Xem mẫu
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
Ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng
giải các bài toán tìm tập hợp điểm
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 1 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong chương trình hình học ở bậc THPT chúng ta đã biết các phép biến hình trong mặt
phẳng như phép đối xứng qua một đường thẳng, phép đối xứng qua một điểm,phép tịnh tiến,phép
vị tự ,phép đồng dạng...,việc làm quen ,sử dụng và lại ứng dụng được nó là một điều hết sức khó
khăn và học sinh rất ngại học phần này.
Trong khi dạy học sinh ụn tập tôi đã chú trọng phân dạng và dạy cho học sinh những dạng
toán cơ bản về phép biến hình,với những đối tượng học sinh học giỏi tôi mạnh dạn đưa và dạng
toán ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợp điểm.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài “ứng dụng phép biến hình trong mặt phẳng giải các bài toán tìm tập hợp
điểm " nhằm giúp học sinh có thêm cách giải các bài toán về tập hợp điểm trong hình học.Có
nhiều bài toán về tập hợp điểm khó khăn ( thậm chí cảm giác không tìm ra cách giải) dặc biệt là
lời giải một cách tự nhiên nhất ,thì lại giải quyết một cách đơn giản bằng cách áp dụng phép biến
hình .Phát huy kĩ năng giải toán ,phát triển tư duy lôgic cho học sinh đồng thời nâng cao chất
lượng học tập của học sinh ,tạo được hứng thú học tập môn toán.
3. Nhiệm vụ nghiờn cứu
- Phép biến hình trong mặt phẳng là khái niệm mới và khó nên học sinh ngại nghiên cứu
tuy ứng dụng của nú rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nờn việc ỏp dụng thành thạo
cỏc bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt.
- Vỡ học sinh học phép biến hình chỉ nghĩ đơn thuần là nắm được định nghĩa và tớnh chất
nờn khi ỏp dụng phộp biến hỡnh trong mặt phẳng vào giải cỏc bài toỏn tập hợp điểm, học sinh
gặp nhiều khó khăn.
Vậy ỏp dụng như thế nào và cú phổ biến trong mọi dạng toỏn hay khụng? Để giải quyết
hết mọi vấn đề thỡ khú nhưng trong những dạng tôi đó dạy các em đó phần nào trả lời được cỏc
cõu hỏi đó.
4. Đối tượng nghiên cứu
Ứng phộp biến hỡnh trong mặt phẳng để giải cỏc bài toỏn tỡm tập hợp điểm trong chương
trỡnh toỏn học THPT.
5. Phạm vi nghiờn cứu
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 2 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
Để thực hiện đề tài này, tôi dựa trên cơ sở các kiến thức của bộ môn toán trung học phổ
thông, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, các tài liệu bồi dưỡng học sinh luyện thi đại học
,cao đẳng và học sinh giỏi.
6. Phương pháp nghiờn cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiờn cứu sỏch giỏo khao, sỏch tham khảo, cỏc tài liệu
liờn quan khỏc,...
- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trỡnh dạy và học tại trường PTTH Tiờn Lữ
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy.
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 3 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ Lí LUẬN, THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
I.1 Cơ sở lý luận của vấn đề
Việc đưa các phép biến hỡnh trong mặt phẳng vào giải cỏc bài toỏn tỡm tập hợp điểm
khụng chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những cụng cụ mới để giải toỏn à cong tập cho học sinh
làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhỡn nhận sự việc và cỏc hiện tượng
xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để nghiờn cứu, tỡm tũi, khỏm
phỏ,tạo cơ sở cho sự ra đời của những phỏt minh và sỏng tạo trong tương lai. Ngoài ra có thể dựa
vào một bài toỏn hỡnh học cụ thể về tỡm tập hợp điểm bằng phộp biến hỡnh ta cũn cú thể sỏng
tạo ra các bài toán khác nhau và đây là một việc làm mang lại nhiều hứng thỳ trong việc tỡm tũi,
nghiờn cứu hỡnh học. Hơn nữa việc lựa chọn cỏc cụng cụ thớch hợp cho mỗi loại toỏn hỡnh học
khỏc nhau là một việc làm cần thiết giỳp chỳng ta tiết kiệm được thời gian và cụng sức để giải các
bài toán đó một cỏch cú hiệu quả nhất.
I.2 Thực trạng của vấn đề.
Phộp biến hỡnh là khỏi niệm mới và khú nờn học sinh lười nghiờn cứu, tuy ứng dụng của
nú rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nờn việc ỏp dụng thành thạo cỏc bài tập cơ
bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt. Trong quỏ trỡnh ụn tập cho học sinh tụi luụn quan tâm
đến vấn đề này dạy cho học sinh hiểu bài khụng chỉ dạy lý thuyết mà phải cú ỏp dụng đi cùng.
Khi chọn đề tài này đó phần nào giỳp học sinh thỏo gỡ việc nhận thức học phần phộp biến hỡnh
và cú cụng cụ giải quyết được dạng bài tập về tập hợp điểm.
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 4 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
CHƯƠNG II
DÙNG PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP
ĐIỂM
I. Phép biến hình - Phép tịnh tiến và phộp dời hình:
1. Phộp biến hỡnh là một quy tắc để với mỗi điểm M trên mặt phẳng có thể xác định được
một điểm duy nhất M' thuộc mặt phẳng
2. Phép tịnh tiến theo vectơ u là phộp biến hỡnh biến điểm M thành điểm M' sao cho
MM ' u
3. Tính chất cơ bản của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến không làm thay đổi khoảng cách giữa
hai chất điểm bất kỡ.
4. Phộp dời hỡnh là phộp biến hỡnh khụng làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỡ.
Phộp tịnh tiến là một phộp dời hỡnh.
5. Phộp dời hỡnh cú tớnh chất: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và
không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng bằng nó, biến tia thành tia, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành
góc bằng nó, biến đường trũn thành đường trũn cú cựng bỏn kớnh.
6. Cho hai phộp dời hỡnh F và G, giả sử M là điểm phép biến hỡnh F biến điểm M thành
điểm M' và phép biến hỡnh G biến M' thành M". Khi đó phép biến hỡnh biến điểm M thành điểm
M" được gọi là hợp thành của phép F và phép G.
II. Phép đối xứng trục:
1. Phép đối xứng qua đường thẳng a là phép biến hỡnh biến mỗi điểm M thành điểm M'
đối xứng với M qua đường thẳng a. Phép đối xứng qua đường thẳng a cũn gọi là phộp đối xứng
trục. Đường thẳng a gọi là trục của phép đối xứng.
2. Phép đối xứng trục là một phép dời hỡnh.
3. Trục đối xứng của hỡnh H là đường thẳng mà phép đối xứng qua đường thẳng đó biến
hỡnh H thành hỡnh H.
III. Phép quay và phép đối xứng tâm:
1. Trong mặt phẳng, cho điểm O và góc lượng giác . Phộp quay Q 0; tõm O gúc quay là
phộp dời hỡnh biến điểm O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho
OM=OM' và (OM, OM')=
2. Phộp quay là một phộp dời hỡnh
3. Khi = thỡ phộp quay Q(O, ) gọi là phép đối xứng qua điểm O, kí hiệu Đ0. Phép
đối xứng qua điểm O cũn gọi là phộp đối xứng tâm.
Phép đối xứng qua điểm O biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho OM OM ' 0
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 5 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
IV. Hai hỡnh bằng nhau:
1. Nếu ABC và A'B'C' là hai tam giỏc bằng nhau thỡ cú phộp dời hỡnh biến tam giỏc này
thành tam giỏc kia
2. Hai hỡnh H và H' gọi là bằng nhau nếu cú phộp dời hỡnh biến hỡnh này thành hỡnh kia.
V. Phép vị tự - Phép đồng dạng:
1. Phộp vị tự V(O;k) với tõm O, tỉ số k (k 0) là phộp biến hỡnh biến mỗi điểm M thành
điểm M' sao cho OM ' kOM
2. Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng song song ( hoặc trùng) với
đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với
|k|, biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là |k|, biến góc thành góc bằng nó.
3. Phép vị tự biến đường trũn cú bỏn kớnh R thành đường trũn cú bỏn kớnh |k|R.
4. Tâm vị tự của hai đường trũn: đó là tâm của phép vị tự V biến đường trũn này thành
đường trũn kia. Tõm vị tự đó gọi là tâm vị tự ngoài hay tâm vị tự trong tùy theo tỉ số của phép vị
tự là dương hay âm.
Hai đường trũn cú bỏn kớnh khỏc nhau thỡ cú một tâm vị từ ngoài và một tâm vị tự trong.
Hai đường trũn cú bỏn kớnh bằng nhau ( tõm khỏc nhau) thỡ chỉ cú tõm vị tự trong, đó chính là
trung điểm đoạn thẳng nối tâm hai đường trũn.
5. Phép đồng dạng tỉ số k ( k>0) là phép biến hỡnh biến hai điểm tùy ý M, N thành hai
điểm M’, N’ sao cho M’N’=kMN
6. Mọi phép đồng dạng F tỉ số k là hợp thành của một phép vị tự V tỉ số k và một phép dời
hỡnh D.
7. Hai hỡnh gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hỡnh này thành
hỡnh kia.
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 6 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
CHƯƠNG III ÁP DỤNG
A. Tỡm tập hợp điểm bằng phép tịnh tiến Tu
Phương pháp:
1. Xác định phép tịnh tiến Tu biến điểm M thành M'
2. Tỡm quỹ tớch điểm M
3. Từ quỹ tích của điểm M, dựa vào tính chất của phép tịnh tiến để suy ra quỹ tích của điểm
M'
Bài toỏn 1:
Cho đường trũn (O) và hai điểm A, B. Một điểm M thay đổi trên
đường trũn (O). Tỡm quỹ tớch điểm M’ sao cho:
MM ' MA MB
Giải: Ta cú MM ' MB MA AB
Phộp tịnh tiến T theo vecto AB biến M thành M’
Gọi O’ là ảnh của O qua phộp tịnh tiến T, tức là OO ' AB thỡ
quỹ tớch M' là đường trũn O' cú bỏn kớnh bằng bỏn kớnh đường trũn (O).
Bài toỏn 2:
Cho đường trũn (O) với đường kính AB cố định, một đường kính MN thay đổi. Các đường thẳng
AM và AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q. Tỡm quỹ tớch trực tõm cỏc tam giỏc MPQ và
NPQ?
Giải
MPQ có QA là một đường cao ( vỡ QA MP ).
Kẻ MM' PQ thỡ MM' cắt QA tại trực tõm H của
MPQ , đoạn đường thẳng OA là đường trung
bỡnh của NMH nờn MH 2OA BA
Vậy phộp tịnh tiến T theo BA biến M thành H. ( M
khụng trựng A; M khụng trựng B) Quỹ tớch H là
ảnh của đường trũn (O)
( không kể hai điểm A và B) qua phép tịnh tiến đó.
Làm tương tự đối với trực tâm H' của NPQ
Bài toỏn 3:
Cho ABC , với mỗi điểm M ta dựng điểm N thỏa món: MN MA 2 MB 3MC . Tỡm
tập hợp điểm N, khi M thay đổi trên một đường thẳng d.
Giải
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 7 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
MN MA 2 MB 3MC MN 2 AB 3 AC AE
Ta cú AE là một vecto xác định N là ảnh của M qua phộp tịnh tiến theo AE . Vỡ M thuộc d,
nờn N thuộc d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến đó. Tập hợp N là cả đường thẳng d’.
Bài toỏn 4:
Cho ABC cố định có trực tâm H. Vẽ hỡnh thoi BCDE, từ D và E vẽ cỏc đường thẳng
vuông góc với AB và AC. Các đường thẳng này cắt nhau tại điểm M. Tỡm quỹ tớch của điểm M.
Giải
Tứ giỏc BCDE là hỡnh thoi nờn BC=CD, BC//ED. H là
trực tõm ABC nờn BH AC , ME AC
BH // ME. Suy ra HBC MED
Tương tự: HC//DM và BC//ED HCB MDE
Suy ra: HBC MDE CH DM
Phộp tịnh tiến TCH D M
Ta có BC=CD nên điểm D chạy trên đường trũn (C) tõm C, bỏn kớnh R=BC
điểm M thuộc đường trũn tõm H, bán kính R=BC là ảnh của đường trũn (C) qua phộp tịnh tiến
TCH
Bài toàn 5
ABC cú A 900 . Từ điểm P thay đổi trên cạnh huyền BC của ABC vẽ các đường
vuông góc PR, PQ với cỏc cạnh vuụng AB, AC ( R AB, Q AC). Tỡm quỹ tớch trung điểm M
của đoạn thẳng RQ.
Giải
Dựng hỡnh chữ nhật ABSQ
Ta cú PR AB, PQ AC và RA AQ
ARPQ là hỡnh chữ nhật. Suy ra RBSP là hỡnh chữ
nhật.
1
Gọi N là trung điểm cạnh BP thỡ MN//SQ và MN= SQ
2
1
MN//BA và MN= BA
2
1
Đặt u BA NM u . Phộp tịnh tiến Tu : N M
2
Khi P C thỡ N D là trung điểm cạnh BC
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 8 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
Khi P thay đổi trên cạnh huyền BC thỡ N cũng thay đổi trên đoạn thẳng BD thuộc cạnh huyền
BC.
Tu : B B1 và Tu : D N1 thỡ B1 và N1 là trung điểm cạnh AB, AC. Suy ra quỹ tích của điểm
M là đoạn thẳng B1N1.
B. Tỡm tập hợp điểm bằng phép đối xứng Đa
Phương pháp:
1. Xác định phép đối xứng Đa biến điểm M thành M'
2. Tỡm quỹ tớch điểm M
3. Từ quỹ tích của ddierm M, dựa vào tính chất của phép đối xứng trục để suy ra quỹ tích
điểm M'
Bài toỏn 6:
Cho đường trũn (O;R) và hai điểm A, B cố định. Với mỗi điểm M ta xác định điểm M' sao cho
MM ' MA MB . Tỡm quỹ tớch điểm M' sao cho M chạy trờn (O;R).
Giải
Gọi I là trung điểm của AB
thi I cố định và MA MB 2MI , MM ' MA MB
MM ' 2 MI
MM ' nhận I làm trung điểm
hay phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M thành M'.
Vậy khi M chạy trên đường trũn (O;R) thỡ quỹ tớch
điểm M' là ảnh của đường trũn qua ĐI. Nếu ta gọi O' là điểm đối xứng của O qua điểm I thỡ quỹ
tớch của M' là đường trũn (O';R).
Bài toỏn 7:
Cho đường trũn (O) và ABC . Một điểm M thay đổi trên đường trũn (O). Gọi M 1 là điểm
đối xứng của M qua A. M2 là điểm đối xứng của M1 qua B, M3 là điểm đối xứng của M2 qua C.
Tỡm quỹ tớch điểm M3.
Giải
Gọi D là trung điểm của MM3 thỡ ABCD là hỡnh bỡnh hành điểm D cố định. Vỡ phộp đối
xứng qua điểm D biến M thành M3 nờn quỹ tớch M3 là ảnh của đường tũn (O) qua phộp đối xứng
đó.
Bài toỏn 8
Cho đoạn thẳng BC cố định và số k>0. Với mỗi điểm A ta xác định điểm D sao cho
AD AB AC . Tỡm tập hợp điểm D khi A thay đổi thỏa món điều kiện AB 2 AC 2 k
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 9 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
Giải
Gọi I là trung điểm của BC, khi đó 2AI AB AC AD
I là trung điểm của AD. Phép đối xứng qua I biến A thành D. Tập hợp điểm A thỏa món điều
kiện đó cho là một đường trũn hoặc một điểm hoặc rỗng. Vậy tập hợp điểm D là đường trũn hoặc
một điểm hoặc tập rỗng.
Bài toỏn 9
Cho hai điểm cố định A, B và số a>0. Xét các đường elip (E) đi qua A, nhận B là tâm đối
xứng và có độ dài trục lớn là 2a. Tỡm tập hợp cỏc tiờu điểm của (E).
Giải
Gọi F1, F2 là hai tiêu điểm của (E). Với A’ đối xứng với A qua B, khi đó ta có:
A'F1 AF1 A'F1 AF1 2a .
Vậy tập hợp các tiêu điểm là một elip nhận A, A’ làm các tiêu điểm và có độ dài trục lớn là 2a.
Bài toỏn 10
Cho ba điểm A, B, C cố định trên đường trũn (O) và điểm M thay đổi trên (O). Gọi M1 đối xứng
với M qua A, M 2 đối xứng M1 qua B, M3 đối xứng với M2 qua C. Tỡm quỹ tớch của điểm M3.
Giải
Gọi D là trung điểm của M và M1 thỡ AD là đường trung
1
bỡnh của MM 1 M 3 AD//M1M3 và AD M 1M 3 1
2
Ta có BC là đường trung bỡnh của
1
M 1M 2 M 3 BC//M1M3 và BC= M 1M 3 2
2
Từ (1), (2) ta cú AD//BC, AD=BC nờn ABCD là hỡnh
bỡnh hành
Ta có A, B, C cố định nên D cố định. Xét phép đối xứng tâm D là ĐD
ĐD: M M 3 điểm M chạy trên đường trũn (O)
nên điểm M3 chạy trên đường trũn (O')
Với (O') là ảnh của đường trũn (O) qua phộp đối xứng tâm D. Vậy quỹ tích các điểm M3 là đường
trũn (O').
Bài toỏn 11
Cho hai điểm A, B cố định. Với mỗi đường thẳng đi qua B ta dựng điểm A’ đối xứng với
A qua d. Tỡm tập hợp A’ đi qua d quay quanh B.
Giải
Gọi H là giao điểm của d với AA’, ta có BH AA' .
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 10 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
Gọi C là điểm đối xứng với A qua B, khi đó A ' C //d, C cố định và A ' C A ' A A’ nằm trên
đường trũn đường kính AC. Đảo lại nếu A’ là điểm nằm trên đường trũn đường kính AC thỡ
đường thẳng d đi qua B và trung điểm của AA’ là trục đối xứng của hai điểm A và A’.
Bài toỏn 12:
Cho elip có hai tiêu điểm F1 và F2. Xét đường thẳng d có một điểm chung duy nhất M với
elip và F’ là điểm đối xứng với F2 qua d. Tỡm tập hợp F khi d thay đổi.
Giải
Kí hiệu 2a là độ dài trục lớn của (E), theo định nghĩa MF1+MF2=2a. Vỡ F’ đối xứng với F2 qua d
khi đó MF1+MF’= MF1+MF2=2a. Điều đó chứng tỏ M nằm trên đường thẳng F1F’ và tập hợp
điểm F là một đường trũn tõm F1, bỏn kớnh bằng 2a.
Bài toàn 13:
Cho đường trũn (O;R) và hai điểm A, B thuộc đường
trũn. Đường trũn (I,r) tiếp xỳc ngoài với đường trũn (O;R) tại
A. Một điểm M di động trên đường trũn (O;R), tia MA cắt
đường trũn (I,r) tại điểm thứ hai C. Qua C vẽ đường thẳng
song song với AB cắt đường thẳng MB tại D. Tỡm quỹ tớch
của điểm D.
Giải
Gọi E là giao điểm của CD với (I;r)
Vẽ tiếp tuyến chung của (O;R) và (I;r) là xt
Ta cú ABM xAM ; CEA=tAC và xAM tAC
ABM EDB do (CD//AB)
CEA EDB nờn tứ giỏc ABDE là hỡnh thang cõn
Gọi d là đường trung trực đoạn thẳng AB thi d cũng là đường trung trực của đoạn ED
Phép đối xứng Đd: E D
Khi M di động trên đường trũn (O;R) thỡ E di động trên đường trũn (I;r) nờn quỹ tớch điểm D là
đường trũn (I';r) ảnh của đường trũn (I;r) qua phộp đối xứng Đd. Do đường trũn (I;r) tiếp xỳc với
đường trũn (O;R) tại A nờn đường trũn (I';r) tiếp xỳc với đường trũn (O;R) tại B.
Bài toỏn 14
Cho đường trũn (O) cú dõy cung BC cố định và điểm A di động
trên đường trũn (O). Tỡm quỹ tớch trực tõm H của ABC.
Giải
Ta cú: HAC CBH ( góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 11 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
HAC KBC (cựng chắn cung KC )
Suy ra: CBH CBK nờn BC là phõn giỏc gúc KBH
Mặt khỏc AI BC
Suy ra BHK cõn tại B HI=IK
Phép đối xứng trục BC là ĐBC: K H
Khi A chạy trên đường trũn (O) thỡ K cũng chạy trên đường trũn (O)
Quỹ tích điểm H là đường trũn (O), ảnh của đường trũn (O) qua phộp đối xứng trục BC
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 12 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
C. Tỡm tập hợp điểm bằng phương pháp quay Q O; :
Phương pháp:
1. Xác định phép quay biến điểm M thành M'
2. Xác định quỹ tích của điểm M
3. Dựa vào tính chất phép quay để tỡm quỹ tớch của điểm M'
Bài toỏn 15
Cho đường trũn (O) và một điểm I không nằm trên đường trũn. Với mỗi điểm A thay đổi
trên đường trũn, ta xột hỡnh vuụng ABCD cú tõm là I. Tỡm quỹ tớch cỏc điểm B, C, D
Giải
Phép đối xứng qua điểm I biến A thành C. Vậy quỹ tích C là đường trũn đối xứng với (O)
qua I.
Phộp quay Q tõm I gúc quay 900 biến A thành B( hoặc thành D), phộp quay Q' tõm I gúc
quay - 900 biến A thành D ( hoặc thành B). Vậy quỹ tớch B và D là ảnh của (O) qua hai phộp
quay đó.
Bài toỏn 16
Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a. Với mỗi điểm A nằm trên đường
thẳng a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tỡm quỹ tớch hai điểm B và C khi A chạy trên a.
Giải
0
Phộp quay tõm G gúc quay 120 biến A thành B ( hoặc C)
Phộp quay tõm G gúc quay 2400 biến A thành C ( hoặc B)
Vậy quỹ tích B và C là ảnh của đường thẳng a qua hai phép quay nói trên.
Bài toỏn 17
Cho đường thẳng d, điểm A cố định không nằm trên d. Với mỗi điểm B d ta dựng tam
giỏc đều ABC. Tỡm tập hợp điểm C khi B thay đổi trên đường thẳng d.
Giải
Từ điều kiện bài toán ta suy ra C là ảnh của B qua phép quay tâm A với góc quay 600. Tập
hợp điểm C là ảnh của d qua phép quay đó.
Bài toỏn 18
Cho điểm I cố định. Mọi M, M' là hai điểm sao cho IMM' vuụng cõn tại I.
a) Cho điểm M chạy trên đường trũn (O). Tỡm quỹ tớch cỏc điểm M'
b) Cho điểm M chạy trên đường thẳng d. Tỡm quỹ tớch cỏc điểm M' . Gọi H là hỡnh chiếu
của I xuống MM'. Tỡm quỹ tớch cỏc điểm H.
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 13 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
Giải
IMM' vuụng cõn tại I nờn IM=IM' và IM , IM ' 900
Suy ra M' là ảnh của M qua phộp quay tõm I, gúc quay 900.
Tức là Q(I,900): M M '
a) Khi M O
Q(I,900): O O ' Q(I,90 0): (O) (O ')
Suy ra M ' O '
Vậy quỹ tích điểm M' là đường trũn (O') ảnh của đường trũn
(O) qua phộp quay Q(I,900)
b) Khi M d
Gọi J là hỡnh chiếu vuụng gúc của I lờn d
Q(I,900): J J '
Q(I,90 0): d d ' và d ' IJ ' tại J', d d ', M d M d '
Vậy quỹ tích điểm M' là đường thẳng d' đi qua J' và vuông góc với d.
* Tỡm quỹ tớch điểm H:
Kẻ IH MM ' MIH 450 ( Do IMM' vuụng cõn tại I )
Suy ra tứ giác IJMH nội tiếp đường trũn đường kính MI
MJH MIH 450 ( cựng chắn cung MH )
Ta cú MJJ ' 450
(JJ' là đường chéo hỡnh vuụng OJIJ') MJH MJJ ' . Hai điểm H và J' nằm cùng phía đối với
đường thẳng d nên H JJ ' . Quỹ tích của điểm H là đường thẳng JJ'.
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 14 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
D. Tỡm tập hợp điểm bằng phép vị tự:
Phương phỏp:
1. Xác định phép vị tự biến điểm M thành điểm M'
2. Tỡm quỹ tớch của điểm M
3. Dựa vào tính chất của phép vị tự để tỡm quỹ tớch của điểm M'
Bài toỏn 19
Tam giác ABC có bán kính B, C cố định cũn đỉnh A chạy trên một đường trũn (O;R) cố
định không có điểm chung với đường thẳng BC. Tỡm quỹ tớch trọng tõm G của ABC
Giải
Gọi I là trung điểm của BC thỡ I cố định
1
Điểm G là trọng tâm ABC khi và chỉ khi IG IA
3
1
Phộp vị tự tõm I tỉ số biến điểm A thành điểm G.
3
Khi A chạy trờn (O;R) thỡ quỹ tớch g là ảnh của đường trũn
đó qua phép vị tự V, tức là đường trũn (O',R') mà
1
1
IO ' IO và R ' R
3 3
Bài toỏn 20
Cho đường trũn (O;R) và điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên đường trũn.
Tia phõn giỏc của gúc MOI cắt IM tại N. Tỡm quỹ tớch điểm N.
Giải
Đặt IO=d ( d 0). Theo tớnh chất tia phõn giỏc của MOI ta cú:
IN IO d
NM OM R
IN d IN d
Suy ra
IN NM d R IM d R
d
Hai vecto IN và IM cùng hướng nên IN IM
dR
d
Gọi V là phộp vị tự tõm I tỉ số k thỡ V biến điểm M
dR
thành điểm N. Khi M ở vị trí M0 trên đường trũn (O;R) sao cho IOM 0 00 thỡ tia phõn giỏc của
gúc IOM 0 cắt IM. Điểm N không tồn tại. Vậy khi M chạy trên (O;R) (M không trùng M0) thỡ quỹ
tớch điểm N là ảnh của (O;R) qua phép vị tự V bỏ đi ảnh của điểm M 0.
Bài toỏn 21
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 15 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
Cho đường trũn (O) cú đường kính AB. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B và PQ là
đường kính thay đổi của (O) khác đường kính AB. Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M
và N.
a) CMR: Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ
b) Tỡm quỹ tớch cỏc điểm M và N khi đường kính PQ thay đổi.
Giải
a) QB//AP ( vỡ cựng vuụng gúc với PB) và B là trung điểm của
AC nên Q là trung điểm của CM.
AQ//BN ( vỡ cựng vuụng gúc với AP) và B là trung điểm của
AC nên N là trung điểm của CQ.
b) CM 2CQ Phộp vị tự V tõm C tỉ số 2 biến Q thành M.
Vỡ Q chạy trờn đường trũn (O) ( trừ hai điểm A, B) nên quỹ tích
M là ảnh của đường trũn đó qua phép vị tự V ( trừ ảnh của A,
1 1
B), CN CQ Quỹ tích N là ảnh của đường trũn (O) qua phộp vị tự V tõm C, tỉ số ( trừ
2 2
ảnh của A, B).
Bài toỏn 22
Cho đường trũn (O;R) và điểm A cố định. Một dây cung BC thay đổi của (O;R) có độ dài
không đổi, BC=m. Tỡm quỹ tích các điểm G sao cho GA GB GC 0
Giải
Gọi I là trung điểm của BC
2
GA GB GC 0 AG AI
3
2
Phộp vị tự V tõm A tỉ số biến điểm I thành điểm G
3
m2
vuụng OIB: OI= OB 2 IB 2 R 2 R ' ( không đổi)
4
Nên quỹ tích I là đường trũn (O;R’) hoặc là điểm O ( nếu m=2R). Do đó quỹ tích G là ảnh của
quỹ tích I qua phép vị tự V.
Bài toỏn 23
Cho hai đường trũn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng thay đổi đi qua A
cắt (O) ở A và M, cắt (O') tại A và M'. Gọi P và P' lền lượt là trung điểm của AM và AM'.
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 16 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
a) Tỡm quỹ tớch trung điểm I của đoạn thẳng PP'
b) Tỡm quỹ tớch trung điểm I của đoạn thẳng MM'
Giải
a) Gọi Q là trung điểm của OO' thỡ QI IA Quỹ
tích I là đường trũn đường kính AQ
b) Vỡ J là trung điểm MM' nên
1
AJ AM AM ' AP AP ' 2 AI
2
Vậy phép vị tự tâm A tỉ số 2 biến điểm I thành điểm J
Do đó quỹ tích J là ảnh của đường trũn đường kính AQ qua phép vị tự đó.
Bài toỏn 24
Cho đường trũn (O) và một điểm P nằm trong đường trũn đó. Một đường thẳng thay đổi đi
qua P, cắt (O) tại điểm A và B. Tỡm quỹ tớch điểm M sao cho PM PA PB
Giải
Gọi I là trung điểm của đoạn AB
1
PI PA PB do đó PM PA PB 2 PI
2
Gọi V là phộp vị tự tõm P tỉ số k =2 thỡ V biến
điểm I thành điểm M
Vỡ I là trung điểm của AB nên OI AB . Suy ra
quỹ tích điểm I là đường trũn (C) đường kính PO.
Vậy quỹ tích điểm M là đường trũn (C') ảnh của
(C) qua phộp vị tự V. Nếu O' là điểm sao cho
PO ' 2 PO thỡ (C') là đường trũn đường kính PO'
Bài toỏn 25
Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Với mỗi điểm M thuộc d ta xác định điểm N sao
cho MN MA 2MB 3MC . Tỡm tập hợp điểm N, khi điểm M thay đổi trờn d.
Giải
Gọi I là điểm có tính chất: IA 2 IB 3IC 0
I là điểm cố định. Vỡ vậy MN 6MI IN 5IM
N là ảnh của M qua phộp vị tự tõm I, tỉ số k=-5
Vậy tập hợp N là đường thẳng d’ nhận được từ d qua phép vị tự đó.
Bài toỏn 26
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 17 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
ABC và điểm M thuộc cạnh AB. Qua M vẽ các đường thẳng song song với trung tuyến
AA1 và BB1 cắt BC, CA tại P và Q. Tỡm quỹ tớch cỏc điểm S sao cho tứ giác MPSQ là hỡnh
bỡnh hành.
Giải
Gọi E, F lần lượt là giao điểm của MQ, MP với AA1, BB1. G là trọng
tõm ABC . Khi đó:
ME MQ ME BG 2 2
ME MQ
BG BB1 MQ BB1 3 3
2
Tương tự MF MP
3
2 2 2
MG ME EG ME MF MQ MP MG
3 3 3
1
GS GM
2
1
Suy ra S là ảnh của M qua phộp vị tự tõm G, tỉ số k= . Khi M thuộc cạnh AB thỡ S thuộc
2
1
đoạn A1B1 là ảnh của AB qua V G;
2
Vậy quỹ tích S là đoạn thẳng A1B1.
Bài toỏn 27
Gọi P, Q, R là các điểm đối xứng với điểm M qua trung điểm cỏc cạnh của ABC
a) Chứng minh rằng các đoạn thẳng AP, BQ, CR cắt nhau tại trung điểm I của chúng
b) Khi M chạy trên đường trũn ngoại tiếp ABC , tỡm quỹ tớch điểm I.
Giải
a) Ta cú MP 2 MJ , MQ 2MK , MR 2 ML
V M ; 2 : JKL PQR
1
Gọi G là trọng tõm ABC thỡ V G; : ABC PQR
2
1
mà V M ; 2 .V G; =V(1;-1)
2
Suy ra I là trung điểm các đoạn thẳng AP, BQ, CR
b) Ta cú G, M và I thẳng hàng
1
MI cắt AJ tại G G là trọng tõm AMP GI GM
2
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 18 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
1
V G; : M I
2
M thuộc đường trũn (O) ngoại tiếp ABC nên quỹ tích các điểm I là đường trũn (O) ngoại tiếp
JKL
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 19 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
- SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: “ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN HèNH TRONG MẶT PHẲNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TèM TẬP HỢP ĐIỂM"
E. Tỡm tập hợp điểm bằng phương pháp đồng dạng:
Phương pháp: Tỡm tập hợp điểm bằng phương pháp đối xứng tâm
Bài toỏn 28
Cho điểm A cố định nằm trên đường trũn (O) và điểm C thay đổi trên đường trũn đó.
Dựng hỡnh vuụng ABCD. Tỡm quỹ tớch điểm B và điểm D
Giải
Gọi AR là đường kính của (O) và PQ là đường kính của
(O) vuông góc với AR ((AR,AP)=450)
Phép đồng dạng F biến AR thành AP. Vậy quỹ tích B
là đường trũn đường kính AP. Tương tự quỹ tích D là
đường trũn đường kính AQ.
2
( Lưu ý: F là hợp thành của phộp vị tự tõm A tỉ số k =
2
và phộp quay tõm A gúc quay 450)
Bài toỏn 29:
Cho đường trũn (O), đường kính AB=2R. M là một điểm bất kỳ trên (O), dựng hỡnh
vuụng AMNP cú cỏc đỉnh theo chiều dương. Tỡm quỹ tớch cỏc điểm N
Giải
Ta cú AN 2 AM và (AM, AN)=450
Phộp quay Q(A;450): M M1
Phộp vị tự V(A; 2 ): M1 N
V A; 2 .Q A; 450 : M N
M thuộc đường trũn (O), đường kính AB=2R nên N
thuộc đường trũn (O') là ảnh của (O) qua phộp đồng dạng
là hợp thành của V A; 2 và Q A; 450 có tâm O' là
trung điểm của cung AB và bán kính R'= 2R
Người thực hiện: Phạm Thị Bớch Ngọc 20 Tổ Toỏn - Tin Trường THPT Tiên Lữ
nguon tai.lieu . vn
