Xem mẫu
- SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THCS – THPT HOA SEN
SỔ TAY TOÁN HỌC-12
Họ và tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lớp: .................................
LƯU HÀNH NỘI BỘ
- 1| Sổ tay toán học-12
SỔ TAY TOÁN HỌC-LỚP 12
Đạo hàm
1 (xn )0 = n.xn−1 2 (un )0 = n.u0 .un−1
√ 0 1 √ 0 u0
3 ( x) = √ 4 ( u) = √
2 x 2 u
Å ã0 Å ã0
1 1 1 u0
5 =− 2 6 =− 2
x x u u
7 (sin x)0 = cos x 8 (sin u)0 = u0 . cos x
9 (cos x)0 = − sin x 10 (cos u)0 = −u0 . sin x
1 u0
11 (tan x)0 = 12 (tan u)0 =
cos2 x cos2 u
1 u0
13 (cot x)0 = − 2 14 (cot u)0 = − 2
sin x sin u
15 (ex )0 = ex 16 (eu )0 = u0 .eu
17 (ax )0 = ax ln a 18 (au )0 = u0 .au ln a
1 u0
19 (ln x)0 = 20 (ln u)0 =
x u
1 u0
21 (loga x)0 = 22 (loga u)0 =
x ln a u ln a
Quy tắc tính đạo hàm
1 (u ± v)0 = u0 ± v 0 2 (k.u)0 = k.u0
u 0 u0 .v − u.v 0
3 (u.v)0 = u0 .v + u.v 0 4 =
v v2
Quy tắc xét tính đơn điệu hàm số
Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K
• Nếu f 0 (x) ≥ 0, ∀x ∈ K và f 0 (x) chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
1
- 2| Sổ tay toán học-12
hàm số y = f (x) đồng biến trên K
• Nếu f 0 (x) ≤ 0, ∀x ∈ K và f 0 (x) chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì
hàm số y = f (x) nghịch biến trên K
Qui tắc xét tính đơn điệu hàm số y = f (x)
Bước 1: Tìm tập xác định D
Bước 2: Tính đạo hàm f 0 (x) và tìm nghiệm f 0 (x) = 0, (x1 .x2 ... ∈ D )
Bước 3: Lập bảng biến thiên
Bước 4: Từ bảng biến thiên và kết luận tính đơn điệu hàm số y = f (x)
Cực trị hàm số
Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f 0 (x0 ) = 0
Qúy tắc 1
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f 0 (x)
• Bước 2: Tìm các điểm xi (i = 1; 2; ...) mà tại đó đạo hàm bằng 0
hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
• Bước 2: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f 0 (x). Nếu f 0 (x)
đổi dấu khi đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi .
Qúy tắc 2
• Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f 0 (x)
• Bước 2: Tìm nghiệm xi (i = 1; 2; ...) của phương trình f 0 (x) = 0
• Bước 3: Tính f 00 (x) và tình f 00 (xi )
+ Nếu f 00 (xi ) < 0 thì hàm số f (x) đạt cực đại tại xi .
+ Nếu f 00 (xi ) > 0 thì hàm số f (x) đạt cực tiểu tại xi .
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
2
- 3| Sổ tay toán học-12
Hàm bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d
y0; ∆ a>0 a 0 x
(có 2 nghiệm) O
x
y y
y 0 = 0, ∆y0 = 0 x
O
(có nghiệm kép) x
O
y y
y 0 = 0; ∆y0 < 0 O x
(vô nghiệm)
O x
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
3
- 4| Sổ tay toán học-12
Hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c
y 0 ; a; b a>0 a0 y0 = 0 a > 0
y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔
2
∆y ≤ 0 b − 3a.c ≤ 0
0
2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, nghịch biến trên R.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
4
- 5| Sổ tay toán học-12
a < 0 a > 0
y 0 ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ⇔
2
∆y ≤ 0 b − 3a.c ≤ 0
0
Điều kiện cực trị hàm bậc 3-trùng phương
1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, đạt cực đại tại x0
y 0 (x0 ) = 0
⇔
00
y (x0 ) < 0
2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, đạt cực tiểu tại x0
y 0 (x0 ) = 0
⇔
00
y (x0 ) > 0
3 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 cực trị ⇔ a.b < 0
4 Hàm số y = ax4 + bx2 + c
a > 0
có 1 cực đại, 2 cực tiểu ⇔
b0
4 2
6 Hàm số y = ax + bx + c có 1 cực trị.
a = 0 a 6= 0
hoặc
b 6= 0 a.b ≥ 0
7 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực tiểu.
a = 0 a > 0
hoặc
b>0 a.b ≥ 0
8 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực đại.
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
5
- 6| Sổ tay toán học-12
a = 0 a < 0
hoặc
b 0)
√ k
1 am .an = am+n 2 (a.b)n = an .bn 3 ak = a 2
am a n an √
n
k
4 n = am−n 5 = n 6 ak = a n
a b b √
1 p k
7 (am )n = am.n
m n
8 a−n = n 9 ak = a m.n
a
Lôrarit (0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1)
1 loga 1 = 0 2 loga (x.y) = loga x + loga y.
Å ã
x
3 loga a = 1 4 loga = loga x − loga y.
y
5 loga aα = α 6 loga xα = α loga x.
1 1
7 logx a = 8 logam x = loga x.
loga x m
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
6
- 7| Sổ tay toán học-12
logb x
9 loga x = loga b. logb x 10 loga x = .
logb a
Hàm số lũy thừa y = xα , α ∈ R
y
α>1
Tập xác định: α=1
• D = R khi α nguyên dương
• D = R \ {0} khi α nguyên âm 0
- 8| Sổ tay toán học-12
y y
a>1
O
1 x
TCĐ: x = 0
O
1 x
TCĐ: x = 0
0 ag(x) ⇔ f (x) < g(x)
Phương trình và bất phương trình logarit
loga f (x) = logb g(x)
loga x = b ⇔ x = ab
⇔ f (x) = g(x)
a>1 0 loga g(x) ⇔
⇔ f (x) > g(x) ⇔ f (x) < g(x)
Lãi suất ngân hàng
1 Lãi đơn: Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không
tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra, tức là tiền lãi của kì hạn trước
không được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn kế tiếp, cho dù đến kì
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
8
- 9| Sổ tay toán học-12
hạn người gửi không đến rút tiền ra.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r%/kì hạn thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là
Sn = A + n.A.r = A(1 + nr)
2 Lãi kép: Lãi kép là tiền lãi của kì hạn trước nếu người gửi không rút
ra thì được tính vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau.
Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r%/kì hạn thì số tiền
khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ N∗ ) là
Å ã …
n Sn Sn Sn
Sn = A(1 + r) ; n = log1+r ; r% = n −1 ; A=
A A (1 + r)n
Bảng nguyên hàm
Z Z
1 dx = x + C 2 kdx = kx + C
n+1
x 1 (ax + b)n+1
Z Z
3 xn dx = +C 4 (ax + b)n dx = +C
n+1 a n+1
dx 1 dx 1 1
Z Z
5 2
=− +C 6 2
=− . +C
Z x x (ax + b) a ax + b
dx dx 1
Z
7 = ln |x| + C 8 = ln |ax + b| + C
Z x ax + b a
1
Z
9 ex dx = ex + C 10 eax+b
dx = eax+b + C
a
ax 1 aαx+β
Z Z
11 ax dx =+C 12 a αx+β
dx = +C
ln a α ln a
1
Z Z
13 cos xdx = sin x + C 14 cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C
a
1
Z Z
15 sin xdx = − cos x + C 16 sin(ax+b)dx = − cos(ax+b)+C
a
dx dx 1
Z Z
17 2
= tan x + C 18 = tan(ax + b) + C
Z cos x cos2 (ax + b) a
dx dx 1
Z
19 = − cot x + C 20 = − cot(ax + b) + C
sin2 x 2
sin (ax + b) a
ÔBiên soạn: Ths Nguyễn Chín Em
9
- 10 | Sổ tay toán học-12
1
Z Z
21 tan xdx = − ln |cos x| + C 22 tan(ax + b)dx = − ln |cos x| + C
a
1
Z Z
23 cot xdx = ln |sin x| + C 24 cot(ax + b)dx = ln |sin x| + C
a
1 1 x
Z Z
- x − a
-
-
-
1 1
25 dx = ln
-
- +C 26 dx = arctan +C
x2 −a2 2a x + a
- x 2 + a2 a a
Tích phân
Zb
- b
nguon tai.lieu . vn
