Xem mẫu
- øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2
I. KI N TH C C N NH x 2 + mx + 2 = 2 x + 1
Cho hàm s y = f ( x ) liên t c trên t p D
1
2 x + 1 ≥ 0
x ≥ −
1. Phương trình f ( x ) = m có nghi m x ∈ D ⇔ 2 2 ⇔ 2
⇔ min f ( x ) ≤ m ≤ max f ( x ) x + mx + 2 = ( 2 x + 1)
mx = 3x 2 + 4 x − 1(*)
x∈D x∈D
2. B t phương trình f ( x ) ≤ m có nghi m x ∈ D Xét phương trình (*)
⇔ min f ( x ) ≤ m + x = 0 ⇒ 0.x = −1 , phương trình này vô
x∈D nghi m. Nghĩa là không có giá tr nào c a m ñ
3. B t phương trình f ( x ) ≤ m có nghi m ñúng phương trình có nghi m x = 0
v i x ∈ D ⇔ max f ( x ) ≤ m 1
+ x ≠ 0 ⇒ 3 x + 4 − = m . Ta xét hàm s
x∈D
x
4. B t phương trình f ( x ) ≥ m có nghi m x ∈ D 1 1
f ( x ) = 3 x + 4 − trên t p − ; +∞ \ {0}
⇔ max f ( x ) ≥ m x 2
x∈D
5. B t phương trình f ( x ) ≥ m có nghi m ñúng 1 1
Ta có f ' ( x ) = 3 + 2 > 0 v i ∀x ∈ − ; +∞ \ {0} ,
x 2
v i x ∈ D ⇔ min f ( x ) ≥ m
x∈D 1
II. PHƯƠNG PHÁP GI I suy ra hàm s f ( x ) = 3 x + 4 − ñ ng bi n trên
x
ð gi i bài toán tìm giá tr c a tham s m sao
1
cho phương trình, b t phương trình, h phương trình − 2 ; +∞ \ {0}
có nghi m ta làm như sau:
1. Bi n ñ i phương trình, b t phương trình v d ng: 1
lim f ( x ) = lim 3 x + 4 − = m∞ ;
f ( x ) = g ( m ) ( ho c f ( x ) ≥ g ( m ) ; f ( x ) ≤ g ( m ) ) x→0 ±
x →0
±
x
2. Tìm TXð D c a hàm s y = f ( x ) 1
lim f ( x ) = lim 3 x + 4 − = +∞
3. L p b ng bi n thiên c a hàm s y = f ( x) trên
x →+∞ x →+∞
x
Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x )
D
4. Tìm min f ( x ) ; max f ( x ) x −1 / 2 0 +∞
x∈D x∈D
f’(x) + +
5. V n d ng các ki n th c c n nh bên trên suy ra
giá tr m c n tìm +∞ +∞
Lưu ý: Trong trư ng h p PT, BPT, HPT ch a các 9
bi u th c ph c t p ta có th ñ t n ph : f(x)
2
+ ð t t = ϕ ( x ) ( ϕ ( x ) là hàm s thích h p có m t
trong f ( x ) )
−∞
+ T ñi u ki n ràng bu c c a x ∈ D ta tìm ñi u
ki n t ∈ K S nghi m c a phương trình (1) b ng s giao ñi m
+ Ta ñưa PT, BPT v d ng f ( t ) = h ( m ) ( ho c 1
c a ñ th hàm s f ( x ) = 3 x + 4 − và ñư ng th ng
f (t ) ≥ h ( m) ; f (t ) ≤ h ( m) ) x
1
+ L p b ng bi n thiên c a hàm s y = f (t ) trên y = m trên mi n − ; +∞ \ {0}
2
K D a vào b ng bi n thiên ta ñư c giá tr c a m th a
+ T b ng bi n thiên ta suy ra k t lu n c a bài toán
9
III. M T S VÍ D MINH H A mãn yêu c u bài toán là m ≥
2
Ví d 1.(B-06). Tìm m ñ phương trình sau có 2 Ví d 2. Tìm m ñ phương trình
nghi m th c phân bi t m ( )
x 2 − 2 x + 2 + 1 + x ( 2 − x ) ≤ 0 có nghi m
x 2 + mx + 2 = 2 x + 1
Gi i: thu c 0;1 + 3
Gi i:
ð t t = x2 − 2 x + 2 ⇒ − x ( 2 − x ) = t 2 − 2 .
http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 1
- øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2
Khi ñó b t phương trình tr thành: 1 1 1 1 1 1
= . + − . −
m ( t + 1) ≤ t 2 − 2 (*) 2 4 ( 2 x )3 2 x 2 4 ( 6 − x )3 6− x
x −1
Ta có t ' = ,t ' = 0 ⇔ x =1
x − 2x + 2 2 1 1
= . −
1 + 1 − 1
2 4 ( 2 x )3 2x
6− x
(6 − x)
3
Ta có b ng bi n thiên : 4
x 0 1 1+ 3
1 1 1 1 1 1
t’ - 0 + = . 4 − 4 + +
2 2x 6 − x 4 ( 2x ) 2
( ) 4 ( 6 − x)2
4 2x 6 − x
2
t
2 1 1 1 1
+ 4 −4 4 +4
2x 6 − x 2x 6− x
1
1 1 1 1 1 1 1 1
t −2
2
= 4 − 4 + + + +
T ñó ta có 1 ≤ t ≤ 2 , t (*) suy ra m ≤ (1) 2x 6−x 2 4 ( 2x)2 4 2x( 6−x) 4 ( 6−x)2 4 2x 4 6−x
t +1
t2 − 2 ta có
Xét hàm s f (t ) = trên t p [1; 2]
t +1
1 1
+
1
+
1 + 1 + 1 > 0
( t + 1) + 1 > 0 v
2
Ta có f ' ( t ) = i ∀t ∈ [1; 2] 2 4
( 2x )
2 4 2x (6 − x) 4
(6 − x)
2 4 2x 4 6 − x
( t + 1)
2
v i ∀x ∈ ( 0;6 )
Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f (t )
f '( x) = 0 ⇔ 4 2x = 4 6 − x ⇔ 2x = 6 − x ⇔ x = 2
t 1 2
Ta có b ng bi n thiên
f’(t) +
2 x 0 2 6
f(t) 3 -
f’(x) + 0
1
f(x) 3 2 +6
2
B t phương trình ñã cho có nghi m 24 6 + 2 6
x ∈ 0;1 + 3 ⇔ b t phương trình (1) có nghi m
4
12 + 2 3
2
t ∈ [1; 2] ⇔ m ≤ max f ( t ) = f ( 2 ) = S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao
[1;2] 3
ñi m c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng
Ví d 3.(A-08). Tìm m ñ phương trình sau có 2 y = m trên mi n [ 0;6 ]
nghi m th c phân bi t
D a vào b ng bi n thiên ta ñư c giá tr c a m th a
4
2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m ( m ∈ ¡ )
mãn yêu c u bài toán là 2 4 6 + 2 6 ≤ m < 3 2 + 6
Gi i
ði u ki n: 0 ≤ x ≤ 6 Ví d 4.(B-07) Ch ng minh r ng v i m i giá tr
Xét hàm s f ( x) = 4 2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x dương c a tham s m, phương trình sau có 2
trên t p [ 0;6] nghi m th c phân bi t:
Ta có x2 + 2 x − 8 = m ( x − 2)
1 1 1 1
Gi i: ði u ki n: do m > 0 ⇒ x ≥ 2 . Ta có:
f ( x) = ( 2x)4 + ( 2x)2 + 2 (6 − x)4 + 2 (6 − x)2
3 1
x2 + 2 x − 8 = m ( x − 2)
1 1
f '( x) = ( 2 x ) 4 .2 + ( 2 x ) 2 .2 +
− −
4 2 ⇔ ( x − 2 )( x + 4 ) = m ( x − 2 )
3 1
1 1
2. ( 6 − x ) 4 . ( −1) + 2. ( 6 − x ) 2 . ( −1)
− −
x = 2
4 2 ⇔
( x − 2 )( x + 4 ) = m (*)
2
http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 2
- øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2
Nh n th y phương trình ñã cho luôn có 1 nghi m Thay x = 0 vào phương trình (*) ñư c: 1 = - 1. V y
x = 2 , ñ ch ng minh khi m > 0 phương trình ñã phương trình (*) vô nghi m. Suy ra f ' ( x ) ch mang
cho có 2 nghi m th c phân bi t ta c n ch ra phương
1 d u (không ñ i d u), có
trình (*) luôn có m t nghi m th c x > 2 khi m > 0
f ' ( 0 ) = 1 > 0 ⇐ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡
f ( x ) = ( x − 2 )( x + 4 ) = x 3 + 6 x 2 − 32
2
Xét hàm s Ta có
trên t p ( 2; +∞ ) lim f ( x ) = lim
x →+∞ x →+∞
( x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 )
Ta có f ' ( x ) = 3 x + 12 x > 0 v i ∀x > 2
2
4x
= lim
6 32 x →+∞
x + 2 x + 4 + x2 − 2 x + 4
lim f ( x ) = lim x 3 1 + − 3 = +∞
2
x →+∞ x →+∞
x x 4
= lim =2
Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x ) x →+∞ 2 4 2 4
1+ + 2 + 1− + 2
x x x x
x 2
f’(x) +
+∞
lim f ( x ) = lim
x →−∞ x →−∞
( x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 )
4x
+∞ = lim
x →−∞
f(x) x + 2 x + 4 + x2 − 2 x + 4
2
4
= lim = −2
x →−∞ 2 4 2 4
0 − 1+ + 2 − 1− + 2
x x x x
S nghi m c a phương trình (*) b ng s giao ñi m Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f ( x )
c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng y = m
x -∞ +∞
trên mi n ( 2; +∞ )
f’(x) +
D a vào b ng bi n thiên ta suy ra khi m > 0 thì
phương trình (*) luôn có 1 nghi m x > 2 2
f(x)
V y v i m > 0 thì phương trình ñã cho luôn có 2
nghi m th c phân bi t
Ví d 5. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m: -2
x2 + 2 x + 4 − x2 − 2 x + 4 = m S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao
Gi i: ñi m c a ñ th hàm s y = f ( x ) và ñư ng th ng
Vì x 2 ± 2 x + 4 = ( x ± 1) + 3 ≥ 3 > 0, ∀x ∈ ¡ nên
2
y = m trên ¡
TXð: D = ¡ D a vào b ng bi n thiên ta suy ra phương trình có
Xét hàm s f ( x ) = x 2 + 2 x + 4 − x 2 − 2 x + 4 trên nghi m ⇔ −2 < m < 2
¡
Ví d 6. Tìm m ñ h phương trình sau có nghi m
Ta có:
x +1 x −1 x 2 − 3x − 4 ≤ 0
f '( x) = − 3
x − 3 x x − m − 15m ≥ 0
2
x + 2x + 4
2
x − 2x + 4
2
x +1 x −1 Gi i:
f '( x) = 0 ⇔ − =0
x + 2x + 4
2
x − 2x + 4
2 Ta có: x 2 − 3 x − 4 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4 .
H phương trình ñã cho có nghi m
⇔ ( x + 1) x 2 − 2 x + 4 = ( x − 1) x 2 + 2 x + 4 (*)
⇔ x3 − 3 x x − m 2 − 15m ≥ 0 có nghi m x ∈ [ −1; 4]
⇒ ( x + 1) ( x 2 − 2 x + 4 ) = ( x − 1) ( x 2 + 2 x + 4 )
2 2
⇔ x3 − 3 x x ≥ m 2 + 15m có nghi m x ∈ [ −1; 4]
⇔ x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 + 2 x3 − 4 x 2 + 8 x + x 2 − 2 x + 4 = x 3 + 3 x 2 khi − 1 ≤ x < 0
x 4 + 2 x3 + 4 x 2 − 2 x3 − 4 x2 − 8x + x 2 + 2 x + 4 ð t f ( x) = x − 3 x x = 3
3
x − 3 x khi 0 ≤ x ≤ 4
2
⇔ x=0
Ta có
http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 3
- øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2
2
3 x + 6 x khi − 1 < x < 0 S nghi m c a phương trình ñã cho b ng s giao
f '( x) = 2 ñi m c a ñ th hàm s y = f ( t ) và ñư ng th ng
3 x − 6 x khi 0 < x < 4
f ' ( x ) = 0 ⇔ x = 0; x = ±2 y = m trên − 2; 2
Ta có b ng bi n thiên : D a vào b ng bi n thiên ta suy ra phương trình có
nghi m ⇔ −1 ≤ m ≤ 1
x -1 0 2 4
f’(x) - 0 - 0 + Ví d 8: Tìm m ñ b t phương trình sau có
16 nghi m: mx − x − 3 ≤ m + 1 (1)
f(x) Gi i:
2 ð t t = x − 3 ≥ 0 ⇒ x = t 2 + 3 . Khi ñó b t phương
trình tr thành:
-4 m ( t 2 + 3) − t ≤ m + 1 ⇔ m ( t 2 + 2 ) ≤ t + 1
f ( x ) ≥ m 2 + 15m có nghi m x ∈ [ −1; 4] t +1
⇔ ≥ m (*)
⇔ max f ( x ) ≥ m 2 + 15m ⇔ 16 ≥ m 2 + 15m t2 + 2
[ −1;4] t +1
Xét hàm s f (t ) = trên ( 0; +∞ )
⇔ m + 15m − 16 ≤ 0 ⇔ −16 ≤ m ≤ 1
2
t2 + 2
V y h phương trình ñã cho có nghi m −t 2 − 2t + 2
⇔ −16 ≤ m ≤ 1 Ta có: f ' ( t ) =
(t + 2)
2 2
Ví d 7. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m: f ' ( t ) = 0 ⇔ −t 2 − 2t + 2 = 0 ⇔ t = −1 ± 3
sin 3 x + cos3 x = m
1
Gi i 1+
sin3 x + cos3 x = m ⇔ ( sin x + cos x )(1 − sin x.cos x ) = m lim f ( t ) = lim t =0
x →+∞ x →+∞ 2
π t+
ð t t = sin x + cos x = 2.sin x + , − 2 ≤ t ≤ 2 t
4 Ta có b ng bi n thiên c a hàm s f (t )
Khi ñó: t = sin x + cos x ⇒ t = ( sin x + cos x )
2 2
t 0 −1 + 3 +∞
t 2 −1 f’(t) + 0 -
⇒ sin x.cos x =
2
Phương trình tr thành: f(t) 3 +1
1
t 2 −1 1 3 3 4
t 1 − =m⇔− t + t=m 2
2 2 2
0
1 3
Xét hàm s f ( t ) = − t 3 + t trên t p − 2; 2
D a vào b ng bi n thiên ta suy ra b t phương trình
2 2 (1) có nghi m ⇔ b t phương trình (*) có nghi m
3 3
Ta có: f ' ( t ) = − t 2 + 3 +1
2 2 t > 0 ⇔ max f ( t ) ≥ m ⇔ m ≤
( 0;+∞ ) 4
3 3
f ' ( t ) = 0 ⇔ − t 2 + = 0 ⇔ t = ±1 Ví d 9.(A-07) Tìm m ñ phương trình sau có
2 2
Ta có b ng bi n thiên: nghi m: 3 x −1 + m x + 1 = 2 4 x2 −1
Gi i:
t - 2 -1 1 2 ði u ki n: x ≥ 1
f’(t) - 0 + 0 - 3 x −1 + m x + 1 = 2 4 x2 −1
f(t) 1 x −1 x −1
⇔ −3 + 24 = m (1)
2 x +1 x +1
2
− 2 x −1
2 ð tt=4 , khi ñó phương trình (1) tr thành:
-1 x +1
−3t 2 + 2t = m (*)
http://ebook.here.vn – Thư vi n Sách Online 4
- øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè trÇn m¹nh s©m – thpt l¹ng giang sè 2
2 t2 − 9
Ta có x ≥1 ⇒ t ≥ 0 và t = 1−
4
nguon tai.lieu . vn
