Xem mẫu
- 10/23/2011
ƯỚC LƯỢNG CÁC TRUNG BÌNH VÀ TỶ LỆ
GV : Đinh Công Khải – Chương trình Fulbright
Môn: Các Phương Pháp Định Lượng – MPP4
1. Tóm tắt các chương trước
Tổng thể và mẫu: Làm thế nào để suy luận các tham số tổng thể dựa trên
thông tin chứa trong mẫu?
Thống kê mô tả
Xác xuất và phân phối xác xuất: cơ chế để thực hiện thống kê suy luận từ
mẫu.
Chọn mẫu và Định lý giới hạn trung tâm: “Một mẫu ngẫu nhiên gồm n
quan sát được chọn từ một tổng thể không chuẩn tắc có trung bình là µ và
độ lệch chuẩn là σ, nếu n lớn, thì phân phối mẫu của trung bình mẫu sẽ có
phân phối xấp xỉ chuẩn tắc với trung bình là µ và độ lệch chuẩn n ”
1
- 10/23/2011
1. Tóm tắt các chương trước (Nguồn: Cao Hào Thi)
3
Lấy mẫu
ngẫu nhiên
Tổng thể Mẫu
N (Cỡ) n
(Trung bình) x
(Độ lệch chuẩn) s
p (Tỷ lệ) p
Ước lượng
Kiểm định giả thuyết
2. Ước lượng các tham số thống kê của tổng thể
Có 2 loại ước lượng:
Ước lượng điểm của một tham số tổng thể là cách thức tính toán một giá trị
đơn lẽ của tham số tổng thể dựa trên dữ liệu mẫu.
Ước lượng khoảng của một tham số tổng thể là cách thức tính toán 2 giá trị
dựa trên dữ liệu mẫu, từ đó tạo nên một khoảng được kỳ vọng chứa tham
số thống kê của tổng thể.
2
- 10/23/2011
2. Ước lượng các tham số thống kê của tổng thể
Các yêu cầu cần có của ước lượng
Không bị lệch: Ước lượng của một tham số tổng thể không bị lệch nếu
trung bình của phân phối mẫu bằng với giá trị đúng của tham số đó.
Phương sai của phân phối mẫu càng nhỏ càng tốt (đảm bảo cho các ước
lượng gần với giá trị đúng của tham số với một xác xuất cao)
Sai số ước lượng (error of estimation): khoảng cách giữa giá trị ước lượng
và giá trị đúng của tham số được ước lượng.
Hệ số tin cậy (confidence coefficient): Xác suất mà khoảng tin cậy bao
quanh tham số được ước lượng.
3. Ước lượng cho mẫu lớn
Ước lượng điểm
Theo CLT nếu mẫu lớn chúng ta có một ước lượng không lệch với phân
phối mẫu của nó tuân theo phân phối chuẩn.
Với xác xuất là 95%, sai số ước lượng sẽ không vượt quá 1,96 lần độ lệch
chuẩn của ước lượng (biên sai số – margin of error).
3
- 10/23/2011
3. Ước lượng cho mẫu lớn
Ước lượng khoảng
Ước lượng khoảng được xây dựng để cho khi lấy mẫu lặp lại nhiều lần thì
một tỷ lệ lớn các khoảng này sẽ bao quanh tham số tổng thể mà chúng ta
đang quan tâm. Tỷ lệ này là hệ số tin cậy (confidence coefficient). Khoảng
được tạo ra được gọi là khoảng tin cậy (confidence interval).
Một khoảng tin cậy mẫu lớn với hệ số tin cậy (1-α)*100% dựa trên một
ước lượng không bị lệch có phân phối chuẩn được tính như sau
Ước lượng điểm ± zα/2 * Sai số chuẩn của ước lượng
(giới hạn tin cậy dưới, giới hạn tin cậy trên)
4. Ước lượng cho mẫu lớn về số trung bình tổng thể µ
Ước lượng điểm của trung bình tổng thể µ
Ước lượng điểm: x
Biên sai số: 1,96 * x 1,96 * / n
Ước lượng khoảng tin cậy (1-α)100% cho mẫu lớn đối với µ
x z / 2
n
Trong đó: * n là cỡ mẫu
* σ là độ lệch chuẩn của tổng thể (nếu chưa biết σ có thể sử dụng một
ước lượng xấp xỉ là độ lệch chuẩn của mẩu s nếu cỡ mẫu là lớn (n>= 30)
4
- 10/23/2011
4. Ước lượng cho mẫu lớn về số trung bình tổng thể µ
Ví dụ: Một công ty được thuê để ước lượng trung bình lãi suất trái phiếu
kỳ hạn 5 năm của các công ty có phát hành trái phiếu đặt tại thị trường A.
Một mẫu ngẫu nhiên gồm n=100 công ty được chọn trong thị trường này
và lãi suất trái phiếu được thu thập cho từng công ty. Trung bình và độ lệch
chuẩn của 100 lãi suất trái phiếu lần lượt là 12%/năm và 0.5.
Hãy ước lượng trung bình lãi suất và sai số biên cho các trái phiếu 5 năm
của các công ty ở thị trường A?
Tìm khoảng tin cậy 95% cho trung bình lãi suất trái phiếu?
5. Ước lượng cho mẫu nhỏ về số trung bình tổng thể µ
Khi cỡ mẫu nhỏ và σ chưa biết chúng ta có thể sử dụng phân phối xác xuất
Student t.
Ước lượng điểm cho mẫu nhỏ
Ước lượng điểm: x
Biên sai số: 1,96 * s / n
Ước lượng khoảng tin cậy (1-α)100% cho mẫu nhỏ đối với µ
s
x t / 2
n
Trong đó s là độ lệch chuẩn của mẫu và s / n độ lệch chuẩn của trung bình mẫu
5
- 10/23/2011
5. Ước lượng cho mẫu nhỏ về số trung bình tổng thể µ
Ví dụ: Các biến phí chủ yếu là lao động khiến cho chi phí xây nhà thay đổi
từ đơn vị nhà ở này sang đơn vị nhà ở khác. Một công ty xây dựng nhà tiêu
chuẩn cần làm ra một mức lợi nhuận bình quân vượt quá $8500 mỗi căn
nhà nhằm đạt được mục tiêu lợi nhuận hàng năm. Các khoản lợi nhuận
tính trên mỗi căn nhà cho 5 căn nhà mà công ty xây dựng gần đây là
$8.760, $6.370, $9.620, $8.200, và $10.350.
Câu hỏi: Tìm khoảng tin cậy 95% cho lợi nhuận trung bình một căn nhà ở
mà công ty đã xây dựng?
6. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 số trung bình
Vấn đề: Có 2 tổng thể 1 và 2 với các tham số thống kê lần lượt như sau:
µ1, σ12 và µ2, σ22 Ước lượng (µ1 - µ2) ?
Lấy mẫu ngẫu nhiên gồm n1 đại lượng từ tổng thể 1 và n2 đại lượng từ tổng
thể 2. Hai mẫu này có các trị thống kê lần lượt như sau:
x1 , s12 và x2 , s22
Các đặc trưng phân phối mẫu của x1 x2 như sau
Nếu các tổng thể không có phân phối chuẩn thì phân phối mẫu của x1 x2
là phân phối xấp xỉ chuẩn khi n1 và n2 là lớn (theo Định lý Giới hạn trung
tâm)
6
- 10/23/2011
6. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 số trung bình
Trung bình và độ lệch chuẩn của x1 x2 là
x x 1 2
1 2
12 2
2
x x
1 2
n1 n2
Nếu các tổng thể có phân phối chuẩn thì phân phối mẫu của x1 x2 cũng sẽ
có phân phối chuẩn mà không quan tâm đến cỡ mẫu.
6. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 số trung bình
Ước lượng điểm của (µ1- µ2)
Trị ước lượng x1 x2
Biên sai số:
12 2
2
1,96 x1 x2 1.96
n1 n2
Ước lượng khoảng tin cậy (1-)100% cho (µ1- µ2)
12 2
2
( x x ) z / 2
1 2 n1 n2
trường hợp σ12 và σ22 chưa biết thì chúng có thể được xấp xỉ bằng s12 và s22 với
điều kiện n1 và n2 ≥ 30.
7
- 10/23/2011
6. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 số trung bình
Ví dụ: Một bộ phận cho vay của ngân hàng tìm thấy rằng 57 khoản cho
vay mua nhà trong tháng 4 có giá trị trung bình là $78.100 và độ lệch
chuẩn là $6.300. Một phân tích về khoản cho vay trong tháng 5 với tổng
cộng là 66 khoản, cho thấy giá trị trung bình là $82.700 và độ lệch chuẩn
là $7.100. Giả định các khoản cho vay mua nhà đại diện cho các mẫu ngẫu
nhiên của những giá trị các hồ sơ xin vay mua nhà được bộ phận dịch vụ
cho vay của ngân hàng chấp thuận. Tìm khoảng tin cậy 98% cho sự khác
biệt trong mức trung bình của các hồ sơ xin vay mua nhà được chấp thuận
từ tháng 4 đến tháng 5?
6. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 số trung bình
Trong trường hợp cỡ mẫu nhỏ, hai tổng thể có phân phối chuẩn với các
phương sai bằng nhau (σ12 = σ22 = σ2)
Ước lượng khoảng tin cậy (1-)100% cho mẫu nhỏ đối với (µ1- µ2)
1 1
( x1 x2 ) t / 2 * s
n1 n2
(n1 1) s12 (n2 1) s2
2
s
(n1 1) (n2 1)
8
- 10/23/2011
7. Ước lượng một tỷ lệ nhị thức
Tham số nhị thức của tổng thể: tỷ lệ nhị thức p
Trị thống kê của mẫu: tỷ lệ mẫu x
p
ˆ
n
trong đó x là số lần thành công trong n lần thử
Theo CLT, với một mẫu ngẫu nhiên có n quan sát được chọn từ tổng thể nhị thức
có tham số p thì phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu này như sau
Trung bình và độ lệch chuẩn của ˆ
p
E ( p) p p
ˆ ˆ
pq
p
ˆ
n
Trường hợp n lớn phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu sẽ có phân phối xấp xỉ chuẩn
tắc. Ước lượng xấp xỉ này là phù hợp nếu p 2 p từ 0 đến 1; là tốt nếu
ˆ ˆ
p 3 p nằm trong khoảng từ 0 đến 1
ˆ ˆ
7. Ước lượng một tỷ lệ nhị thức
Ước lượng điểm cho p
x
Trị ước lượng: p
ˆ
n
Biên sai số: pq
1,96 p 1,96
ˆ
n
ˆˆ
pq
Biên sai số ước lượng: 1,96 p 1,96
ˆ
n
Ước lượng khoảng tin cậy (1-α)100% cho p
ˆˆ
pq
p z / 2
ˆ
n
n phải lớn để phân phối mẫu là phân phối xấp xỉ chuẩn.
9
- 10/23/2011
7. Ước lượng một tỷ lệ nhị thức
Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm n=100 nhà bán buôn mua ống nhựa
polyvinyl chỉ ra cho thấy rằng 59 người có kế hoạch gia tăng việc mua
hàng của mình trong năm tới. Hãy ước lượng tỷ lệ p của các nhà bán buôn
trong tổng thể tất cả các nhà bán buôn ống nhựa polyvinyl mà có kế hoạch
gia tăng việc mua hàng của mình trong năm tới và tìm sai số biên. Tìm
khoảng tin cậy 95% cho p?
8. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 tỷ lệ nhị thức
Có 2 tổng thể nhị thức 1 và 2 với các tham số thống kê lần lượt như sau: p 1
và p2 Ước lượng (p1 - p2) ?
Lấy mẫu ngẫu nhiên gồm n1 đại lượng từ tổng thể 1 và n2 đại lượng từ tổng
thể 2. Hai mẫu này có các trị thống kê lần lượt như sau:
ˆ ˆ
p1 và p2
Các đặc trưng phân phối mẫu của p1 p2 như sau
ˆ ˆ
Phân phối mẫu của p1 p2 là phân phối xấp xỉ chuẩn khi n1 và n2 là lớn
ˆ ˆ
(theo Định lý Giới hạn trung tâm)
10
- 10/23/2011
8. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 tỷ lệ nhị thức
Trung bình và độ lệch chuẩn của p1 p2 là
ˆ ˆ
p p p1 p2
ˆ1 ˆ2
p1q1 p q
p p
ˆ ˆ 2 2
1 2
n1 n2
Khi sử dụng phân phối chuẩn để ước lượng xấp xỉ các xác suất của nhị
thức thì khoảng ( p1 p2 ) 2 ( p1 p2 ) phải được chứa trong p1 p2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
(khoảng này thay đổi từ -1 đến 1)
8. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 tỷ lệ nhị thức
Ước lượng điểm của (p1- p2)
Trị ước lượng ( p1 p2 )
ˆ ˆ
Biên sai số: ˆ ˆ
p1q1 ˆ ˆ
p q
1,96 p1 p2 1.96
ˆ ˆ 2 2
n1 n2
Ước lượng khoảng tin cậy (1-)100% cho (p1- p2)
ˆ ˆ
p1q1 ˆ ˆ
p q
( p1 p2 ) z / 2
ˆ ˆ 2 2
n1 n2
n phải đủ lớn để phân phối mẫu của ( p1 p2 ) có ước lượng xấp xỉ phân phân
ˆ ˆ
chuẩn. Khoảng ( p1 p2 ) 2 ( p1 p2 ) được chứa trong khoảng [-1;1]
ˆ ˆ ˆ ˆ
11
- 10/23/2011
8. Ước lượng sự khác biệt giữa 2 tỷ lệ nhị thức
Ví dụ: Một cuộc điều tra ngân hàng về các khoản chi trả thẻ tín dụng trễ
hạn đã tìm thấy tỷ lệ trễ hạn trong 1 tháng đối với 414 chủ doanh nghiệp
nhỏ là 5,8% so với 3,6% của 1029 nhà quản lý chuyên nghiệp
(professionals). Giả định rằng dữ liệu cho 2 đối tượng sử dụng thẻ này có
thể được xem như các mẫu ngẫu nhiên độc lập của những tài khoản hàng
tháng đã sử dụng trong khoảng thời gian tương đối dài (1 đến 2 năm). Tìm
khoảng tin cậy 95% trong các tỷ lệ về những sự trễ hạn cho 2 loại đối
tượng sử dụng thẻ tín dụng này?
9. Chọn cỡ mẫu
Quy trình chọn lựa cỡ mẫu
Xác định tham số được ước lượng và độ lệch chuẩn của ước lượng điểm
Chọn B (giới hạn biên sai số) và hệ số tin cậy (1-α)
Giải phương trình
zα/2 * độ lệch chuẩn của số ước lượng = B
Nếu n nhỏ hơn 30 thì chúng cần dùng tα/2 để thay thế zα/2 và sử dụng s thay
thế cho σ. Quy trình này được lặp đi lặp lại cho đến khi cỡ mẫu không đổi.
12
nguon tai.lieu . vn
