Xem mẫu
- Mô hình Black-Scholes-
Merton
Chương 13
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition, Copyright © John C. Hull 2005 13.1
- Giả định giá cổ phiếu
Xem xét một cổ phiếu có giá là S
Trong một thời gian ngắn ∆t, lợi nhuận của
cổ phiếu được phân phối chuẩn:
∆S
S
(
≈ φ µ∆t , σ ∆t )
với µ là lợi nhuận kỳ vọng và σ là độ biến
động (độ rủi ro - volatility)
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.2
- Thuộc tính của Logarit chuẩn
(Các phương trình 13.2 và 13.3, trang 282)
Từ giả định trên, ta có:
σ2
ln ST − ln S0 ≈ φ µ − T , σ T
2
or
σ2
ln ST ≈ φln S0 + µ − T , σ T
2
Vìlogarit của ST là logarit chuẩn (log cơ số
10 - ND) nên ST có phân phối logarit
chuẩn.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.3
- Phân phối Log chuẩn
E ( ST ) = S0 e µT
2 2 µT σ 2T
var ( ST ) = S0 e (e − 1)
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
- Suất sinh lợi gộp lãi liên tục, x
( Các phương trình 13.6 và 13.7, trang 283)
ST = S 0 e xT
hoặc
1 ST
x = ln
T S0
hoặc
σ2 σ
x ≈ φ µ −
,
2 T
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.5
- Lợi nhuận kỳ vọng
Giá cổ phiếu kỳ vọng là S0eµT
Suất sinh lợi kỳ vọng của cổ phiếu là
µ – σ2 /2 chứ không phải µ
Nguyên nhân là do
ln[ E ( ST / S 0 )] va E[ln(ST / S 0 )]
không bằng nhau
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.6
- µ và µ−σ 2 /2
Giả sử chúng ta có dữ liệu hàng ngày
trong một giai đoạn vài tháng
m suất sinh lợi trung bình trong m ỗi ngày
[=E(∆S/S)]
m−s2/2 là lợi nhuận kỳ vọng của toàn bộ
giai đoạn tính được từ dữ liệu nói trên
bằng cách gộp lãi liên tục (hoặc gộp hàng
ngày, cũng cho kết quả tương tự).
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.7
- Lợi nhuận của Quỹ Tương hỗ
(Xem Business Snapshot 13.1 trên trang 285)
Giả sử lợi nhuận của các năm liên tục là
15%, 20%, 30%, -20% và 25%
Trung bình cộng của các mức lợi nhuận
trên là 14%
Lợi nhuận sẽ thực sự đạt được trong giai
đoạn 5 năm (trung bình nhân) là 12.4%
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.8
- Độ biến động
Độ biến động là độ lệch chuẩn của tỷ suất
sinh lợi gộp lãi liên tục trong 1 năm
Độ lệch chuẩn của suất sinh lợi trong
khoảng thời gian ∆t là σ ∆t
Nếu giá cổ phiếu là $50 và độ biến động của
nó là 25% một năm thì độ lệch chuẩn của
thay đổi giá trong một ngày là bao nhiêu?
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.9
- Ước tính độ biến động từ các
dữ liệu lịch sử (trang 286-88)
1. Quan sát S0, S1, . . . , Sn trong khoảng
thời gian τ năm
2. Tính suất sinh lợi theo phương pháp
gộp lãi liên tục trong từng khoảng thời
gian như sau: S
i
ui = ln
S i −1
3. Tính độ lệch chuẩn, s , của ui´s s
4. Ước tính độ biến động lịch sử là: σ=
ˆ
τ
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.10
- Bản chất của độ biến động
Độ biến động khi thị trường mở cửa
(nghĩa là khi tài sản đang được giao dịch)
thường lớn hơn rất nhiều so với khi thị
trường đóng cửa.
Vì lý do này, khi định giá quyền ch ọn, th ời
gian thường được tính bằng “ngày làm
việc (trading days)” chứ không phải là
ngày lịch.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.11
- Khái niệm về Black-Scholes trên tài
sản cơ sở
Giá quyền chọn và giá cổ phiếu cùng phụ
thuộc vào tính không chắc chắn của tài sản
cơ sở.
Chúng ta lập một danh mục gồm cổ phiếu và
quyền chọn, danh mục này có thể loại bỏ sự
không chắc chắn kể trên.
Danh mục trở thành phi rủi ro và ngay lập tức
phải đạt được lãi suất phi rủi ro.
Điều này dẫn tới phương trình vi phân Black-
Scholes.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.12
- Kết quả của Phương trình vi phân Black-
Scholes
∆S = µS ∆t + σS ∆z
∂ ƒ ∂ƒ ∂ 2ƒ 2 2 ∂ƒ
∆ƒ = µS + +½ 2 σ S ∆t + σS ∆z
∂S ∂t ∂S ∂S
Chúng ta lập một danh mục gồm
− 1 : sản phẩm phái sinh
∂ƒ
+ : cổ phiếu
∂S
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.13
- Kết quả của Phương trình vi phân Black-
Scholes tiếp theo
Giá trị của danh mục Π duoc cho bởi
∂ƒ
Π = −ƒ + S
∂S
Thay đổi giá trị của danh mục trong
khoảng thời gian ∆t được cho bởi
∂ƒ
∆Π = −∆ ƒ + ∆S
∂S
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.14
- Kết quả của Phương trình vi phân Black-
Scholes tiếp theo
Lợi nhuận của danh mục phải là lãi suất phi rủi ro.
Do vậy
∆Π = r Π∆t
Chúng ta thay ∆f và ∆S vào những phương trình này để có
được phương trình vi phân Black-Scholes:
∂ƒ ∂ƒ ∂ 2ƒ
+ rS + ½ σ 2S 2 = rƒ
∂t ∂S ∂S 2
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.15
- Phương trình vi phân
Bất kỳ chứng khoán nào có giá phụ thuộc vào giá
cổ phiếu sẽ thỏa mãn phương trình vi phân này.
Chứng khoán đang được định giá này sẽ được xác
định bởi các điều kiện giới hạn (boundary
conditions) của phương trình vi phân nói trên.
Trong hợp đồng kỳ hạn, điều kiện giới hạn là
ƒ = S – K với t =T
Đáp số của phương trình này là ƒ = S – K e–r (T – t )
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.16
- Các công thức The Black-Scholes
(Xem các trang 295-297)
c = S 0 N (d1 ) − K e − rT N (d 2 )
p = K e − rT N (− d 2 ) − S 0 N (− d1 )
ln(S 0 / K ) + (r + σ 2 / 2)T
với d1 =
σ T
ln(S 0 / K ) + (r − σ 2 / 2)T
d2 = = d1 − σ T
σ T
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.17
- Hàm N(x)
N(x) là xác suất mà biến của nó được
phân phối chuẩn có trung bình bằng 0 và
độ lệch chuẩn bằng 1, nhỏ hơn x
Xem các bảng ở cuối cuốn sách này.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.18
- Các thuộc tính của công thức Black-
Scholes
Khi S0 trở nên rất lớn thì c có xu hướng
tiến tới S – Ke-rT và p có xu hướng tiến tới
0
Khi S0 trở nên rất nhỏ thì c có xu hướng
tiến tới 0 và p có xu hướng tiến tới Ke-rT – S
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.19
- Phương pháp định giá trung lập
với rủi ro
Biến µ không xuất hiện trong phương trình
Black-Scholes
Phương trình này không phụ thuộc vào những
biến bị tác động bởi yếu tố thích rủi ro.
Do vậy, phương trình vi phân này sẽ cho ra
kết quả giống như trong thế giới không có rủi
ro mặc dù nó đang ở trong thế giới thực
Điều này dẫn tới nguyên lý định giá trung lập
với rủi ro.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6th Edition,
13.20
nguon tai.lieu . vn
