Xem mẫu
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC
Phương trình lư ợng giác là một phần rất quan trọng của chương trình THPT,nó liên quan đ ến
rất nhiều vấn đề sau này mà trư ớc mắt là bạn thấy trong các đề thi tốt nghiệp và đại học lúc
nào cũng có câu:” Giải phương trình lượng giác”
Vậy chúng ta bắt đầu nghiên cứu vấn đề này nhé ( rất hay đó)
Email: anhson.duong@gmail.com 1
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 2
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 3
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
BÀI TẬP TƢƠNG TỰ
Email: anhson.duong@gmail.com 4
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 5
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 6
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 7
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 8
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 9
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 10
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 11
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 12
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 13
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 14
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Email: anhson.duong@gmail.com 15
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
……………………………………………………………………..
Phụ lục: MỘT CHÚ Ý NHỎ VỀ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG G IÁC
Ph ả i nói ngay là k ỹ n ăng mà tôi trình bày đ ến các b ạn đây không phả i là 1 phương pháp v ạn năng .Nói
chung là làm quái gì có pp v ạ n năng .. Có chăng chỉ là nh ững nguyên tắ c tư duy cơ b ả n, nói như Polya
tức là nh ững "lố i đi có lý" .. Nh ững lố i đi có lý g iúp người ta b ớt mê .. Th ế thôi!
Ta bắt đ ầu bằng một bài toán Đại Số như sau;
B ài Toán:
Giả i phương trình: x 3 -3x+2=0 .
Nh ậ n xét:
-Đây là 1 bài toán dễ với những học sinh không quá mất căn bản .. Bạn thường làm gì đ ể tôi đoán nhé:
1/ Nhẩm thấy x=1 là No đ ặc biệt.
2/ Lấy x3 -3x+2 chia cho x-1 ngoài nháp!
3/ Để đ ược x3 -3x+2=(x-1)2.(x+2) .
4/ Kết luận: nghiệm phương trình là x=1 và x=-2 .
-Bạn làm như thế là rất tốt! tuy nhiên việc "quá điêu luyện" và "tự tin" với những kỹ năng máy móc
như vậy là cả 1 vấn đ ề rất chi là nguy hại đ ến tư duy của bạn ... Trên quan điểm "hủy diệt" bài toán đó
thì quả thực chiêu pháp c ủa bạn là "tàn bạo" và vì "thiếu nhân đ ạo" nên đôi khi việc bạn mất công thịt
nó cụng chả đ em lại tác dụng zề .. Nói thế tức là ta đè chữ "Dục" với lời giải xuống 1 tý đã .. "Gian
manh thì sự nó mới TO cái thành .." các c ụ chả dạy thế là gì?
Email: anhson.duong@gmail.com 16
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
-Tôi thì có vài ý như sau:
1/ Nhẩm thấy nghiệm x=1 .
2/ Số 1 là một "nghiệm đ ẹp" (ngoài đ ời oánh nhau vì số 1 ). Tuy nhiên khi vác đi tính toán thì s ố 1
chưa "tiện" bằng số 0 (số này bị sida cứ số nào khác ôm (nhân) phải nó cũng sida theo .. ). Thêm
nữa cộng trừ với 0 thì còn gì khoái bằng! (có phải làm cái giề đ âu ) ...
3/ Ẩn x ban đ ầu tý nữa bằng 1 tức là x=1+t (t: một tý). Cái "tý" ấy lát nữa sẽ bằng 0. ( )
4/ Nếu gặp một phương trình đ ại số mà có nghiệm x=0 thì ... nhân tử cứ gọi là tự .. cởi chuồng ..
Chúng mình chả mất công .. làm cái gì c ả :-SS
Lời giả i:
Đặt x=1+t phương trình trở thành (1+t)3 -3.(1+t)+2=0 ⇔t3-3t2=0 ⇔ Hơ hơ!!
B ây giờ ta nói đế n phƣơng trình lƣợng giác ...
Ai từng giải các phương trình lượng giác (hay phương trình loại cổ khỉ j khác ..) cũng phải chấp nhận
là quanh đi quẩn lại ta phải:
i- Biến đ ổi phương trình đ ể ...
-Bắt nhân tử
-Đưa ngay về phương trình cơ bản (đ ời ít khi dễ tính thế lắm )
-Làm xuất hiện ẩn phụ ...
ii- Sử dụng các đánh giá đ ặc biệt đ ể cá biệt hóa sự so sánh trong phương trình (cái này tôi ghét vì tôi
dốt .. BĐT :-S).
Trong các "trò" cơ bản trên cái trò bắt nhân tử đ ôi khi rất chi là phiền toái .. Giả dụ mà bạn gặp kiểu:
GPT: sin2x-3.cosx=0 thì chả nói làm giề! Nhưng nếu mà gặp kiểu 2 sin2x+(23 -3)sinx+(2 -
33)cosx=6 -3 thì tình hình là rất khác đó ...
Bây giờ "bắt chiếc" cái vẹo vặt ở trên kia với phương trình Đại Số ta có vài ý nghĩ như sau:
1/ Do sự xuất hiện của 3 nên ta lọ mọ mò quanh các nghiệm đ ặc biệt liên can đ ến π3 và π6 .
2/ Với cái Fx500 thì bạn chỉ cần mất 1 phút đ ể .. mò ra nghiệm đ ặc biệt c=π+π6=7π6 .
3/ Sẽ đ ặt x=t+7π6 đ ưa phương trình về ẩn t.
4/ Hý hóp hy vọng nhân tử sẽ tự .. cởi chuồng
Lời giả i:
P hương trình ⇔2sin2x+2.(3.sinx+cosx) -3.(sinx+3.cosx)=6 -3
⇔2sin2x+4sin(x+π6) -3sin(x+π3)=6 -3
⇔2sin(2t+7π3)+4sin(t+8π6) -6sin(t+π6)=6-3
Email: anhson.duong@gmail.com 17
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
⇔sin2t+3cos2t -2sint-23cost+6cost -6+3=0
⇔(sin2t-2sint)+6.(cost -1)+3.(1+cos2t -2cost)=0
⇔2sint.(cos t-1)+6.(cost-1)+3.(2cos2t-2cost)=0
⇔2(cost-1).(sint+3cost+6)=0
⇔ Ngon!
Thí dụ 2 :
Giải phương trình: cos3x-cosx+3sinx=0 .
Nh ậ n xét
Sự "khêu gợi" của 3 làm chúng ta "mơ mộng" đ ến nghiệm "loanh quanh" với góc π3;π3 thế rồi chúng
mình "giẫm" phải nghiệm đ ặc biệt x=-π6 . Và thế là ...
Lời giả i:
Đặt x= -π6+t phương trình trở thành sin3t+2sint=0 ⇔5sint-3sin3t=0 .
……………………………………………………………..
Email: anhson.duong@gmail.com 18
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
CHƢƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC
Phần 1. Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số
Kiế n thức cơ bản c ần nắm ( không nắm out lun, hehe )
f ( x)
Giới hạn lim , trong đó f ( x); g ( x) cùng dần tới 0 khi x dần tới x0 đ ược gọi là giới hạn
x x0 g ( x)
0
dạng . Đây là dạng giới hạn thường gặp vì nó hay!
0
@ Các b ạ n có th ấy thiếu điều gì không? Đó là khái niệm về g iới h ạ n đ ấy, cực kì hay nha, vì bài viết
n ày ch ỉ n h ằm luyện thi đ ại h ọc nên những bài toán đi sâu vào giới h ạn không đ ược chúng tôi đ ề cập
n hiều! Nói chung giải thành th ạ o nh ững bài của đ ại h ọc chỉ là ph ần ngoài c ủa giới h ạ n thôi nhé, h ấp
d ẫ n còn ở đ ằ ng sau. Bạ n đ ừng cười nhiều vì làm bài kiểm tra được điểm cao nha, bình thường thôi!
Khái niệ m giới hạn dãy s ố : (an ) a1 , a2 ,..., an ;... có giới hạn là số a nếu bắt đ ầu từ một chỉ số
nào đó, mọi số hạng an đ ều nằm trong một lân cận bất kì của điểm a, tức là ở ngoài lân c ận hoặc chỉ
có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng nào của dãy. Kí hiệu lim an a
n
Lân cận: ví dụ như cạnh nhà bạn có vài ngôi nhà khác chẵn hạn, vùng lân c ận của đ ồng bằng sông
hồng … ok chứ! Khái niệm này phù hợp với chương trình học sau này
Khái niệm giới hạn hàm số đ ược xây dựng dựa trên khái niệm trên: x a thì f ( x) f (a) hay
lim f ( x) f (a)
x a
Một số giới hạn cơ bản được dùng trong các kì thi:
ex 1
s inx
1
1 ; lim
lim
x 0
x 0 x
x
ln(1 x)
x
1
1
1 ; lim 1 lim(1 x) x e
lim
x
x 0 x 0 x 0
x
1 cos ax a 2
sin ax
1;lim , a R, a 0 ( * )( cái này có được vì sao? )
lim
x2
x 0 x 0
ax 2
@ Sau đây là các bài toán hay và thƣ ờng gặp về giới hạn
2 1 x 3 8 x
Thí d ụ 1 . Tìm giới hạn T lim
( ĐHQGHN 1997 )
x 0 x
Lời giải. ( bạn đang cười vì : „ tôi làm nó quá nhiều „ )
Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau
2( 1 x 1) (2 3 8 x )
T lim lim tại sao lại là số 2? Đến đây chắc chắn bạn sẽ làm theo cách
x 0 x 0
x x
nhân lượng liên hiệp, ( ko hay cho lắm, nếu căn lớn hơn ). Bạn chú ý nhá:
Email: anhson.duong@gmail.com 19
- TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11
Đặt u 1 x ; v 3 8 x thì x u 2 1; x 8 v3 ; u, v 2 . Như vậy chúng ta có thể viết:
2 u 1 2v 2 1 213
T lim lim lim lim (cách giải này có cái hay là
u 2 u 1 v 2 8 v u 2 u 1 v 2 4 2v v
2 3 2
3 12 4
chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đ ổi biến thì nhớ đ ổi „cận‟ của giới hạn). Ưu điểm hơn
qua bài toán sau:
2 x 1 5 x 2
4
Thí d ụ 2 . Tìm giới hạn T lim
( ĐHSPHN 1999 )
x 1
x 1
7
ĐS: T , cách giải hoàn toàn tương tự bài 1 cái bạn thử xem nhen!
10
Câu hỏi đ ặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số „2‟ ấy ). Bạn xem bài
f ( x) m g ( x)
n
toán tổng quát từ đ ó rút ra suy nghĩ nhé: T lim số bạn cần tìm là:
xa
x a
f (a) m g (a) nếu điều này không xảy ra thì có nghĩa bạn đang đ ối mặt với một bài toán khó hơn!
n
Bạn nhìn lại thí dụ 1 và 2 điều này có đúng không.
1 cos xcos 2 x
Thí d ụ 3 . Tìm giới hạn T lim
x2
x 0
Lời giải. Biến đ ổi và sử dụng công thức ( * )
1 cos x 1 cos2 x 1 cos x 1 cos2 x 12 22 5
T lim( cos x. ) lim lim cos x.
x2 x2 x2 x2
x 0 x 0 x 0 222
1 cos xco2 x...cos nx 12 22 ... n2
Tổng quát: lim
x2
x 0 2
ecos x cos3 x cos2 x
Thí d ụ 4 . Tìm giới hạn T lim
x2
x 0
Lời giải. Biến đ ổi như sau
ecos x cos3 x 1 1 cos2 x
T lim( ) bạn đang gặp lại dạng thêm bớt lúc đ ầu nhé!
x2 x2
x 0
Vậy T T1 T2 với
ecos x cos3 x 1 cos x cos3x
ecos x cos3 x 1
T1 lim lim cos x cos3 x .
x2 x2
x 0 x 0
ecos x cos3 x 1 1 cos3x 1 cos x
lim
cos x cos3 x
x2
x2
x 0
ecos x cos3 x 1 et 1
1; t cos x cos3x
lim
o lim cos x cos3 x
x 0 t 0 t
Email: anhson.duong@gmail.com 20
nguon tai.lieu . vn
