Xem mẫu
- Nguy n Tu n Anh
Tuy n t p các đ thi đ i h c
2002-2012
theo ch đ
Trư ng THPT Sơn Tây
- M cl c
1 Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 3
1.1 Phương trình và b t phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Phương trình, b t phương trình h u t và vô t . . . . . . . 3
1.1.2 Phương trình lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Phương trình,b t phương trình mũ và logarit . . . . . . . . 8
1.2 H Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Phương pháp hàm s , bài toán ch a tham s . . . . . . . . . . . . 12
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 B t đ ng th c 17
2.1 B t đ ng th c . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Giá tr nh nh t- Giá tr l n nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Nh n d ng tam giác . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Đáp s . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Hình h c gi i tích trong m t ph ng 22
3.1 Đư ng th ng . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Đư ng tròn . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Cônic . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4 T h p và s ph c 30
4.1 Bài toán đ m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
- 4.2 Công th c t h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Đ ng th c t h p khi khai tri n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 H s trong khai tri n nh th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 S ph c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Kh o sát hàm s 36
5.1 Ti p tuy n . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.2 C c tr . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.3 Tương giao đ th . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.4 Bài toán khác .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Đáp s . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Hình h c gi i tích trong không gian 44
6.1 Đư ng th ng và m t ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6.2 M t c u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.3 Phương pháp t a đ trong không gian . . . . . . . . . . . . . . . 51
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Tích phân và ng d ng 57
7.1 Tính các tích phân sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Tính di n tích hình ph ng đư c gi i h n b i các đư ng sau: . . . . 59
7.3 Tính th tích kh i tròn xoay đư c t o b i hình ph ng (H) khi quay
quanh Ox. Bi t (H) đư c gi i h n b i các đư ng sau: . . . . . . . 59
Đáp S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
- Chương 1
Phương trình-B t PT-H PT-H
BPT
1.1 Phương trình và b t phương trình . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Phương trình, b t phương trình h u t và vô t . . . . . 3
1.1.2 Phương trình lư ng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Phương trình,b t phương trình mũ và logarit . . . . . . 8
1.2 H Phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Phương pháp hàm s , bài toán ch a tham s . . . . . . . . 12
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Phương trình và b t phương trình
1.1.1 Phương trình, b t phương trình h u t và vô t
Bài 1.1 (B-12). Gi i b t phương trình
√ √
x + 1 + x2 − 4x + 1 ≥ 3 x.
Bài 1.2 (B-11). Gi i phương trình sau:
√
√ √
3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 10 − 3x (x ∈ R)
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 4
Bài 1.3 (D-02). Gi i b t phương trình sau:
√
(x2 − 3x) 2x2 − 3x − 2 ≥ 0.
Bài 1.4 (D-05). Gi i phương trình sau:
√ √
x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4.
2
Bài 1.5 (D-06). Gi i phương trình sau:
√
2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0. (x ∈ R)
Bài 1.6 (B-10). Gi i phương trình sau:
√ √
3x + 1 − 6 − x + 3x2 − 14x − 8 = 0.
Bài 1.7 (A-04). Gi i b t phương trình sau:
2(x2 − 16) √ 7−x
√ + x−3> √ .
x−3 x−3
Bài 1.8 (A-05). Gi i b t phương trình sau:
√ √ √
5x − 1 − x − 1 > 2x − 4.
Bài 1.9 (A-09). Gi i phương trình sau:
√ √
2 3 3x − 2 + 3 6 − 5x − 8 = 0.
Bài 1.10 (A-10). Gi i b t phương trình sau:
√
x− x
≥ 1.
2(x2 − x + 1)
1−
1.1.2 Phương trình lư ng giác
√
Bài 1.11 (D-12). Gi i phương trình sin 3x + cos 3x˘ sin x + cos x = 2 cos 2x
Bài 1.12 (B-12). Gi i phương trình
√ √
2(cos x + 3 sin x) cos x = cos x − 3 sin x + 1.
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 5
Bài 1.13 (A-12). Gi i phương trình sau:
√
3 sin 2x + cos 2x = 2 cos x − 1
Bài 1.14 (D-11). Gi i phương trình sau:
sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
√ = 0.
tan x + 3
Bài 1.15 (B-11). Gi i phương trình sau:
sin 2x cos x + sin x cos x = cos 2x + sin x + cos x
Bài 1.16 (A-11). Gi i phương trình
1 + sin 2x + cos 2x √
= 2 sin x sin 2x.
1 + cot2 x
Bài 1.17 (D-02). Tìm x thu c đo n [0; 14] nghi m đúng c a phương trình:
cos 3x − 4 cos 2x + 3 cos x − 4 = 0.
Bài 1.18 (D-03). Gi i phương trình sau:
xπ x
sin2 ( − ) tan2 x − cos2 = 0.
2 4 2
Bài 1.19 (D-04). Gi i phương trình sau:
(2 cos x − 1)(2 sin x + cos x) = sin 2x − sin x.
Bài 1.20 (D-05). Gi i phương trình sau:
π π 3
cos4 x + sin4 x + cos (x − ) sin (3x − ) − = 0.
4 4 2
Bài 1.21 (D-06). Gi i phương trình sau:
cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
Bài 1.22 (D-07). Gi i phương trình sau:
x2 √
x
(sin + cos ) + 3 cos x = 2.
2 2
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 6
Bài 1.23 (D-08). Gi i phương trình sau:
2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.
Bài 1.24 (D-09). Gi i phương trình sau:
√
3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0.
Bài 1.25 (D-10). Gi i phương trình sau:
sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.
Bài 1.26 (B-02). Gi i phương trình sau:
sin2 3x − cos2 4x = sin2 5x − cos2 6x.
Bài 1.27 (B-03). Gi i phương trình sau:
2
cot x − tan x + 4 sin 2x = .
sin 2x
Bài 1.28 (B-04). Gi i phương trình sau:
5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x.
Bài 1.29 (B-05). Gi i phương trình sau:
1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
Bài 1.30 (B-06). Gi i phương trình sau:
x
cot x + sin x(1 + tan x tan ) = 4.
2
Bài 1.31 (B-07). Gi i phương trình sau:
2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x.
Bài 1.32 (B-08). Gi i phương trình sau:
√ √
sin3 x − 3 cos3 x = sin x cos2 x − 3 sin2 x cos x.
Bài 1.33 (B-09). Gi i phương trình sau:
√
sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2(cos 4x + sin3 x).
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 7
Bài 1.34 (B-10). Gi i phương trình sau:
(sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0.
Bài 1.35 (A-02). Tìm ngi m thu c kho ng (0; 2π ) c a phương trình:
cos 3x + sin 3x
5 sin x + = cos 2x + 3.
1 + 2 sin 2x
Bài 1.36 (A-03). Gi i phương trình sau:
cos 2x 1
+ sin2 x − sin 2x.
cot x − 1 =
1 + tan x 2
Bài 1.37 (A-05). Gi i phương trình sau:
cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0.
Bài 1.38 (A-06). Gi i phương trình sau:
2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x
√ = 0.
2 − 2 sin x
Bài 1.39 (A-07). Gi i phương trình sau:
(1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x.
Bài 1.40 (A-08). Gi i phương trình sau:
1 1 7π
− x).
+ = 4 sin (
3π
sin x 4
sin (x − )
2
Bài 1.41 (A-09). Gi i phương trình sau:
√
(1 − 2 sin x) cos x
= 3.
(1 + 2 sin x)(1 − sin x)
Bài 1.42 (A-10). Gi i phương trình sau:
π
(1 + sin x + cos 2x) sin (x + ) 1
4 = √ cos x.
1 + tan x 2
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 8
1.1.3 Phương trình,b t phương trình mũ và logarit
Bài 1.43 (D-11). Gi i phương trình sau:
√ √
log2 (8 − x2 ) + log 1 ( 1 + x + 1 − x) − 2 = 0 (x ∈ R)
2
Bài 1.44 (D-03). Gi i phương trình sau:
2 −x 2
− 22+x−x = 3.
2x
Bài 1.45 (D-06). Gi i phương trình sau:
2 +x 2 −x
2x − 4.2x − 22x + 4 = 0.
Bài 1.46 (D-07). Gi i phương trình sau:
1
log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2 ( ) = 0.
4.2x − 3
Bài 1.47 (D-08). Gi i b t phương trình sau:
x2 − 3x + 2
≥ 0.
log 1
x
2
Bài 1.48 (D-10). Gi i phương trình sau:
√ √
3 3 +4x−4
42x+ x+2
+ 2x = 42+ x+2
+ 2x (x ∈ R)
Bài 1.49 (B-02). Gi i b t phương trình sau:
logx (log3 (9x − 72)) ≤ 1.
Bài 1.50 (B-05). Ch ng minh r ng v i m i x ∈ R, ta có:
12 x 15 x 20 x
) + ( ) + ( ) ≥ 3x + 4x + 5x .
(
5 4 3
Khi nào đ ng th c s y ra?
Bài 1.51 (B-06). Gi i b t phương trình sau:
log5 (4x + 144) − 4 log2 5 < 1 + log5 (2x−2 + 1).
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 9
Bài 1.52 (B-07). Gi i phương trình sau:
√ √ √
( 2 − 1)x + ( 2 + 1)x − 2 2 = 0.
Bài 1.53 (B-08). Gi i b t phương trình sau:
x2 + x
log0,7 (log6 ( )) < 0.
x+4
Bài 1.54 (A-06). Gi i phương trình sau:
3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.
Bài 1.55 (A-07). Gi i b t phương trình sau:
2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3) ≤ 2.
3
Bài 1.56 (A-08). Gi i phương trình sau:
log2x−1 (2x2 + x − 1) + logx+1 (2x − 1)2 = 4.
1.2 H Phương trình
Bài 1.57 (D-12). Gi i h phương trình
xy + x − 2 = 0
(x; y ∈ R)
;
2x3 − x2 y + x2 + y 2 − 2xy − y = 0
Bài 1.58 (A-12). Gi i h phương trình
x3 − 3x2 − 9x + 22 = y 3 + 3y 2 − 9y
(x, y ∈ R).
1
x2 + y 2 − x + y =
2
Bài 1.59 (A-11). Gi i h phương trình:
5x2 y − 4xy 2 + 3y 3 − 2(x + y ) = 0
(x, y ∈ R)
xy (x2 + y 2 ) + 2 = (x + y )2
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 10
Bài 1.60 (D-02). Gi i h phương trình sau:
23x = 5y 2 − 4y
x x+1
4 + 2 = y.
2x + 2
Bài 1.61 (D-08). Gi i h phương trình sau:
xy + x + y = x2 − 2y 2
√
√ (x, y ∈ R).
x 2y − y x − 1 = 2x − 2y
Bài 1.62 (D-09). Gi i h phương trình sau:
x(x + y + 1) − 3 = 0
(x, y ∈ R).
5
(x + y )2 − 2 + 1 = 0
x
Bài 1.63 (D-10). Gi i h phương trình sau:
x2 − 4x + y + 2 = 0
(x, y ∈ R).
2 log2 (x − 2) − log√2 y = 0
Bài 1.64 (B-02). Gi i h phương trình sau:
√ √
x−y = x−y
3
√
x + y = x + y + 2.
Bài 1.65 (B-03). Gi i h phương trình sau:
2
3y = y + 2
x2
2
3x = x + 2 .
y2
Bài 1.66 (B-05). Gi i h phương trình sau:
√ √
x−1+ 2−y =1
3 log9 (9x2 ) − log3 y 3 = 3.
Bài 1.67 (B-08). Gi i h phương trình sau:
x4 + 2x3 y + x2 y 2 = 2x + 9
(x, y ∈ R).
x2 + 2xy = 6x + 6
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 11
Bài 1.68 (B-09). Gi i h phương trình sau:
xy + x + 1 = 7y
(x, y ∈ R).
x2 y 2 + xy + 1 = 13y 2
Bài 1.69 (B-10). Gi i h phương trình sau:
log2 (3y − 1) = x
4x + 2x = 3y 2 .
Bài 1.70 (A-03). Gi i h phương trình sau:
1 1
x− =y−
x y
2y = x3 + 1.
Bài 1.71 (A-04). Gi i h phương trình sau:
1
log 1 (y − x) − log4 = 1
y
4
x2 + y 2 = 25.
Bài 1.72 (A-06). Gi i h phương trình sau:
√
√+ y − √ = 3
x xy
x + 1 + y + 1 = 4.
Bài 1.73 (A-08). Gi i h phương trình sau:
x + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5
2
4
x4 + y 2 + xy (1 + 2x) = − 5 .
4
Bài 1.74 (A-09). Gi i h phương trình sau:
log2 (x2 + y 2 ) = 1 + log2 (xy )
2 2
3x −xy+y = 81.
Bài 1.75 (A-10). Gi i h phương trình sau:
√
(4x2 + 1)x +√y − 3) 5 − 2y = 0
(
4x2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7.
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 12
1.3 Phương pháp hàm s , bài toán ch a tham s
Bài 1.76 (D-11). Tìm m đ h phương trình sau có nghi m
2x3 − (y + 2)x2 + xy = m
(x, y ∈ R)
x2 + x − y = 1 − 2m
Bài 1.77 (D-04). Tìm m đ h phương trình sau có nghi m:
√ √
√+ y =1
x
√
x x + y y = 1 − 3m.
Bài 1.78 (D-04). Ch ng minh r ng phương trình sau có đúng m t nghi m:
x5 − x2 − 2x − 1 = 0.
Bài 1.79 (D-06). Ch ng minh r ng v i m i a > 0, h phương trình sau có nghi m
duy nh t:
ex − ey = ln (1 + x) − ln (1 + y )
y − x = a.
Bài 1.80 (D-07). Tìm giá tr c a tham s m đ phương trình sau có nghi m th c:
x+ 1 +y+ 1 =5
x y
x3 + 1 + y 3 + 1 = 15m − 10.
x3 y3
Bài 1.81 (B-04). Xác đ nh m đ phương trình sau có nghi m
√ √
√ √ √
1 + x2 − 1 − x2 = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 .
m
Bài 1.82 (B-06). Tìm m đ phương trình sau có hai nghi m th c phân bi t:
√
x2 + mx + 2 = 2x + 1.
Bài 1.83 (B-07). Ch ng minh r ng v i m i giá tr dương c a tham s m, phương
trình sau có hai nghi m th c phân bi t:
x2 + 2 x − 8 = m(x − 2).
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 13
Bài 1.84 (A-02). Cho phương trình:
log2 x + log2 x + 1 − 2m − 1 = 0 (m là tham s ).
3 3
1. Gi i phương trình khi m = 2. √
2. Tìm m đ phương trình có ít nh t m t nghi m thu c đo n [1; 3 3 ].
Bài 1.85 (A-07). Tìm m đ phương trình sau có nghi m th c:
√
√
√ 4
3 x − 1 + m x + 1 = 2 x2 − 1.
Bài 1.86 (A-08). Tìm các giá tr c a tham s m đ phương trình sau có đúng hai
nghi m th c phân bi t:
√ √ √ √
4
2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m (m ∈ R).
Đáp s
1
0≤x≤ 1.9 x = −2
4
1.1
x≥4 √
3− 5
1.10 x = 2
6
1.2 x = π
5
x = − 12 + k 2π
1.11
x = 7π + k 2π
12
x ≤ −1
2
1.3 x = 2 x = ± 23 + k 2π
π
1.12
x≥3 x = k 2π
x = π + kπ
1.4 x = 3 2
1.13 x = k 2π
√
x = 23 + k 2π
π
1.5 x = 1 ∨ x = 2 − 2
π
1.14 x = + k 2π
3
1.6 x = 5
1
1.15 cos x = −1; cos x =
√ 2
1.7 x > 10 − 34
π
x= + kπ
2
1.16 π
x= + k 2π
1.8 2 ≤ x < 10 4
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 14
π
1.17 x = π ; x = 3π 5π 7π x= + kπ
; x= ; x= (k ∈ Z)
12
1.30
2 2 2 2 5π
x= + kπ
12
x = π + k 2π
1.31 x = π + k π
π (k ∈ Z)
1.18
x = − + kπ 8 4
x = 18 + k 23
π π
4
x = 5π + k 23π
18
x = ± π + k 2π
(k ∈ Z)
3
1.19
x = − π + kπ x = π + kπ
4
(k ∈ Z)
4 2
1.32
x = − π + kπ
3
π
(k ∈ Z)
1.20 x = + kπ
4 x = − π + k 2π
(k ∈ Z)
6
1.33
x = 42 + k 27
π π
x = kπ
(k ∈ Z)
2π
1.21
x=± + k 2π π
+ kπ (k ∈ Z)
1.34 x =
3 4 2
π
x = π + k 2π x= 3
1.35
(k ∈ Z)
2
1.22 5π
x = − π + k 2π x= 3
6
π
(k ∈ Z)
1.36 x = + kπ
x = ± 23 + k 2π
π
4
(k ∈ Z)
1.23 π
x = 4 + kπ
1.37 x = k π (k ∈ Z)
2
x = 18 + k π
π
(k ∈ Z)
3
1.24 5π
(k ∈ Z)
1.38 x = + k 2π
x = −π + k π 4
6 2
1.39 x = − π + kπ
π
x= + k 2π 4
(k ∈ Z) x = π + k 2π
6
1.25 5π
x= + k 2π 2
6
x = k 2π
kπ
x=
1.40 x = − π + kπ
(k ∈ Z)
9
1.26 kπ 4
x=
x = − π + kπ
2
8
x = 58 + kπ
π
1.27 x = ± π + kπ (k ∈ Z)
3
1.41 x = − 18 + k 23
π π
(k ∈ Z)
π
x= + k 2π
(k ∈ Z)
6
1.28 5π
x= + k 2π
x = − π + k 2π
6
(k ∈ Z)
6
1.42
x = 76 + k 2π
π
− π + kπ
x=
(k ∈ Z)
4
1.29
± 23 + k 2π
π
x= 1.43 x = 0
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 15
x = −1 x=0 x=2
1.44 ∨
1.60
x=2 y=1 y=4
1.45 x = 0 ∨ x = 1 1.61 (x; y ) = (5; 2)
3
1.46 x = log2 3 1.62 (x; y ) = (1; 1); (2; − )
2
√ √
1.47 S = [2 − 2; 1) ∪ (2; 2 + 2] 1.63 (x; y ) = (3; 1)
1.64 (x; y ) = (1; 1); ( 3 ; 1 )
1.48 x = 1 ∨ x = 2 22
1.65 x = y = 1
1.49 log9 73 < x ≤ 2
1.66 (x; y ) = (1; 1); (2; 2)
1.50 x = 0
1.67 (x; y ) = (−4; 17 )
4
1.51 2 < x < 4
1
1.68 (x; y ) = (1; 3 ); (3; 1)
1.52 x = 1 ∨ x = −1
1.69 (x; y ) = (−1; 1 )
2
1.53 S = (−4; −3) ∪ (8; +∞) √ √
1.70 √x; y ) = (1; 1); ( −1+ 5 −1+ 5
( ;2)
2
√
−1− 5 −1− 5
(2;2)
1.54 x = 1
1.71 (x; y ) = (3; 4)
3
- Chương 1.Phương trình-B t PT-H PT-H BPT 16
1.78 f (x) = vt đb trên[1; +∞) 1.83
√
7 1.84 1.x = 3± 3
≤m≤2
1.80 4 2.0 ≤ m ≤ 2
m ≥ 22
√ 1
1.85 −1 < m ≤
2−1≤m≤1
1.81 3
√ √ √
9
1.86 2 6 + 2 4 6 ≤ m < 3 2 + 6
1.82 m ≥ 2
- Chương 2
B t đ ng th c
2.1 B t đ ng th c . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Giá tr nh nh t- Giá tr l n nh t . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Nh n d ng tam giác . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Đáp s . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 B t đ ng th c
Bài 2.1 (A-09). Ch ng minh r ng v i m i s th c dương x, y, z
th a mãn x(x + y + z ) = 3yz , ta có:
(x + y )3 + (x + z )3 + 3(x + y )(x + z )(y + z ) ≤ 5(y + z )3 .
1 1 1
Bài 2.2 (A-05). Cho x, y, z là các s dương th a mãn + + = 4. Ch ng
x y z
minh r ng
1 1 1
≤ 1.
+ +
2x + y + z x + 2y + z x + y + 2z
Bài 2.3 (A-03). Cho x, y, z là ba s dương và x + y + z ≤ 1. Ch ng minh r ng
√
1 1 1
x2 + y2 + z2 + ≥ 82.
+ +
x2 y2 z2
- Chương 2.B t đ ng th c 18
b
1
a
Bài 2.4 (D-07). Cho a ≥ b > 0. Ch ng minh r ng : ≤
2+a
2
a
1
b
2+ b .
2
Bài 2.5 (D-05). Cho các s dương x, y , z th a mãn xyz = 1. Ch ng minh r ng
√
1 + z 3 + x3
1 + x3 + y 3 1 + y3 + z3
≥ 3 3.
+ +
xy yz zx
Khi nào đ ng th c x y ra?
2.2 Giá tr nh nh t- Giá tr l n nh t
Bài 2.6 (D-12). Cho các s th c x, y th a mãn (x˘4)2 + (y ˘4)2 + 2xy ≤ 32. Tìm
giá tr nh nh t c a bi u th c A = x3 + y 3 + 3(xy ˘1)(x + y ˘2).
Bài 2.7 (B-12). Cho các s th c x, y, z th a mãn các đi u ki n x + y + z = 0 và
x2 + y 2 + z 2 = 1.
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
P = x5 + y 5 + z 5 .
Bài 2.8 (A-12). Cho các s th c x, y, z th a mãn đi u ki n x + y + z = 0. Tìm
giá tr nh nh t c a bi u th c
P = 3|x−y| + 3|y−z| + 3|z−x| − 6x2 + 6y 2 + 6z 2
Bài 2.9 (B-11). Cho a và b là các s th c dương th a mãn
2(a2 + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2). Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
a3 b 3 a2 b 2
P= 4 3 + 3 − 9 2 + 2 .
b a b a
Bài 2.10 (A-11). Cho x, y, z là ba s th c thu c đo n [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z . Tìm
giá tr nh nh t c a bi u th c
x y z
P= + +
2x + 3y y + z z + x
.
- Chương 2.B t đ ng th c 19
Bài 2.11 (D-11). Tìm giá tr nh nh t và giá tr l n nh t c a hàm s y =
2x2 + 3x + 3
trên đo n [0; 2].
x+1
Bài 2.12 (A-07). Cho x, y, z là các s th c dương thay đ i và th a mãn đi u ki n
xyz = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c:
x2 ( y + z ) y 2 (z + x) z 2 (x + y )
√+√ √+√
P= √ √.
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
Bài 2.13 (A-06). Cho hai s th c x = 0, y = 0 thay đ i và th a mãn đi u ki n:
(x + y )xy = x2 + y 2 − xy.
Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
1 1
A= + 3.
3
x y
Bài 2.14 (B-10). Cho các s th c không âm a, b, c th a mãn a + b + c = 1. Tìm
giá tr nh nh t c a bi u th c
√
M = 3(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) + 3(ab + bc + ca) + 2 a2 + b2 + c2 .
Bài 2.15 (B-09). Cho các s th c x, y thay đ i và th a mãm (x + y )3 + 4xy ≥ 2.
Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
A = 3(x4 + y 4 + x2 y 2 ) − 2(x2 + y 2 ) + 1.
Bài 2.16 (B-08). Cho hai s th c x, y thay đ i và th a mãn h th c x2 + y 2 = 1.
Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c
2(x2 + 6xy )
P= .
1 + 2xy + 2y 2
Bài 2.17 (B-07). Cho x, y, z là ba s th c dương thay đ i. Tìm giá tr nh nh t
c a bi u th c:
x 1 y 1 z 1
P =x + +y + +z + .
2 yz 2 zx 2 xy
nguon tai.lieu . vn
