- Trang Chủ
- Nông nghiệp
- Bài giảng Toán cao cấp nông nghiệp: Phần 2 - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp
Xem mẫu
- Chương 3
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN
Mục đích yêu cầu
Học xong chương này, Sinh viên phải thành thạo:
- Nắm vững công thức tính nguyên hàm của các hàm số cơ bản.
- Các tính chất của tích phân bất định, tích phân xác định.
- Các phép tính tích phân bất định, tích phân xác định: phân tích, đổi biến
số, từng phần.
- Tích phân các hàm số hữu tỷ, vô tỷ, lượng giác đơn giản qua từng vấn đề.
- Nắm vững cách dùng công thức Newton – Leibniz.
- Phân biệt được sự khác nhau giữa phép biến đổi trong tích phân bất định và
tích phân xác định.
- Vận dụng được các phương pháp tính tích phân.
- Ứng dụng tính diện tích – thể tích.
- Tính các tích phân suy rộng loại 1 và loại 2.
Kiến thức chuẩn bị
Để học được chương này cần trang bị các kiến thức:
- Các công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp.
- Các cách tính đạo hàm và vi phân của các hàm một biến.
- Các cách tính giới hạn học ở chương 1 và chương 2.
50
- 3.1. Tích phân không xác định
3.1.1. Nguyên hàm và tích phân không xác định
3.1.1.1. Định nghĩa
Hàm số F (x ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x ) trên (a; b ) nếu
(3.1.1)
F '(x ) = f (x ), ∀x ∈ (a ; b )
Ví dụ 1: ( sin x ) ' = cos x ⇒ sin x là nguyên hàm của cosx .
3.1.1.2. Định lý
* Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
* Nếu F (x ) là nguyên hàm của f (x ) thì F (x ) + C cũng là nguyên hàm của
f (x ) .
(Việc tìm nguyên hàm của hàm số còn gọi là phép lấy tích phân của hàm số đó).
Định nghĩa
Tập tất cả các nguyên hàm của hàm số f (x ) được gọi là tích phân không xác
định của f (x ) , kí hiệu là: ∫ f (x )dx .
∫ f (x )dx = F (x ) + C (3.1.2)
3.1.1.3. Tính chất của tích phân không xác định
Cho f , g là các hàm số có nguyên hàm. Khi đó
i) ∫ λ f (x )dx = λ ∫ f (x )dx (λ là hằng số).
ii) ∫ [ f (x ) ± g(x )] dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx .
( ∫ f (x )dx ) = f (x ) .
'
iii)
iv) ∫ f ′(x )dx = f (x ) + C .
51
- Bảng tích phân của một số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của các HSCB y = f (x ) Hàm y = ax + b ( a ≠ 0 )
∫ dx = x + C .
α x α +1
∫ x dx = + C (α ≠ −1) . 1 1 1
α +1 ∫ (ax + b)2dx = − a . ax + b + C
1 1
∫ x 2dx = − x + C (x ≠ 0) . ∫
1
dx = 2
1
ax + b + C
ax + b a
1
∫ x dx = 2 x + C . a ′x +b 1 a a ′x +b
∫ a dx = a ′ . ln a + C .
x ax 1 ax +b
∫ a dx = ln a + C . ax +b
∫ e dx = a e + C .
x x
∫ e dx = e +C . 1 1
∫ ax + bdx = a ln ax + b + C .
1
∫ xdx = ln x + C . 1
∫ sin(ax + b)dx = - a cos(ax + b) + C
∫ sin xdx = - cos x + C . 1
∫ cos( ax + b dx
) =
a
sin(ax + b) + C
∫ cos xdx = sin x + C . 1 1
1 ∫ cos2(ax + b) a tan(ax + b) + C .
dx =
∫ cos2 xdx = tan x + C .
1 1
1 ∫ sin2(ax + b)dx = − a cot(ax + b) + C .
∫ sin2 xdx = − cot x + C .
1
∫ 1 - x 2 dx = arcsin x + C = − arccos x + C
1
∫ x 2 + 1dx = arctan x + C = −arc cot x + C
1 1 x
∫ x 2 + a 2dx = a arctan a + C
1 1 1+x
∫ 1 − x2 dx = ln
2 1−x
+C
1 1 x −a
∫ x 2 − a 2dx = 2a ln x + a +C
1
∫ x ±a
2
dx = ln x + x 2 ± a + C
52
- 3.1.2 Các phương pháp tính
3.1.2.1. Phương pháp phân tích
Biến đổi hàm dấu tích phân về dạng tổng của các hàm đơn giản hoặc dạng một
hàm trong bảng nguyên hàm cơ bản
x5 x4 x2
Ví dụ 2: a) ∫ (x − 3x + x + 1)dx =
4 3
−3 + + x +C .
5 4 2
2 dx 2
b) ∫ x + dx = ∫ xdx + 2 ∫ = x x + 4 x +C .
x x 3
dx
c) ∫ sin x -
1
2 dx = ∫ sin xdx − ∫ = − cos x - tan x + C .
cos x cos2 x
3.1.2.2. Phương pháp đổi biến số
Qui tắc 1
Đặt t = ψ (x ) , trong đó ψ (x ) là một hàm khả vi theo biến t . Ta có
∫ f [ψ (x )] .ψ ′(x )dx = ∫ f (t )dt
(3.1.3)
Qui tắc 2
Đặt x = ϕ(t ) , trong đó ϕ(t ) là một hàm khả vi và đơn điệu nghiêm ngặt theo
biến t . Ta có
∫ f (x )dx = ∫ f [ϕ(t )] .ϕ ′(t )dt (3.1.4)
Chú ý: Qui tắc 2 thường áp dụng khi có tích phân có chứa
a2 − x 2 ; a2 + x 2 ; x 2 − a2 .
a sin t
* ∫ R(x , a 2 − x 2 )dx , đặt x = . (3.1.5)
a cos t
a tan t
* ∫ R(x , a 2 + x 2 )dx , đặt x = . (3.1.6)
a cot t
a
t
* ∫ R(x , x 2 − a 2 )dx , đặt x = sin
a . (3.1.7)
cos t
Ví dụ 3: Tính tích phân của các hàm số sau:
sin 3 x
a) I = ∫ (x 2 − 3x + 1)5 (2x − 3)dx b) J = ∫ 3
x2
dx (a > 0)
53
- Giải
a) Đặt t = x 2 − 3x + 1 ⇔ dt = (2x − 3)dx .
t6 (x 2 − 3x + 1)6
Khi đó I = ∫ t dt =
5
+C = +C .
6 6
b) Đặt t = 3 x ⇔ t 3 = x ⇔ 3t 2dt = dx .
sin t
Khi đó I = ∫ 2 .3t 2dt = ∫ 3 sin tdt = −3 cos t + C = −3 cos 3 x + C .
t
? Tính các tích phân sau:
dx x +1
a) ∫ tan xdx b) ∫ c) ∫ 3 dx
x ln x + 1 3x + 1
Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I = ∫ a 2 − x 2dx (a > 0)
Giải
π π
Đặt x = a sin t ⇒ dx = a cos tdt , với t ∈ − ; .
2 2
a2
Khi đó I = ∫ a (1 − sin t ).a cos tdt = ∫ a cos tdt =
2 ∫
(1 + cos 2t )dt
2 2 2 2
a2 sin 2t a2 x 1 x
= t + +C = arcsin + 2 a − x + C .
2 2
2 2 2 a 2a
x x
Mà sin t = ⇒ t = arcsin
a a
x
sin 2t = 2 sin t cos t = 2 2 a 2 − x 2
a
a2 arcsin x + 1 x a 2 − x 2 + C .
⇒I =
2 a 2 a2
3.1.2.3. Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u, v là các hàm khả vi. Khi đó, ta có:
∫ udv = uv − ∫ vdu (3.1.8)
54
- Nhận xét: Nếu P (x ) là một đa thức
Đặt
Dạng
u du
sin(ax + b)dx
∫ P(x ) sin(ax + b)dx P (x )
∫ P(x ) cos(ax + b)dx P (x ) cos(ax + b)dx
ax +b
∫ P(x )e dx P (x ) eax +bdx
∫ P(x )arcsin(ax + b)dx P (x ) arcsin(ax + b) P (x )dx
∫ P(x )arccos(ax + b)dx arccos(ax + b) P (x )dx
ln(ax + b) P (x )dx
∫ P(x ) ln(ax + b)dx
ax +b
∫e . sin(ax + b)dx eax +b sin(ax + b)dx
ax +b
∫e . sin(ax + b)dx sin(ax + b) eax +bdx
Ví dụ 5: Tính: a) I = ∫ xcosxdx b) J = ∫ x arctan xdx
Giải:
u = x du = dx
a) Đặt ⇒ .
dv = cos xdx v = sin x
Khi đó I = x sin x − ∫ sin xdx = x sin x + cos x + C .
du = 1 dx
u = arc tan x x2 + 1
b) Đặt ⇒
dv = xdx v=x
2
2
x2 x2 x2
arctan x − ∫ 1 − 2
1 1 1
Khi đó I = arctan x − ∫ 2 dx = dx
2 2 x +1 2 2 x + 1
x2 1 1
= arctan x − x + arctan x + C
2 2 2
Chú ý
- Đối với nhiều tích phân khó thì ta phải đổi biến trước khi lấy tích phân từng
phần.
- Phép lấy tích phân từng phần liên tiếp nhiều khi đưa về tích phân ban đầu.
55
- ? Tính: a) I = ∫ cos xe sin xdx b) I = ∫ e x cos xdx
3.1.3. Tích phân một số hàm thường gặp
3.1.3.1. Tích phân các hàm hữu tỉ
Adx dx
a) ∫ =A∫ = A ln x − a + C .
x −a x −a
Adx −k A
b) ∫ k =A ∫ (x − a ) dx = (x − a )1−k + C .
(x − a ) 1−k
dx
c) ∫ ax + bx + c
2
Nếu ax 2 + bx + c = 0 , có hai nghiệm phân biệt.
Áp dụng công thức
1 1 x −a
∫ x 2 − a 2dx = 2a ln x + a + C
1 1 1 1 1 x −a
hay ∫ (x − a )(x − b)dx = a − b ∫ x − a − x − b dx = a − b ln x + a +C
Nếu ax 2 + bx + c = 0 , có nghiệm kép.
1 1 1
Áp dụng công thức: ∫ 2 dx = − . +C
(ax + b) a ax + b
1 1 1 1 1 x −a
hay ∫ (x − a )(x − b)dx = a − b ∫ x − a − x − b dx = a − b ln x + a +C .
Nếu ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm
1 1 x
Áp dụng công thức: ∫ 2 2 dx = arctan + C .
x +a a a
Ví dụ 6: Tính:
3dx dx dx
a) I = ∫ x 2 − 4x − 5 b) J = ∫ 4x 2 − 4x + 1 c) K = ∫ x 2 + 2x + 2
Giải
3dx dx
a) I = ∫ x 2 − 4x − 5 = 3∫ (x − 5)(x + 1)
.
1 x −5
= ∫
1 1 1
− dx = ln +C
2 x − 5 x + 1 2 x +1
dx dx 1
b) J = ∫ 4x 2 − 4x + 1 = ∫ (2x − 1)2 =−
2(2x − 1)
+C .
56
- dx dx
c) K = ∫ x 2 + 2x + 2 = ∫ (x + 1)2 + 1 = arctan(x + 1) + C .
? Tính
dx dx dx
a) I = ∫ 4x 2 − x − 5 b) J = ∫ x 4 − 4x 2 − 5 c) K = ∫ x 4 − 3x 2
Ax + B
d) ∫ ax 2 + bx + c .dx (A ≠ 0, a ≠ 0) .
Nếu ax 2 + bx + c = 0 , có hai nghiệm phân biệt. Ta dùng phương pháp cân
bằng hệ số đồng bậc, đưa về cách tính như ở mục a).
Nếu ax 2 + bx + c = 0 vô nghiệm hay có nghiệm kép. Ta phân tích
Ax + B A 2ax + b Ab dx
∫ ax + bx + c
2 dx =
2a ∫ ax + bx + c
2 dx + (B −
2a ∫ ax + bx + c
) 2 .
2ax + b
∫ ax 2 + bx + cdx = ln ax + bx + c + C .
2
*
dx
* ∫ ax 2 + bx + c thì tính như ở mục c).
2x − 1 x +1
Ví dụ 7: Tính: a) I = ∫ x − 5x + 6dx
2 b) J = ∫ x + x + 1dx
2
Giải
a) Ta phân tích
2x − 1 A B (A + B )x − 3A − 2B
= + =
x − 5x + 6 x − 2 x − 3
2
(x − 2)(x − 3)
A + B = 2 A = −3
* Cân bằng hệ số đồng bậc, ta được : ⇒ .
−3A − 2B = −1 B = 5
2x − 1 −3 5
I = ∫ x 2 − 5x + 6dx = ∫ x − 2 + x − 3 dx = −3 ln x − 2 + 5 ln x − 3 + C .
x −1 1 (2x + 1) − 3 1 ( 2x + 1) dx 3 dx
b) J = ∫ x 2 + x + 1dx = 2 ∫ x +x +1
2 dx = ∫ 2 − ∫ 2
2 x +x +1 2 x +x +1
1 3 dx 1 3 2x + 1
= ln(x 2 + x + 1) − ∫ 2 = ln(x 2 + x + 1) − arctan +C
2 2 12
3 2 2 3
x + +
2 2
57
- P (x )
e) Tổng quát I = ∫ Q(x ) dx .
Bước 1: Nếu bậc đa thức P (x ) lớn hơn bậc đa thức Q(x ) thì ta chia P (x ) cho
P (x ) p(x )
Q(x ) , ta có: = m(x ) + (trong đó: m(x ) là đa thức và bậc p(x ) < bậc
Q(x ) Q(x )
Q(x ) )
Bước 2: Phân tích mẫu số của phân thức ra các thừa số tuyến tính và bậc 2:
Q(x ) = an (x − a )m (x − b)p ...(x 2 + cx + d )l (x 2 + ex + f )k ...
(trong đó a, b,... ∈ , c 2 − 4d < 0, e 2 − 4 f < 0 và m + p + ... + 2(l + k ) = n ).
p(x )
Bước 3: Phân tích phân thức thành tổng của các phân thức hữu tỉ đơn giản
Q(x )
sau:
p(x ) A1 A2 M1x + N 1 M 2x + N 2 Ml x + N l
= + 2 + ... + 2 + + ... +
( ) (x 2 + px + q )
l
Q(x ) x − a (x − a ) x + px + q x 2 + px + q
2
Bước 4: Xác định các hệ số A1, A2,..., M 1, M 2 ,..., N 1, N 2,... bằng phương pháp
hệ số bất định.
Tích phân các hàm hữu tỉ đơn giản
A
*I =∫ dx = A ln x − a + C .
x −a
A (x − a )−K +1
*J =∫ dx = A. +C .
( x − a )K −K + 1
Mx + N
*K = ∫ x 2 + px + qdx
M 2x + p Mp dx
=
2 ∫ x 2 + px + qdx + (N − 2
)∫ 2
x + px + q
M d (x 2 + px + q ) Mp dx
= ∫ x 2 + px + q + (N − 2 )∫
( )
2
2 p p2
x+ +q −
2 4
p p2
Đặt t = x + ; α2 = q − .
2 4
M Mp dt
⇒K = ln x 2 + px + q + (N − )∫ 2
2 2 t + α2
M Mp 1 t
= ln x 2 + px + q + (N − ) arctan
2 2 α α
58
- p
x+
M Mp 1 2.
= ln x 2 + px + q + (N − ) arctan
2 2 α α
Mx + N Mx + N p p2
*L= ∫ K dx = ∫ K dx với β = ; α =q −
2
.
( x 2 + px + q ) ( x + β )2 + α 2
2 4
x+β Gt + H G d (t 2 + 1)
Đặt t = ta được : L = ∫ 2 dt = ∫ 2 + H .I n ,
α (t + 1)n 2 t +1
dt
với I n = ∫ (t 2 + 1)n được tính theo công thức truy hồi.
x2 − x + 1
Ví dụ 8: Tính I = ∫ (x + 1)(x 2 + x + 1)dx .
Giải * Ta phân tích
x2 − x + 1 A Bx + C (A + B )x 2 + (A + B + C )x + A + C
= + =
(x + 1)(x 2 + x + 1) x + 1 x 2 + x + 1 (x + 1)(x 2 + x + 1)
A + B = 1
A = 3
* Cân bằng hệ số đồng bậc, ta được : A + B + C = −1 ⇔ .
B = C = − 2
A + C = 1
3 −2x − 2
Suy ra I = ∫ dx + ∫ 2 dx
x +1 x +x +1
2x + 1 dx
= 3 ln x + 1 − ∫ 2 dx + ∫ 2
x +x +1 x + x + 1
d (x 2 + x + 1) dx
= 3 ln x + 1 − ∫ −∫
x +x +1
2 2
x + 1 + 3
2
2 2
2x + 1
(
= 3 ln x + 1 − ln x 2 + x + 1 − ) 2
3
arctan
3
+C .
x 2 + 2x − 1 1
? Tính a) I = ∫ x 3 − x 2 + x − 1dx b) J = ∫ x (x − 1)2 dx
ax + b
3.1.3.2. Tích phân các hàm vô tỉ: ∫ R x , n dx .
cx + d
ax + b
Đặt t = n , đưa tích phân đã cho về dạng hàm số hữu tỉ.
cx + d
59
- dx
Ví dụ 9: Tính I = ∫1+ 3 x +1 .
Giải: Đặt t = 3 x + 1 ⇔ t 3 = x + 1 ⇒ 3t 2dt = dx .
3t 2dt 1 t2
Khi đó I = ∫ 1+t ∫ = 3 (t − 1 +
t +1
)dt = 3 − t + ln t + 1 + C .
2
3 ( x + 1)2
= 3 − 3 x + 1 + ln 3 x + 1 + 1 + C
2
ax + b n2 ax + b ax + b
Chú ý : Nếu tích phân có dạng ∫ R x, n 1
cx + d
,
cx + d
,..., nk
cx + d
dx thì ta
ax + b
đổi biến bằng cách đặt t = n với n = BCNN (n1, n2,..., nk ) .
cx + d
dx
Ví dụ 10: Tính I = ∫ x ( 3 x + 1)
. Đặt t = 6 x .
3.1.3.3. Tích phân hàm số lượng giác
Tính I = ∫ R(sin x , cos x )dx , trong đó R(u, v ) là hàm hữu tỉ theo u, v
Phương pháp chung
x 2dt
Đặt t = tan ⇔ x = 2 arctan t ⇒ dx =
2 1 + t2
2t 1 − t2
Áp dụng CT: sin x = ; cos x = (3.1.9)
1 + t2 1 + t2
2t 1 − t 2 2dt
Khi đó I = ∫ R 2, 2 2 . Đây là tích phân hàm hữu tỷ theo biến t .
1 + t 1 + t 1 + t
- Một số trường hợp đặc biệt
x
Bằng phép thế t = tan bao giờ cũng đưa về nguyên hàm của hàm hữu tỷ
2
theo t nhưng nhiều khi phép thế đó đưa đến việc tính toán phức tạp. Với một số
dạng đặc biệt ta có tính toán đơn giản hơn.
Dạng 1: R(− sin x , − cos x ) = R(sin x , cos x ) thì ta đặt t = tan x (hàm chẵn theo
sin x , cosx )
dt
* Đặt t = tan x ⇔ x = arctan t ⇒ dx = .
1 + t2
t2 1
Áp dụng CT: sin x =
2
2 ; cos x =
2
(3.1.10)
1+t 1 + t2
60
- Dạng 2: R(− sin x , cos x ) = −R(sin x , cos x ) thì ta đặt t = cos x (hàm lẻ theo
sin x ).
Dạng 3: R(sin x , − cos x ) = −R(sin x , cos x ) thì ta đặt t = sin x (hàm lẻ theo
cos x )
Ví dụ 11: Tính:
dx dx
a) I = ∫ b) J = ∫
4 sin x + 3 cos x + 5 sin2 x − 3cos2x
sin 3 xdx
c) K = ∫ cos xdx 3
d) L = ∫
cos x
Giải
x 2dt
a) Đặt t = tan ⇒ dx =
2 1 + t2
2dt
1 + t2 2dt
Khi đó I = ∫ =∫ 2
2t 1−t 2
2t + 8t + 8
4 2 +3 2 +5
1+t 1+t
dt −1 −1
=∫ 2 = +C = x +C .
(t + 2) t +2 tan + 2
2
dt
b) Đặt t = tan x ⇔ x = arctan t ⇒ dx = .
1 + t2
dx 1 t− 3 1 tan x − 3
Khi đó J = ∫ t2 − = ln +C = ln +C .
( 3) t+ 3 tan x + 3
2
2 3 2 3
c) Đặt t = sin x ⇔ dt = cos xdx .
K = ∫ cos2 x cos xdx = ∫ (1 − sin2 x ) cos xdx
.
t3 sin 3 x
= ∫ (1 − t )dt = t − + C = sin x +
2
+C
3 3
d) Đặt t = cosx ⇔ dt = − sin xdx .
sin2 x sin xdx (1 − cos2 x ) sin xdx
L= ∫ cos x = ∫ cos x
t −1
2
t2 cos2 x
dt = ∫ t − dt = − ln t + C =
1
=∫ − ln cos x + C
t t 2 2
dx sin2 x + 1
? Tính : a) I = ∫ b) J = ∫ dx
3 + 5 cos x cos4x
sin 3 x dx
c) K = ∫ dx d) L = ∫ sin2 x . cos x
cos2x + 1
61
- Ngoài ra trong một số trường hợp việc áp dụng các công thức lượng giác đã
học giúp ta nhận được kết quả dễ dàng hơn.
Ví dụ 12: Tính I = ∫ sin 5x sin 3xdx .
3.2. Tích phân xác định
Bài toán tính diện tích hình thanh cong
Cho hàm số (C ) : y = f (x ) xác định dương trên [a;b ] , có đồ thị biểu diễn như
hình vẽ
y = f (x )
y B
A
O a x i −1 c i x i b x
Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f (x ); x = a, x = b và trục Ox được
gọi là hình thang cong
Ta tính diên tích hình thang cong AabB đó.
Ta chia đoạn [a;b ] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia:
x 0 = a < x1 < x 2 < ... < x n = b
Tương ứng hình thang cong cũng được chia thành n cột cong nhỏ.
Ta gọi ∆x i đồng thời là đoạn thẳng và là độ dài của đoạn
[x i -1, x i ], i = 1,..., n và d là độ dài lớn nhất của các ∆x i : dn = max {∆x i } .
1≤ i ≤ n
Trên mỗi đoạn ∆x i lấy điểm tuỳ ý ci .
Nếu ∆x i khá bé có thể xem diện tích của cột cong thứ i xấp xỉ với diện tích
của hình chủ nhật có hai kích thước ∆x i ; f (ci ) :
Si = f (ci )∆x i ( Si là cột cong thứ i ).
n
Do đó diện tích S của AabB có thể xấp xỉ với Sn = ∑ f (ci )∆xi
i =1
* Định nghĩa: Diện tích hình thang cong AabB là
n
S = lim
dn → 0
∑ f (ci )∆xi (nếu tồn tại) (3.1.11)
i =1
62
- 3.2.1. Định nghĩa
Giả sử y = f (x ) là hàm số xác định và bị chặn trên [a;b ] .
Chia [a;b ] thành n đoạn nhỏ không giẫm lên nhau bởi các điểm chia
x 0 = a < x1 < x 2 < ... < x n = b . Gọi ∆x i = x i − x i −1, (i = 1; n ) và đặt
dn = max {∆x i } .
1≤ i ≤ n
Trên mỗi đoạn ∆x i lấy điểm tuỳ ý ci và lập tổng tích phân
n
Sn = ∑ f (ci )∆xi .
i =1
Khi n → ∞ thì dn → 0 nếu tồn tại giới hạn S = lim Sn tồn tại không phụ
n →∞
thuộc vào cách chia đoạn [a;b ] và cách lấy điểm ci ∈ ∆x i thì giới hạn này được
b
gọi là tích phân xác định của hàm số f (x ) trên [a;b ] , kí hiệu: ∫ f (x )dx . Khi đó, ta
a
cũng nói f (x ) khả tích trên [a;b ] .
b n
I = ∫ f (x )dx = lim ∑ f (ci )∆x i (3.2.1)
dn →0
a i =1
* Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
b
Diện tích hình thang cong AabB (ở trến) chính là: S = ∫ f (x )dx
a
3.2.2. Tính chất
Cho hàm số f , g khả tích trên [a;b ] . Khi đó
b b b
i) ∫ [ f (x ) ± g(x )]dx = ∫ f (x )dx ± ∫ g(x )dx . (3.2.2)
a a a
b b
ii) ∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx . (3.2.3)
a a
b b
iii) Nếu f (x ) ≤ g (x ) ∀x ∈ [a; b ] thì ta có ∫ f (x )dx ≤∫ g(x )dx . (3.2.4)
a a
a a
iv) Nếu f (x ) là hàm chẵn thì ∫ f (x )dx = 2∫ f (x )dx . (3.2.5)
−a 0
a
v) Nếu f (x ) là hàm lẻ thì ∫ f (x )dx = 0 . (3.2.6)
−a
63
- b c b
vi) Với c ∈ [a; b ] , ta có ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx . (3.2.7)
a a c
3.2.3. Các định lý cơ bản của phép tính tích phân
Định lý 1 (Đạo hàm theo cận trên)
x
Nếu f (x ) liên tục trên [a;b ] thì với x ∈ [a;b ] , hàm số F (x ) = ∫ f (t )dt khả vi
a
x
d
tại x và ta có F '(x ) =
dx ∫ f (t )dt = f (x ) . (3.2.8)
a
ϕ (x ) ′
Hệ quả : ∫ f (t )dt = f [ϕ(x )] ϕ ′(x ) (3.2.9)
a
ψ (x ) ′
f (t )dt = f [ψ (x )]ψ ′(x ) − f [ϕ(x )]ψ ′(x )
ϕ (∫x )
(3.2.10)
x2
∫ sin tdt
L = lim 0 0
Ví dụ 13: Tính giới hạn: 3
x →0 x 0
Giải
x2 ′
∫ sin tdt
0 sin x 2 .2x 2x 3 2
L = lim = lim = lim 2 = lim x = 0 .
( )
3 ′
2
x →0
x
x →0 3x x → 0 3x 3 x →0
Định lý 2 (Công thức Newton – Leibniz)
Nếu f (x ) liên tục trên [a;b ] và F (x ) là một nguyên hàm của f (x ) thì
b
b
∫ f (x )dx = F (x ) a = F (b) − F (a )
a
(3.2.10)
3.2.4. Các phương pháp tính tích phân xác định
Có 2 phương pháp như §1
a) Phương pháp đổi biến số (Nhớ đổi cận)
b
Tính I = ∫ f (x )dx với f là hàm liên tục trên [a;b ] .
a
64
- Qui tắc 1: - Đặt t = ψ (x ) sau đó tính dx theo t và dt .
x = a ⇒ t = α
- Đổi cận: .
x = b ⇒ t = β
- Tính f (x )dx = g(t )dt (theo t )
b β
- Suy ra : I = ∫ f (x )dx = ∫ g(t )dt (3.2.11)
a α
e2 π
dx x sin xdx
Ví dụ 14: Tính a) I = ∫ x ln x
b) J = ∫ 1 + cos2x
e 0
Giải
dx
a) * Đặt t = ln x ⇔ dt = .
x
x = e 2 ⇒ t = 2
* Đổi cận
x = e ⇒ t = 1
2
dt
∫ t = ln t 1 = ln 2 .
2
Khi đó I =
1
b) * Đặt x = π − t ⇔ dx = −dt .
x = π ⇒ t = 0
* Đổi cận
x = 0 ⇒ t = π
(π − t ) sin(π − t )dt (π − t ) sin tdt
1 1
J =∫ =∫
0
1 + cos (π − t )
2
0
1 + cos2t
.
π sin tdt π sin tdt
1 1 1
t sin tdt
= ∫ 1 + cos2t − ∫ 1 + cos2t = ∫ 1 + cos2t − J
0 0 0
π π π
π
sin tdt π d (−cost ) π π2
Suy ra J = ∫
2 0 1 + cos2t 2 ∫0 1 + cos2t 2
= = arctan(cost) =
0 4
π
? e 52
9
ln xdx x dx 2
cos3 xdx
Tính: a) I = ∫x 1 − ln2 x
b) K = ∫ (1 + x 5 )3
d) L = ∫π 3
sin x
1 0 −
2
Qui tắc 2: - Đặt x = ϕ(t ) ⇒ dx = ϕ ′(t )dt .
x = a ⇒ t = α
- Đổi cận: .
x = b ⇒ t = β
65
- b β
- Suy ra : I = ∫ f (x )dx = ∫ f (ϕ(x ))ϕ ′(t )dt (3.2.12)
a α
1
Ví dụ 15: I = ∫ 1 − x 2dx
0
Giải
π π
* Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt , với t ∈ − ; .
2 2
x = 1 ⇒ t = π
2.
* Đổi cận:
x = 0 ⇒ t = 0
π π
π
2
1 + cos2t
2
π
dt = t + sin 2t =
1 1 2
Khi đó I = ∫ cos tdt = ∫2
0 0
2 2 2 0 4
2
?
Tính I = ∫ 4 − x 2dx
0
b) Phương pháp tích phân từng phần
Cho u, v là các hàm có đạo hàm liên tục trên [a;b ] . Khi đó, ta có:
b b
∫ udv = uv
a
b
a − ∫ vdu
a
(3.2.13)
1
Ví dụ 16: I = ∫ (x + 1)e 2xdx
0
Giải
u = x + 1 du = dx
Đặt ⇒ 1 2x .
dv = e 2x dx v= e
2
1 1 1
1 1 1 3 2x 1
Khi đó I = (x + 1) e 2x − ∫ e 2xdx = e 2 − e 2x = e +
2 0 0
2 4 0 4 4
π /3 e
? xdx
Tính: a) I = ∫ b) J = ∫ x ln xdx .
π /4
sin2 x 1
66
- 3.2.5. Ứng dụng của tích phân xác định
a) Diện tích hình phẳng
* Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các đường thẳng x = a , x = b , y = 0
và cung của đồ thị hàm số liên tục y = f (x ) trên [a;b ] được tính theo công thức
b
S = ∫ f (x )dx
a
(3.2.14)
b y y = f (x )
Nếu f (x ) ≥ 0 thì S = ∫ f (x )dx .
a S
O a b x
b
Nếu f (x ) ≤ 0 thì S = − ∫ f (x )dx .
a
Lưu ý: Cho f ( x ) = 0 (1) để tìm nghiệm của nó
(i) Nếu (1) không có nghiệm trên [ a; b ] thì
b b
S = ∫
a
f (x )dx = ∫ f (x )dx
a
(3.2.15)
(ii) Nếu (1) có đúng 1 nghiệm c ∈ [ a; b ] thì
b c b
S = ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx
a a c
(3.2.16)
(iii) Nếu (1) có đúng 2 nghiệm c1 , c2 ∈ [ a; b ] và c1 < c2 thì
b c1 c2 b
S = ∫
a
f (x )dx = ∫ f (x )dx +
a
∫ f (x )dx +
c1
∫ f (x )dx
c2
(3.2.17)
Chú ý: Nếu phương trình đường cong cho dưới dạng x = g(y ) , g(y ) liên tục
trong [c; d ] thì diện tích S được tính theo công thức
d
S = ∫ g(y ) dy
c
(3.2.18)
y y = f1 (x )
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng
S
x = a , x = b và cung của hai đồ thị hàm số liên tục y = f 2 (x )
y = f1(x ); y = f2 (x ) trên [a;b ] được tính theo công thức
O a b x
b
S = ∫ f (x ) − f (x )dx
a
1 2 (3.2.19)
67
- Lưu ý: Để tính tích phân trên ta cũng cho f1(x ) − f2 (x ) = 0 để tìm nghiệm thuộc
[a;b ] , rồi chia tích phân cần tính thành 1 hoặc nhiều tích phân trên các đoạn con của
đoạn [a;b ] .
* Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung có phương trình x = x (t ) , y = y(t ),
a = x (t1 ) , b = y(t2 ), y = 0 thì diện tích là
t2
S = ∫ y(t ).x '(t ) dt
t1
(3.2.20)
Ví dụ 17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C 1 ) : y 2 = 2px và
(C 2 ) : x 2 = 2py p > 0 .
y
Giải
x 2 = 2py
* Tìm giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) :
y 2 = 2px (1)
2 y 2 = 2px
y = 2px
2
p
2 ⇔ x2
x = 2py y = (2) O 2p x
2p
x4 x = 0
2 = 2px ⇒ x − 8 p x = 0 ⇒
4 3
Từ (1) và (2): ⇒
4p x = 2p
2p
x2 4 2
* Diện tích cần tìm là : S = ∫
2 px − dx = p
2p 3
0
x 2 y2
Ví dụ 18: Tính diện tích của (E ) : + = 1. y
a 2 b2
b
Giải
Phương trình tham số của (E) là
x = a cos t -a O a
y = b sin t (0 ≤ t ≤ 2π ) . -b
x
Do tính đối xứng của hình, ta có
π /2 π /2
S =4 ∫ b sin t.(−a sin t ) dt = 4ab ∫ sin2 tdt = π ab
0 0
?
a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 2 = 2x + 1 và x − y − 1 = 0 .
b) Tính diện tích của hình tròn (C ) : x 2 + y 2 = R2 .
68
nguon tai.lieu . vn
