Xem mẫu
3
Đối xứng trong nghệ thuật
Hình 3.1: Mái nhà thờ Sagrada Familia ở Barcelona (Tây Ban Nha),
do nghệ sĩ kiến trúc sư Antonio Gaudí (1852–1926) thiết kế, nhìn từ
bên trong gian giữa. Nguồn: wikipedia.
59
Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật
Các hình đối xứng là các hình có sự giống nhau giữa các
phần, tức là chúng tuân thủ nguyên lý lặp đi lặp lại của cái
đẹp. Chính bởi vậy mà trong nghệ thuật, và trong cuộc sống
hàng ngày, chúng ta gặp rất nhiều hình đối xứng đẹp mắt.
Ngay các bài thơ, bản nhạc cũng có sự đối xứng. Tuy nhiên
chương này sẽ chỉ bàn đến đối xứng trong các nghệ thuật thị
giác (visual arts).
Các phép đối xứng
Hình 3.2: Mặt nước phản chiếu tạo hình ảnh với đối xứng gương.
Trong toán học có định lý sau: Mọi phép biến đổi bảo toàn
khoảng cách trong không gian bình thường của chúng ta (tức
là không gian Euclid 3 chiều hoặc trên mặt phẳng 2 chiều) đều
thuộc một trong bốn loại sau:
60
Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật
1) Phép đối xứng gương (mirror symmetry), hay còn gọi là
phép phản chiếu (reflection): trong không gian 3 chiều thì là
phản chiếu qua một mặt phẳng nào đó, còn trên mặt phẳng
thì là phản chiếu qua một đường thẳng.
2) Phép quay (rotation): trong không gian 3 chiều thì là
quay quanh một trục nào đó, còn trên mặt phẳng thì là quay
quanh một điểm nào đó, theo một góc nào đó.
Hình 3.3: Con sao biển có cả đối xứng gương lẫn đối xứng quay một
phần năm vòng tròn. Có những loại sao biển có n chân với n > 5
(thậm chí với n = 18), và khi đó nó đối xứng quay theo góc 2π/n.
3) Phép tịnh tiến (translation): dịch chuyển tất cả các điểm
đi cùng một khoảng cách theo cùng một hướng nào đó. Như
kiểu ánh xạ τ : (x, y) 7→ (x + T, y) trên mặt phẳng, dịch chuyển
các điểm theo hướng của trục x một đoạn có độ dài bằng T .
61
Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật
Hình 3.4: Đường viền sư tử tại thành cổ Persepolis (Iran).
4) Phép lượn (glide), là kết hợp của một phép đối xứng
gương và một phép tịnh tiến theo hướng song song với trục
giữa hay mặt giữa của đối xứng gương đó. Như kiểu ánh xạ
T
g : (x, y) 7→ (x + , −y) là kết hợp của phép đối xứng gương
2
T
biến y thành −y và phép tịnh tiến biến x thành x + . Chú ý
2
rằng nếu chúng ta thực hiện liên tiếp một phép lượn hai lần
thì lại được một phép tịnh tiến.
Hình 3.5: Một dải gỗ trang trí, từ invitinghome.com.
62
Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật
Định lý trên không quá khó, và có thể dùng làm bài tập thú
vị cho học sinh THCS (trường hợp 2 chiều) và THPT (trường
hợp 3 chiều).
Nếu chúng ta có một hình (hai chiều hoặc ba chiều), và có
một trong các phép biến đổi như trên bảo toàn hình đó (tức
là đổi chỗ các điểm của hình cho nhau nhưng biến hình vào
chính nó), thì ta gọi đó là một phép đối xứng của hình. Tất
nhiên, ta luôn có một phép đối xứng tầm thường, tức là phép
giữ nguyên tất cả các điểm. Nhưng khi nói đến đối xứng, người
ta thường hiểu là phép đối xứng không tầm thường. Nếu một
hình có ít nhất một phép đối xứng không tầm thường, thì được
gọi là một hình đối xứng. Hình nào mà có càng nhiều phép đối
xứng, thì hình đó càng đối xứng.
Phép tịnh tiến và phép lượn khác phép phản chiếu và phép
quay ở chỗ nếu ta cứ lặp đi lặp lại cùng một phép tịnh tiến hay
phép lượn lên một điểm ban đầu nào đó, thì điểm đó sẽ chạy
dần ra vô cùng. Bởi vậy nếu nói một cách chặt chẽ thì không
có một phép tịnh tiến hay phép lượn nào có thể bảo toàn một
vật hay một hình hữu hạn. Nhưng nếu ta chấp nhận là phép
tịnh tiến không cần được thực hiện trên toàn bộ hình mà chỉ
trên một phần của hình, hoặc ta hình dung rằng hình có thể
được trải dài nối tiếp ra đến vô cùng, thì các phép tịnh tiến và
phép lượn cũng trở thành phép đối xứng, theo nghĩa mở rộng.
Hình 3.4 khắc họa những con sư tử trên tường thành phố
cổ Persepolis ở Iran là một ví dụ về phép đối xứng tịnh tiến
theo nghĩa mở rộng: vector tịnh tiến ở đây là vector nối từ mũi
63
nguon tai.lieu . vn
Đối xứng trong nghệ thuật
Hình 3.1: Mái nhà thờ Sagrada Familia ở Barcelona (Tây Ban Nha),
do nghệ sĩ kiến trúc sư Antonio Gaudí (1852–1926) thiết kế, nhìn từ
bên trong gian giữa. Nguồn: wikipedia.
59
Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật
Các hình đối xứng là các hình có sự giống nhau giữa các
phần, tức là chúng tuân thủ nguyên lý lặp đi lặp lại của cái
đẹp. Chính bởi vậy mà trong nghệ thuật, và trong cuộc sống
hàng ngày, chúng ta gặp rất nhiều hình đối xứng đẹp mắt.
Ngay các bài thơ, bản nhạc cũng có sự đối xứng. Tuy nhiên
chương này sẽ chỉ bàn đến đối xứng trong các nghệ thuật thị
giác (visual arts).
Các phép đối xứng
Hình 3.2: Mặt nước phản chiếu tạo hình ảnh với đối xứng gương.
Trong toán học có định lý sau: Mọi phép biến đổi bảo toàn
khoảng cách trong không gian bình thường của chúng ta (tức
là không gian Euclid 3 chiều hoặc trên mặt phẳng 2 chiều) đều
thuộc một trong bốn loại sau:
60
Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật
1) Phép đối xứng gương (mirror symmetry), hay còn gọi là
phép phản chiếu (reflection): trong không gian 3 chiều thì là
phản chiếu qua một mặt phẳng nào đó, còn trên mặt phẳng
thì là phản chiếu qua một đường thẳng.
2) Phép quay (rotation): trong không gian 3 chiều thì là
quay quanh một trục nào đó, còn trên mặt phẳng thì là quay
quanh một điểm nào đó, theo một góc nào đó.
Hình 3.3: Con sao biển có cả đối xứng gương lẫn đối xứng quay một
phần năm vòng tròn. Có những loại sao biển có n chân với n > 5
(thậm chí với n = 18), và khi đó nó đối xứng quay theo góc 2π/n.
3) Phép tịnh tiến (translation): dịch chuyển tất cả các điểm
đi cùng một khoảng cách theo cùng một hướng nào đó. Như
kiểu ánh xạ τ : (x, y) 7→ (x + T, y) trên mặt phẳng, dịch chuyển
các điểm theo hướng của trục x một đoạn có độ dài bằng T .
61
Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật
Hình 3.4: Đường viền sư tử tại thành cổ Persepolis (Iran).
4) Phép lượn (glide), là kết hợp của một phép đối xứng
gương và một phép tịnh tiến theo hướng song song với trục
giữa hay mặt giữa của đối xứng gương đó. Như kiểu ánh xạ
T
g : (x, y) 7→ (x + , −y) là kết hợp của phép đối xứng gương
2
T
biến y thành −y và phép tịnh tiến biến x thành x + . Chú ý
2
rằng nếu chúng ta thực hiện liên tiếp một phép lượn hai lần
thì lại được một phép tịnh tiến.
Hình 3.5: Một dải gỗ trang trí, từ invitinghome.com.
62
Chương 3. Đối xứng trong nghệ thuật
Định lý trên không quá khó, và có thể dùng làm bài tập thú
vị cho học sinh THCS (trường hợp 2 chiều) và THPT (trường
hợp 3 chiều).
Nếu chúng ta có một hình (hai chiều hoặc ba chiều), và có
một trong các phép biến đổi như trên bảo toàn hình đó (tức
là đổi chỗ các điểm của hình cho nhau nhưng biến hình vào
chính nó), thì ta gọi đó là một phép đối xứng của hình. Tất
nhiên, ta luôn có một phép đối xứng tầm thường, tức là phép
giữ nguyên tất cả các điểm. Nhưng khi nói đến đối xứng, người
ta thường hiểu là phép đối xứng không tầm thường. Nếu một
hình có ít nhất một phép đối xứng không tầm thường, thì được
gọi là một hình đối xứng. Hình nào mà có càng nhiều phép đối
xứng, thì hình đó càng đối xứng.
Phép tịnh tiến và phép lượn khác phép phản chiếu và phép
quay ở chỗ nếu ta cứ lặp đi lặp lại cùng một phép tịnh tiến hay
phép lượn lên một điểm ban đầu nào đó, thì điểm đó sẽ chạy
dần ra vô cùng. Bởi vậy nếu nói một cách chặt chẽ thì không
có một phép tịnh tiến hay phép lượn nào có thể bảo toàn một
vật hay một hình hữu hạn. Nhưng nếu ta chấp nhận là phép
tịnh tiến không cần được thực hiện trên toàn bộ hình mà chỉ
trên một phần của hình, hoặc ta hình dung rằng hình có thể
được trải dài nối tiếp ra đến vô cùng, thì các phép tịnh tiến và
phép lượn cũng trở thành phép đối xứng, theo nghĩa mở rộng.
Hình 3.4 khắc họa những con sư tử trên tường thành phố
cổ Persepolis ở Iran là một ví dụ về phép đối xứng tịnh tiến
theo nghĩa mở rộng: vector tịnh tiến ở đây là vector nối từ mũi
63