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}.
Trư ng h p 2: Có s + 1 đi m c a X n m trên m t (s − 1)-ph ng, g i là K . Chúng
ta có th gi s r ng Ps+2 ∈ K (chúng ta có th đánh s th t l i các đi m). Đ t
/
ms+1
m1
J = ℘1 ∩ · · · ∩ ℘s+1 , theo B đ 0.1 chúng ta có
m
s+2
reg(Z ) = max{ms+2 − 1, reg(R/J ), reg(R/(J + ℘s+2 ))}.
138
- Đ t W = {P1 , ..., Ps+1 }. Do X không n m trên m t (s − 1)-ph ng, nên W không
n m trên m t (s − 2)-ph ng. Cho j = 1, . . . , n, đ t
q
mij + j − 2 Pi1 , . . . , Piq n m trên m t j -ph ng;
j =1
Tj = max .
i1 , . . . , i q ≤ s + 1
j
Theo gi thi t qui n p chúng ta có
reg(R/J ) ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}.
Rõ ràng là Tj ≤ Tj , j = 1, . . . , n. Do đó
reg(R/J ) ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}.
Bây gi chúng ta còn ph i ch ng minh:
m
s+2
reg(R/(J + ℘s+2 )) ≤ max{Tj |j = 1, . . . , n}.
Cho Ps+2 = (1, 0, . . . , 0), khi đó ℘s+2 = (x1 , ..., xn ). Đ t η = max{m1 , ..., ms+1 }. Do
Ps+2 ∈ K , nên có m t (n − 1)-ph ng, g i là H , ch a K và không đi qua Ps+2 . Khi
/
đó
ms+1
H η ∈ ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘s+1 .
1
Vì v y
m
H η M ∈ ℘m1 ∩ · · · ∩ ℘s+1 = J,
s+1
1
v i m i đơn th c M b c i theo X1 , ..., Xn , i = 1, ..., ms+2 − 1. Theo B đ 0.2 chúng
ta nh n đư c
ms+2
reg(R/(J + ℘s+2 )) ≤ η + i ≤ T1 .
Đ nh lý đã đư c ch ng minh xong.
Tài li u tham kh o
TÀI LI U THAM KH O
[1] B. Benedetti, G. Fatabbi and A. Lorenzini Genericity of Segre bound and the
case of n + 2 fat points of Pn (preprint, submit to Proc. Amer. Math. Soc).
[2] M.V. Catalisano, Fat points on a conic, Comm. Algebra 19 (1991), 2153-2168.
[3] M.V. Catalisano, N.V. Trung and G. Valla, A sharp bound for the regularity
index of fat points in general position, Proc. Amer. Math. Soc. 118 (1993),
717-724.
[4] E.D. Davis and A.V. Geramita, The Hilbert function of a special class of 1-
dimensional Cohen-Macaulay graded algebras, The Curves Seminar at Queen’s,
Queen’s Papers in Pure and Appl. Math. 67 (1984), 1-29.
139
- [5] G. Fatabbi, A. Lorenzini On a sharp bound for the regularity index of any set
of fat points, J. Pure and Appl. Algebra 161 (2001), 91-111.
[6] W. Fulton, Algebraic Curves, Math. Lect. Note Series, Benjamin 1969.
[7] B. Segre, Alcune questioni su insiemi finiti di punti in geometria algebrica, Atti.
Convergno. Intern. di Torino 1961, 15-33.
[8] P.V. Thien, On Segre bound for the regularity index of fat points in P2 , Acta
Math. Vietnamica 24 (1999), 75-81.
[9] P.V. Thien, Segre bound for the regularity index of fat points in P3 , J. Pure and
Appl. Algebra 151 (2000), 197-214.
[10] P.V. Thien, Sharp upper bound for the regularity of zero-schemes of double
points in P4 , Comm. Algebra 30 (2002), 5825-5847.
SEGRE’S BOUND FOR THE REGULARITY INDEX OF s + 2
FAT POINTS NOT IN A LINEAR (s − 1)-SPACE IN Pn , s ≤ n
Phan Van Thien, Dau Van Luong
College of Pedagogy, Hue University
SUMMARY
Let s ≤ n. We will prove the Trung’s Conjecture about a sharp bound for the
regularity index of fat points in the case of s + 2 fat points not on a linear (s − 1)-
space in Pn . Our result generalizes Benedetti, Fatabbi and Lorenzini’s result [1] for
the upper bound for regularity index of a non degenerate set of n + 2 fat points in
Pn .
Keywords : Mathematics subject classification: 13C20; 13D40.
140
nguon tai.lieu . vn
