Xem mẫu
- Bài tiểu
luận toán
cao cấp C2
- MỤC LỤC
CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN ............................................................................... 6
A.LÝ THUYẾT: .................................................................................................................. 6
X: tập xác định ..................................................................................................................... 6
Xét f x0 , y0 ........................................................................................................................ 6
z f
Z x f (x) là giới hạn lim f ( x x, y ) f ( x, y ) ............................................... 6
x x x 0
Cho hàm số z = f(x,y) thì ....................................................................................................... 6
n
n
Tổng quát: d z f ........................................................................................... 6
x y
B. BÀI TẬP:......................................................................................................................... 6
Câu 1: Cho hàm số z f ( x , y ) e 2 x 3 y Tính z xn ) ? ............................................................. 6
(
n
Giải: ...................................................................................................................................... 6
z x (2 x 3 y )/ x e 2 x 3 y 2e2 x 3 y
/
Ta có: z xx 2(2 x 3 y ) / x e 2 x 3 y 4e 2 x 3 y ............................................................................ 6
//
z xxx 4(2 x 3 y )/ x e 2 x 3 y 8e2 x 3 y
/ //
Câu 2: Cho hàm số z f ( x, y ) xe y Tính z y4 x ? ................................................................ 7
4
Giải: ..................................................................................................................................... 7
z /y ( xe y ) / y xe y
z /yy ( xe y )/ y xe y
/
Ta có: ............................................................................................... 7
z /yyy ( xe y ) / y xe y
//
z y 4 x ( xe y )/ x e y
4
Câu 3 : Cho hàm số z f ( x , y ) e y ln x Tính z (4) 2 ? ......................................................... 7
yxy
Giải: ..................................................................................................................................... 7
z /y (e y ln x) / y e y ln x
ey
z /yx (e y ln x) / x
/
x
/
Ta có: / // ey ey .......................................................................................... 7
z yxy
xy x
/
(4) ey ey
z
yxy 2
xy x
Giải: ..................................................................................................................................... 7
- /
z x e xy ye xy
/
x
/
Ta có: z xx ye xy y 2 e xy .............................................................................................. 7
//
x
5 5 xy
z x5 y e
Giải: ..................................................................................................................................... 7
/
z x sin xy x ycos xy
/
/
z xx ycos xy x y 2 sin xy
//
/
Ta có: z xy y 2 sin xy cos xy xy sin xy ............................................................ 7
//
y
/
z /y sin xy y xcos xy
/
z /yy xcos xy y x 2 sin xy
/
Câu 7: Tìm vi phân cấp một của hàm số: z 2 x 4 y ...................................................... 8
Giải: ..................................................................................................................................... 8
Ta có: dz Z / x dx Z / y dy .................................................................................................. 8
Giải: ..................................................................................................................................... 8
Ta có: dz Z / x dx Z / y dy .................................................................................................. 8
Câu 9: Tím vi phân cấp một của hàm số: z arcyg ( y x). ................................................... 8
Giải: ..................................................................................................................................... 8
Ta có: dz Z / x dx Z / y dy .................................................................................................. 9
Giải: ..................................................................................................................................... 9
2 y2
Câu 11: Tính vi phân cấp 2 của hàm: z sin x e .......................................................... 9
Giải: ..................................................................................................................................... 9
x2 y
Câu 12: Cho hàm hai biến z e , tính z / / ?, z / / ?, z / / ? ............................................ 9
xx yy xy
Giải: ...................................................................................................................................... 9
Câu 13: Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z y ln x ............................................ 10
Giải: .................................................................................................................................... 10
Giải: .................................................................................................................................... 10
Giải: .................................................................................................................................... 10
Câu 16: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biếnn z x 2 y 3 . .................................................. 11
Giải: .................................................................................................................................... 11
CHƯƠNG II: CỰC TRỊ................................................................................................... 11
A. LÝ THUYẾT: ............................................................................................................... 11
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D R2 ................................................................ 11
Z = f(x,y), D ........................................................................................................................ 11
/ /
Bước 1: z x , z y .................................................................................................................... 12
Bước 2: ............................................................................................................................... 12
// // //
Tính z xx , z xy , z yy .................................................................................................................. 12
- Bước 3: ............................................................................................................................... 12
A z ( xo , y o )
xx
Đặt B z xo , y o ............................................................................................................. 12
xy
C z yy xo , y o
Cách 2: ............................................................................................................................... 13
Xét AC B 2 ................................................................................................................ 13
Nếu 0 hàm f có cực trị ............................................................................................... 13
B. BÀI TẬP:....................................................................................................................... 13
Câu 17: Cho hàm z x 2 2 x y 2 Tìm cực trị? ................................................................... 13
Giải: ................................................................................................................................... 13
Giải hệ phương trình: 2 y 0
2 x 2 0
x 1
y 0 .................................................................... 13
Câu 18: Cho hàm z x 4 8 x 2 y 2 5 Tìm cực trị? ............................................................ 13
Giải: .................................................................................................................................... 14
Có 3 điểm dừng M 1 (0;0); M 2 (2; 0); M 3 ( 2; 0) ..................................................................... 14
Vậy M1(0;0) không phải là cực trị của hàm số ..................................................................... 14
Vậy M2(2;0) là điểm cực tiểu của hàm ................................................................................. 14
Vậy M3(-2;0) là điểm cực tiểu của hàm ............................................................................... 14
Câu 19: Cho hàm z x 2 2 xy 1 Tìm cực trị? ................................................................... 14
Giải: ................................................................................................................................... 14
Giải hệ phương trình: 2 x 0
2 x 2 y 0
x 0
y 0 .......................................................... 15
Hàm z không có cực trị tại M(0;0) ....................................................................................... 15
Câu 20: Cho hàm z x 2 xy y 2 Tìm cực trị? ................................................................... 15
Có 1 điểm dừng M (0;0) ..................................................................................................... 15
Câu 21: Cho hàm z x 2 y 2 2 x y 1 Tìm cực trị? ........................................................ 15
Giải: ................................................................................................................................... 15
z / x ( x 2 y 2 2 x y 1) / x 2 x 2
Ta có : / ..................................................................... 15
z y ( x 2 y 2 2 x y 1) / y 2 y 1
1
điểm M 1; là điểm dừng ...................................................................................... 16
2
Giải: ................................................................................................................................... 16
Câu 23 : Cho hàm z 2 x 2 6 xy 5 y 2 4 Tìm cực trị? ....................................................... 16
Giải: ................................................................................................................................... 16
Có 1 điểm dừng M 0; 0 .................................................................................................... 16
Câu 24 : Cho hàm z x 4 y 4 4 x 32 y 8 Tìm cực trị? .................................................. 16
Giải: ................................................................................................................................... 16
Có 1 điểm dừng M (1; 2) ...................................................................................................... 17
Vậy hàm Z không có cực trị tại M (1; 2) ............................................................................... 17
- Giải: ................................................................................................................................... 17
Từ (1) => = 4 x (1/).......................................................................................................... 17
Giải: ................................................................................................................................... 18
Có 1 điểm dừng M (0;0) .................................................................................................... 18
Vậy hàm Z không có cực trị tại M (0;0) .............................................................................. 18
Giải: ................................................................................................................................... 18
Có 1 điểm dừng M (0; 1) .................................................................................................. 18
Và A 2 0 M (0;0) là điểm cực tiểu của hàm z ............................................................ 19
Giải: ................................................................................................................................... 19
Giải: ................................................................................................................................... 19
Giải ..................................................................................................................................... 19
Có 1 điểm dừng M 1; .................................................................................................. 20
3
Giải: ................................................................................................................................... 20
Có 2 điểm dừng M 1 1;1 ; M 2 1; 1 ................................................................................... 20
Có 2 điểm dừng M 1 1;1 ; M 2 1; 1 ................................................................................... 21
Giải: ................................................................................................................................... 21
x y20 y x2
z ln x 2 2 x 4
Đặt z / 2x 2 ..................................................... 21
2
x 2x 4
2x 2 x 1
z/ 0 2 0, x 2 2 x 4 0
x 2x 4 y 1
Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm M 1; 1 ......................................................................... 21
Câu 33 : Cho hàm z ln 1 x 2 y với điều kiện x y 3 0 .............................................. 22
Giải: ................................................................................................................................... 22
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm M 1 0; 3 và M 2 2; 1 .................................................. 22
Giải: ................................................................................................................................... 22
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm M 1 3;10 , đạt cực tiểu tại M 2 1; 2 ............................... 23
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................................. 24
2. Nguyễn Đình Trí và nhiều tác giả khác ......................................................................... 24
- CHƯƠNG I : ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
A.LÝ THUYẾT:
1.1 Đạo hàm riêng:
Định nghĩa:Cho hàm 2 biến f:
X R2 X R2
x , y Z f x , y
X: tập xác định
Xét f x0 , y0
f x0 x, y0 f x0 , y0
f / x lim
x0 x
f x0 , y0 y f x0 , y0
f /y lim
y 0 y
1.2 VI PHÂN:
* Định nghĩa:
Cho hàm số z = f (x,y) đạo hàm riêng của hàm số theo biến x, kí hiệu là:
z f
Z x f (x) là giới hạn lim f ( x x, y ) f ( x, y )
x x x 0
* Vi phân hai biến:
Định nghĩa:
Cho hàm số z = f(x,y) thì
dz z x dx z /y dy
/
d 2 z z xx dx 2 2 z xy dxdy z /yy dy 2
// // /
n
n
Tổng quát: d z f
x y
B. BÀI TẬP:
Câu 1: Cho hàm số z f ( x , y ) e 2 x 3 y Tính zx( n) ? n
Giải:
/ / 2 x 3 y 2 x 3 y
z (2 x 3 y ) x e
x 2e
2 x 3 y
Ta có: //
z 2(2 x 3 y ) x e
xx
/
4e 2 x 3 y
z xxx 4(2 x 3 y )/ x e 2 x 3 y 8e2 x 3 y
/ //
z xn ) 2 n .e 2 x 3 y
(
n
- Câu 2: Cho hàm số z f ( x, y ) xe y Tính z y4x ? 4
Giải:
/ y / y
z ( xe ) y xe
y
z /yy ( xe y )/ y xe y
/
Ta có:
z /yyy ( xe y ) / y xe y
//
z y 4 x ( xe y )/ x e y
4
Câu 3 : Cho hàm số z f ( x , y ) e y ln x Tính z (4) ?
yxy 2
Giải:
/ y / y
z (e ln x) y e ln x
y
ey
z /yx (e y ln x) / x
/
x
/
Ta có: / // ey ey
z yxy
xy x
/
(4) ey ey
z yxy 2
xy x
Câu 4: Cho hàm số z f ( x , y ) e xy Tính zx ?
5
5
Giải:
xy /
zx e
/
ye xy
x
/
Ta có: z xx ye xy y 2 e xy
//
x
5 5 xy
z x5 y e
Câu 5: Cho hàm số z f ( x, y ) sin xy Tính zxn ?; z yn ?
n n
Giải:
/
z x sin xy x ycos xy
/
/
z xx ycos xy x y 2 sin xy
//
/
Ta có: z xy y 2 sin xy cos xy xy sin xy
//
y
/
z /y sin xy y xcos xy
/
z /yy xcos xy y x 2 sin xy
/
- // // //
Câu 6: Cho hàm số z f ( x, y ) cos xy Tính zxx ?; z xy ?; z yy ?
/
z x cos xy x y sin xy
/
/
z xx y sin xy x y 2 cos xy
//
/
z xxx y 2 cos xy y 3 sin xy
/ //
x
z xn y n cos xy n
n
2
/
z /y cos xy y x sin xy
z yn x n cos xy n
n
2
Câu 7: Tìm vi phân cấp một của hàm số: z 2 x 4 y
Giải:
/ /
Ta có: dz Z x dx Z y dy
z = x2 + 4y
z/x = (x2 + 4y )/ = 2x
z/y = (x2 + 4y )/ = 4y.ln4
y
dz = 2xdx + 4 ln4dy
Câu 8: Tìm vi phân cấp một của hàm số: z ln x y
Giải:
Ta có: dz Z / x dx Z / y dy
z = ln x y
1
z/x = ln x y =
/ ( x y )/
=
2 x y 1
x x y x y 2( x y )
1
/ ( x y )/ 2 x y 1
z/y = ln x y = =
x x y x y 2( x y )
1 1 dx dy
dz dx dy
2( x y ) 2( x y ) 2( x y )
Câu 9: Tím vi phân cấp một của hàm số: z arcyg ( y x).
Giải:
- Ta có: dz Z / x dx Z / y dy
z = arcyg ( y x)
1
z/x arcyg ( y x) x
/
1 ( y x) 2
1
z/y arcyg ( y x) y
/
1 ( y x) 2
dx dy dy dx
dz 2
2
2
1 y x 1 y x 1 y x
Câu 10: Tìm vi phân dz của hàm: z x 2 2 xy sin( xy )
Giải:
dz Z / x dx Z / y dy
Z / x 2 x 2 y y.cos xy
Z / y 2 x x.cos xy
dz 2 x y y.cos xy dx x 2 cos xy dy
2
2 y
Câu 11: Tính vi phân cấp 2 của hàm: z sin x e
Giải:
z 2(sin x).sin x 2cos x sin x sin 2 x
x
2
z 2 y.e y
y
z 2cos2x
xx
z 0
xy
2 2
z 2.e y 4 y 2 .e y
yy
2
d 2 z 2 cos 2 xdx 2 2e y (1 2 y 2 )dy 2
x2 y
Câu 12: Cho hàm hai biến z e , tính zxx ?, z /yy ?, z xy ?
// / //
Giải:
/ / x2 y x2 y
z ( x 2 y) e
x
e
z xx ( x 2 y ) / e x 2 y e x 2 y
//
z ' y ( x 2 y ) / .e x 2 y 2.e x y
z '' yy 2.( x 2 y ) / .e x 2 y 4.e x 2 y
z x ( x 2 y ) / e x2 y e x2 y
/
z xy ( x 2 y ) / e x 2 y 2.e x 2 y
//
- Câu 13: Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z y ln x
Giải:
Ta có:
d 2 z Z / / xx dx 2 2 Z / / xy dxdy Z / / yy dy 2
y
Z /x
x
y
Z / / xx
x2
Z/y ln x
Z / / yy 0
1
Z / / xy
x
y 2
d 2z 2
.dx 2 .dxdy
x x
Câu 14: Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z x 2 x sin 2 y
Giải:
Ta có:
d 2 z Z / / xx dx 2 2 Z / / xy dxdy Z / / yy dy 2
Z / x 2 x sin 2 y
Z / / xx 2
Z / y sin 2 y 2 x sin 2 y
Z / / yy 2 xcos2 y
Z / / xy 2 sin y cos y 2 sin 2 y
d 2 z 2dx 2 2 sin 2 ydxdy 2 xcos2 ydy 2
Câu 15: Tìm vi phân cấp hai d 2 z của hàm hai biến z x 2 x cos 2 y.
Giải:
d 2 z Z / / xx dx 2 2 Z / / xy dxdy Z / / yy dy 2
- Z / x 2 x sin 2 y
Z / / xx 2
Z / y sin 2 y 2 x sin 2 y
Z / / yy 2 xcos2 y
Z / / xy 2 sin y cos y 2 sin 2 y
d 2 z 2dx 2 2 sin 2 ydxdy 2 xcos2 ydy 2
Câu 16: Tìm vi phân cấp hai của hàm hai biếnn z x 2 y 3 .
Giải:
Ta có:
d 2 z Z / / xx dx 2 2 Z / / xy dxdy Z / / yy dy 2
//
z / / xx x 2 y 3 2 y3
xx
//
z / / xy x 2 y 3 6 xy 2
xy
//
z / / yy x 2 y 3 6 x2 y
yy
d 2 z 2 y 3 dx 2 12 xy 2 dxdy 6 x 2 ydy 2
CHƯƠNG II: CỰC TRỊ
A. LÝ THUYẾT:
1.1 CỰC TRỊ TỰ DO:
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trên miền D R2
Điểm P(a,b) được gọi là cực trị địa phương của hàm z =f(x,y) nếu:
giả thiết: f a; b f x, y , x, y Q ( P) lân cận điểm P
Cực tiểu địa phương f a; b f x, y
Cực trị = cực đại + cực tiểu
Điểm dừng: P a; b
f f
a; b 0; a; b 0
x y
Nếu f tồn tại cực trị địa phương thì nó đạt cực trị địa phương tại các điểm dừng
*Phương pháp tìm cực trị tự do:
Z = f(x,y), D
Tìm cực đại:
- Bước 1: z x/ , z y
/
/
z x o
/ I ( xo , y o )
z y 0
I ( xo , yo ) được gọi là điểm dừng.
Bước 2:
// // //
Tính z xx , z xy , z yy
Bước 3:
A z ( xo , y o )
xx
Đặt B z xy xo , y o
C z yy xo , y o
Xét AC B 2
Nếu 0 (xo,yo) là điểm cực tiểu
Với A
- ta được hàm một biến theo x
Cách 2:
* Giải hệ (I) để tìm điểm dừng x0 , y0 và o
A L x ; y ;
xx o o o
* B L x o ; y o ; o
xy
C L x o ; y o ; o
yy
Xét AC B 2
Nếu 0 hàm f không có cực trị tại x0 , y0
Nếu 0 hàm f có cực trị
+ A 0 x0 , y0 là điểm cực tiểu
+ A 0 x0 , y0 là điểm cực đại
B. BÀI TẬP:
Câu 17: Cho hàm z x 2 2 x y 2 Tìm cực trị?
Giải:
Ta có :
/
z / x x2 2 x y 2 2 x 2
x
2 /
z y x 2x y
/ 2
y
2y
Giải hệ phương trình:
2 x 2 0
2 y 0
x 1
y 0
điểm M(1,0) là điểm dừng
Đặt:
/
A z / / xx 2 x 2 x 2
/
C z / / yy 2 y y 2
/
B z / / xy 2 x 2 y 0
Ta có: AC B 2 2* 2 0 4 0 Hàm có cực trị.
Và A = 2 > 0 Hàm đạt cực tiểu tại điểm M(1,0)
Câu 18: Cho hàm z x 4 8 x 2 y 2 5 Tìm cực trị?
- Giải:
3
z 4 x 16 x
x
z 2 y
y
x 0
4 x 3 16 x 0 4 x ( x 2 4) 0 x2
M 1 (0; 0); M 2 (2; 0); M 3 (2;0)
2 y 0 y 0 x 2
y 0
z 12 x 2 16
xx
0
z xy
z 2
yy
Có 3 điểm dừng M 1 (0;0); M 2 (2; 0); M 3 (2; 0)
M 1 (0; 0)
A1 z 12 x 2 16 16
xx
B1 z 0
xy
C1 z 2
yy
1 A1C1 B12 16 * 2 02 32 0
Vậy M1(0;0) không phải là cực trị của hàm số
M 2 (2; 0)
A2 z 12 x 2 16 32
xx
B2 z 0
xy
C2 z 2
yy
2 A2 C2 B2 2 32* 2 02 64 0, A2 0
Vậy M2(2;0) là điểm cực tiểu của hàm
M 3 (2; 0)
A3 z 12 x 2 16 64
xx
B3 z 0
xy
C3 z 2
yy
3 A3C3 B3 2 64 * 2 02 128 0, A3 0
Vậy M3(-2;0) là điểm cực tiểu của hàm
Câu 19: Cho hàm z x 2 2 xy 1 Tìm cực trị?
Giải:
Ta có :
- z / x ( x 2 2 xy 1) / x 2 x 2 y
z / y ( x 2 2 xy 1) / y 2 x
2 x 2 y 0
Giải hệ phương trình: 2 x 0
x 0
y 0
điểm M(0,0) là điểm dừng.
z / / xx (2 x 2 y ) / x 2
z / / xy (2 x 2 y ) / y 2
z / / yy (2 x) / y 0
Đặt:
A z / / xx 2
B z / / xy 2
C z / / yy 0
AC B 2 2 * 0 (2) 2 4 0
Hàm z không có cực trị tại M(0;0)
Câu 20: Cho hàm z x 2 xy y 2 Tìm cực trị?
z 2 x y
x
z x 2 y
y
z 0
x 2 x y 0 2 x y 0 3 y 0 y 0
M (0;0)
zy 0
x 2 y 0 2 x 4 y 0 2 x y 0 x 0
A z 2
xx
B z 1
xy
C z 2
yy
Có 1 điểm dừng M (0;0)
AC B 2 2 * 2 12 3 0 M (0; 0) là cực trị
Và A 2 0 M (0;0) là cực tiểu của hàm z
Câu 21: Cho hàm z x 2 y 2 2 x y 1 Tìm cực trị?
Giải:
z / x ( x 2 y 2 2 x y 1) / x 2 x 2
Ta có :
z / y ( x 2 y 2 2 x y 1) / y 2 y 1
-
Giải hệ phương trình:
2 x 2 0
2 y 1 0
x 1
y
1
2
1
điểm M 1; là điểm dừng
2
Đặt:
A z / / xx (2 x 2) / x 2
B z / / xy (2 x 2) / y 0
C z / / yy (2 y 1)/ y 2
AC B 2 2 * (2) 02 4 0
1
Hàm z có một điểm dừng M 1; nhưng không có cực trị.
2
Câu 22: Cho hàm z x 3 27 x y 2 2 y 1 Tìm cực trị?
Giải:
z 3 x 2 27
x z 0
x 3x 2 27 0
; hệ vô nghiệm, không có điểm dừng
z 2 y 2
y z y 0 2 y 2 0
Câu 23 : Cho hàm z 2 x 2 6 xy 5 y 2 4 Tìm cực trị?
Giải:
z 4 x 6 y
x
z 6 x 10 y
y
z 0
x 4 x 6 y 0 x 0
M (0; 0)
z 0 10 y 6 x 0 y 0
Có 1 điểm dừng M 0; 0
/
A z 4 x 6 y x 4
xx
/
Đặt: B z 4 x 6 y y 6
xy
/
C z 6 x 10 y y 10
yy
40 36 4 0; A 4 0 M 0; 0 là điểm cực tiểu
Câu 24 : Cho hàm z x 4 y 4 4 x 32 y 8 Tìm cực trị?
Giải:
- /
z / x x 4 y 4 4 x 32 y 8 4 x 3 4
x
/
z / y x 4 y 4 4 x 32 y 8 y 4 y 3 32
z 0
x 3
4 x 4 0 x 1
M (1; 2)
zy 0
3
4 y 32 0
y 2
Có 1 điểm dừng M (1; 2)
/
A z 4 x 3 4 12 x 2 12
xx x
/
Đặt : B zxy 4 x 4 y 0
3
/
C z 4 y 3 32 12 y 2 48
yy y
AC B 2 12 *(48) 02 576 0
Vậy hàm Z không có cực trị tại M (1; 2)
Câu 25: Tìm cực trị của hàm số: Z 2 x 2 y 2 2 y 2 với điều kiện
( x, y ) x y 1 0
Giải:
2 2
L ( x , y , ) 2 x y 2 ( x y 1)
L /x 4 x
L /y 2 y 2
4x 0 (1)
2 y 2 0 (2)
x y 1 0 (3 )
Từ (1) => = 4 x (1/)
(3) => y = x - 1 (2/)
thế (1/), (3/) vaò (2) ta có:
2( x -1) – 2 + 4 x = 0
2 x - 2 – 2 + 4 x =0
2
6x - 4 = 0 x
3
1 8
=> y = ;
3 3
- 2 1 8
M ( ; ; )
3 3 3
2 2 2
d L 4 dx 0 dxdy 2 dy
d / xdx / ydy
dx dy 0
dy dx
2 1 8
d 2L( ; ; ) 4 dx 2
2 dx 2
6 dx 2
0
3 3 3
2 1
( ; là cực tiểu
3 3)
Câu 26 : Cho hàm z 3 x 2 2e y 2 y 3 Tìm cực trị?
Giải:
/
z 3x 2 2e y 2 y 3 6 x
x x
/
z 3 x 2e 2 y 3 2e y 2
y
2 y
y
z 0
x 6 x 0 x 0
y M (0; 0)
zy 0
2e 2 0 y 0
Có 1 điểm dừng M (0;0)
/
A z 6 x x 6
xx
/
B z 6 x y 0
xy
Đặt : /
C z 2e y 2 2e y 2* e0 2
yy y
AC B 6 * 2 02 12 0
2
Vậy hàm Z không có cực trị tại M (0;0)
Câu 27 : Cho hàm z x 2 y ln y 2 Tìm cực trị?
Giải:
/
z x 2 y ln y 2 x 2 x
x
/ 1
z x 2 y ln y 2 y 1
y
y
2 x 0
z 0
x x 0
1 M (0; 1)
zy 0
1 y 0 y 1
Có 1 điểm dừng M (0; 1)
- /
A z 2 x x 2
xx
/
B z 2 x y 0
xy
/
Đặt : 1 1 1
C z 1 2
yy 2
1
y y y 1
AC B 2 2*1 02 2 0
Và A 2 0 M (0;0) là điểm cực tiểu của hàm z
Câu 28 : Cho hàm z x 6 y 5 cos2 x 32 y Tìm cực trị?
Giải:
/
z x 6 y 5 cos 2 x 32 y 6 x 5 sin 2 x
x x
/
z x y cos x 32 y 5 y 4 32
y
6 5 2
y
z 0
x 5
6 x sin 2 x 0
zy 0
4
5 y 32 0
hệ vô nghiệm
Không có điểm dừng. Vậy hàm z không có cực trị
Câu 29 : Cho hàm z xe y x 3 2 y 2 4 y Tìm cực trị?
Giải:
/
z xe y x3 2 y 2 4 y e y 3 x 2
x x
/
z xe y x3 2 y 2 4 y xe y 4 y 4
y y
y 2
z 0
x
e 3 x 0 ey
y x2
zy 0
xe 4 y 4 0
3
điều này vô lý hệ vô nghiệm
Không có điểm dừng. Vậy hàm z không có cực trị
y
Câu 30 : Cho hàm z 2 x 2 4 x sin y , y Tìm cực trị?
2
Giải
- /
y
z 2 x 2 4 x sin y 4 x 4
x
2 x
/
y 1
z 2 x 2 4 x sin y cos y
y
2 y 2
4 x 4 0 x 1
zx 0
1
zy 0
cos y 0 y 3
2
Có 1 điểm dừng M 1;
3
/
A z 4 x 4 x 4
xx
/
B z 4 x 4 y 0
xy
/
1 3
Đặt : C z cos y 2 sin y sin 3 2
yy
y
3 2
AC B 2 4* 0 2 3 0
2
Vậy hàm z không có cực trị tại M 1;
3
y2
Câu 31 : Cho hàm z ln x x ln y Tìm cực trị?
2
Giải:
/
y2 1
z ln x x ln y 1
x
2 x x
/
y2 1
z ln x x ln y y
y
2 y y
1
zx 0 1 0
x x 1
zy 0
1 y 0 y 1
y
Có 2 điểm dừng M 1 1;1 ; M 2 1; 1
* Xét điểm M 1 1;1 :
nguon tai.lieu . vn