Xem mẫu
- BÀI 7
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
ThS. Đoàn Trọng Tuyến
Trường Đại học Kinh tế Quốc dân
v1.0014105206 1
- TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG
• Giả sử một cái hồ nước có hình dạng một tam giác cong như sau:
y
4 A
x2
y=
0 B x
• Trong đó điểm B có hoành độ x = 20 (m), cạnh cong OA có phương trình y = x2.
Hãy tính diện tích của cái hồ hình tam giác cong này.
v1.0014105206 2
- MỤC TIÊU
• Nắm được định nghĩa tích phân xác định qua công thức Newton – Leibnitz;
• Nắm được ý nghĩa hình học của tích phân xác định;
• Đổi biến thành thạo các dạng tích phân cơ bản, đặc biệt là tích phân các
hàm chứa căn;
• Sử dụng tốt phương pháp tích phân từng phần.
v1.0014105206 3
- NỘI DUNG
Khái niệm tích phân xác định và ý nghĩa hình học
Các tính chất cơ bản của tích phân xác định
Phương pháp đổi biến số
Phương pháp tích phân từng phần
v1.0014105206 4
- 1. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC
1.1. Tích phân xác định của hàm số liên tục
1.2. Ý nghĩa hình học của tích phân xác định
v1.0014105206 5
- 1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
• Định nghĩa: Cho f(x) là hàm số xác định và liên tục trên một khoảng X, a, b là hai số
thực bất kỳ thuộc khoảng X. Tích phân xác định từ a đến b của hàm số f(x) là hiệu số:
F(b) – F(a)
với F(x) là một nguyên hàm bất kỳ của f(x).
• Ký hiệu:
b
b
f(x).dx F(b) F(a) F(x)
a
a
• Công thức trên được gọi là công thức Newton – Leibnitz.
Chú ý: Định nghĩa nêu trên chỉ áp dụng cho hàm liên tục
v1.0014105206 6
- 1.1. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC
Ví dụ:
2
2
x2 3
I1 x.dx
1 2 1 2
6
cos 2x 6 1
I2 sin 2x.dx
0 2 0 4
2
2
dx 1 ln3
I3 .ln 2x 1
1 2x 1 2 2
1
v1.0014105206 7
- 1.2. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
• Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục và không âm trên [a, b].
• Khi đó tích phân xác định của f(x) trên [a, b] là diện tích của hình thang cong AabB
giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b.
y
f (x)
y= B
A b
S f(x).dx
a
a b x
v1.0014105206 8
- 2. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Với giả thiết các tích phân tồn tại, ta có:
a a b
1) f(x)dx 0;
a
f(x)dx f(x)dx
b a
c b b
2) f(x)dx f(x)dx f(x)dx
a c a
b b b
3) f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx
a a a
b b
4) k.f(x)dx k. f(x)dx, k
a a
b b
5) f(x) g(x), x [a;b] f(x)dx g(x)dx
a a
6) Nếu f(x) liên tục trên [a;b] thì tồn tại ít nhất một điểm (a; b) sao cho:
b
f(x)dx f().(b a)
a
v1.0014105206 9
- 3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
b
Xét tích phân: I f(x)dx
a
Đặt x = (t) với t [; ] thỏa mãn các điều kiện:
(t) xác định, liên tục và có các đạo hàm liên tục trên [; ]
() = a; () = b.
Khi đó:
b
I f(x)dx f (t). '(t)dt f(t)dt
a
v1.0014105206 10
- VÍ DỤ 1
2
dx
Tính tích phân I1 1
1 5x 1
• Đặt t 5x 1
t2 1 2t
• Ta có x , dx dt
5 5
• Đổi cận theo t: x = 1 ↔ t = 2; x = 2 ↔ t = 3
• Theo công thức đổi biến ta có:
2 t.dt 2 1
3 3 3
2t.dt
I1 1 .dt
2
5 2
1 t 5 1 t 5 2 1 t
3
2 2 4
t ln 1 t 1 ln
5 2 5 3
v1.0014105206 11
- VÍ DỤ 2 1
2
Tính tích phân I2 1 x 2 .dx
0
• Đặt: x = sin t
• Ta có: dx = cos t. dt
• Đổi cận theo t:
1
x0 t 0; x t
2 4
• Theo công thức đổi biến ta có:
4 4 4
I2 1 sin2 t.cos t.dt cos t.cos t.dt cos2 t.dt
0 0 0
1 1 sin 2t 1
4
0 1 cos 2t .dt t
4
2 2 2 0 8
v1.0014105206 12
- 4. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
Công thức tích phân từng phần trong tích phân xác định có dạng
b b
b
udv uv a vdu
a a
trong đó u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b].
v1.0014105206 13
- VÍ DỤ 1
1
Tính tích phân I1 x.e .dx
3x
0
du dx
u x
Ta đặt: e3 x
dv e .dx v e .dx 3
3x 3x
Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
1 1 1
e3 x 1 1 3x e3 x e3 x 1 2e3
I1 x. e .dx x.
3 0 30 3 0 9 0
9
v1.0014105206 14
- VÍ DỤ 2
x
Tính tích phân I2 x.sin .dx
0 3
u x du dx
Ta đặt: x x x
dv sin .dx v sin .dx 3cos
3 3 3
Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
x
x x x
I2 3x cos 3 cos .dx 3x cos 9 sin
30 0 3 30 30
9 3 3
2
v1.0014105206 15
- GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG
Theo ý nghĩa hình học của tích phân xác định, diện tích của tam giác cong OAB là
20
20
x3 8000
S x .dx
2
2666,67 (m2)
0 3 0
3
v1.0014105206 16
- CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 1
8
dx
Giá trị của là:
1
3
x
A. 9/2
B. 4/3
C. 3/2
D. 5/2
Trả lời:
• Đáp án đúng là: A. 9/2
• Vì: Sử dụng công thức Newton – Leibnitz ta có:
8 8
8
dx 8
3 32
1
3 3 9
1 3 1 x dx x 3 x 2 (4 1)
3
x 2 1 2 1 2 2
→ Chọn đáp án A
v1.0014105206 17
- CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
1
Giá trị của tích phân (x 3e x )2 dx là:
0
7 9 12
A. 2
6 2e e
7 5 1
B. 2
9 3e e
5 4 3
C. 2 2
e 3e 4
7 9 12
D. 2
6 2e e
Trả lời:
Đáp án đúng là: D. 7 9 2 12
6 2e e
v1.0014105206 18
- CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 2
Vì:
1 1
(x 3e ) dx (x 6xe 9e )dx
x 2 2 x 2 x
• Khai triển tích phân
0 0
• Lại có:
1
1
x3 1
0 x dx
2
3 0 3
1
9 2 x 1 9 9
9e dx e (e2 1) (1 e 2 )
2 x
0 2 0
2 2
1
• (Sử dụng tích phân từng phần) 6xe x dx 6[1 2e 1 ]
0
7 9 12
• Tích phân có giá trị là: 2
6 2e e
v1.0014105206 19
- CÂU HỎI TỰ LUẬN
2
x3
Tính tích phân xác định: I dx
1 1 3 x 1
Giải:
x 1 2
Đặt
t 0 1
t 3 x 1 x t 3 1 dx 3t 2 dt
t3 4 2
1
t 4t 2
1 5
I .3t dt 3 dt
0 1 t 0 t 1
1 1
dt
3 [t t t 3t 3]dt 9
4 3 2
0 0 t 1
1
t t 4 t 3 3t 2
5
1
3 3t 9ln t 1 0
5 4 3 2 0
73
9ln 2
20
v1.0014105206 20
nguon tai.lieu . vn
