Xem mẫu
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP
1. Giai thừa : n! = 1.2...n
0! = 1
n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n
2. Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách
chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách
chọn là : m + n.
3. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n
cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là
: m x n.
4. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : P n =
n !.
k n!
5. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn : Cn =
k!(n − k)!
6. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số
n!
cách : A n = , A n = Cn .Pk
k k k
(n − k)!
Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị
7. Tam giác Pascal :
1 C0
0
0
1 1 C1 C1
1
1 2 1 0
C2 C2 C2
1
2
1 3 3 1 0
C3 C3 C3 C3
1 2
3
1 4 6 4 1 C0
4 C4 C4 C4 C 4
1 2 3
4
Tính chất :
C0 = Cn = 1 Cn = Cn−k
n n , k n
Cn−1 + Cn = Cn+1
k k k
8. Nhị thức Newton :
* (a + b)n = C0anb0 + C1an−1b1 + ...+ Cna0bn
n n n
a = b = 1 : ... Cn + Cn + ... + Cn = 2
0 1 n n
Với a, b ∈ {± 1, ± 2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :
C0,C1 ,..., n
n n Cn
* (a + x)n = C0an + C1an−1x + ...+ Cnxn
n n n
Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa C0,C1 ,..., n bằng cách :
n n Cn
- Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... a = ± 1, ± 2, ...
- Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = ± 1, ± 2, ... , a = ± 1, ± 2, ...
±1 ±2 β
- Cho a = ± 1, ± 2, ..., ∫ hay ∫ ... hay ∫
α
0 0
Chú ý :
* (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x : Ck a n −k b k = Kx m
n
1 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
Giải pt : m = 0, ta được k.
* (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ.
m r
k n −k
Can b = Kc d
k p q
m/ p∈ Z
Giải hệ pt : , tìm được k
r / q∈ Z
* Giải pt , bpt chứa A n ,Cn ...: đặt điều kiện k, n ∈ N* ..., k ≤ n. Cần biết đơn
k k
giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung.
* Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ
hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp).
* Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu
trường hợp.
* Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta
thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau
:
số cách chọn thỏa p.
= số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p.
Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác.
* Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái
sang phải).
* Dấu hiệu chia hết :
- Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8.
- Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4.
- Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8.
- Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3.
- Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9.
- Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5.
- Cho 6 : chia hết cho 2 và 3.
- Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75.
II- ĐẠI SỐ
b = c = 0
1. Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ b ≠ 0
a = c/ b
a = bc
a/b = c ⇔ ; a2n+1 = b ⇔ a = 2n+1 b
b≠ 0
b = a 2n
a 2n
= b ⇔ a = ± b, a =
2n 2n
b ⇔
a ≥0
b = ±a
a= b ⇔ ,a = logα b ⇔ b = α a
a≥ 0
2 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
b = 0,c > 0
b> 0
a + b < c ⇔ a < c − b ; ab< c ⇔
a < c/ b
b< 0
a > c/ b
2. Giao nghiệm :
x> a x< a
⇔ x > max{, b ;
a } ⇔ x < min{, b
a }
x> b x< b
p
x> a a < x < b(neá a < b) p ∨ q
u Γ
⇔ ; ⇔
x< b VN(neá a ≥ b)
u Γ q
Γ
Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm.
3. Công thức cần nhớ :
a. : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất phải đặt điều
kiện.
b ≥ 0 b ≥ 0
a = b⇔ 2
, a ≤ b⇔ 2
a = b 0 ≤ a ≤ b
b < 0 b ≥ 0
a ≥ b⇔ ∨
a ≥ 0 a ≥ b2
a. b (neáub≥ 0)
a,
ab =
− a. − b (neáub < 0)
a,
b. . : phá . bằng cách bình phương : a 2 = a2 hay bằng định nghĩa :
a (neáu≥ 0)
a
a =
− a(neáu< 0)
a
b ≥ 0
a = b⇔ ; a = b ⇔ a = ±b
a = ± b
a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b
b ≥ 0
a ≥ b ⇔ b < 0hay
a ≤ − b ∨ a ≥ b
a ≤ b ⇔ a2 − b2 ≤ 0
c. Mũ : y = ax , x ∈ R,y > 0,y ↑ neáu> 1, y ↓ neáu< a < 1.
a 0
a0 = 1; a− m/ n = 1/ n am ; am.an = am+ n
am / an = am−n ; (am)n = am.n ; an / bn = (a/ b)n
an.bn = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1 ∨ a =1
)
m < n(neáu> 1)
a
am < an ⇔ , α = aloga α
m > n(neáu< a < 1)
0
3 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
d. log : y = logax , x > 0 , 0 < a ≠ 1, y ∈ R
α
y↑ nếu a > 1, y↓ nếu 0 < a < 1, α = logaa
loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ )
loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ )
loga M 2 = 2loga M ,2loga M = loga M 2 (⇒)
logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc
1
logbc = logac/logab, logaα M = loga M
α
loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N
0 < M < N(neá a > 1)
u
loga M < loga N ⇔
M > N > 0(neá 0 < a < 1
u )
Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh
dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện.
4. Đổi biến :
a. Đơn giản :
t = ax+ b∈ R, t = x2 ≥ 0, t = x ≥ 0,t = x ≥ 0,t = ax > 0,t = loga x ∈ R
N?u trong ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b?ng cách bi?
n ??i tr?c ti?p b?t ??ng th?c.
b. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện,
cho vào miền xác định của f.
c. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm
điều kiện của t.
d. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên.
5. Xét dấu :
a. Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ
số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội
chẵn) : không đổi dấu.
b. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0.
c. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu
của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f.
6. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với α :
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
* S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x 1,x2) =
g= 0
0 không đối xứng, giải hệ pt : S = x1 + x2
P = x .x
1 2
Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0
* Dùng ∆, S, P để so sánh nghiệm với 0 :
4 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Phạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
∆ >0
x1 < 0 < x2 ⇔ P < 0, 0 < x1 < x2 ⇔ P > 0
S> 0
∆ >0
x1 < x2 < 0 ⇔ P > 0
S< 0
* Dùng ∆, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < 0
∆ >0 ∆ >0
α < x1 < x2 ⇔ a.f (α) > 0 ; x1 < x2 < α ⇔ a.f (α) > 0
α < S/ 2 S/ 2 < α
a.f(β) < 0 a.f (α ) < 0
α < x1 < β < x2 ⇔ a.f(α) > 0 ; x1 < α < x2 < β ⇔ a.f (β) > 0
α 0 ∆ = 0
2 nghiệm phân biệt ⇔ ∨
f (α ) = 0 f (α) ≠ 0
∆ =0
1 nghiệm ⇔ ∆ 0
2 nghiệm ⇔
yCÑ .yCT = 0
∆ y' > 0
1 nghiệm ⇔ ∆ y' ≤ 0 ∨
yCÑ .yCT > 0
5 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
c. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC :
∆ y' > 0
⇔ y =
uoán 0
d. So sánh nghiệm với α :
• x = xo ∨f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2
f(x) với α.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao
của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa α vào BBT.
• Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự
tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox)
∆ y' > 0
α < x1 < x2 < x3 ⇔
yCÑ .yCT < 0
y(α) < 0
α
x1
x2 x
3
α< x
CÑ
∆ y' > 0
y .y < 0
α
CÑ CT x1 x2
x1 < α < x2 < x3 ⇔ x3
y(α) > 0
α < xCT
∆ y' > 0
y .y < 0
CÑ CT
x1 < x2 < α < x3 ⇔
y(α) < 0
x1 α
x2 x3
xCÑ < α
α
∆ y' > 0
x1 x2
yCÑ .yCT < 0 x3
x1 < x2 < x3 < α ⇔
y(α) > 0
x 0
f (α) ≠ 0 f (α) = 0
2 nghiệm ⇔ , 1 nghiệm ⇔
∆ >0 ∆ =0
f (α) ≠ 0
∆ =0
Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0 ∨
f (α) = 0
Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN.
9. Phương trình bậc 4 :
t = x2 ≥ 0
a. Trùng phương : ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) ⇔
4 2
f (t) = 0
6 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
t = x2 ⇔ x = ± t
∆ >0
P=0
4 nghiệm ⇔ P > 0 ; 3 nghiệm ⇔
S> 0 S> 0
P=0
P 0
S/ 2 = 0
∆ ≥0
VN ⇔ ∆ < 0 ∨ P > 0 ⇔ ∆ < 0 ∨ P > 0
S< 0 S
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng
các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
ax2 + bxy+ cy2 = d
13. Hệ phương trình đẳng cấp : 2 2
a'x + b'xy + c'y = d'
Xét y = 0. Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương
trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx.
14. Bất phương trình, bất đẳng thức :
* Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của , . , log, mũ
có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương
trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB.
* Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều
số âm : có đổi chiều
Chia bất phương trình : tương tự.
* Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm.
* Bất đẳng thức Côsi :
a+ b
a, b ≥ 0 : ≥ ab
2
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.
a+ b+ c 3
a, b, c ≥ 0 : ≥ abc
3
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c.
* Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d
(ac + bd)2 ≤ (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số
nghiệm bằng số điểm chung.
Nếu có điều kiện của x ∈ I, lập BBT của f với x ∈ I.
16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x ∈ I :
Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x ∈ I.
f(x) ≤ m : (C) dưới (d) (hay cắt)
f(x) ≥ m : (C) trên (d) (hay cắt)
+
III- LƯỢNG GIÁC 0
−2π 2π
1. Đường tròn lượng giác :
Trên đường tròn lượng giác, góc α đồng nhất với cung
AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên
đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2π.
−2π 0 2π
Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt :
π 1 π 1 M
bội của ( cung phần tư) và ( cung phần tư)
6 3 4 2
α
A 0
x+k2
8 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
2kπ
x=α+ : α là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều
n tg
sin
trên đường tròn lượng giác.
M cotg
2. Hàm số lượng giác : M
cos
chiếu xuyên tâm
chiếu
3. Cung liên kết :
* Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu π (ưu tiên không đổi dấu : sin bù,
cos đối, tg cotg hiệu π).
* Đổi hàm, không đổi dấu : phụ
π
* Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).
2
4. Công thức :
a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc.
b. Cộng : đổi góc a ± b, ra a, b.
c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a.
d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a.
e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức
nhân ba.
a
f. Đưa về t = tg : đưa lượng giác về đại số.
2
g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a ± b) / 2.
h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a ± b.
5. Phương trình cơ bản : sinα = 0⇔ cosα = – 1 hay cosα = 1⇔ α = kπ,
π π
sinα = 1 ⇔ α = + k2π; sinα = –1 ⇔ α = – + k2π,
2 2
π
cosα = 0 ⇔ sinα = –1 hay sinα = 1 ⇔ α = + kπ,
2
cosα = 1 ⇔ α = k2π, cosα = – 1 ⇔ α = π + k2π
sinu = sinv ⇔ u = v + k2π ∨u = π – v + k2π
cosu = cosv ⇔ u = ± v + k2π
tgu = tgv ⇔ u = v + kπ
cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ
6. Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c
* Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 ≥ c2
* Chia 2 vế cho a2 + b2 , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản.
u
(cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo t = tg )
2
7. Phương trình đối xứng theo sin, cos :
Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos.
9 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
π t2 − 1
Đặt : t = sinu + cosu = 2sin u + ,− 2 ≤ t ≤ 2,sinu.cosu =
4 2
8. Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu :
π t 2 −1
Đặt : t = sin u + cos u = 2 sin u + , 0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =
4 2
9. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
π 1− t2
Đặt : t = sinu − cosu = 2sin u − , − 2 ≤ t ≤ 2,sinu.cosu =
4 2
10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu :
π 1− t 2
Đặt : t = sin u − cos u = 2 sin u − ,0 ≤ t ≤ 2 ,sin u.cos u =
4 2
11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) :
Xét cosu = 0; xét cosu ≠ 0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức
1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu.
12. Phương trình toàn phương mở rộng :
* Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u.
* Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu.
13. Giải phương trình bằng cách đổi biến :
Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt :
* t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x.
* t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π – x.
* t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi π + x.
* t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng
x
* t = tg : nếu cả 3 cách trên đều không đúng.
2
14. Phương trình đặc biệt :
u= 0
* u2 + v2 = 0 ⇔
v= 0
u= v
u= C
* u≤ C ⇔
v≥ C v= C
u≤ A
u= A
* v≤ B ⇔
u+ v = A + B v = B
sinu = 1 sinu = −1
* sinu.cosv = 1 ⇔ ∨
cos = 1 cos = −1
v v
sinu = 1 sinu = −1
* sinu.cosv = – 1 ⇔ ∨
cos = −1 cos = 1
v v
Tương tự cho : sinu.sinv = ± 1, cosu.cosv = ± 1.
15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg
10 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
F(x) ± F(y) = m (1)
a. Dạng 1 : . Dùng công thức đổi + thành nhân,
x± y = n (2)
x+ y = a
thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :
x− y = b
F(x).F(y) = m
b. Dạng 2 : . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân
x± y = n
thành +.
F(x) / F(y) = m
c. Dạng 3 : .
x± y = n
a c a+ c a− c
Dùng tỉ lệ thức : = ⇔ = biến đổi phương trình (1) rồi dùng
b d b+ d b− d
công thức đổi + thành x.
d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản.
16. Toán ∆ :
* Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C = π
* A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2.
* A, B, C ∈ (0, π) ; A/2, B/2, C/2 ∈ (0, π/2)
A + B ∈ (0, π) ; (A + B)/2 ∈ (0, π/2) ;
A – B ∈ (– π, π) , (A – B)/2 ∈ (– π/2, π/2)
Dùng các tính chất này để chọn k.
* Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin :
a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA
1 1 abc
* S = ah = absinC =
a = pr
2 2 4R
= p(p − a)(p − b)(p − c)
1
* Trung tuyến : ma = 2b2 + 2c2 − a2
2
A
2bccos
* Phân giác : ℓa = 2
b+ c
IV- TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của f :
∫ f (x)dx= F(x) + C (C ∈ R)
uα+1
∫ du = u + C ; ∫ u du = +C, α ≠ – 1
α
*
α +1
du
∫ = ln u + C; ∫ eudu = eu + C; ∫ audu= au / lna + C
u
∫ sin udu = − cos u + C ; ∫ cosudu= sinu + C
11 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
∫ du/ sin u = − cotgu+ C ∫ du/ cos u = tgu+ C
2 2
;
b
∫ f(x)dx = F(x) = F(b) − F(a)
b
* a
a
a b a c b c
* ∫a = 0 ; ∫a = −∫b , ∫a= ∫a + ∫b
b b b b b
∫ (f + g) = ∫ f + ∫ g ; ∫ kf = k∫ f
a a a a a
2. Tích phân từng phần :
∫ udv = uv − ∫ vdu
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
∫ x e , ∫ x sinx ; ∫ x cosx : u = x
n x n n n
a.
∫ x lnx : u = lnx
n
b.
∫ e sinx , ∫ e cosx : u = e haydv= e dx
x x x x
c.
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
3. Các dạng thường gặp :
a. ∫ sinm x.cos n+1 x
2
: u = sinx.
∫ cos x.sin x
m 2n+1
: u = cosx.
∫ sin x.cos x
2m 2n
: hạ bậc về bậc 1
∫ tg x / cos x
2m 2n
b. : u = tgx (n ≥ 0)
∫ cotg x / sin x :
2m 2n
u = cotgx (n ≥ 0)
c. ∫ chứa a2 – u2 : u = asint
∫ chứa u2 – a2 : u = a/cost
∫ chứa a2 + u2 : u = atgt
d. ∫ R(sinx,cosx) , R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨u = cotgx
x
R đơn giản : u = tg
2
π/2
π
∫ :thöû u =
ñaët
2
−x
0
π
∫ :thöû u = π − x
ñaët
0
∫x
m
e. (a + bxn)p/ q, (m+ 1 / n∈ Z : uq = a + bxn
)
12 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
m+ 1 p
∫ x (a+ bx ) ,
m n p/ q
f. + ∈ Z : uqxn = a + bxn
n q
1
g. ∫ dx/[(hx+ k) ax2 + bx+ c : hx+ k =
u
h. ∫ R(x, (ax+ b) /(cx+ d) , R là hàm hữu tỷ : u = (ax+ b) /(cx+ d)
i. ∫ chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk.
4. Tích phân hàm số hữu tỷ :
∫ P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (∆ < 0)
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :
A A A2 An
x + a→ , (x + a)n → 1 + 2
+ ...+
x+ a x + a (x + a) (x + a)n
A (2ax+ b) B dx
ax2 + bx+ c(∆ < 0) → 2
+ 2 ∫ 2 (∆ < 0) = ∫ du/(u2 + a2) :ñaët= atgt
u
ax + bx+ c ax + bx+ c ax + bx+ c
5. Tính diện tích hình phẳng :
b
a. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : SD = ∫ f (x) dx
a
f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở ; f(x) : hàm lượng
.
giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác.
b. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
b
(C') : y = g(x) : SD = ∫ f (x) − g(x) dx
a
Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/.
c. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0
f(x)
b
α/ SD = ∫ f(x) − g(x) dx
g(x) a
x=a x=b b
y=b β/ SD = ∫ f(y) − g(y) dy
g(y) f(y) a
y=a
Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các
đường thẳng đứng ngay chỗ gãy.
Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các
đường ngang ngay chỗ gãy.
Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt.
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm.
Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn,
(E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm . .
13 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn +
hay − ( y = ...+ : treân = ...−
,y : döôùi = ...+
,x : phaûi = ...−
,x )
: traùi
6. Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a. D như 5.a/ xoay quanh (Ox) : f(x)
b
a
V = π ∫ [ f (x)] 2dx b
a
b f(y)
b a
b. V = π ∫ [ f (y)] 2dy
a f(x)
b g(x)
c. V = π ∫ [f (x) − g (x)]dx
2 2
a b
a
b
b
f(y)
d. V = π ∫ [f 2(y) − g2(y)]dy g(y)
a a
f(x) f(x) -g(x)
c b
a b
e. V = π ∫ f 2(x)dx+ π ∫ g2(x)dx
a c c
a b
g(x
0)
c b
b f(y)
f. V = π ∫ g (y)dy+ π ∫ f 2(y)dy
2
a c c
-g(y)
a
Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ ...dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ ... dy.
V- KHẢO SÁT HÀM SỐ
0 ∞
1. Tìm lim dạng , dạng 1 :
0
P(x) (x − a)P1(x) P
a. Phân thức hữu tỷ : lim (daïng/ 0) = lim
0 = lim 1
x→a Q(x) x→a (x − a)Q1(x) x→a Q1
f (x) sinu
b. Hàm lg : lim (daïng/ 0),duøng thöùc
0 coâng lim =1
x→a g(x) u→0 u
f (x)
c. Hàm chứa căn : limx→a g(x)
(daïng/ 0) , dùng lượng liên hiệp :
0
14 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3
1/ u
d. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1 ) : dùng công thức u→0(1+ u) = e
lim
∞
2. Đạo hàm :
f (x) − f (xo )
a. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa : f '(x0) = xlim
→x o x − xo
Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :
/ /
f+ (xo ) = lim ,f− (xo ) = lim . Nếu f / (x ) = f / (x ) thì f có đạo hàm tại x .
x→x + x→x− + o − o o
o o
b. Ý nghĩa hình học :
k = tgα = f/(xM)
c. f/ + : f ↑ , f/ – : f ↓
α
f(x) M
f// + : f lõm , f// – : f lồi
f / (xM ) = 0
d. f đạt CĐ tại M ⇔ //
f (xM ) < 0
f / (xM ) = 0
f đạt CT tại M ⇔ //
f (xM ) > 0
M là điểm uốn của f ⇔ f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM.
α α
e. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (x )/ = αx –1 , (lnx)/ = 1/x ,
1
( loga x) ′ = , (ex)/ = ex
xlna
(ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x,
(cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u ± v)/ = u/ ± v/, (uv)/ = u/v + uv/ ,
(u/v)/ = (u/v – uv/)/v2
* Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x)
* Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng
với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n ...
f. Vi phân : du = u/dx
3. Tiệm cận :
limy = ∞ ⇒ x = a : tcđ
x→a
x a
y ∞ ∞
lim y = b ⇒ y = b : tcn
x→∞
x −∞ +∞
y b b
x −∞ +∞
lim[y − (ax+ b)] = 0 ⇒ y = ax + b : tcx
x→∞
y ∞ ∞
15 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
* Vẽ đồ thị có tiệm cận :
- t c đ : khi y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c .
- t c x :khi x và y càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
- t c n :khi x càng tiến về ± ∞ thì đường cong càng gần đường t c.
P(x)
* Xét y =
Q(x)
• Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a) ≠ 0
• Có tcn khi bậc P ≤ bậc Q : với x → ∞, tìm lim y bằng cách lấy số hạng
bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q.
P1(x)
• Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có : f (x) = ax+ b + , tcx
Q(x)
là y = ax + b. Nếu Q = x – α, có thể chia Honer.
* Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :
c
y = ax + b + (d≠ 0)
dx + e
• a ≠ 0, c ≠ 0 : có tcđ, tcx
• a = 0, c ≠ 0 : có tcn, tcđ.
• c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc.
4. Đồ thị các hàm thường gặp :
a/ y = ax + b : a0
b/ y = ax + bx + c
c/ y = ax3 + bx2 + c + d a>0 a 0 :
0
a0
ab < 0 ab > 0
a 0 ad - bc < 0
ax2 + bx+ c
f/ y = (ad ≠ 0)
dx+ e
16 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info< 0
=0
>0
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
ad > 0
ad < 0
x=a
5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : a y>b
g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) xa b y=b
g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) y
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
* Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – x o) +
yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3
hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp
tuyến).
* // (∆) : y = ax + b : (d) // (∆) ⇒ (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx.
1
* ⊥ (∆) : y = ax + b (a ≠ 0) : (d) ⊥ (∆) ⇒ (d) : y = − x + m. Tìm m nhờ đk tx.
a
c. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M ∈ (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ
được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo) ∈ (C/) ⇔ g(xo,yo) =
yC = yd
0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) : / (1). Thế k vào (1) được
y C = k
phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n
nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo.
8. TƯƠNG GIAO :
* Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) =
g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung.
* Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết
phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành
độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y =
F(x) và (d) : y = m có n điểm chung.
* Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) :
• Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung
của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d).
• PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x ≠
α) hay dạng bậc 3 : x = α ∨f(x) = 0 : lập ∆, xét dấu ∆, giải pt f(x) = 0 để biết
m nào thì α là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1.
9. CỰC TRỊ :
* f có đúng n cực trị ⇔ f/ đổi dấu n lần.
f / (xo ) = 0
* f đạt cực đại tại xo ⇔ //
f (xo ) < 0
f / (xo ) = 0
f đạt cực tiểu tại xo ⇔ //
f (xo ) > 0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ và CT ⇔ ∆ f / > 0
* f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị :
• Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm α < x1 < x2.
• Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 < α .
∆f/ > 0
• 1 bên (Ox) ⇔
yCD .yCT > 0
∆f/ > 0
• 2 bên (Ox) ⇔
yCD .yCT < 0
18 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
* Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < 0 (>0) có thể thay bởi y = 0
VN (có 2 nghiệm.).
* Tính yCĐ.yCT :
• Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D)
yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0.
u
• Hàm bậc 2/ bậc 1 : y =
v
u/ (x ).u/ (x )
yCĐ.yCT = / CÑ / CT , dùng Viète với pt y/ = 0.
v (xCÑ ).v (xCT )
* Đường thẳng qua CĐ, CT :
• Hàm bậc 3 : y = Cx + D
• Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/
* y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị ⇔ ab ≥ 0, 3 cực trị ⇔ ab < 0
10. ĐƠN ĐIỆU :
a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 :
i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng)
ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn
giảm)
iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2.
Ngoài ra ta còn có :
+ x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn.
+ hàm số tăng trên (−∞, x1)
+ hàm số tăng trên (x2, +∞)
+ hàm số giảm trên (x1, x2)
iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2
⇒ hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0
(x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có :
+ hàm số giảm trên (−∞, x1)
+ hàm số giảm trên (x2, +∞)
+ hàm số tăng trên (x1, x2)
baäc
2
b. Biện luận sự biến thiên của y =
baäc
1
i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang
xác định.
ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng
khỏang xác định.
iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1
x1 + x2 p
và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và =− .
2 m
iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1
x1 + x2 p
và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 và =− .
2 m
19 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
- Ph ạ m Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)
c. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x ∈ I
: đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so
sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với α.
11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ :
a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã
khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung.
b. Với pt mũ, log, , . , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được
mấy biến cũ x; cần biết đk của t để cắt bớt đồ thị f.
12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) :
Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo,
yo) = 0; suy ra M ∈ (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại ⇔ m ? ⇔
xo ? (hay yo ?)
• Nếu xo = a thì M ∈ (d) : x = a.
• Nếu yo = b thì M ∈ (d) : y = b.
13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG :
a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc)
tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm :
F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I.
b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất
hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào
hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối
xứng là trục tung X = 0, tức x = a.
c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :
xM + xN = 2xI
y + y = 2y
M N I
yM = f(xM )
yN = f(xN )
d. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt ⊥ (d) là
1
(d') : y = – x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm
a
xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của AB theo m; A, B đối xứng qua (d) ⇔ I ∈
(d)
⇔ m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB.
c
14. Tìm điểm M ∈ (C) : y = ax + b + có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e ∈ Z) :
dx+ e
c
yM = axM + b +
c yM = axM + b + dx + e
M
giải hệ dxM + e ⇔ c
xM ,yM ∈ Z
xM , ∈Z
dxM + e
c
yM = axM + b +
⇔ dxM + e
xM ∈ Z,dxM + e = öôùc cuûa
soá c
20 http://hoiphuonghoangvn.7forum.info
nguon tai.lieu . vn
