Xem mẫu
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
TÍCH PHÂN
A. NH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CH T C A TÍCH PHÂN
1. nh nghĩa:
Cho hàm s y=f(x) liên t c trên [ a; b] . Gi s F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s f(x) thì:
b
∫ f ( x )dx = [ F ( x )]a = F (b) − F (a)
b
( Công th c NewTon - Leiptnitz)
a
2. Các tính ch t c a tích phân:
a
∫ f ( x )dx = 0
• Tính ch t 1: N u hàm s y=f(x) xác nh t i a thì :
anh
a
b a
∫ f ( x )dx = −∫ f ( x)dx
• Tính ch t 2:
a b
b
∫ cdx = c(b − a)
• Tính ch t 3: V i c là h ng s thì
a
b
Tính ch t 4: N u f(x) liên t c trên [ a; b] và f ( x ) ≥ 0 thì ∫ f ( x )dx ≥ 0
leâ
•
a
Tính ch t 5: N u hai hàm s f(x) và g(x) liên t c trên [ a; b] và f ( x ) ≥ g( x ) ,∀x ∈ a;b
•
b b
f ( x )dx ≥ ∫ g( x )dx
∫
Thì
a a
Tính ch t 6: N u f(x) liên t c trên [ a; b] và m ≤ f ( x ) ≤ M ( m,M laø hai haèng soá) thì
•
vaên
b
m(b − a) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a)
a
Tính ch t 7: N u hai hàm s f(x) và g(x) liên t c trên [ a; b] thì
•
b b b
∫ [ f ( x ) ± g( x )] dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx
a a a
Tính ch t 8: N u hàm s f(x) liên t c trên [ a; b] và k là m t h ng s
• thì
b b
∫ k. f ( x )dx = k.∫ f ( x )dx
a a
Tính ch t 9: N u hàm s f(x) liên t c trên [ a; b] và c là m t h ng s
• thì
b c b
f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx
∫
a a c
Tính ch t 10: Tích phân c a hàm s trên [ a; b] cho trư c không ph thu c vào bi n s ,
•
b b b
f ( x )dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u)du = ...
∫
nghĩa là :
a a a
1
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I. PHƯƠNG PHÁP I BI N S :
b
1) D NG 1: Tính I = ∫ f[u(x)].u' (x)dx b ng cách t t = u(x)
a
u (b )
b
∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (1)
Công th c i bi n s d ng 1:
a u(a)
Cách th c hi n:
anh
t = u ( x) ⇒ dt = u ' ( x)dx
B ư c 1: t
x=b t = u (b)
⇒
B ư c 2: i c n :
x=a t = u (a)
Bư c 3: Chuy n tích phân ã cho sang tích phân theo bi n t ta ư c
u (b )
b
I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt (ti p t c tính tích phân m i)
leâ
a u (a)
b
2) D NG 2: Tính I = ∫ f(x)dx b ng cách t x = ϕ(t)
a
β
b
I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt
Công th c i bi n s d ng 2:
α
a
Cách th c hi n:
vaên
x = ϕ (t ) ⇒ dx = ϕ ' (t )dt
B ư c 1: t
t=β
x=b
⇒
B ư c 2: i c n :
t =α
x=a
Bư c 3: Chuy n tích phân ã cho sang tích phân theo bi n t ta ư c
β
b
I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt (ti p t c tính tích phân m i)
α
a
N u f(x) có ch a:
Chú ý:
−π π
; , ho c x = a .cos t v i t ∈ [0; π] .
(a 2 − x 2 )n thì t x = a . sin t v i t ∈
•
2 2
−π π
t x = a . tan t v i t ∈ 2 ; 2 , ho c x = a . cot t v i t ∈ (0; π) .
(a 2 + x 2 )n thì
•
a a
(x2 − a2 )
n
t x= ho c x =
• thì .
sin t cos t
2
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
II. TÍNH TÍCH PHÂN B NG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N:
Công th c tích phân t ng ph n:
b b
∫ u ( x).v' ( x)dx = [u ( x).v( x)]a − ∫ v( x).u ' ( x)dx
b
a a
b b
∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu
b
Hay:
a a
anh
Cách th c hi n:
du = (?)'.dx
u = ?
⇒
B ư c 1:
t
dv = (coøn laïi ) v ∈ ∫ (coøn laïi) (thöôøng choïn C = 0)
b b
Bư c 2: Thay vào công th c tích phân t ng t ng ph n : ∫ udv = [u.v ]a − ∫ vdu
b
leâ
a a
b
Bư c 3: Tính [u.v ]
b
và ∫ vdu
a
a
b
∫ f(x)g(x)dx
Chú ý: Gi s c n tính tích phân ta th c hi n
a
vaên
t u = f(x), dv = g(x)dx (ho c ngư c l i) sao cho d tìm nguyên hàm v(x) và vi phân du = u/ (x)dx
b
∫ vdu
không quá ph c t p. Hơn n a, tích phân ph i tính ư c.
a
c bi t:
b b b
∫ P(x) sin axdx, ∫ P(x) cos axdx, ∫ e t u = P(x) .
ax
.P(x)dx v i P(x) là a th c thì
i/ N u g p
a a a
b
∫ P(x).ln (ax + b)dx t u = ln n (ax + b) .
n
ii/ N u g p thì
a
b b
∫e ∫e
αx αx
t u = LG .
. sin axdx , .cos axdx thì ta tính hai l n t ng ph n b ng cách
iii/ N u g p
a a
3
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
C. PHÂN LO I M T S D NG TÍCH PHÂN
I. TÍCH PHÂN LƯ NG GIÁC
1. D ng b c l v i hàm sin.
Phương pháp chung:
t t = cosx khi ó dt = - sinx.dx, sau ó ưa tích phân ban u v tích phân theo bi n t.
Chú ý:
sin2 x = 1 − cos2 x = 1 − t2 .
(sin x)2n+1 = (sin2 x)n . sin x = (1 − t2 )n . sin x
π
2
anh
∫ cos
Ví d 1 (b c sin l ). Tính tích phân I = 2
x sin 3 xdx .
0
Gi i
t t = cos x ⇒ dt = − sin xdx
π
i c n: x = 0 ⇒ t = 1, x = ⇒ t = 0
2
π
0 1
t3 t5
1
2
2
∫ cos x(1 − cos x) sin xdx = −∫ t (1 − t )dt = ∫
⇒I= (t − t )dt = − =
2 2 2 2 2 4
.
leâ
3 5 0 15
0 1 0
2. D ng b c l v i hàm cos.
Phương pháp chung:
t t = sinx khi ó dt = cosx.dx, sau ó ưa tích phân ban u v tích phân theo bi n t.
Chú ý:
cos2 x = sin2 x = 1 − t2 .
vaên
(cos x)2n+1 = (cos2 x)n .cosx = (1 − t2 )n .cosx
π
2
∫ cos
Ví d 2 (b c cosin l ). Tính tích phân I = 5
xdx .
0
Gi i
t t = sin x ⇒ dt = cos xdx
π
i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒t=1
2
π π
1
t5
1
2 2
2t3 8
+ =
∫ ∫ ∫ (1 − t2 )2 dt = t −
⇒I= cos xdx = (1 − sin x) cos xdx =
5 2 2
.
5 0
3 15
0 0 0
3. D ng b c ch n v i hàm sin và cos.
Phương pháp chung: S d ng công th c h b c
Chú ý:
1 + cos 2x 1 − cos 2x
cos2 x = ; sin2 x =
2 2
1
( )
n
sin x. cos x = sin 2x ; sin x = sin2 x
2n
2
4
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
π
2
∫ cos
Ví d 3 (b c sin và cosin ch n). Tính tích phân I = 4
x sin2 xdx .
0
Gi i
π π π π
2 2 2 2
1 1 1
∫ cos ∫ cos2 x sin2 2xdx = 16 ∫ (1 − cos 4x)dx + 4 ∫ cos 2x sin2 2xdx
I= x sin2 xdx =
4
40
0 0 0
π π
π
x sin 3 2x 2
2 2
= π.
1
1 1
∫ (1 − cos 4x)dx + ∫ sin2 2xd(sin 2x) = − sin 4x +
=
16 64
24 0 32
16 0 80
π
2
dx
∫
Ví d 4. Tính tích phân I = .
cos x + sin x + 1
0
Gi i
( )
x 1 x 2dt
t = tg
⇒ dt = tg2 + 1 dx ⇒ dx = 2
anh
t:
t +1
2 2 2
π
i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 1
2
1 1
1 2dt dt
∫ ∫
⇒I= = = ln t + 1 = ln 2 .
1
.
t+1
1 − t2 1 + t2 0
2t
+ +1
0 0
1+ t 1 + t2
2
leâ
4. D ng liên k t
π
xdx
∫
Ví d 5. Tính tích phân I = .
sin x + 1
0
Gi i
t x = π − t ⇒ dx = −dt
i c n: x = 0 ⇒ t = π, x = π ⇒ t = 0
π π π
vaên)
0
( )
(π − t)dt π
π dt dt
t
∫ sin t + 1 − sin t + 1 dt = π∫ sin t + 1 − I ⇒ I = 2 ∫ sin t + 1
⇒ I = −∫ =
sin(π − t) + 1
π 0 0 0
( )
tπ
d−
π
π π
(
π π t ππ
π π
dt dt 24
=∫
=∫ =∫ = tg − = π.
( )
( )
2 0 cos2 t − π
4 0 cos2 t − π
( )
2
2 2 40
20 t t
+ cos
sin
24
24
2 2
V y I = π.
T ng quát:
π π
π
∫ xf(sin x)dx = ∫ f(sin x)dx .
20
0
5
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
π
2
sin2007 x
∫
Ví d 6. Tính tích phân I = dx .
sin2007 x + cos2007 x
0
Gi i
π
t x = − t ⇒ dx = −dt
2
π π
i c n: x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t = 0
2 2
2007 π
( )
π
−t
sin
0 2
cos2007 t
2
∫
⇒ I = −∫ dx = dx = J (1).
π π
( ) ( ) sin2007 t + cos2007 t
− t + cos2007 −t
π sin 2007 0
2 2
2
π
2
π π
anh
∫ dx = 2
M t khác I + J = (2). T (1) và (2) suy ra I = .
4
0
T ng quát:
π π
2 2
π
n
cos n x
sin x
∫ ∫
dx = dx = , n ∈ Z+ .
sin x + cosn x sin x + cos x
n n n
4
0 0
π π
6 6
sin2 x cos2 x
leâ
∫ ∫
Ví d 7. Tính tích phân I = dx và J = dx .
sin x + 3 cos x sin x + 3 cos x
0 0
Gi i
π π
π
6 6
sin x − 3 cos x
2 2
( )
∫ sin x + ∫ (sin x −
I − 3J = dx = 3 cos x)dx = − cos x − 3 sin x = 1 − 3 (1)
• 6
0
3 cos x
0 0
π π
6 6
dx 1 dx
vaên
∫ dx = ∫
I+J=
•
2 0 sin x + π
( )
sin x + 3 cos x
0
3
π
t t = x + ⇒ dt = dx
3
π π π
i c n: x = 0 ⇒ t = , x = ⇒ t =
3 6 2
π π π π
( )
2 2 2 2
d(cos t)
1 dt 1 sin tdt 1 1 1 1
∫ sin t = 2 ∫ sin2 t = 2 ∫ cos2 t − 1 = 4 ∫ cos t − 1 − cos t + 1 d(cos t)
⇒ I+J =
2π π π π
3 3 3 3
π
cos t − 1
1 1
2
= =
ln ln 3 (2).
cos t + 1 π
4 4
3
1− 3
3
I − 3J = 1 − 3 I = ln 3 +
T (1) và (2) ⇒
16 4.
⇔
1
I + J = ln 3
J = 1 ln 3 − 1 − 3
4
16 4
1− 3 1− 3
3 1
V yI= ln 3 + , J= ln 3 − .
16 4 16 4
6
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
1
ln(1 + x)
∫
Ví d 8. Tính tích phân I = dx .
1 + x2
0
Gi i
t x = tgt ⇒ dx = (1 + tg2 t)dt
π
i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = 1 ⇒ t =
4
π π
ln(1 + tgt)
4 4
∫ ∫ ln(1 + tgt)dt .
( 1 + tg2 t ) dt =
⇒I=
1 + tg t
2
0 0
π
t t = − u ⇒ dt = −du
4
π π
i c n: t = 0 ⇒ u = , t = ⇒ u = 0
4 4
anh
π
0
4
π
∫ ln(1 + tgt)dt = −∫ ln 1 + tg ( 4 − u ) du
⇒I=
π
0
4
π π π π
4 4 4 4
1 − tgu π
2
du =
∫ ∫ 1 + tgu du = ∫ ln 2du − ∫ ln ( 1 + tgu ) du = 4 ln 2 − I .
ln 1 + ln
=
1 + tgu
0 0 0 0
π
leâ
V y I = ln 2 .
8
π
4
cos x
∫ 2007
Ví d 9. Tính tích phân I = dx .
+1
x
π
−
4
Gi i
t x = −t ⇒ dx = −dt
π π π π
vaên
i c n: x = − ⇒ t = , x = ⇒ t = −
4 4 4 4
π π
−
cos(−t)
4 4
2007 t cos t
⇒ I = −∫ ∫π 1 + 2007 t dt
dt =
2007−t + 1
π
−
4 4
π π
∫ ( 1 − 2007 ) cos tdt
(1 + 2007 ) − 1
4 4
t
1
∫
= cos tdt =
1 + 2007 t +1
t
π π
− −
4 4
π π π
4 4 4
1 2
∫ cos tdt − I ⇒ I = 2 ∫ cos tdt = ∫ cos tdt =
= .
2
π π 0
− −
4 4
T ng quát:
V i a > 0 , α > 0 , hàm s f(x) ch n và liên t c trên o n [ −α; α ] thì
α α
f(x)
∫ a x + 1 dx = ∫ f(x)dx .
−α 0
7
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
Ví d 10. Cho hàm s f(x) liên t c trên » và th a f (−x) + 2f(x) = cos x .
π
2
∫ f(x)dx .
Tính tích phân I =
π
−
2
Gi i
π
2
∫ f(−x)dx , x = −t ⇒ dx = −dt
tJ=
π
anh
−
2
π π π π
i c n: x = − ⇒t= , x= ⇒t=−
2 2 2 2
π π π π
2 2 2 2
∫ f(−t)dt = J ⇒ 3I = J + 2I = ∫ [ f(−x) + 2f(x) ] dx = ∫ cos xdx = 2∫ cos xdx = 2
⇒I=
π π π 0
− − −
2 2 2
leâ
.
2
V y I= .
3
ôi khi ta ph i i bi n s trư c khi l y tích phân t ng ph n.
* Chú ý:
π2
4
∫ cos
Ví d 4. Tính tích phân I = xdx .
0
vaên
Gi i
tt= x ⇒ x = t ⇒ dx = 2tdt2
π2 π
i c n: x = 0 ⇒ t = 0, x = ⇒t=
4 2
π
π
2
⇒ I = 2 ∫ t cos tdt = 2 ( t sin t + cos t ) 0 = π − 2 .
2
0
V y I = π − 2.
e
∫ sin(ln x)dx .
Ví d 5. Tính tích phân I =
1
Gi i
t t = ln x ⇒ x = e ⇒ dx = e dt t t
i c n: x = 1 ⇒ t = 0, x = e ⇒ t = 1
1 1
( sin t − cos t ) e t (sin1 − cos1)e + 1
∫
⇒I= e t sin tdt = = .
2 2
0
0
(sin1 − cos1)e + 1
VyI= .
2
8
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
II. TÍCH PHÂN CH A GIÁ TR TUY T I
Phương pháp gi i toán
1. D ng 1
b
∫
Gi s c n tính tích phân I = f(x) dx , ta th c hi n các bư c sau
a
Bư c 1. L p b ng xét d u (BXD) c a hàm s f(x) trên o n [a; b], gi s f(x) có BXD:
anh
a x1 x2 b
x
−0
+ +
0
f (x)
b x1 x2 b
∫ ∫ f(x)dx − ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx .
Bư c 2. Tính I = f(x) dx =
a a x1 x2
2
∫
Ví d 1. Tính tích phân I = x 2 − 3x + 2 dx .
leâ
−3
Gi i
B ng xét d u
−3
x 1 2
−0
+
x − 3x + 2 0
2
1 2
59
∫ (x − 3x + 2 ) dx − ∫ ( x 2 − 3x + 2 ) dx =
I= 2
.
2
vaên
−3 1
π
2
∫
Ví d 2. Tính tích phân I = 5 − 4 cos2 x − 4 sin xdx .
0
Gi i
π π
2 2
∫ ∫
I= 4 sin2 x − 4 sin x + 1dx = 2 sin x − 1 dx .
0 0
B ng xét d u
π π
x 0
6 2
− +
2 sin x − 1 0
π π
6 2
π
I = −∫ ( 2 sin x − 1 ) dx + ∫ ( 2 sin x − 1) dx = 2 3 −2− .
6
π
0
6
2. D ng 2
b
∫ [ f(x)
Gi s c n tính tích phân I = ± g(x) ] dx , ta th c hi n
a
Cách 1.
b b b
∫ [ f(x) ∫ ∫
Tách I = ± g(x) ] dx = f(x) dx ± g(x) dx r i s d ng d ng 1 trên.
a a a
Cách 2.
Bư c 1. L p b ng xét d u chung c a hàm s f(x) và g(x) trên o n [a; b].
Bư c 2. D a vào b ng xét d u ta b giá tr tuy t i c a f(x) và g(x).
9
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
2
∫(x
Ví d 1. Tính tích phân I = − x − 1 ) dx .
anh
−1
Gi i
Cách 1.
2 2 2
∫(x ∫ x dx − ∫ x − 1 dx
I= − x − 1 ) dx =
−1 −1 −1
0 2 1 2
leâ
= −∫ xdx + ∫ xdx + ∫ (x − 1)dx − ∫ (x − 1)dx
−1 −1
0 1
x
− x − x = 0 .
20 22 1
2
2 2
x x
+ − x
=− +
2 −1 2 1
2 2
−1 0
Cách 2.
B ng xét d u
x –1 0 1 2
vaên
x – 0 + +
x–1 – – 0 +
0 1 2
∫ ( −x + x − 1) dx + ∫ ( x + x − 1) dx + ∫ ( x − x + 1) dx
I=
−1 0 1
+ (x − x) 0 + x
1
= −x = 0.
2
0 2
−1 1
V y I = 0.
3. D ng 3
b b
∫ max { f(x), ∫ min { f(x),
tính các tích phân I = g(x) } dx và J = g(x) } dx , ta th c hi n các bư c
a a
sau:
Bư c 1. L p b ng xét d u hàm s h(x) = f(x) − g(x) trên o n [a; b].
Bư c 2.
+ N u h(x) > 0 thì max { f(x), g(x) } = f(x) và min { f(x), g(x) } = g(x) .
+ N u h(x) < 0 thì max { f(x), g(x)} = g(x) và min { f(x), g(x)} = f(x) .
4
∫ max { x + 1, 4x − 2 } dx .
Ví d 1. Tính tích phân I = 2
0
Gi i
t h(x) = ( x 2 + 1 ) − ( 4x − 2 ) = x 2 − 4x + 3 .
B ng xét d u
x 0 1 3 4
h(x) + 0 – 0 +
1 3 4
80
∫ (x ∫ ( 4x − 2 ) dx + ∫ ( x
+ 1 ) dx + + 1 ) dx =
I= 2 2
.
3
0 1 3
80
V yI= .
3
10
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
2
∫ min { 3 ,
Ví d 2. Tính tích phân I = 4 − x } dx .
x
0
Gi i
t h(x) = 3x − ( 4 − x ) = 3x + x − 4 .
B ng xét d u
x 0 1 2
h(x) – 0 +
1 2
3x 1 x2
2
2 5
+ 4x − =
∫3 ∫
I= dx + ( 4 − x ) dx = +.
x
ln 3 0 2 1 ln 3 2
anh
0 1
2 5
V yI= +.
ln 3 2
D NG HÀM VÔ T .
III. TÍCH PHÂN C A M T S
dx
leâ
1.Tích phân d ng: ∫ (v i a ≠ 0)
ax 2 + bx + c
Cách làm:
Bi n i ax 2 + bx + c v m t trong các d ng ,sau ó th c hi n phép i bi n tương ng ta s ưa
v vi c tính tích phân c a hàm h u t .
π π
t t = a.tgu (ho c a.cotgu) v i u ∈ − ; (ho c u ∈ (0; π) ).
a) a 2 + t 2
2 2
vaên
π π
t t = a.Sinu(ho c a.Cosu) v i u ∈ − ; (ho c u ∈ [0; π] .
b) a 2 − t 2
2 2
π π π
a a
) v i u ∈ [0; π] - (ho c u ∈ − ; - {0} )
c) t 2 − a 2 tt= (ho c t =
2 2 2
Cosu Sinu
Chú ý công th c:
dx
∫ = ln x + x 2 + a +C (C là h ng s tuỳ ý)
x +a
2
Ch ng minh:
x t.dx
x 2 + a ⇒ dt = 1 + dx =
tt=x+
x2 + a
x +a
2
dt dx dx dt
V y: ∫ = ∫ = ln t + C = ln x + x 2 + a + C ( PCM)
=
T ó ta có :
x +a x +a
t t
2 2
du
V i hàm h p: ∫ = ln u + u 2 + a + C (*)Trong ó u = u(x).
u +a
2
3
2
dx
∫
Ví d 1:Tính I=
2x − x 2
1
3
2
dx
∫
I=
1 − ( x − 1) 2
1
11
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
π
3
và dx = cost.dt
i c n: x =1 ⇒ t = 0 ⇒t =
t x - 1 = sint . , x=
6
2
Π Π
π
6 6
cos tdt Π
∫ = ∫ dt = t
v yI= =
6
0
6
1 − sin t 2
0 0
3
dx
∫
Ví d 2:Tính J =
4x + 4x − 3 2
2
1
dx = ln x + x 2 + k + C (*) (
Công th c: ∫ i bi n s )
2
x +k
3
3
dx
dx
∫
Áp d ng công th c (*) ta có: J = ∫ =
(2 x + 1) 2 − 3
4x 2 + 4x − 3 2
2
1 7 + 45
d (2 x + 1)
3
1 3
1
= ln 2 x + 1 + 4 x 2 + 4 x − 3 = ln .
=∫
2 5 + 21
2 2 (2 x + 1) 2 − 4 2
2
anh
1+ 2 1+ 2
2 2
dx dx
∫ ∫
Ví d 3: Tính K = =
4x 2 − 4x + 3 (2 x − 1) 2 + 2
1 1
2 2
Cách 1: Áp d ng công th c (*) ta có:
1+ 2 1+ 2
2
dx1 2
∫ = ln 2 x + 1 + 4 x 2 − 4 x + 3 = ln 1 + 2 .
K=
leâ
(2 x − 1) + 2 2
2 1
1
2
2
2 tan t
Cách 2: t 2x - 1 =
Chú ý:
N u m u th c có th khai căn ư c thì ta có th gi i bài toán m t cách ơn gi n hơn như sau:
0
dx
Ví d 4: Tính M = ∫
−2 4 x − 4 x + 1
2
vaên
0
dx
∫ 2x − 1 =
M=
−2
1 d (1 − 2 x)
0 0
dx 1 1
0
∫21 − 2 x = − 2 −∫2 1 − 2 x = − 2 ln 1 − 2 x
= = - ln 5
2
−2
−
2.Tích phân d ng: ∫ ( Ax + B)dx V i a.A ≠ 0
ax 2 + bx + c
Cách làm:
Tách tích phân ã cho thành hai tích phân có chung m u là ax 2 + bx + c ,m t tích phân có t là o
hàm c a tam th c b c hai,m t tích phân có t là h ng s .
( Ax + B)dx 2ax + b M .dx
T c là tách: ∫ =∫ dx + ∫
ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c
( x + 4)dx
Ví d 1:Tính I = ∫
x2 + 2x − 3
12
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
1 (2 x + 2)dx
( 2 x + 2) + 6
1 6dx
∫ ∫ +∫ =
dx =
Ta có: I=
x 2 + 2x − 3 2 x 2 + 2x − 3 x 2 + 2x − 3
2
x 2 + 2 x − 3 + 3 ln x + 1 + x 2 + 2 x − 3 + C
=
( x + 2)dx
0
∫
Ví d 2:Tính J =
x 2 + 2x + 2
−1
( x + 2)dx ( 2 x + 2) + 2
0 0
1
∫ ∫ dx
Ta có: J = =
x 2 + 2x + 2 x 2 + 2x + 2
2
−1 −1
(2 x + 2)dx
0 0
dx
1
∫ +∫
=
x + 2x + 2 x + 2x + 2
2 2 2
−1 −1
0
= x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2 = 2 − 1 + ln(1 + 2)
−1
dx
3.Tích phân d ng: ∫ (V i α .a ≠ 0 )
(αx + β ) ax 2 + bx + c
1
Cách làm: t αx + β = chuy n tích phân c n tính v tích phân d ng (a).
anh
t
1
dx
Ví d 1: Tính I = ∫
0 ( x + 1) x + 2 x + 2
2
1 1 dt
t x +1 = . i c n: x = 0 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = và dx = - 2 .
t 2 t
2(1 + 2)
1
dt 1
leâ
∫ = ln t + t 2 + 1
Ta có: I = = ln
1+ 5
t +1
2 1
1
2
2
3
dx
∫ ( x − 1)
Ví d 2: Tính J =
x2 +12
t +1
1
t x -1 = ⇔ x =
vaên
t t
1 dt
i c n: x = 2 thì t = 1 , x = 3 thì t = và dx = -
t2
2
dt
1
− 1
2
1 dt
t2
∫ ∫
Tích phân c n tính là: I = =
t2 + t +
2
2
1 t +1 1
1
1
+1
2
2
tt
1
d t +
3 + 10
1
2
1 1
1 1 1
ln
∫ ln t + + t2 + t + 1
= = =
2 2+ 5
2
2
2
2
2
1 1
1
1
t + + 2
2
2 4
13
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
ln 2 x
e dx
∫ (1 + e
Ví d 3: Tính K =
) 1 − e x + e2x
x
0
t t = ex ⇒ dt = exdx. x = 0 ⇒ t = 1 ; x = ln2 ⇒ t = 2
i c n:
2
dt
Ta có: K = ∫
1 (1 + t ) 1 − t + t
2
1 dt du 1
ta có: du = − ⇒ dt = − 2 và t = − 1
t u=
1+ t (1 + t ) 2
u
u
1
1
du − 1
2
2
1
2
1 3
1 1 1 2
∫ ln u − + u − +
V y K= = = ln 3
2 12 6
2
2
3 3
1 1
1
1
u − + 3
3
anh
2 12
Π
2
cot gxdx
∫
Ví d 4: Tính N =
Sin 2 x + 2
Π
6
Π Π
2 2
cot gxdx cos xdx
∫ ∫ Sinx
Ta có : N = =N=
leâ
Sin 2 x + 2 Sin 2 x + 2
Π Π
6 6
1 2
dt 1 du
1
∫t ∫
t t = sin x thì : N= Li t u = thì N = =
t +2 t
2
2 1
u+
1 2
1
2
2
2 2 +3
1 2
1 1
ln
ln u + u 2 +
= =
2 2+ 3
2
2
vaên
1
f ( x)dx
4. Tích phân d ng: ∫ V i a ≠ 0 b c f(x) ≥ 2,f(x) là a th c.
ax 2 + bx + c
f ( x)dx dx
Cách làm:Tách ∫ = g(x). ax 2 + bx + c + λ ∫
ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c
V i g(x) là a th c , b c g(x)+1 = b c f(x).
Tìm các h s c a g(x) và s λ b ng phương pháp h s b t nh.
( x 2 + 1)dx
Ví d 1: Tính M = ∫
x 2 + 2x + 3
( x 2 + 1)dx dx
= ( Ax + B ) x 2 + 2 x + 3 + λ ∫
Tách : ∫
x + 2x + 3
x + 2x + 3
2 2
λ
( Ax + B)( x + 1)
x +1
2
= A. x 2 + 2 x + 3 +
L y o hàm hai v ta có: +
x + 2x + 3 x + 2x + 3
x + 2x + 3
2 2 2
1 3
ng nh t h s ta có : A = ; B = − ; λ = 1
2 2
x−3 2 x−3 2
dx
x + 2x + 3 + ∫ x + 2 x + 3 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 3 + C
V yM= =
x + 2x + 3
2 2
2
14
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
x − x +1
3
∫
Ví d 2: Tính N = dx
x2 + 2x + 2
x3 − x +1 dx
dx = ( Ax 2 + Bx + C ) x 2 + 2 x + 2 + λ ∫
Ta có : ∫ (1)
x + 2x + 2
x + 2x + 2
2 2
L y o hàm hai v c a (1) và quy ng ta có:
x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D
ng nh t h s ta có
1
A = 3
3 A = 1
B = −5
5A + 2B = 0 6
⇔
4 A + 3B + C = −1 C = 1
2 B + C + D = 1 6
anh
D = 5
2
( ) dx
1 5
∫ x 2 + 2x + 2
M = 2x 2 − 5x + 1 x 2 + 2 x + 2
V y có: +
6 2
( )
1 5
2 x 2 − 5 x + 1 x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2 + C
=
6 2
x(x − 1)( x + 1)
leâ
0
Ví d 3: Tính P = ∫ dx
x 2 + 2x + 2
−1
áp d ng ư c ví d 2 ta làm như sau:Tách tích phân c n tính thành hi u c a hai tích phân:
x(x − 1)( x + 1) x3 − x x3 − x + 1
0 0 0 0
dx
P= ∫ dx = ∫ dx = ∫ dx - ∫
x 2 + 2x + 2 −1 x + 2 x + 2 −1 x + 2 x + 2 −1 x + 2 x + 2
2 2 2
−1
0
( )
dx 0
1 3
( )
∫ 2 x 2 − 5 x + 1 x 2 + 2 x + 2 + ln x + 1 + x 2 + 2 x + 2
=N- =
vaên
x 2 + 2x + 2 6 2 −1
−1
1 43
2 − + ln 1 + 2 .
=
6 32
dx
5. Tích phân d ng: ∫ v i m, n ∈ N * , a.c ≠ 0
(ax + b) m (cx + d ) 2 n − m
n
m
ax + b
t t= ta s
Cách làm: ưa v tính tích phân c a hàm h u t .
n
cx + d
1
dx
∫
Ví d : Tính I =
(3 x + 1) 3 (5 x + 4)
0
3 3
3x + 1 3x + 1
Ta th y m = 3; n = 2 ⇒t =
2
t t=
5x + 4 5x + 4
2
3x + 1 7 dx dx 2dt
⇒ 2tdt = 3. ⇒ =3
.
5 x + 4 (5 x + 4) (5 x + 4)
2 2
21 t
1 8
x=0⇒t = ; x =1⇒ t =
i c n:
8 27
15
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
8 8 8
4
1
1 27 27
dx 2dt2 −
dx 1
2 27
∫ =∫ ∫ t 3 dt = − 73 t
∫
V y:I= = = =
3
(3 x + 1) 3 (5 x + 4) 21 1 7
3
1 21t. t
3x + 1 1
(5 x + 4)2
0 0
8
8 8
5x + 4
ax + b
V i (a.c ≠ 0 )
6. Tích phân d ng: ∫ dx
cx + d
ax + b
Cách làm: Cách 1: t t =
cx + d
anh
Cách 2: t t = cx + d
V i cách t trên ta s ưa tích phân c n tính thành tích phân ơn gi n hơn.
1+ x
1
Ví d :Tính J = ∫ dx
3− x
0
dx dx
t t = 3 − x ⇒ dt = − ⇒ = −2dt
Ta th c hi n theo cách t 2:
2 3− x 3− x
leâ
Khi ó x = −t 2 + 3 ⇒ 1 + x = 4 − t 2
1+ x
1 2
∫ dx = − 2 ∫ 4 − t 2 dt
V yJ=
3− x
0 3
π π
t t = 2siny t= 3⇒y= ; t= 2⇒y=
i c n:
3 4
π π
π
1 + cos2 y
3 3
4
vaên
dt = 2.cosydy V y : J = −2 ∫ 4 − 4sin2 y .2cosydy = 4.∫ 2cos 2 ydy = 8∫ dy
2
π π π
3 4 4
π
π
3
( 4 y + 2sin2 y ) + 3 −2
= =
3
π
4
7. Tích phân d ng: ∫ R[x; n u ; m u ]dx
t t = k u V i k là BCNN c a m và n.
Cách làm:
1− x +1
0
∫1+
Ví d 1 :Tính I = dx
x +1
3
−1
t t = x + 1 ⇒ t 6 = x + 1(t ≥ 0) ⇒ 6t 5 dt = dx
6
1− t3
1− x +1
1
0
dx = ∫ 6t 5
∫1+ dt
I=
1+ t2
x +1
3
−1 0
1
6
6t
= ∫ − 6t 6 + 6t 4 + 6t 3 − 6t 2 + 6t + 6 + 2 −2 dt
t +1 t + 1
0
Tích phân này d dàng tính ư c.
16
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
x +1 − 2
3
∫x
Ví d 2 : Tính J = dx
+ 2x + x + 1 + 1
2
0
t t = x + 1 ⇒ 2tdt = dx
x +1 − 2
3
2(t − 2)tdt 2t − 4 Bt + C
2 2 2
A
∫ x 2 + 2x + x + 1 + 1 1 t 4 + t = dx = ∫ ∫ t 3 + 1 dt = ∫ t + 1 + t 2 − t + 1 dt
J=
1
0 1
ng nh t h s ta có: A = −2; B = 2; C = −2
1
dt −
2t − 2 d (t − t + 1)
2 2 2
2
− ∫ 2
2
2 2
2
V y J = − 2 ln t + 1 + ∫ 2 dt = 2 ln + ∫ 2 = 2 ln + ln t 2 − t + 1 + L
1 t − t +1
3 1 t − t +1 1 t − t +1
3
1
4 π
anh
1 3
tgu Ta có áp s là: I = ln −
t t− =
Tính L b ng cách .
3 33
2 2
8.Tích phân d ng: ∫ x r (a + bx p ) q dx (p,q,r là các phân s )
s
a)N u q nguyên t x= t v i s là BCNN c a m u s r và p.
r +1
nguyên t a + bx p = t s v i s là m u c a phân s q.
b)N u
p
r +1
leâ
+q nguyên t ax − p + b = t s v i s là m u s c a phân s q.
c) N u
p
dx
Ví d 1 : Tính I = ∫
x ( x − 1) 3
4
−3
1
1
dx −
= ∫ x − 1 + x 4 dx
Vi t tích phân c n tính d ng sau: I = ∫ 2
x (4 x − 1) 3
vaên
4 3
Vì q=-3 nguyên nên t x= t ta có dx=4t dt
1 1
4t 3 dt 1 1 1
tdt
= 4∫
=4 ∫
I= ∫ 2 − − dt = 4 − + − ln t − 1 + C
t − 1
(t − 1) (t − 1) 2(t − 1) t −1
t (t − 1) (t − 1)
3 3 3 2 2
.
x 5 dx
(a > 0)
Ví d 2 : Tính J = ∫
(a − x 2 ) a − x 2
−3
r +1 5 +1
∫ x (a − x ) 2 dx Vì = = 3 nguyên nên t a-x2 = t2
5 2
Ta có: J =
p 2
⇒ x 4 = (a − t 2 ) 2 ⇒ −2 xdx = 2tdt ⇒ xdx = −tdt
(a − t ) tdt
22
t 4 − 2at 2 + a 2 a2
1
V yJ= −∫ = -∫ dt = − t 3 + 2at + +C.
t3 t3 t
3
∫ ax − x 3 dx
3
Ví d 3 : Tính N =
1 1
∫ ∫ x 3 (a − x ) 3 dx
ax − x 3 dx =
3 2
Ta có: N =
r +1
1 1
t ax −2 − 1 = t 3 hay
Do r = ; p = 2; q = + q = 1 nguyên nên ta
vì
p
3 3.
17
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
3at 2 dt
a a
−1 = t 3 ⇔ x2 = 3 ⇒ dx 2 = − 3
t +1 (t + 1) 2
x2
1 3at 2 t 3 dt
13a 3a
− 1dx = ∫ t − 3
V y N= ∫ dt = − ∫ 3
2
=
2 (t + 1) 2 2 (t + 1) 2
x2
2
1 at a dt
a
∫ td t 2 + 1 = 2(t 2 + 1) − 2 ∫ t 3 + 1 (Tích phân này d dàng tính ư c).
=
2
9.Các phép th Euler:
ax 2 + bx + c = ± a .x + t N u a >0
a) t
ax 2 + bx + c = x.t ± c
b) t Nêú c>0
anh
ax 2 + bx + c = t ( x − x0 )
c) t N u x0 là nghi m c a TTB2
1
dx
∫
Ví d 1 :Tính M =
x 2 + 6x + 5
0
t x 2 + 6 x + 5 = a .x + t = x + t
a=1 >0 S d ng phép th th nh t
t2 −5
⇒ x 2 − 6x + 5 = (x + t) 2 ⇔ x = −
2t − 6
leâ
2(−t + 6t − 5)
2
dx = dt
Suy ra:
(2t − 6) 2
− t 2 + 6t − 5
x + 6x + 5 =
2
− 2t + 6
x=0⇒t = 5
Vi
x = 1 ⇒ t = 2 3 −1 (Chú ý r ng x + t > 0 )
vaên
3− 5
2 3 −1 2 3 −1
dt
= ln
∫ = - ln − t + 3
Ta có: I= 2 3 −2
−t +3
5
5
−2
x − x + 3x + 2
2
∫ x+
Ví d 2 :Tính P = dx
x 2 + 3x + 2
−5
Tam th c b c hai x2+3x+2 có nghi m là -1.Theo phép th th ba, t
x 2 + 3 x + 2 = t ( x + 1) ; t ≤ 0∀x ∈ [− 2;−1]
−t2 + 2 − 2tdt
⇒ x + 2 = t 2 ( x + 1) ⇒ x = v y dx =
t 2 −1 (t 2 − 1) 2
−2
x − x 2 + 3x + 2 − 2t 2 − 4t
0
∫ x+ ∫ (t − 2)(t − 1)(t + 1) 3 dt
dx =
Khi ó: P =
x 2 + 3x + 2
−5 3
−
2
0 0 0 0 0
dt dt
1 5 17 dt 3 dt 16 dt
∫ (t + 1) 3 + 18 ∫ (t + 1) 2 - 108 ∫ t + 1 dt + 4 ∫ t − 1 dt - 27 ∫ dt
=
t−2
3 3 3 3 3 3
− − − − −
2 2 2 2 2
3
−
1
5 17 3 16 2
+ + ln t + 1 − ln t − 1 + ln t − 2
= .
18(t + 1) 108
6(t + 1)
2
4 27 0
18
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
7
−
2
dx
∫
Ví d 3 :Tính L =
− x 2 − 3x + 4
−3
Vì c = 4 >0 có th s d ng phép th th hai.
− x 2 − 3 x + 4 = xt + c = xt + 2
t
0
dt
∫t
Chuy n vi c tính tích phân trên v vi c tính tích phân
+1
2
−1
10.M t s bài toán khác:
Ngoài các d ng trên thì có nh ng bài có th áp d ng tr c ti p công th c tích phân,ho c s d ng m t
s phép bi n i ơn gi n.Sau ây là m t s ví d :
−3
dx
Ví d 1: Tính I1 = ∫ t t = 1− x
−8 x 1 − x
1
anh
∫x x + 1dx t t = 3 x +1
3
Ví d 2: Tính I2 =
0
7
2
dx
∫ t t = 3 2x + 1
Ví d 3: Tính I3 =
2x + 1
3
0
7 7
(2 x + 1) 2
1
2 3
−
1 9
2
Có th trình bày như sau: I3 = ∫ (2 x + 1) 3 d (2 x + 1) = =
leâ
20 4
3 0
1
dx
∫
Ví d 4: Tính I4 =
x +1 − x
0
1
2 2 3 1 42
(x + 1)3
Ta có : I4 = ∫ ( x + 1 + x )dx = + x =
3 0 3
3
0
vaên
1
∫ 4 − x 2 dx
Ví d 5: Tính
0
Cách1: S d ng phương pháp l y tích phân t ng ph n
u = 4 − x2
t
dv = dx
Cách 2: t x =2Sint (Vì ây là tích phân d ng 1-b)
2Π
áp s : 3 +
3
n
∫ x 2 − a 2 dx
Ví d 6: Tính
m
Dùng phương pháp l y tích phân t ng ph n v i u = x 2 − a 2 ; dv = dx .
x 2 n
a2
Ta có k t qu là :
x − a2 − ln x + x 2 − a 2
2 m
2
dx
(0 < a ≠ 1)
Ví d 7: Tính ∫
1+ a x
19
http://www.anhlevan.tk
- Gi i tích 12NC Th y: Lê Văn Ánh
x
dx 2 dt 2
−
∫ ∫ 1 + t 2 = − ln a ln t + 1 + t + C
=−
t t=a 2
2
ta có:
1+ a ln a
x
anh
x
x.e dx
∫
Ví d 8: Tính
1+ ex
(t > 1)
t t = 1+ ex
x.e x dx
∫ = 2 ∫ ln(t 2 − 1)dt = 2 ∫ ln(t − 1)dt + 2 ∫ ln(t + 1)dt
Ta có:
1+ e x
= 2(t − 1) ln(t − 1) + 2(t + 1) ln(t + 1) − 4t + C
leâ
x
x.e dx
∫ = 2( x − 2) 1 + e x + 4 ln(1 + 1 + e x ) − 2 x + C
V y:
1+ e x
x 2 n +1 dx
∫
Ví d 9: Tính
1− x2
( x < 1)
t t = 1− x2
vaên
x 2 n +1 dx 1 x 2 n dx 2 n
= − ∫ (1 − t 2 ) n dt = − ∫ ∑ ( −1) k C n t 2 k dt =
∫ 1− x2 2 ∫ 1− x2
k
Ta có:
k =0
2 k +1
2 k +1 k
n n
Cn
kt
= − ∑ (− 1) C n + C = ∑ (−1) k +1
k
(1 − x 2 ) 2 + C ./
2k + 1 2k + 1
k =0 k =0
muoán hoïc toát tích phaân thì hoïc daïng
& ñoïc thaät nhieàu baøi giaûi saün
20
http://www.anhlevan.tk
nguon tai.lieu . vn
