1. Trang Chủ
  2. Công nghệ thông tin
  3. Báo cáo chuyên đề học phần Nhập môn trí tuệ nhân tạo: Áp dụng thuật giải heuristic cho bài toán tô màu tối ưu trên đồ thị

Báo cáo chuyên đề học phần Nhập môn trí tuệ nhân tạo: Áp dụng thuật giải heuristic cho bài toán tô màu tối ưu trên đồ thị

Báo cáo chuyên đề Áp dụng thuật giải heuristic cho bài toán tô màu tối ưu trên đồ thị tập trung giải quyết các nội dung sau: tổng quan về heuristic; tìm hiểu bài toán tô màu đồ thị; bài toán tô màu đỉnh; cài đặt các thuật toán;... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết để hiểu rõ hơn nhé. lOMoARcPSD|16911810 Nhóm07-Áp dụng thuật giải heuristic cho bài toán tô màu tối ưu trên đồ thị Công nghệ phần mềm (Trường Đại Học Điện Lực) StuDocu is not sponsored or endorsed by any college or universit

Thể loại Tài liệu miễn phí Công nghệ thông tin

Số trang 54

Ngày tạo 4/11/2023 5:47:14 AM +00:00

Loại tệp PDF

Kích thước 1.24 M

Tên tệp

Tải Báo cáo chuyên đề học phần Nhập môn trí tuệ nhân t... (.pdf)

Xem mẫu

  1. lOMoARcPSD|16911810 Nhóm07-Áp dụng thuật giải heuristic cho bài toán tô màu tối ưu trên đồ thị Công nghệ phần mềm (Trường Đại Học Điện Lực) StuDocu is not sponsored or endorsed by any college or university Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  2. lOMoARcPSD|16911810 TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐIỆN LỰC KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ HỌC PHẦN NHẬP MÔN TRÍ TUỆ NHÂN TẠO ĐỀ TÀI: Áp dụng thuật giải heuristic cho bài toán tô màu tối ưu trên đồ thị Sinh viên thực hiện : PHẠM VĂN TUẤN NGUYỄN HOÀNG HIỆU NGUYỄN DỨC THUẬN Giảng viên hướng dẫn : VŨ VĂN ĐỊNH Ngành : CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Chuyên ngành : HỆ THỐNG THƯƠNG MẠI ĐIỆN TỬ Lớp : D14HTTMDT1 Khóa : 2019 Hà Nội, tháng 10 năm 2021 Phiếu chấm điểm Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  3. lOMoARcPSD|16911810 STT Họ tên sinh viên Nội dung thực hiện Điểm Chữ ký 1 Phạm Văn Tuấn Làm báo cáo Làm chương trình 2 Nguyễn Hoàng Hiệu Làm báo cáo Làm chương trình 3 Nguyễn Đức Thuận Làm báo cáo Làm chương trình Họ tên giảng viên Chữ ký Ghi chú Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  4. lOMoARcPSD|16911810 MỤC LỤC I. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN..................................................................................................................4 1. Tổng quan về heuristic..................................................................................................................4 1.1. Heuristic và các cách biểu diễn đồ thị.......................................................................................4 1.2. Các bài toán điển hình................................................................................................................6 2. Bài toán tô mầu đồ thị...................................................................................................................6 2.1. Bài toán tô mầu cạnh..................................................................................................................6 2.2. Bài toán tô mầu đỉnh..................................................................................................................6 2.3. Các khái niệm liên quan.............................................................................................................7 2.4. Ứng dụng......................................................................................................................................8 II. GIẢI THUẬT.................................................................................................................................9 1. Bài toán tô mầu đỉnh.....................................................................................................................9 1.1. Các định nghĩa sử dụng:........................................................................................................9 1.2. Thuật toán............................................................................................................................10 1.3. Ví dụ......................................................................................................................................12 2. Bài toán tô mầu cạnh...................................................................................................................17 2.1. Giải thuật..............................................................................................................................17 2.3. Độ phức tạp:.........................................................................................................................23 III. CÀI ĐẶT THUẬT TOÁN...........................................................................................................24 1. Bài toán tô mầu đỉnh.......................................................................................................................24 2. Bài toán tô mầu cạnh.......................................................................................................................30 2.1. Đọc dữ liệu từ fle..................................................................................................................30 2.2. Dữ liệu vào từ bàn phím........................................................................................................40 3. Mã nguồn......................................................................................................................................51 IV. TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................................52 PHỤ LỤC 1: DANH MỤC CÁC HÌNH ẢNH TRONG TÀI LIỆU...................................................53 PHỤ LỤC 2: PHÂN CHIA CÔNG VIỆC..............................................................................................53 Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  5. lOMoARcPSD|16911810 I. GIỚI THIỆU BÀI TOÁN 1. Thuật giải heuristic 1.1.khái niệm heuristic  Là mở rộng khái niệm thuật toán. o Thuờng tìm lời giải tốt nhưng không tốt nhất. o Nhanh chóng tìm ra kết quả hơn so với giải thuật tối ưu, vì vậy chi phí thấp hơn. o Thuờng thể hiện khá tự nhiên, gần gũi với cách suy nghĩ và hành động của con nguời. Các nguyên lý của thuật giải heuristic  Vét cạn thông minh  Nguyên lý thứ tự  Nguyên lý tham lam Hàm heuristic Kyỹ thuật heuristic:  Theo Từ điển tiêếng Anh Oxford: “Heuristics là nghệ thuật tm kiêếm chân lý. Nói riêng, heuristics là đặc trưng của quá trình học nhờ đó các học sinh học được cách tự tm ra cách giải thích các hiện tượng tự nhiên”.  Từ “Heuristics” có cùng một gôếc tiêếng Hy Lạp như từ Eureka. Feigenbaum Feldman đã đưa ra định nghĩa :  “Heuristics (Các quy tắếc heuristics, các phương pháp heuristics) là các quy tắếc, phương pháp, chiêến lược, mẹo giải hay phương cách nào đó nhắằm làm giảm khôếi lượng tm kiêếm lời giải trong không gian bài tóan cực lớn”. 2. Bài toán tô mầu đồ thị Tô màu đồ thị và sự tổng quát của nó là công cụ hữu dụng trong việc mô hình hóa rất nhiều bài toán khác nhau trong vấn đề xếp lịch, xây dựng chương trình và vấn đề phân công công việc. Bài toán tô màu đồ thị bao gồm nhiều loại: tô màu đỉnh đồ thị (vertex graph coloring) , tô màu cạnh đồ thị (edge graph coloring) ... 2.1. Bài toán tô mầu cạnh Bài toán Cho G=(V,E) là đơn đồ thị vô hướng ( G không là đồ thị khuyên) , hãy tìm cách gán (tô màu) cho mỗi cạnh của đồ thị một màu sao cho hai cạnh có cùng chung 1 đỉnh không bị tô bởi cùng một màu. Một phép gán màu cho các cạnh như vậy gọi là một phép tô màu cạnh đồ thị. Nói cách khác, phép tô cạnh đồ thị bởi k màu nói trên có thể được hiểu là một phân hoạch của tập cạnh E của G thành k tập con (tương ứng với k màu) sao cho mỗi tập con ứng với một màu i nhất định. Bài toán đặt ra là tìm cách tô màu nào sử dụng số màu ít nhất có thể. Ví dụ Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  6. lOMoARcPSD|16911810 Đồ thị trong hình trên có thể tô bởi 4 màu. Đồ thị G gọi là tô được bởi k màu-cạnh nếu G có một phép tô k màu-cạnh phù hợp.Thông thường hầu hết các đồ thị không là đồ thị khuyên đều tô được.Và nếu G có tính chất như vậy thì G cũng có thể tô bởi l màu với l>k. 2.2. Bài toán tô mầu đỉnh Một phép tô mầu sử dụng nhiều nhất k mầu gọi là một phép tô k mầu. Số lượng mầu nhỏ nhất cần để tô các đỉnh của đồ thị G gọi là sắc số đỉnh của đồ thị G, sao cho không có hai đỉnh kề nhau nào được tô cùng mầu. Một đồ thị có thể tô được bằng k mầu, trong đó mỗi một tập các đỉnh cùng mầu gọi là một lớp mầu. Một đồ thị có thể được tô bằng k mầu nghĩa là có có k tập độc lập trong đồ thị 2.3. Các nguyên lý của thuật giải heuristic 1.Vét cạn thông minh  Hạn chêế vùng không gian tm kiêếm và có sự định hướng để nhanh chóng tm đêến mục tiêu.  Tạo miêằn D’ râết nhỏ so với D  Vét cạn trên D’ 2.Nguyên lý tham lam (Greedy):  Lâếy tiêu chuẩn tôếi ưu (trên phạm vi toàn cục) của bài toán để làm tiêu chuẩn chọn lựa hành động cho phạm vi cục bộ của từng bước.  a)Thuật giải GTS1: (Greedy-Traveling Saleman)  Xây dựng một lịch trình du lịch có chi phí Cost tôếi thiểu cho bài toán trong trường hợp phải qua n thành phôế với ma trận chi phí C và bắết đâằu tại một đỉnh U nào đó. Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  7. lOMoARcPSD|16911810  Thuật giải:  Bước 1: {Khởi đâằu}  Đặt Tour := {};  Cost := 0;  V := U; {V là đỉnh hiện tại đang làm việc}  Bước 2: {Thắm tâết cả các thành phôế}  For k := 1 To n Do  qua bước 3;  Bước 3: {Chọn cung kêế tiêếp}  Đặt (V, W) là cung có chi phí nhỏ nhâết tnh từ V đêến các đỉnh W chưa dùng:  Tour := Tour + {(V,W)};  Cost := Cost + Cost(V,W);  Nhãn W được sử dụng  Đặt V := W; {Gán để xét bước kêế tiêếp}  Bước 4: {Chuyêến đi hoàn thành}  Đặt Tour := Tour + {(V,U)};  Cost := Cost + Cost(V,U);  Dừng.  U= A  Tour = {}  Cost = 0  V =A  W ∈ {B, C, D, E}{Các đỉnh có thể đêến từ A}  → W = B{Vì qua B có giá thành bé nhâết}  Tour = {(A, B)}  Cost = 1  V=B W ∈ {C, D, E}→ W = EA  Tour = {(A, B),(B, E)}  Cost = 1 + 3 = 4  V =E W ∈ {C, D} → W = C b.Thuật giải GTS2:  Tạo ra lịch trình từ p thành phôế xuâết phát riêng biệt. Tìm chu trình của người bán hàng qua n thành phôế (1
  8. lOMoARcPSD|16911810  k := 0; {Đêếm sôế thành phôế đi qua}  Tour = {(A, B), (B, E), (E, C)}  2.4. Ứng dụng Bước 2: {Bắết đâằu chu trình mới}  Chuyển qua bước 3 khi k
  9. lOMoARcPSD|16911810  Chuyển qua bước 3 khi k
  10. lOMoARcPSD|16911810  Các lập lịch sẽ tương ứng với bài toán tô mầu của đồ thị này: số các mầu được tô là số các đợt thi, các đỉnh có cùng mầu sẽ thi cùng 1 đợt. Ví dụ: Có 7 môn thi với thông tin như sau:  Môn 1: có các sinh viên A, B, C và D thi  Môn 2: có các sinh viên A, E, F, G và H thi  Môn 3: có các sinh viên B, E, I, J và K thi  Môn 4: có các sinh viên B, F, L và M thi  Môn 5: có các sinh viên G, L, N và O thi  Môn 6: có các sinh viên J, M, N và P thi  Môn 7: có các sinh viên D, H, K, O và P thi Hãy xếp lịch thi thành các đợt sao cho các sinh viên đều có thể dự thi tuần tự các môn mình đăng ký Hình 02: Đồ thị G của bài toán lập lịch trên - Bài toán phân phối các thanh ghi chỉ số (register allocation) Trong lập trình các thanh ghi thường được dung để lưu trữ giá trị các biến tạm thời. Bài toán yêu cầu tìm số thanh ghi ít nhất cần sử dụng trong một chương trình Giải pháp: Biểu diễn bằng đồ thị với:  Mỗi biến tương ứng là 1 đỉnh  Hai đỉnh được nối với nhau nếu hai biến cùng được ghi xuống tại một thời điểm Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  11. lOMoARcPSD|16911810 Số thanh ghi ít nhất cần sử dụng sẽ là số mầu của đồ thị trên II. GIẢI THUẬT 1. Bài toán tô mầu đỉnh 1.1. Các định nghĩa sử dụng: Để mô tả giải thuật nhóm bắt đầu với việc diễn giải các thuật ngữ, định nghĩa mà giải thuật đề cập tới. - ⌊x ⌋: biểu thị các chức năng sàn tức là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x - ⌈ x⌉: biểu thị chức năng trần nghĩa là số nguyên bé nhất là không bé hơn x - Một đồ thị đơn giản G với n đỉnh bao gồm một tập các đỉnh V,với | V |= n, và một bộ các cạnh E, sao cho mỗi cạnh là một cặp không có thứ tự của các đỉnh khác nhau. Lưu ý rằng định nghĩa của G rõ ràng cấm các vòng lặp(cạnh nối một đỉnh với chính nó) và các cạnh đa (nhiều cạnh tham gia một cặp đỉnh), khi thiết lập E cũng phải được giới hạn. Chúng tôi có thể gán nhãn các đỉnh của G với 1 số nguyên, 2, ..., n. - Nếu các cặp không có thứ tự của các đỉnh {u, v} là một cạnh trong G, chúng ta nói u đó là một lân cận của v (hoặc u kề với v) và viết uv ∈ E. Lân cận đối xứng rõ ràng là một mối quan hệ: uv ∈ E nếu và chỉ nếu vu ∈ E . - Bậc của một đỉnh v, ký hiệu là d (v), là số lân cận của v. Số bậc tối đa của tất cả các đỉnh của G được ký hiệu là Δ. - Các ma trận kề của G là một ma trận n × n với các mục trong hàng u và cột v bằng 1 nếu uv ∈ E và bằng 0 nếu ngược lại. - Cho đồ thị G và H, tích đề các G × H được định nghĩa là các đồ thị mà tập các đỉnh là V (G) × V (H)với một cạnh đang kết nối đỉnh (u 1, v 1) với đỉnh (u 2, v 2) nếu và chỉ nếu hoặc u 1 = u 2 và {v 1, v 2} là một cạnh trong H hoặc v 1 = v 2 và {u 1, u 2} là một cạnh trong G. - Đồ thị đầy đủ với m đỉnh được ký hiệu là K m. - Tập độc lập S của đồ thị G là một tập các đỉnh như vậy mà không chứa cặp không có thứ tự của các đỉnh trong S là một cạnh. Với một bộ độc lập S củaG và một đỉnh v bên ngoài S, chúng ta nói v là có thể thêm vào nếu đặt S∪ {v} vẫn là một tập độc lập của G. Ký hiệu ρ (S) là số đỉnh có thể thêm vào của một tập độc lập S của G. Một tập độc lập tối đa không có đỉnh có thể thêm vào. Một tập độc lập tối đa là một tập độc lập với số lượng các đỉnh lớn nhất. Lưu ý rằng một tập độc lập tối đa luôn luôn là tối đa, nhưng không nhất thiết phải ngược lại. - Cho một tập m màu {1, 2, ..., m}, một tập m-màu của các đỉnh của đồ thị G là sự phân một màu duy nhất cho mỗi đỉnh của G sao cho không có hai đỉnh kề nhau có cùng màu. Số màu χ(G) của đồ thị G là giá trị nhỏ nhất của m mà tồn tại tương ứng một một m-màu của các đỉnh củaG. Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  12. lOMoARcPSD|16911810 - Thuật toán là một phương pháp giải quyết vấn đề thích hợp để thực hiện như một chương trình máy tính. Trong khi thiết kế thuật toán chúng ta thường phải đối mặt với một số phương pháp tiếp cận khác nhau. - Thuật toán thời gian - đa thức A có số lượng các bước tính toán luôn luôn bị chặn bởi một hàm đa thức của các kích thước của đầu vào. Do đó, một thuật toán thời gian đa thức là một vấn đề thực sự hữu ích trong thực tế. Các lớp của tất cả các vấn đề như vậy có thuật toán thời gian đa thức được ký hiệu là P. Đối với một số vấn đề, không có thuật toán thời gian đa thức được biết đến, nhưng những vấn đề này có thuật toán thời gian đa thức bất định: hãy thử tất cả các ứng viên cho các giải pháp cùng một lúc và cho mỗi ứng viên nhất định, xác minh xem đó là một giải pháp chính xác trong thời gian đa thức. 1.2. Thuật toán Nhóm bắt đầu với tích Đề Các cho phép chúng ta chuyển đổi các vấn đề của việc tìm kiếm một tập m-màu của các đỉnh n của một đồ thị tương đương như việc tìm kiếm một bộ độc lập kích thước n trong tích đề các G × Km . - Tích Đề Các Một đơn đồ thị G với n đỉnh là tô được bằng m mầu khi và chỉ khi tích đề các G × K m có một tập độc lập kích thước n. Chứng minh. Giả sử có một tập m-màu của các đỉnh của G. Xác định một tập con S của các đỉnh của tích đề các G × K m như sau. Một đỉnh (u, v) của G × Km thuộc S nếu và chỉ nếu đỉnh u của G được giao màu v đối với tập m màu thích hợp. Vì mỗi đỉnh của G được giao một màu duy nhất, | S | = n. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng S là một tập độc lập. Cho (u 1, v 1) và (u 2, v 2) thuộc S, giả sử có một cạnh {(u 1, v 1), (u 2, v 2)} trong G × K m. Do đó, theo định nghĩa của tích đề các, có hai khả năng: u 1 = u 2 và {v 1, v 2} là một cạnh trong K m. Nhưng u 1 = u 2 với v 1 = v2, từ mỗi đỉnh trong G đượcgiao một màu duy nhất. Nhưng sau đó {v 1, v1} không thể là một cạnh trong K m khi K m là một đơn đồ thị (mâu thuẫn).  {U 1, u 2} là một cạnh trong G, và v 1 = v 2. Nhưng điều này vi phạm các định nghĩa của một tập m màu của G từ đỉnh kề phải được giao các màu khác nhau (mâu thuẫn). Vì vậy không thể có một cạnh giữa hai đỉnh trong S và S phải là một tập độc lập. Ngược lại, giả sử có một tập độc lập S kích thước n trong tích đề các G × K m. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng G có m màu riêng biệt. Nếu m lớn hơn hoặc bằng n thì G có thể được m màu một cách tầm thường , do đó giả sử m nhỏ hơn n. Sự phân chia các đỉnh của S vào nhiều nhất là m lớp tương đương C 1, C 2 ,..., C m, nơi một đỉnh (u, v) trong S thuộc về lớp tương đương C i khi và chỉ khi v = v i. Rõ ràng , điều này đưa ra một định nghĩa phân chia tốt của các đỉnh trong S. Bây giờ các đỉnh của G vào nhiều nhất là m lớp tương đương C '1, C' 2, ..., C'm, nơi một u đỉnh của G thuộc lớp tương đương C 'i nếu và chỉ nếu (u, v i) thuộc về lớp tương đương C i. Để chứng tỏ điều đó ta đưa ra một định nghĩa phân chia tốt của các đỉnh các đỉnh của G tuân theo:  Cho một đỉnh u của G, nếu u thuộc về cả hai C 'i và C' j thì (u, v i) thuộcC i và (u, v j) thuộc C j. Khi K mđầy đủ, {v i, v k} là một cạnh trong K m, do đó, {(u, v i), (u, v j)} là một Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  13. lOMoARcPSD|16911810 cạnh trong tích đề các G ×K m. Điều này mâu thuẫn với thực tế là S là một tập độc lập .Vì vậy, các bộ C '1, C' 2 ,..., C 'm là cặp phân chia.  Danh sách các phần tử của S sắp xếp như sau: o (U 1 1, v 1), (u 1 2, v 1), ..., (u 1 i (1), v 1) o (U 2 1, v 2), (u 2 2, v 2), ..., (u 2 i (2), v 2) o ... o (U m 1, v m), (u m 2, v m), ..., (u m i (m), m v) Nếu một số u i j = l k u trong danh sách, thì, khi K m đầy đủ, {v i, v l} là một cạnh trong K m, do đó, {(u i j, v i), (u k l , v l)} là một cạnh trong tích đề các G × K m. Điều này mâu thuẫn với thực tế S là một tập độc lập. Vì vậy, tất cả các u i j xuất hiện trong danh sách là riêng biệt và từ | S | = n , có n u i j i phân biệt mọi đỉnh của G được chứa trong một số lớp tương đương 'C Do đó,.. Chỉ định màu i đến đỉnh u của G nếu u thuộc về các lớp tương đương C i' . Điều này tạo ra một tập m-màu của các đỉnh của G. Bây giờ chúng ta định nghĩa hai thủ tục để thực hiện với tập độc lập trong tích đề các G × K m. - Thủ tục 1 Với một tập độc lập S của tích đề các G×Km nếu S không có đỉnh có thể thêm, đầu ra S. Ngược lại, cho mỗi đỉnh có thể thêm (u, v) của S, tìm số ρ (S∪ {(u, v)}) của đỉnh có thể thêm của tập độc lập S ∪ {(u, v)}. Cho (u,v ) max biểu thị một đỉnh có thể thêm sao cho ρ (S ∪ {(u, v) max}) là lớn nhất và chứa tập độc lập S ∪ {(u, v) max}. Lặp lại cho đến khi tập độc lập không có đỉnh có thể thêm vào. - Thủ tục 2 Cho một tập độc lập tối đa S của tích đề các G × K m, nếu không có đỉnh (u 1, v 1) bên ngoài S sao cho (u 1, v 1) có đúng một lân cận (u 2, v 2 ) trong S, đầu ra S.Ngược lại, tìm thấy một đỉnh (u 1, v 1) ngoài S sao cho (u 1, v 1) có đúng một lân cận (u 2, v 2) trong S 1. Xác định S(u1, v1), (u2, v2) bằng cách thêm (u1, v1) vào S và bỏ (u 2, v 2) từ S. Thực hiện thủ tục 3.1 trên S (u 1, v 1), (u 2, v 2) và đầu ra các tập độc lập kết quả. Giải thuật Với đầu vào là một đơn đồ thị G với n đỉnh, tìm kiếm một tập m-màu của các đỉnh của G. Để {u 1, u 2, ..., u n} biểu thị các đỉnh của G và để {v1, v 2, ..., v m} biểu thị các đỉnh của K m.. Chúng ta tạo các tập độc lập tối đa trong tích đề các G×Km. Ở mỗi giai đoạn, nếu tập độc lập thu được có kích thước n nhỏ nhất, thì đi đến phần III. Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  14. lOMoARcPSD|16911810  Phần I. Đối với i = 1, 2, ..., n và j = 1, 2, ..., n lần lượt o Khởi tạo tập độc lập S i, j = {(u i, v j)}. o Thực hiện thủ tục 3.1 trên S i, j. o Đối với r = 1, 2, ..., n thực hiện thủ tục 3.2 lặp lại r lần. o Kết quả là một tập độc lập tối đa S i, j.  Phần II. Với mỗi cặp tập độc lập tối đa S i, j, S k, l tìm thấy trong phần I o Khởi tạo S đặt độc lập i, j, k, l = S i, j ∩ S k, l. o Thực hiện thủ tục 3,1 trên S i, j, k, l. o Đối với r = 1, 2, ..., n thực hiện thủ tục 3,2 lần r lặp đi lặp lại. o Kết quả là một tập độc lập tối đa S i, j, k, l.  Phần III. Nếu một tập độc lập S với kích thước n đã được tìm thấy tại bất kỳ giai đoạn của phần I hoặc phần II, đầu ra S như là một tập m-màu của các đỉnh của G theo Bổ đề Đề các. Ngược lại, kết luận thuật toán không thể tìm thấy bất kỳ tương ứng m-màu của các đỉnh của G. 1.3. Ví dụ Chúng ta thể hiện các bước của thuật toán bằng một ví dụ nhỏ. Đồ thị đầu vào được thể hiện dưới đây trong hình 3.1 với n = 4 đỉnh có nhãn V = {1, 2, 3, 4}. Các thuật toán tìm kiếm cho một tương ứng 3- màu của các đỉnh bằng cách sử dụng các thiết lập của các màu {1, 2, 3} đại diện bởi màu xanh lá cây, đỏ và màu xanh tương ứng. Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  15. lOMoARcPSD|16911810 Hình 03.Các đồ thị đầu vào G với 3- màu tương ứng của các đỉnh của nó được tìm thấy bởi thuật toán Thuật toán đầu tiên xây dựng tích đề các G × K 3 hiển thị dưới đây trong các con số 3,2 với 12 đỉnh {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3)}. Chúng ta tách các đỉnh {1, 2, 3} của thành phần thứ hai K 3 như các màu sắc xanh, đỏ và màu xanh tương ứng. Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  16. lOMoARcPSD|16911810 Hình 04: tích đề các G×K3với một tập độc lập với kích thước 4 được tìm thấy bằng thuật toán Thuật toán bây giờ tìm kiếm một tập độc lập với kích thước 4 trong tích đề các G × K 3. Phần I cho i = 1 và j = 1 khởi tạo tập độc lập như S 1,1 = {(1, 1)}. Bây giờ chúng ta thực hiện các thủ tục 1. Sau đây là các kết quả dưới dạng bảng: Tập độc lập S 1,1 = {(1, 1)}. Kích thước: 1. Đỉnh có thể thêm (u, Đỉnh có thể thêm ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) v) củaS 1,1 của S 1,1 ∪{(u, v)} (2, 2) (3, 3), (4, 2), (4, 3) 3 (3, 2), (4, (2, 3) 3 2), (4, 3) (3, 2) (2, 3), (4, 3) 2 (3, 3) (2, 2), (4, 2) 2 Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  17. lOMoARcPSD|16911810 (4, (2, 2), (2, 3), (3, 3) 3 ) (4, 3) (2, 2), (2, 3), (3, 2) 3 Tối đa ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) = 3 cho (v, u) = (2, 2). Thêm đỉnh (2, 2) vào S 1,1. Tập độc lập S 1,1 = {(1, 1), (2, 2)}. Kích thước: 2. Đỉnh có thể thêm (u, v) củaS 1,1 Đỉnh có thể thêm của S 1,1 ∪{(u, v)} ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) (3, 3) (4, 2) 1 (4, 2) (3, 3) 1 (4, 3) Không ai 0 Tối đa ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) = 1 cho (v, u) = (3, 3). Thêm đỉnh (3, 3) vào S 1,1. Tập độc lập S 1,1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}:. Kích thước 3. Đỉnh có thể thêm (u, v) củaS 1,1 Đỉnh có thể thêm của S 1,1 ∪{(u, v)} ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) (4, 2) Không ai 0 Tối đa ρ (1,1 S ∪ {(u, v)}) = 0 với (v, u) = (4, 2). Thêm đỉnh (4, 2) để S 1,1. Chúng ta có được một tập độc lập tối đa S 1,1 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 2)} của kích thước yêu cầu n = 4. Bây giờ đầu ra phần III S 1,1 được yêu cầu đúng 3-màu của đầu vào đồ thị G và thuật toán kết thúc. Lưu ý rằng chúng ta giải thích kết quả như sau: đỉnh 1 được tô với màu 1 (màu xanh), đỉnh 2 được tô với màu 2 (màu đỏ), đỉnh 3 được tô với màu 3 (màu xanh) và đỉnh 4 được tô với màu 2 ( màu đỏ). 1.4. Độ phức tạp: Tiếp theo để đánh giá độ phức tạp của giải thuật, nhóm sẽ chỉ ra rằng thuật toán kết thúc trong thời gian đa thức, trong khi tìm kiếm một tập m-màu cho một đồ thị với n đỉnh, bằng cách xác định một đa thức của N=nm đó là một cận trên trên tổng số bước tính toán thực hiện bởi thuật toán.Lưu ý rằng chúng ta xem xét  kiểm tra xem một cặp của các đỉnh được kết nối bởi một cạnh trong G, và  so sánh xem một số nguyên cho trước nhỏ hơn một số nguyên cho trước được tính toán các bước cơ bản. Mệnh Đề 1 Cho một đồ thị đơn giản G với n đỉnh và một tập độc lập S của G×Km , thủ tục 1 mất ít nhất (nm) 5 bước. Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  18. lOMoARcPSD|16911810 Chứng minh Kiểm tra việc một đỉnh riêng có thể thêm thì mất tối đa (nm) 2 bước, từ đỉnh có ít hơn các lân cận nm và cho mỗi lân cận phải mất ít hơn nm bước để kiểm tra xem nó là ở ngoài tập độc lập. Đối với một tập độc lập riêng, việc tìm kiếm số ρ của các đỉnh có thể thêm mất ít nhất (nm) 3 = (nm) (nm) 2 bước, khi nhiều nhất nm đỉnh bên ngoài tập độc lập chúng ta phải kiểm tra xem nó có thể thêm hay không. Đối với một tập độc lập riêng, việc tìm kiếm một đỉnh sao cho ρ là tối đa thì mất ít nhất (nm) 4 = (nm) (nm) 3 bước, khi có hầu hết nm đỉnh bên ngoài. Thủ tục 1 kết thúc khi hầu hết nm đỉnh được thêm, do đó phải mất một tổng của hầu hết (nm) 5 = (nm) (nm) 4bước. Mệnh Đề 2 Cho một đơn đồ thị G với n đỉnh và một tập độc lập tối đa S của G×Km , thủ tục 2 mất ít nhất (nm) 5 +(nm) 2 +1 bước. Chứng minh Để tìm một đỉnh (u 1, v 1) bên ngoài S mà có đúng một lân cận (u 2, v 2) bên trong S có tối đa (nm) 2 bước, khi có ít hơn nm đỉnh ngoài S và chúng ta phải tìm ra nếu ít nhất một trong các lân cận bé hơn nm của bất kỳ đỉnh nào ở trong S. Nếu như một đỉnh (u 1, v 1) đã được tìm thấy, phải mất một bước để hoán đổi (u 1, v 1) và (u 2, v 2). Sau đó, bằng mệnh đề 4.1, phải mất ít nhất (nm) 5 bước để thực hiện các thủ tục 1 vào tập độc lập kết quả. Như vậy, thủ tục 2 mất ít nhất (nm) 2 +1 + (nm) 5 bước. Mệnh Đề 3 Cho một đơn đồ thị G với n đỉnh và m màu, phần I của thuật toán có tối đa (nm) 7 + (nm) 6 + (nm) 4+ (nm) 2 bước. Chứng minh Tại mỗi lượt, thủ tục 1 mất ít nhất (nm) 5 bước bằng mệnh đề 1. Sau đó, thủ tục 2 được thực hiện tối đa nm lần mà theo mệnh đề 2, mất tối đa nm((nm) 5 + (nm) 2+1) = (nm) 6 + (nm)3 + nm bước .Vì vậy, tại mỗi lượt, tối đa (nm) 5 + (nm) 6 + (nm) 3 + nm bước được thực hiện. Có nm lượt cho i = 1, 2, ..., n, và j = 1, 2, ..., m, do đó, một phần I thực hiện tổng cộng tối đa là nm((nm) 5 + (nm) 6 + (nm) 3 +nm) = (nm) 6 + (nm) 7 + (nm) 4 + (nm) 2 bước. Mệnh Đề 4 Cho một đơn đồ thị G với n đỉnh và m màu, thuật toán mất ít hơn (nm) 8 +2 (nm) 7 + (nm) 6 + (nm) 5 +(nm) 4 + (nm) 3 + (nm) 2 bước để kết thúc. Chứng minh Có ít hơn (nm) 2 cặp riêng biệt của tập độc lập tối đa được tìm thấy bởi phần I, mà được thực hiện lần lượt. Tương tự như các thực nghiệm về mệnh đề 3, phần II có ít hơn(nm) 2 nm (() 5 nm (+ ) 6 + (nm) 3 + nm) = (nm) 7 + (nm) 8 +(nm) 5 + (nm) 3). Do đó, phần I và phần II cùng nhau mất ít hơn tổng cộng của ((nm 7 + (nm) 6 + (nm) 4 + (nm) 2) + ((nm) 8 + (nm) 7 + (nm) 5 + (nm) 3) = (nm) 8 +2 (nm) 7 + (nm) 6 + (nm) 5+ (nm) 4 + (nm) 3 + (nm) 2 bước để kết thúc. 2. Bài toán tô mầu cạnh 2.1. Giải thuật Về thuật toán giải quyết bài toán tô màu cạnh đồ thị hiện nay trên thế giới có nhiều thuật toán được đề suất như  Thuật toán thu gọn (Contraction algorthms) được đề xuất bởi Zykov  Thuật toán tô màu theo dãy (sequential coloring). Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  19. lOMoARcPSD|16911810 Trong đó thuật toán tô màu theo dãy lại được ứng dụng theo nhiều cách khác nhau. Ý tưởng của thuật toán này xoay quanh việc sắp xếp thứ tự các cạnh của đồ thị theo một thứ tự nhất định. Đánh trọng số cho các màu được dung để tô. Sau đó duyệt các cạnh theo thứ tự nêu trên. Trong quá trình duyệt sẽ tô màu cho cạnh bằng màu có trọng số nhỏ nhất mà chưa được sử dụng để tô cho các cạnh kề. Đây là một vận dụng của sử dụng thuật toán tham lam. Kết quả của bài toán khác nhau nếu chúng ta chọn được thứ tự của các cạnh khác nhau. Do đó các cải tiến hay các thuật toán khác nhau dựa trên thuật toán này hầu hết đều là cải tiến việc lựa chọn thứ tự cho các cạnh ban đầu. Trong chương trình ứng dụng của nhóm, giải thuật đưa ra ở mức minh hoạ một cách tô màu cạnh của đồ thị vô hướng. Trong đó, việc xếp thứ tự của đỉnh được đồng nghĩa với thứ tự các đỉnh được sắp xếp của đầu vào. Do đó thuật toán được thu gọn như sau :  Thứ tự các cạnh được sắp xếp trong quá trình nhập dữ liệu về đồ thị. Các cạnh được đánh số theo thứ tự E1, E2, ...,En.  Tìm bậc lớn nhất của đồ thị (Δ)  Chuẩn bị (Δ+1) màu để tô  Bước i: Tô màu cạnh Ei bởi màu có chỉ số nhỏ nhất trong số các màu chưa được sử dụng để tô màu cạnh kề của nó. Trong đó ở bước i tùy theo cách cài đặt sẽ có những cách đánh màu khác nhau. Với thuật toán trên chúng ta có thể tìm được 1 cách tô màu cho các cạnh của đồ thị với số màu không quá Δ+1 màu ( vấn đề này sẽ thấy rõ hơn khi đi sâu vào phần cài dặt). Vậy đó đã là số màu nhỏ nhất hay chưa. Theo định lý Vizing chúng ta phát biểu ở trên, ta có Δ(G)≤ χ′(G) ≤ Δ(G) + 1. Vậy sắc số cạnh chỉ có thể nằm ở 1 trong hai giá trị là Δ(G) và Δ(G) + 1. Với việc chọn số màu lớn nhất có thể tô là Δ(G)+1, thuật toán đã kẹp được cận trên của sắc số cạnh. Với việc lựa chọn màu có chỉ số nhỏ nhất chưa được sử dụng để tô các cạnh kề cho một cạnh, số màu được sử dụng là số màu nhỏ nhất. 2.2. Ví dụ Ta có đồ thị sau: Ta sắp xếp các cạnh theo thứ tự như sau: Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
  20. lOMoARcPSD|16911810 Bước 1: tô màu cạnh thứ 1 Cạnh này tô màu đỏ trước tiên Bước 2: tô màu cạnh 2. Downloaded by Dung Nguyen (tridanh2468@gmail.com)
nguon tai.lieu . vn
Thạc sĩ - Tiến sĩ - Cao học Công nghệ thông tin Kinh tế - Thương mại Tài chính - Ngân hàng Kiến trúc - Xây dựng Điện-Điện tử-Viễn thông Cơ khí - Chế tạo máy Công nghệ - Môi trường Báo cáo khoa học Quản trị kinh doanh Khoa học xã hội Khoa học tự nhiên Nông - Lâm - Ngư Y khoa - Dược