Xem mẫu
- Bài 24: chất điểm khối lượng m, chuyển động dưới tác dụng của lực xuyên tâm theo đường cong =
\, = Khi = , = . Xác định gia tốc và lực gây ra chuyển động của chất điểm dưới dạng
hàm của r.
Giải:
Chọn tâm trường lực làm gốc tọa độ cực
̇
Ta có: \ = + ( ⃗ = ̇ ⃗ + φ ⃗)
̇
Véctơ vận tốc điện tích
= ̇ => ̇ =
Chuyển động theo đường cong
2
̇ 2
= => ̇ = − =− =− => ̈ = 0
= + =4 ( + )
+) tại = , v r a v0 ⇒ =4 . +
⇒ = 8 ⇒ = (1)
√
= ̈− ̇ =0− . =−
Gia tốc:
(1) ⇒ =−
1 1
( . ̇ ) = (2 ) = 0
=
⇒ = =−
2
+) lực gây ra chuyển động của chất điểm
−
= = =−
2 2
⇒⃗ =− ⃗
2
Bài 29
Chất điểm chuyển động trong trường đối xứng xứng xuyên tâm và ngoài ra còn chịu tác dụng của lực cản
môi trường ⃗ = − ⃗ (k là hằng số). Chất điểm có chuyển động trong mặt phẳng đi qua tâm trường lực
không?
Giải:
⃗
⎧ ⎫
⃗=
⎪ ⎪
⃗= ⃗∧ ⃗ = ⃗∧ ⃗ + ⃗ = [ ⃗ ∧ (− ( ) ⃗ − ⃗ )]
⎨ ⎬
⎪ ⎪
( ⃗ ∧ ⃗) = − ⃗
= −
⎩ ⎭
- ⃗ ⃗
⃗⇒
⇒ =− =−
⃗
⃗ ⃗ ⃗
⃗
⇒ =− ⇔ =−
⃗
⃗
⃗
⃗
⇔ln ⃗ − ⃗=− t ⇔ ln =−
⃗
⃗
⇒ ⃗ = ⃗.
⇔ =
⃗
⇒ ⃗ ⃗ = 0, ⃗= ⃗∧ ⃗ ⇒ ⃗⊾ ⃗
⇒ Chất điểm chuyển động trong mặt phẳng qua tâm trường lực
Bài 30:Hòn bi có khối lượng m có thể trượt không ma sát theo ống thẳng và nhỏ AB hợp với phương
thẳng đứng góc . Khi thanh AB quay đều quanh đường thẳng đứng qua điểm cố định A với vận tốc góc
. Hãy tìm phương trình chuyển động của hòn bi trong hệ quy chiếu gắn với thanh AB, biết rằng nó
chuyển động với vận tốc ban đầu không từ vị trí cách a một đoạn bằng a.
Giải:
- Đối với hệ quy chiếu quán tính K
Ptcđ: ⃗ = ⃗
⃗ là lực do vật ngoài tác dụng lên vật
⃗ gia tốc của chất điểm đối với hệ quy chiếu K
⃗+ ⃗+ ⃗
Ta có ⃗ = ′
⇒ ⃗ = − ⃗ = −2 ⃗ ∧ ⃗
Trong đó: ⃗ = − ⃗ = −2 ⃗∧ ⃗
⃗=− ⃗=− ⃗ + [ ⃗ ∧ ′⃗] + ⃗ ∧ ⃗∧ ⃗
⃗ + [ ⃗ ∧ ′⃗] + ⃗
=−
⃗=− ⃗ ∧ ( ⃗ ∧ ⃗)
⃗: Lực quán tính li tâm, ⃗: có phương ⊾ ⃗ có chiều hướng từ trục quay của hệ k’ đi ra ngoài.
- Ta gắn 1 hệ quy chiếu với trái đất có gốc O’ ở tâm trái đất. Hệ quy chiếu k’ là hệ qiu chiếu không quán
tính
⇒ PTCĐ của chất điểm đối với hqc k’ gắn liền với trái đất có dạng
⃗+ ⃗+ ⃗ = ⃗
⇔ ⃗+ ⃗+ ⃗+ ⃗= ⃗ (1)
⃗ = −2 ⃗∧ ⃗
⃗=− ⃗+ ⃗∧ ⃗ + ⃗ ∧ ⃗∧ ⃗
⃗= ⃗= ⃗
≡ ⇒
⇒ ⃗= ⃗
Vì chuyển động quay đều quanh A nên ⃗ =
- ⃗=− 0+0+ ⃗∧ ⃗∧ ⃗ = ⃗∧ ⃗∧ ⃗ = ⃗
⇒
⃗∧ ⃗ =− . .
Tính:
⇒ ⃗∧ ⃗∧ ⃗ =− . . . =−
+ ⃗+
(1) ⇔ − cos = ̈
⇔− cos + sin = ̈
= 0 (2)
⇔ ̈− sin .+ cos
= sin .+ cos
Đặt
̈
⇒ ̈= sin . ̈⇒ Thay vào (2) ta có
̈− sin . =0
= ⇒ − sin . = 0 ⇒ = ± sin
Đặt
= +
Có nghiệm:
− cos cos
⇒ = ⇒ = . + −
sin sin sin sin
⇒ ̈= −
Theo đkbđ:
(0) =
̇ (0) = 0
+ − cos = sin
− =0
2 = sin + cos
⇔
=
sin + cos
⇔ = =
2
sin + cos + cos
⇒ = −
2 sin sin
Bài 31: hòn bi có khối lượng m được gắn vào đầu lò xo AB tại điểm B; đầu A của lò xo buộc cố định. Lò
xo và hòn bi được đặt trong ống nhỏ nằ m trên mặt phẳng nằ m ngang. Khi ống quay đều quanh điểm cố
định A với vận tốc góc trong mặt phẳng ngang. Xác định chuyển động của hòn bi theo ống nhỏ, biết độ
dài không biến dạng của lò xo là , hệ số cứng K. Hòn bi chuyển động với vận tốc ban đầu là v0 từ vị trí
M trong ống cách B một đoạn BM=a.
Giải
≡0
Chọn htđ Oxy cố định,
Phương trình đlh là:
⃗+ ⃗+ ⃗+ ⃗+ ⃗= ⃗ (1)
⃗ = − ( ⃗ ∧ [ ⃗ ∧ ⃗]) = − . . . (− ) =
Ta có
⃗=− ( − )
đ
⃗ = −2 ⃗∧ ⃗ =0
- Chiếu (1) lên Ax ta có:
−(− )= ̈
⇔ ̈= − +
⇔ ̈= − +
= 0 (2) Ptvp hạng 2 không thuần nhất
⇔ ̈− − −
- Xét ptvp hạng hai không thuần nhất
= 0 (3)
̈− −
= ⇒ ̈ =
Đặt Thay vào (3)
− − =0
⇔ − − =0
⇔ = −
⇔ =± −
(3) ó
− > 0 ⇒ : = +
+) Nếu
(2) ó
⇒ ℎệ : = + −
−
+) = 0; = ; ̇ = 0
= + −
⇒ −
̇= ( )=0
−
⇒ = =
2( −)
⇒ = +
2( −)
(3) ó
− < 0: ℎệ : = cos + sin
+) Nếu
= cos + sin −
Pt (2) có nghiệm:
̇ =− sin + cos
Với = 0; = , ̇ = 0
=0
− =
⇒ ⇔
−
= +
=0 −
- ⇒ = + cos − −
− −
( )
− =0⇒ = + +.
+) Nếu
Bài 32: Cho một vòng rỗng có bán kính a quay đều với vận tốc góc quanh một trục cố định thẳng đứng
đi qua tâm.Lập phương trình vi phân chuyển đông tương đối của chất điểm đặt trong vòng đó.Biện luận
các trường hợp có thể xảy ra. Bỏ qua ma sát.
Giải:
Chọn hệ quy chiếu K gắn với vòng . k là hệ quy chiếu gắn không quán tính. Gốc O tại chất điểm
- Các lực tác dụng: ⃗, ⃗, ⃗
Phương trình chuyển động: ⃗ + ⃗ + ⃗= ⃗ (1)
⃗= ⃗+ ⃗
Trong đó
⃗=− ⃗
⃗ = − [{ ⃗, ( ⃗, ⃗)}] +
+)
=− ⃗
+) ⃗ = . 2[ ⃗, ⃗]⊾ ⃗ (phương tiếp tuyến cong)
⃗=
Chiếu (1) lên phương ⃗ ta được
( sin ) cos
= − sin +
⃗
Với = sin
= ̈= ̇
⃗
⇒ ̇= ̈
Mặt khác;
=̇
̈ = − sin + sin cos
Vậy
b) …….
Bài 33: Các lăng trụ đồng chất A,B có tiết diện ngang là tam giác vuông được đặt lên nhau như hình vẽ.
Độ dài các lăng trụ là a và b. Khối lượng lăng trụ A gấp n lần khối lượng lăng trụ B. Giả sử mặt phẳng
ngang và các lăng trụ nhẵn tuyệt đối. Xác định độ dịch chuyển của lăng trụ trên mặt ngang khi B trượt
trên A tới mặt nằm ngang
Giải
Ptcđ: ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ≠ ⃗
=0⇒ =
Vì hệ đứng yên ⇒ =0
⇒ đứng yên theo Ox
≡ ⇒ =0
Chọn
. .
+) = 0; = = 0 (1)
+) khi vật B⟶đất
+
= 0 (2)
=
+
- = + − +∆
Ta có (3)
= +∆
( )( )( )
( +∆ )+ ( − +∆ )
+ = +
(−) −
⇒∆ =− =−
+ + 1
Bài 34: Con lắc toán học có khối lượng m; độ dài l được treo ở tâm của vật A khối lượng M nằ m trên mặt
phẳng nằ m ngang nhẵn. Khi con lắc dao động nó kéo A chuyển động quanh vị trí cân bằng trên mặt
phẳng ngang. Xác định ptcđ của A nếu phương trình dao động của con lắc là = cos
Giải:
Ptcđ: ⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ≠ ⃗
=0⇒ =
Chiếu lên Ox:
≡
Chọn hqc gắ n với khối tâm:
= 0 (1)
+) tại = 0; =
+) Khi vật⟶ đất
+
= 0 (2)
=
+
Ta có = + sin
sin( )
⇒ =− sin =− cos
+ +
Bài 35: hai vật A, B có khối lượng M1, M2 được buộc ở hai đầu sợi dây không giãn vắt qua ròng rọc C
được gắn liền với đỉnh chiếc nêm (vuông góc ở đỉnh C) có khối lượng m và có thể trượt không ma sát trên
mặt phẳng ngang. Tìm độ dịch chuyển của chiếc nêm trên mặt phẳng ngang khi vật A trượt trên cạnh của
nêm nghiêng với góc so với phương ngang xuống được độ cao h, ở thời điểm đầu hệ các vật đứng
yên.Bỏ qua các lực ma sát
Giải:
=0⇒ =
≡
Chọn hqc gắ n với
⇒ =0
ℎ ℎ ℎ
tan = à = ; = cos = sin = . sin =ℎ
sin sin
ℎ
=
tan
+) Ở thời điểm vật đứng yên
+ +
=
+ +
+) Ở thời điểm vật chuyển động
+ +
= =0
+ +
= +∆
- ℎ
= +∆ +
tan
= +∆ +ℎ
ℎ
( )∆ +
+ + . + ℎ
tan
= =0
+ +
ℎ
− . + ℎ
tan
⇒∆ =
+ +
Vậy độ dịch chuyển của chiếc nêm trên mặt phẳng ngang khi vật A trượt trên cạnh là:
ℎ
− . + ℎ
tan
∆=
+ +
Bài 36: Sợi dây không khối lượng không giãn vắt qua ròng rọc cố định có khối lượng M bán kính r. Một
đầu dây treo vật nặng, đầu còn lại có một người bám vào và leo lên theo dây với gia tốc tương đối với dây
là a. Khối lượng của người và vật bằng nhau và bằng m. Tìm gia tốc chuyển động của vật. Cho biết ở
thời điểm đầu cả hệ đứng yên, sợi dây không trượt trên ròng rọc
Giải:
Ta thấy momen của ⃗ à ⃗ đối với trục quay O là bằng 0.
lực ⃗, ⃗ đối với O.
Momen của
⃗= ⃗∧ ⃗+ ⃗∧ ⃗
=− +
= (− )=0
⇒ +
⃗
= ⃗=0
Ta có:
⇒ ⃗= =⃗
⃗= ⃗=[ ⃗∧ ⃗] + [ ⃗ ∧ ⃗] + ⃗
Trong đó ⃗ = ⃗ − ⃗
⇒ ⃗=[ ⃗∧ ( ⃗ − ⃗)] + ⃗
⃗] + [ ∧
⃗
Chứa
= − + + ℎ à ℎươ ìℎ
⇒ = =0
2 − + =0
Ta có
⇒2 + − =0
2
= .
2 +
2
= .
Vậy vật chuyển động lên trên với gia tốc
- Bài 38: Một đĩa tròn đồng chất trọng lượng Q, bán kính R quay quanh một trục thẳng đứng AB đi qua
tâm đĩa. Trên vành đĩa có một chất điểm M có trọng lượng P. Đĩa quay quanh trục có vận tốc góc . Tại
một điểm nào đó chất điểm M chuyển động theo vành đĩa với vận tốc . Tại một điểm nào đó chất điểm
M chuyển động theo vành đĩa với vận tốc tương đối so với đĩa là u. Tìm vận tốc góc của đĩa lúc đó.
Giải:
Gọi m là khối lượng của đĩa
m1 là khối lượng của vật
⃗=0
Ta có mô men xung lượng của hệ được bảo toàn
⃗= ⃗+ ⃗∧ ⃗, = ⇒ = +
1
⃗= ⃗ ⃗+ ⃗ ∧ ⃗ + ⃗ ( ì = )
2
1
= + −
2
=
1 1
⇒ + = + −
2 2
1 1
⇔ + = + +
2 2
1
+ +
2
⇔ =
1
+
2
1
+ +
2
=
1
+
2
⇒ ̈= sin +
̇
⇒ ̇| =− cos +
− =− sin +
Bài 39: Bánh xe đồng chất có khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trên theo mặt phẳng
nghiêng góc so với phương ngang dưới tác dụng của mômen lực quay không đổi M và lực chủ động F
đặt vào tâm bánh xe có phương song song với mặt phẳng nghiêng và chiều hướng lên. Tìm phương trình
- chuyển động của tâm bánh xe và biện luận các kết quả. Cho vận tốc ban đầu của tâm bánh xe bằng không
và hệ số ma sát trượt giữa bánh xe và mặt phẳng là f.
Giải:
Cơ hệ gồm bánh xe đồng chất khối lượng m. Trên mặt phẳng nghiêng các lực tác dụng lên là
⃗ , ⃗ , ⃗ , ⃗, ⃗
Theo định luật II newton ta có: ⃗ + ⃗ + ⃗ + ⃗= ⃗ (1)
(vì ⃗ là momen lực quay)
Chọn phương chuyển động là trục Ox như hình vẽ
Trục quay của bánh xe là trục Oz có phương vuông góc mặt phẳng giấy, chiều hướng ra ngoài
Theo định luật biến thiên momen xung lương của hệ ta có
⃗
= ⃗ ∧ ⃗ + ⃗ (2)
⃗
⃗= ⃗∧ ⃗ = ⃗∧ ⃗
ì =
Trong đó ⃗ = ⃗= ⃗ ì = (*)
Chiếu (1) lên Ox: − + = ̈
̈ (3)
⇔ − sin + =
⃗+
( )= .
= . sin ⃗, =− . + (4)
Chiếu (2) lên Oz:
̈
⇒ ó = ⇒ =
=− ( + sin ) +
Từ (3), (4) ⇒ ̈−
̈
=− ( + sin ) +
⇔. ̈−
1
⇔ ̈ =− ̈+ − sin +
2
3
⇔ ̈= − sin +
2
Phương trình chuyển động
2 − sin +
⇔̈= .
3
Bài 40: Một hình trụ đặc đồng chất có bán kính R có khối lượng m1 quay xung quanh một trục
nằ m ngang trùng với trục hình trụ dưới tác động của moomen phát động M. Một sợi dây giãn quấn quanh
hình trụ bỏ qua khối lượng của dây. Đầu tự do của dây treo một vật nặng khối lượng m2. Moomen cản đặt
lên trục hình trụ Mc. Tìm gia tốc của vật nặng và sức căng của dây. Hãy giải bài toán trên trong trường
hợp sau:
1) M=M0 không đổi
- 2) M=M0 – b , trong đó là vận tốc của tời.
Giải:
a) chọn chiều dương hướng lên trên theo chiều chuyển động của vật m2
+) phương trình động lực học của vật m2
⃗+ ⃗= .⃗
Chiếu lên trục tọa độ
− = ⇒ = +
+) theo định lý momen xung lượng của hệ ta có:
⃗+ ⃗+ ⃗+
( ⃗) + ( ⃗) =
̇
đó: = = .
̇
⇔ − − = .
= ̈=
= + vào trên ta có
thay
−( )=
− −
⇒ = là gia tốc của vật nặng
( )
⇒ sức căng của dây
− −
( + )=
= +
(+ )
Bài 42: Một vô lăng hình đĩa tròn có khối lượng m=500kg bán kính R=0,2 m đang quay xung
quanh 1 trục của nó với vận tốc n=480 vòng/phút. Tác dụng 1 momen hãm không đổi lên vô lăng. Tìm
momen hãm đó trong 2 trường hợp
a) vô lăng dừng lại sau khi hãm 50s
b) b) vô lăng dừng lại khi đã quay them được N=200 vòng
Giải:
= 480 ò \ ℎú = 16 \
a) ta có
AD định luật bảo toàn động năng dạ ng vi phân ta có:
=
Mặt khác:
1 1
+) = = ⇒ = .
2 2
+) = ⇒ = . =
⇒ =−
- ⇔ =−
{} {}
480.2
= 16 ( \)
⇒ =− =
60
{} {}
500.0,2 . 16
⇔ = ⇒ = = = 6,4
50
b) Vô lăng dừng lại khi đã quay thêm được 200 vòng
{ }
=−
{}
(16 ) 500(0,1) . 256
| |
⇔ = . ⇒ =
= = 12,8
400 400
Bài 43: Một người đứng ở giữa ghế (ghế quay xung quanh một trục thẳng đứng của mình) sao cho
phương của trọng lực tác dụng lên người trùng với trục quay của ghế. Hai tay người đó dang ra và cầm
hai quả tạ có khối lượng 2kg. Khoảng cách giữa hai quả tạ là 1,6m. Cho hệ gồm người và ghế quay với
vận tốc không đổi 0,5 vòng/s . tìm vận tốc của hệ gồm người và ghế khi co tay lại để khoả ng cách giữa
hai quả tạ bằng 0,6m. Cho biết momen quán tính của hệ gồm người và ghế (không kể hai quả tạ) là
2,5kgm2, bỏ qua ảnh hưởng khối lượng của hai cánh tay khi co lại.
Giải:
- Moomen của hệ ở thời điểm khi chưa co tay
⃗= ⃗+ ⃗ ∧ ∧⃗ +⃗ ∧ ⃗
Chiếu lên hệ tọa độ ta có
⃗ = + + .
- Moomen của hệ khi tay co lại
⃗= ⃗ +⃗ ∧ ⃗ +⃗ ∧ ⃗
Chiếu lên hệ tọa đọ ta có
= + . +
Mặt khác ta có = =2
= = = 0,8
= = = 0,3
= =
= =
Theo định luật bảo toản moomen ta có
=
+2 = +2
hay
2,5 + 2(0,8)
+2
⇒ = =
2,5 + 2(0,3) . 2
+2
- Bài 44: tấm tròn đồng chất khối lượng M bán kính r nằm ngang quay quanh trục thẳng đứng, lệch tâm với
độ lệch là a, Trên mép tấm có 1 người đứng, vận tốc ban đầu của tấm là . Coi người như 1 chất điểm
có khối lượng m. Bỏ qua ma sát ổ trục
Xác định công cần thiết mà người thực hiện để đi từ E đến trục quay
Giải:
Moomen của hệ ở thời điểm ban đầu
⃗= + ⃗ ∧ ( ∧ ⃗)
| |= | |+| |
Chiếu lên Oz ta có
= +
Moomen của hệ khi người đi đến trục quay
⃗= ⃗
Chiếu lên Oz ta có
=
áp dụng định luật bảo toàn moomen ta có
= ⇔ = +
⇔ = 1+
⇒ = . 1+
1
+
2
( + 1)
= − ó = ; = +
có
1 1
( )− (+)
⇒ = −
2 2
nguon tai.lieu . vn
