SKKN: Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng

1

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN
1.Tên sáng kiến: “ Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng”
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán học
3.Thời gian áp dụng sáng kiến:
Từ ngày 10 tháng 10 năm 2014 đến ngày 10 tháng 05 năm 2016
4. Tác giả:
Họ và tên: NGUYỄN ĐÌNH DÙNG
Ngày sinh: 12/08/1975
Nơi thƣờng trú: Trực Thanh, Trực Ninh, Nam Định
Trình độ chuyên môn: Thạc sỹ toán học.
Chức vụ công tác: Phó hiệu trƣởng.
Nơi làm việc: Trƣờng THPT Trực Ninh.
Địa chỉ liên hệ: Nguyễn Đình Dùng xã Trực Thanh,Trực Ninh, Nam Định
Điện thoại: 0917493236
Tỷ lệ đóng góp tạo ra sáng kiến 100%
5. Đồng tác giả (nếu có): không
Họ và tên………………………………………………….
Năm sinh: …………………………………………………
Nơi thƣờng trú: …………………………………………...
Trình độ chuyên môn: …………………………………….
Chức vụ công tác: …………………………………………
Nơi làm việc: ………………………………………………
Địa chỉ liên hệ: …………………………………………….
6.Đơn vị áp dụng sáng kiến:
Tên đơn vị: Trƣờng THPT Trực Ninh.
Địa chỉ: TT Cát Thành – huyện Trực Ninh – tỉnh Nam Định.
Điện thoại: 03503883099.

2

BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I.

Điều kiện, hoàn cảnh tạo ra sáng kiến

Trong chƣơng trình Toán phổ thông nói chung, trong các dạng bài tập, đề
thi chọn học sinh giỏi nói riêng thì các bài tập liên quan đến dãy số rất phong
phú, đa dạng. Hiện nay trong các trƣờng THPT nói chung nhiều giáo viên bộ
môn Toán đã khai thác có hiệu quả các vấn đề liên quan đến dãy số, tuy nhiên
việc đi sâu tìm hiểu để dạy, bồi dƣỡng, học sinh giỏi các cấp về dạng bài tập
cho học sinh khá, giỏi liên quan đến dãy số trong chƣơng trình Toán phổ
thông còn hạn chế. Đặc biệt việc bổ sung nguồn tài liệu cho giáo viên tổ
Toán của nhà trƣờng để tham khảo và ôn thi cho học sinh lớp 11,12 nhằm
mục đích cho học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi tỉnh và kì thi học sinh
giỏi quốc gia .
Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để phục
vụ ngay chính công tác giảng dạy Toán ở trƣờng THPT , tôi chọn hƣớng
nghiên cứu để viết báo cáo sáng kiến với đề tài: "Một số dạng toán về dãy số
và ứng dụng" với mục đích: Hệ thống và đƣa ra lời giải một cách chi tiết cho
một số dạng bài toán về dãy số và ứng dụng trong bồi dƣỡng học sinh giỏi
Toán ở THPT.
Nhiệm vụ chính của sáng kiến bao hàm:
(1). Hệ thống hóa các kiến thức cơ sở về dãy số, một số tính chất về dãy số và
một số ứng dụng của dãy số đƣợc giới thiệu trong chƣơng trình phổ thông.
(2). Chọn lọc một số dạng bài tập liên quan đến dãy số thƣờng xuất hiện trong
các đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia và cố gắng đƣa ra lời
giải tƣờng minh cho những bài tập mà tài liệu tham khảo chƣa đƣa ra lời giải
chi tiết.
II. Mô tả giải pháp
1.Trước khi tạo ra sáng kiến

3

Trong chƣơng trình toán THPT dạng toán dãy số là khá mới mẻ với học
sinh, trong các kì thi chất lƣợng của nhà trƣờng rất ít đề cập đến dạng toán về
dãy số ở dạng vận dụng và vận dụng cao, vì vậy nguồn tài liệu ôn tập thƣờng
xuyên cho học sinh khá giỏi là không nhiều. Với học sinh khá giỏi niềm say
mê toán học không chỉ dừng lại mức độ nhận biết, mà biết vận dụng, vận
dụng cao. Đặc biệt hằng năm UBND tỉnh và Sở giáo dục tổ chức thi để tuyển
chọn học sinh giỏi của tỉnh đi tham dự thi kì thi học sinh giỏi quốc gia, đối
tƣợng học sinh THPT không chuyên thƣờng lúng túng về dạng toán về dãy số
vì do học sinh ít đƣợc tiếp cận biết đƣợc cách làm. Trong quá trình giảng dạy
đội tuyển học sinh giỏi , nhiều em học sinh có tâm lý lo sợ khi gặp bài toán
này, mặc dù niềm say mê toán học của các em vẫn có song do tiếp cận ít nên
các em không tự tin giải dạng toán này. Vì vậy việc phân chia một số dạng
toán về dãy và ứng dụng giúp các em tự định ra phƣơng pháp, kinh nghiệm
cho bản thân để tiếp tục nâng cao niềm say mê toán học của các em, các đồng
nghiệp có nguồn tài liệu tham khảo để giảng dạy.
2. Sau khi có sáng kiến
Sáng kiến này viết theo cấu trúc gồm 2 chƣơng bao hàm kiến thức chuẩn
bị và phân ra các dạng toán về dãy số, đặc biệt nêu một số ứng dụng của dãy
số giúp học sinh giải quyết đƣợc rất nhiều dạng bài trong các đề thi chọn học
sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi Quốc gia nhƣ bất đẳng thức, các bài hình học…
Dạng toán về dãy số và ứng dụng sẽ mang lại cho học sinh nhiều kinh
nghiệm, định hƣớng giải về toán dãy số.Học sinh say mê toán học tìm thấy rất
nhiều điều bổ ích, không ngại giải những dạng bài này.

4

III.

NỘI DUNG.
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Dãy số
1.1.1. Định nghĩa
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dƣơng ℕ∗ đƣợc gọi là
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). Kí hiệu:
u: ℕ∗



n

u(n)

Dãy số thƣờng đƣợc viết dƣới dạng khai triển: u1, u2, u3,…, un, … trong
đó u1 là số hạng đầu, un = u(n) là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của
dãy số.
Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1,2,3,…, m} với m 

*

đƣợc gọi

là một dãy số hữu hạn. Dạng khai triển của của dãy số hữu hạn: u1, u2,
u3,…,um trong đó u1 là số hạng đầu, um là số hạng cuối.
Dãy số (un) đƣợc gọi là:
- Dãy đơn điệu tăng nếu un+1 > un, với mọi n = 1, 2, …
- Dãy đơn không giảm nếu un+1  un, với moi n = 1, 2, …
- Dãy đơn điệu giảm nếu un+1 < un, với mọi n = 1, 2, …
- Dãy đơn điệu không tăng nếu un+1  un, với mọi n = 1, 2, …
Dãy số (un) gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un < M, với mọi
n = 1, 2, …; đƣợc gọi là dãy số bị chặn dƣới nếu tồn tại số m sao cho un > m,
với mọi n = 1, 2, …; Một dãy số bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn
dƣới.
Dãy số (un) gọi là tuần hoàn với chu kì k nếu un + k = un, với  n 

*

.

Dãy số (un) gọi là dãy dừng nếu tồn tại một số N0 sao cho un = C với
mọi n  N0, (C là hằng số, gọi là hằng số dừng).
1.1.2. Cách xác định một dãy số
i). Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát

5

n

1  1 5 
1  1 5 
Ví dụ: un  
 


5 2 
5 2 





n

ii). Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Ví dụ: Dãy số (un) đƣợc xác định bởi:
u1  1, u2  50

un1  4un  5un1  1975 n  2,3, 4...

iii). Dãy số cho bằng phương pháp mô tả
Ví dụ: Cho a1 = 19, a2 = 98. Với mỗi số nguyên n  1, xác định an +2
bằng số dƣ của phép chia an + an +1 cho 100.
1.1.3 Giới hạn của dãy số
Định nghĩa. Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là hằng số thực a hữu
hạn nếu với mọi số dƣơng  (có thể bé tùy ý), luôn tồn tại chỉ số

n0 

thể phụ thuộc vào  và vào dãy số (un) đang xét), sao cho với mọi chỉ số

(n0 có
n

,

n  n0 ta luôn có un  a   . Khi đó kí hiệu lim un  a hoặc limun = a và còn
n 

nói rằng dãy số (un) hội tụ về a. Dãy số không hội tụ gọi là dãy phân kì.
Định lý 1: Nếu một dãy số hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất
Định lý 2 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass):
a). Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì hội tụ.
b). Một dãy số tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
c). Một dãy số giảm và bị chặn dƣới thì hội tụ.
Định lý 3 : Nếu (un)  a và (vn)  (un), (vn)  C thì (vn)  a.
Định lý 4 (Định lý kẹp giữa về giới hạn):
Nếu với mọi n  n0 ta luôn có un  xn  vn và limun = limvn = a thì limxn
= a.
Định lý 5 (Định lý Lagrange):
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trong
khoảng (a; b) thì tồn tại c  (a; b) thỏa mãn: f(b) – f(a) = f’(c)(b – a).
Định lý 6 (Định lý trung bình Cesaro):