1. Trang Chủ
  2. Sáng kiến kinh nghiệm
  3. Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp tìm công thức tổng quát và tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi

Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp tìm công thức tổng quát và tính giới hạn của dãy số cho bởi công thức truy hồi

Đề tài tập trung nghiên cứu cách tìm số hạng tổng quát và cách tính giới hạn một số dãy số cho bằng công thức truy hồi. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết dưới đây để nắm nội dung của sáng kiến kinh nghiệm! 1 BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Trong những năm gần đây, Tỉnh Vĩnh Phúc luôn đứng trong tốp đầu cả nước về chất lượng thi ĐH­CĐ và thi THPT Quốc gia. Là một trường đang trên đà phát triển, trường THPT Nguyễn Thái Học luôn nỗ lực để duy

Thể loại Tài liệu miễn phí Sáng kiến kinh nghiệm

Số trang 22

Ngày tạo 4/6/2023 5:43:29 PM +00:00

Loại tệp DOCX

Kích thước 0.48 M

Tên tệp

Tải Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Phương pháp tìm công... (.pdf)

Xem mẫu

  1. 1
  2. BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN 1. Lời giới thiệu Trong những năm gần đây, Tỉnh Vĩnh Phúc luôn đứng trong tốp đầu cả nước  về  chất lượng thi ĐH­CĐ và thi THPT Quốc gia. Là một trường đang trên đà phát  triển, trường THPT Nguyễn Thái Học luôn nỗ  lực để  duy trì và nâng cao hơn nữa   chất lượng giáo dục mọi mặt của nhà trường. Nhiệm vụ   ấy vừa là trách nhiệm,  vừa là niềm vinh dự của mỗi giáo viên. Là một giáo viên được ban Giám hiệu giao   nhiệm vụ  giảng dạy lớp mui nhon khôi A cua tr ̃ ̣ ́ ̉ ương, ôn thi THPT Qu ̀ ốc gia, phụ   ̣ ̉ ́ ơp 11, tôi nh trach đôi tuyên toan l ́ ́ ận thấy mình phải có trách nhiệm giúp các em học   sinh đạt được điểm số cao nhất trong khả năng của các em.            “DAY SÔ ̃ ̀ ̣ ́”  la môt trong nh ưng kiên th ̃ ́ ưc hay va kho trong ch ́ ̀ ́ ương trinh Đai ̀ ̣  ́ ̀ ̉ ́ ơp 11. Trong cac đê thi khao sat chuyên đê cua cac tr sô va Giai tich l ́ ́ ̀ ̉ ́ ̀ ̉ ́ ường co không it ́ ́  nhưng câu hoi trăc nghiêm vê day sô đa gây kho khăn đôi v ̃ ̉ ́ ̣ ̀ ̃ ́ ̃ ́ ́ ơi hoc sinh.  ́ ̣ ̣ ̣   Đăc biêt ̣ ̉ ơp 11 câu day sô luôn xuât hiên va la câu kho đôi v trong cac đê thi hoc sinh gioi l ́ ̀ ́ ̃ ́ ́ ̣ ̀ ̀ ́ ́ ới   ̀ ̣ ́ ̣ toan phô biên nhât vê day sô la dang bai vê tim công nhiêu hoc sinh. Trong đo dang  ́ ̉ ́ ́ ̀ ̃ ́ ̀ ̣ ̀ ̀ ̀   thưc sô hang tông quat cua day sô( CTTQ) va tinh gi ́ ́ ̣ ̉ ́ ̉ ̃ ́ ̀ ̀ ơi han cua day sô.  ́ ̣ ̉ ̃ ́ Để giúp học  sinh THPT đặc biệt là học sinh lớp kha gioi l ́ ̉ ơp 11 tr ́ ương THPT Nguyên Thai Hoc ̀ ̃ ́ ̣   có thể gai quyêt đ ̉ ̣ ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̃ ́ ̣ ́ ̀ ̀  ́ ược môt sô dang bai tâp liên quan đên day sô, tôi chon viêt đê tai:  “ PHƯƠNG PHAP TIM CÔNG TH ́ ̀ ƯC TÔNG QUAT VA TINH GI ́ ̉ ́ ̀ ́ ƠI HAN CUA ́ ̣ ̉   DAY SÔ CHO B ̃ ́ ỞI CÔNG THƯC TRUY HÔI” ́ ̀       Thực hiện đề tài này tôi muốn lấy đây làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho   quá trình giảng dạy của bản thân, đồng thời có thể  làm tài liệu tham khảo cho các  bạn đồng nghiệp. Đê tai tâp trung nghiên c ̀ ̀ ̣ ưu cach tim sô hang tông quat va cach tinh ́ ́ ̀ ́ ̣ ̉ ́ ̀ ́ ́   2
  3. giơí   haṇ   môṭ   số   day ̀   công   thức   truy   hôi. ̃   số   cho   băng ̀  2. Tên sáng kiến:  “ PHƯƠNG PHAP TIM CÔNG TH ́ ̀ ƯC TÔNG QUAT VA TINH GI ́ ̉ ́ ̀ ́ ƠI HAN CUA ́ ̣ ̉   DAY SÔ CHO B ̃ ́ ỞI CÔNG THƯC TRUY HÔI” ́ ̀ 3. Tác giả sáng kiến: ­ Họ và tên: NGUYỄN THỊ THUY D ̀ ƯƠNG ­ Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học ­ Số điện thoại: 0977604246.          ­ E_mail: thuyduongnth@gmail.com 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:  ­ Họ và tên: NGUYỄN THỊ THUY D ̀ ƯƠNG  ­ Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học ­ Số điện thoại: 0977604246.          ­ E_mail: thuyduongnth@gmail.com 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:    Áp dụng vào dạy học môn ĐẠI SỐ  VÀ GIẢI   TÍCH 11ở trường THPT va bôi d ̀ ̀ ưỡng hoc sinh gioi toan l ̣ ̉ ́ ớp 11. 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 1 năm 2016 7. Mô tả bản chất của sáng kiến:  Sáng kiến gồm 4 phần: PHẦN 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN           PHẦN 2: THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ PHẦN 3: NÔI DUNG PH ̣ ƯƠNG PHAP ́ PHÂN 4: KÊT QUA ̀ ́ ̉                        PHÂN 1: C ̀ Ơ SỞ LI LUÂN ́ ̣ I.  Cơ sở thực tiên.  ̃        Nhiêm vu trong tâm trong tr ̣ ̣ ̣ ương THPT va hoat đông day cua thây va hoat đông ̀ ̀ ̣ ̣ ̣ ̉ ̀ ̀ ̣ ̣   ̣ ̉ ̀ ́ ơi ng hoc cua tro. Đôi v ́ ươi thây, ngoài vi ̀ ̀ ệc truyền thụ kiến thức mới, giup hoc sinh ́ ̣   3
  4. ̉ ́ ưng kiên th cung cô nh ̃ ́ ưc đã h ́ ọc còn cần biết cách tạo cảm hứng học tập cho học   sinh, giúp các em từng bước vượt qua những khó khăn, thử  thách một cách nhẹ  nhàng.  ́ ̣ ̉ ́ ững những tri thưc khoa hoc  Muôn hoc tôt môn Toan, cac em phai năm v ́ ́ ́ ́ ̣ ở môn  ̣ ́ ́ ̣ ́ ̣ ̣ ̣ ́ ̣ ̀ ưng bai Toan môt cach co hê thông, biêt vân dung ly thuyêt môt cach linh hoat vao t ́ ́ ́ ́ ̀ ̀  ́ ̣ ̉ ̀ ́ ̉ ̣ ở  viêc  toan cu thê. Điêu đo thê hiên  ̣ hoc đi đôi v ̣ ơi hanh,  ̀ ̉ ̣ ̉ ́ ư  ́ ̀ đoi hoi hoc sinh phai co t ̣ ̀ ̣ ̣ ̣ ̀ ̣   duy logic va suy nghi linh hoat. Vi vây, trong qua trinh day hoc giao viên cân đinh ̀ ̃ ́ ̀ ́ hương cho hoc sinh cach hoc va nghiên c ́ ̣ ́ ̣ ̀ ứu môn Toan môt cach co hê thông, biêt ́ ̣ ́ ́ ̣ ́ ́  ̣ ̣ ́ ̀ ̀ ̣ cach vân dung li thuyêt vao bai tâp, bi ́ ́ ết cách đưa bài toán phức tạp về bài toán đơn  giản, biết cách biến cái “không thể” thành cái “có thể”.  II. Cơ sở ly thuyêt. ́ ́  1. DAY SÔ ̃ ́    1. 1. Đinh nghia: ̣ ̃ a) Mỗi hàm số   xác định trên tập số  tự  nhiên được gọi là một  dãy số  vô hạn  (gọi tắt là dãy số).  Kí hiệu:                        Dạng khai triển:  Trong đó ta gọi:  là số hạng đầu,  là số thứ  hay số hạng tổng quát của dãy số. b) Mỗi hàm số  xác định trên tập  với được gọi là một dãy số hữu hạn. 1.2. Dãy số tăng, dãy số giảm  a) Dãy số được gọi là tăng nếu   với mọi . b) Dãy số được gọi là giảm nếu   với mọi . 1.3. Dãy số bị chặn a) Dãy số được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số  sao cho  b) Dãy số được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số  sao cho  4
  5. c) Dãy số được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là  tồn tại các số  sao cho . 2. CÂP SÔ CÔNG ́ ́ ̣    2.1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng   un+1 = un + d,  n   N* (d: công sai)    2.2. Số hạng tổng quát: với  n   2    2.3. Tính chất của các số hạng:  với  k   2    2.4. Tổng n số hạng đầu tiên: =  3. CÂP SÔ NHÂN ́ ́    3. 1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân    un+1 = un.q   với  n   N* (q:công bội)    3. 2. Số hạng tổng quát:     với  n   2    3. 3. Tính chất các số hạng:  với k   2    3. 4. Tổng n số hạng đầu tiên:  PHÂN 2: TH ̀ ỰC TRANG VÂN ĐÊ ̣ ́ ̀ I. Thuân l ̣ ợi:       + Ban thân tôi la giao viên đa ra tr ̉ ̀ ́ ̃ ương lâu năm, đ ̀ ược Ban giam hiêu phân công ́ ̣   đứng lơp chon va phu trach đôi tuyên nhiêu năm nên co kiên th ́ ̣ ̀ ̣ ́ ̣ ̉ ̀ ́ ́ ức tương đôi chăc ́ ́  ́ ̀ ́ ̣ chăn va bao quat toan câp hoc. ́ ̀ ̣ ̃ ược ren luyên ky năng giai bai tâp vê câp sô công, câp sô nhân la    + Hoc sinh đa đ ̀ ̣ ̃ ̉ ̀ ̣ ̀ ́ ́ ̣ ́ ́ ̀  ̀ ̉ ̉ ̉ ́ ̀ ́ ̀ ̃ ́ nên tang đê giai cac bai toan vê day sô.    + Phương phap đ ́ ược day cho đôi t ̣ ́ ượng hoc sinh kha, nên đa sô cac em co y th ̣ ́ ́ ́ ́ ́ ưć   ̣ ̣ ́ ́ ức tôt. hoc tâp tôt va năm băt kiên th ́ ̀ ́ ́ II. Kho khăn:  ́     + Hoc sinh vân quen cach hoc thu đông, không chiu suy nghi tim toi tr ̣ ̃ ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ̃ ̀ ̀ ươc nh ́ ưng ̃   ̉ ́ ̣ câu hoi kho, la.     + Thơi l ̀ ượng day không đ ̣ ược nhiêu nên nhiêu y t ̀ ̀ ́ ưởng cua giao viên ch ̉ ́ ưa truyên ̀  ̉ ược hêt. tai đ ́ 5
  6.                            PHÂN 3: NÔI DUNG PH ̀ ̣ ƯƠNG PHAP ́ DANG 1: TIM CÔNG TH ̣ ̀ ƯC SÔ HANG TÔNG QUAT ́ ́ ̣ ̉ ́          Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về  dãy số  là xác định  công thức sô hang t ́ ̣ ổng quát của một dãy số  cho bởi công thức truy hồi. Có nhiều  phương pháp để giải quyết yêu cầu đó. Tuy nhiên phương phap th ́ ương găp la biên ̀ ̣ ̀ ́  ̉ ̉ đôi đê qui về dãy sô đăc biêt đo chinh la: C ́ ̣ ̣ ́ ́ ̀ ẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN  Dang 1.1 ̣ . Xác định CTTQ của  dãy (un) được xác định  :      a, b là các hằng số .       Day sô kiêu nay xuât hiên kha nhiêu trong cac bai tâp vê day sô cung nh ̃ ́ ̉ ̀ ́ ̣ ́ ̀ ́ ̀ ̣ ̀ ̃ ́ ̃ ư  trong  ́ ̉ ́ ̣ ́ ̃ ́ ̀ ̀ ́ ̣ ơn gian nhât:  cac câu hoi trăc nghiêm. Chung ta hay băt đâu băng vi du đ ̉ ́   Vi du 1: ́ ̣  (Bài tập 2.6 phần b sách bài tập đại số và giải tích 11) :   Tìm công thưc sô hang TQ c ́ ́ ̣ ủa dãy (un) được xác định như sau :   Lơi giai: ̀ ̉  Bai toan nay co thê giai băng cac cach khac nhau:  ̀ ́ ̀ ́ ̉ ̉ ̀ ́ ́ ́  Cach 1:  ́ Dự đoan SHTQ rôi ch ́ ̀ ứng minh băng ph ̀ ương phap quy nap toan hoc ́ ̣ ́ ̣         Ta co:   ́         Dự đoan: . ́         Dê dang ch ̃ ́ ứng minh được công thức trên băng ph ̀ ương phap quy nap toan hoc. ́ ̣ ́ ̣ Cach 2: ́  Từ công thưc truy hôi  suy ra:  suy ra day sô la môt câp sô công, v ́ ̀ ̃ ́ ̀ ̣ ́ ́ ̣ ới: . Khi  đo:   ́ Vi du 2 ́ ̣ : Xac đinh SHTQ cua day sô  đ ́ ̣ ̉ ̃ ́ ược xac đinh b ́ ̣ ởi:   Lơi giai: ̀ ̉ Tương tự  như  vi du 1, co thê giai vi du 2 băng cach d ́ ̣ ́ ̉ ̉ ́ ̣ ̀ ́ ự  đoan công th ́ ức SHTQ rôí  chưng minh băng quy nap. Tuy nhiên t ́ ̀ ̣ ừ công thưc truy hôi ta co thê thây ngay day sô ́ ̀ ́ ̉ ́ ̃ ́  ̀ ̀ ̣ nay la môt CSN vơi:  t ́ ư đo suy ra:   ̀ ́ 6
  7.  * Nhân xet ̣ ́ ̣ ́ ̀ ́ ́ ̉ ̉ ́ ̃ ̀ ởi day sô đa ́: Qua 2 vi du trên ta thây bai toan co thê giai quyêt dê dang b ̃ ́ ̃  ̀ ưng day đăc biêt câp sô công ( CSC) hoăc câp sô nhân (CSN). Tuy cho chinh la nh ́ ̃ ̃ ̣ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ́ ́   ̉ ̃ ́ ̀ ̃ ́ ́ ̣ nhiên không phai day sô nao cung la CSC hay CSN. Ta xet vi du sau: ̀ ́ ̣ : (Bài tập 3.11 phần a sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao)   Vi du 3 Cho dãy số   Hãy điền các số thích hợp vào bảng sau đây: n 3 5 7 un Lơi giai: ̀ ̉  Day sô nay không phai la CSC hay CSN, tuy nhiên ta co thê biên đôi vê CSC, CSN ̃ ́ ̀ ̉ ̀ ́ ̉ ́ ̉ ̀   ́ ơi môt day trung gian khac. đôi v ́ ̣ ̃ ́ ̣ ̣  Tư công th Thât vây: ̀ ́ ̀   ta biên đôi vê day  sao cho la  môt CSN. T ưc truy hôi: ́ ̉ ̀ ̃ ̀ ̣ ức la:  , ta ̀   ̃ ư vây.  se tim day nh ̃ ̀ ̣ Ta co:   ́ Như  vây day sô v ̣ ̃ ́ ơi   la môt câp sô nhân xac đinh nh ́ ̀ ̣ ́ ́ ́ ̣ ư  sau: .Ta thấy  ( vn) lập thành  một CSN với số hạng đầu v1=6 công bội q=3 nên  suy ra  n 3 5 7 un 49 481 4369 ̣ ́ ̉ Vây ta co bang sau: *Tư vi du trên ta co cach lam tông quat cho day sô dang : nh ̀ ́ ̣ ́ ́ ̀ ̉ ́ ̃ ́ ̣ ư sau: Cach giai: ́ ̉ + Nêu  thi (u ́ ̀ ́ ́ ̣ ̀ n) la câp sô công với công sai d=b      + Nêu : Ta se phân tich  nên  hay . ́ ̃ ́        Khi đó công thức truy hồi của dãy được viết như sau:   7
  8.            Từ đó ta có day  la 1 CSN co công bôi q=a ̃ ̀ ́ ̣        Suy ra:          hay  . BAI TÂP T ̀ ̣ Ự LUYÊN ̣  Bai 1: ̀  Cho day sô:   ̃ ́    a. Chưng minh day sô  la 1 CSN ́ ̃ ́ ̀ ̉ ́ ̣ ̀ ̉    b. Tinh tông 100 sô hang đâu cua day sô trên  ĐS:   ́ ̃ ́ Bai 2 ̀ : Tim công th ̀ ưc SHTQ cua cac day sô sau: ́ ̉ ́ ̃ ́ a.          ĐS:   b. ;        ĐS:  Dang 1.2 ̣ : Xác định CTTQ của  dãy (un) được xác định như sau : , Trong đó là đa thức bậc với là hằng số. Cach giai: ́ ̉ Ta phân tích   TH1: Nếu a=1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k+1 có hệ số tự do bằng 0 TH2: Nếu a ≠1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k Khi đó ta viết công thức truy hồi của dãy như sau:   Ta tìm được CTTQ của dãy (un) là: . Vi du 1 ́ ̣ :(Bài tập 2.5 trang 106 sách đại số và giải tích 11) Cho dãy  (un) xác định bởi   . Tìm CTTQ của dãy (un). Lơi giai: ̀ ̉ Cach 1 ́ :  ̉ ử:        Giai s       Khi đó ta phân tích:             Đồng nhất hệ số  8
  9.      Khi đó ta xác định được hàm g(n):      Từ công thức truy hồi của dãy (un) ta có:              Cach 2 ́ : Từ công thức truy hồi Un+1­Un= 3n­2 ta thay các giá trị n=1,2,…. cộng theo vế ta được:                                    Vi du 2 ́ ̣ : (bài 3.28 trang 90 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao) Cho dãy số (vn) xác định như sau:     Chứng minh rằng:  Lơi giai: ̀ ̉ Cach 1 ́ . Chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Cach 2. ́  Tìm CTTQ của (vn) Ta có (vn) được xách định như sau: Phân tích:                     Đồng nhất hệ số ta có:  Vậy  ta  có hàm  Từ công thức truy hồi của  (vn)  Từ đó ta chứng minh được  Vi du 3 ́ ̣ : Tính tổng:       9
  10. Lơi giai: ̀ ̉  Dãy  (Sn) được xác định như sau:  (Sn): g(n)=;  g(n­1)=  Phân tích:           Đồng nhất hệ số:          Từ công thức truy hồi:         BÀI TẬP TỰ LUYÊN: ̣ Bai 1 ̀ : Cho (un ) được xác định như sau:  . Tìm CTTQ của (un). HD: Tách:  ĐS:  Bai 2 ̀ : Cho (un ) được xác định như sau: Tìm CTTQ của dãy (un).   HD: Tách  Bai 3 ̀ :(BT2.4 trang 106 sách BT địa số và giải tích 11)  Cho dãy  (un) được xách định như sau:  a, Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy (un). b, Tìm số hạng thứ 100 của dãy                                                               ĐS:  Bai 4 ̀ : Tính tổng     HD: ; ĐS:  Bai 5 ̀ : T ìm CTTQ c ủa d ãy (Un) được xách định như sau: a,   ĐS:  b,  Bai 6 ̀ : T ìm CTTQ c ủa d ãy (Un) được xách định như sau: a,    ĐS:  b,   10
  11. Dang  1.3 ̣ : Xác định CTTQ của  dãy (un) được xác định như sau   :                                   Cach giai: ́ ̉ TH1: Nếu a= Ta có :                TH2: Nếu  Ta phân tích   Khi đó có k= Rồi đưa về các dạng đã biết ta tìm được công thức tổng quát của (Un). Vi du 1 ́ ̣ : Cho (un ) được xác định như sau :  Tìm CTTQ của dãy (un ). Lơi giai: ̀ ̉              Vi du 2 ́ ̣ : Cho (Un ) được xác định như sau :           Tìm CTTQ của dãy (Un ). Lơi giai: ̀ ̉ Ta phân tích :           Từ công thức truy hồi của dãy (Un ) ta có: Vi du 3 ́ ̣ : Cho (Un ) được xác định như sau: Tìm CTTQ của dãy (un ). Lơi giai: ̀ ̉ Phân tích       Vậy : Từ công thức truy hồi             BÀI TẬP TỰ LUYÊN ̣ Bai 1 ̀ : Cho dãy (Un) được xác định như sau:  11
  12. Tìm CTTQ của dãy (un ).   HD:  ; Đs:  Bai 2: ̀  Tìm CTTQ của dãy (Un ) được xác định như sau : a, ĐS:  b,  Bai 3 ̀ : Tìm tất cả giá trị  sao cho (Un) xác định bởi: Là dãy số tăng Dang 1.4 ̣ :  Cho dãy (Un) được xách định như sau:         Trong đó là đa thức bậc  theo .    Tìm  CTTQ của dãy   Cach giai: ́ ̉ Phân tích  Phân tích  . Trong đó:                     + Nếu a=1 thì g(n) là đa thức bậc k+1 của n                     + Nếu a1 thì g(n) là đa thức bậc k của n. Sau đó chuyển công thức truy hồi của dãy (un) về  các dạng đã học ta tìm được  CTTQ của (un). Vi du 1: ́ ̣  Cho dãy (un) được xách định như sau:     Tìm  CTTQ của dãy  (un). Lơi giai: ̀ ̉      Ta phân tích:         Ta phân tích :     Đồng nhất hệ số ta có  12
  13.     và      Từ công thức truy hồi của (Un) thì hồi                             Vậy CTTQ của (un) là . BÀI TẬP TỰ LUYÊN ̣ Bai 1: ̀  Tìm CTTQ của dãy (un ) được xách định như sau :  ĐS:  Bai 2: ̀  Tìm CTTQ của  day (u ̃ n) biết:  DẠNG 1.5: Cho dãy (un) được xách định như sau:                     Tìm  CTTQ của dãy  (un). Cach giai: ́ ̉ Ta đưa CT truy hồi:  về dạng: Đồng nhất hệ số:  Khi đó x1, x2 là nghiệm phương trình:sau khi tìm x1, x2 thế  vào (*) và dựa vào các  dang đã học tìm được CTTQ của dãy (un). Vi du 1 ́ ̣ : Xác định CTTQ của dãy  Lơi giai: ̀ ̉ Ta có: Đồng nhất hệ số:   x1, x2 là nghiệm phương trình: T2­5T+6=0  Ta chọn :         Áp dụng dạng 3 ta có:  Từ (*) ta có: 13
  14. BÀI TẬP TỰ LUYÊN: ̣ Bai 1 ̀ : Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thứ :      Bai 2 ̀ : Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thức:         ĐS  Bai 3: ̀  Xác định công thức tổng quát của dãy (Un) được cho bởi công thức:  Bai 4 ̀ : Xác định công thức tổng quát của dãy (Un).được cho bởi công thức:  a, ĐS:  b,    ĐS:  c,    ĐS:  d,  e,  CÂU HOI TRĂC NGHIÊM ̉ ̣ Câu 1.  Cho dãy số  với .Số hạng tổng quát  của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. . B. . C. . D. . Câu 2.  Cho dãy số  với . Số hạng tổng quát  của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. . B. .  C. .  D. . Câu 3.  Cho dãy số  với . Công thức số hạng tổng quát của dãy số này : A. . B. .               C. .               D. . Câu 4.  Cho dãy số  xác định bởi . Giá trị của  để  là A. . B. . C. Không có . D. . Câu 6.  Cho dãy số được xác định như sau:  Tính tổng. A.  B.  C. . D.  Câu 7.  Cho dãy số  xác định bởi  Tìm chữ số hàng đơn vị của  A. 4. B. 6. C. 0. D. 2. 14
  15. Câu 8.  Cho dãy số  với . Số hạng tổng quát  của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. . B. . C. .      D. . Câu 9: Cho dãy  Tính             A. 2       B.          C. 1                D. 3 Câu 10.  Cho dãy số  với . Số hạng tổng quát  của dãy số là số hạng nào dưới đây?   A. .                             B. .                     C. .                              D. . Câu 11: Cho dãy số có . Khi đó số hạng thứ n+3 là?            A.     B.             C.     D.  Câu 12.  Cho dãy số  xác định bởi  Tìm                  A.        B.  C.  D.  Câu 13. Cho dãy số  với . Số hạng tổng quát  của dãy số là số hạng nào dưới đây? A. . B. . C. . D. . Câu 14. Cho dãy số xác định bởi . Tìm số nguyên dương  nhỏnhất sao cho . A. . B. .               C. .                D. . Câu 15. Tính tổng  A. . B. . C. . D. . DANG 2:  ̣ TINH GI ́ ƠI HAN CUA DAY CHO CHO B ́ ̣ ̉ ̃ ỞI CÔNG THỨC TRUY HÔÌ Dang 2.1 ̣ . Tinh gi ́ ơi han cua day sô cho b ́ ̣ ̉ ̃ ́ ởi công thưc truy hôi băng cach xac ́ ̀ ̀ ́ ́  đinh CTTQ cua day sô. ̣ ̉ ̃ ́     Nêu biêt CTTQ cua day sô thi viêc tinh gi ́ ́ ̉ ̃ ́ ̀ ̣ ́ ơi han không con kho khăn n ́ ̣ ̀ ́ ữa. Đê tim ̉ ̀   ̉ ̃ ́ ́ ́ ̀ ́ ̣ ra CTTQ cua day sô co kha nhiêu cach. Trong dang 1  ở  chuyên đê nay chung ta đa ̀ ̀ ́ ̃  15
  16. đưa ra được môt sô cach c ̣ ́ ́ ơ  ban đê xac đinh. Cac vi du sau đây dung cac ph ̉ ̉ ́ ̣ ́ ́ ̣ ̀ ́ ương   ́ ̃ ́ ở dang 1 đê tim CTTQ cua day sô. phap đa biêt  ̣ ̉ ̀ ̉ ̃ ́ Vi du 1 ́ ̣ . Cho day sô: . Tinh  ̃ ́ ́  Lơi giai ̀ ̉ :  ́ ̣ ̣ ̀ ược CTTQ cau day sô trên la:  Ap dung dang 1.1 ta tim đ ̉ ̃ ́ ̀ Do đo:́ . Vi du 2: ́ ̣  Cho day sô: . Tinh  ̃ ́ ́  Lơi giai ̀ ̉ : Ap dung dang 1.1 ta tim đ ́ ̣ ̣ ̀ ược CTTQ cau day sô trên la:  ̉ ̃ ́ ̀ Do đo:́  Vi du 3 ́ ̣ : Cho day sô: . Tinh  ̃ ́ ́  (HSG Băc Giang) ́ Lơi giai ̀ ̉ : Ap dung dang 1.5 ta tim đ ́ ̣ ̣ ̀ ược CTTQ cua day sô trên la:  ̉ ̃ ́ ̀ Do đo:  ́ BAI TÂP T ̀ ̣ Ự LUYÊN: ̣ Bai 1:   ̀ Cho day sô: . Tinh .       ̃ ́ ́ ĐS:  Bai 2:   ̀ Cho day sô: . Tinh .       ̃ ́ ́ ĐS:   Nhân xet:  ̣ ̣ ̀ ược CTTQ la kho khăn, khi đo ta co thê tim gi ́ Nhiêu bai toan viêc tim đ ̀ ̀ ́ ̀ ́ ́ ́ ̉ ̀ ới   ̣ ́ ̃ ơn.  han day sô theo cach khac dê h ̃ ́ ́ Dang 2.2 ̣ : Tinh gi ́ ơi han cua day sô cho b ́ ̣ ̉ ̃ ́ ởi hê th ̣ ức truy hôi băng cach s ̀ ̀ ́ ử dung ̣   tinh đ ́ ơn điêu va bi chăn. ̣ ̀ ̣ ̣    Đê tim đ ̉ ̀ ược giới han theo cach nay ta cân năm đ ̣ ́ ̀ ̀ ́ ược cac tinh chât sau cua day sô:  ́ ́ ́ ̉ ̃ ́ ̀ ̣ ̣ ̣ ̃ ́ ̉ ̀ ̣ ̣ ưới thi co     1. Day sô tăng va bi chăn trên hoăc day sô giam va bi chăn d ̃ ́ ̀ ́ ̀ ́ ơi han h  thi co gi ́ ̣ ưu han ̃ ̣ ́ ̃ ́ ̉ ̣ ̀ ̀ ̣    2. Nêu day sô  thoa man điêu kiên  va tôn tai thi  ̃ ̀ ̀ ́ ̃ ́ ̉ ̣ ̀ ̀ ̣    3. Nêu day sô  thoa man điêu kiên  va tôn tai thi  ̃ ̀ ̀    4. Giai s ̃ ́ co gi ̉ ử day sô ́ ới han h ̣ ữu han thi  ̣ ̀ 16
  17.  Vi du 1 ́ ̣  :   Cho day sô xac đin b ̃ ́ ́ ̣ ởi: . Tim  ̀ Lơi giai: ̀ ̉ Ta se ch ́ ̃   tăng va bi chăn trên. ̃ ưng minh day ̀ ̣ ̣ ̣ ̣ Thât vây: Chưng minh day sô tăng băng quy nap nh ́ ̃ ́ ̀ ̣ ư sau:    ­ Vơi n=1 ta co:  ́ ́ ̉ ử , khi đo . Vây    ­ Gia x ́ ̣ ̃ ̣ ̣ ưới bởi . Ta se ch Hay day sô tăng nê se bi chăn d ̃ ́ ̃ ưng minh day sô  bi chăn trên b ́ ̃ ́ ̣ ̣ ởi 2  ̣ ̣ ̣ băng quy nap, thât vây: ̀   ­ Khi n=1 ta co ́ ̉ ử ,, khi đo ́   ­ Gia s ̣ ̃ ́ ̣ ̣ Vây day sô  bi chăn trên bởi 2. Do đo day sô co gi ́ ̃ ́ ́ ới han h ̣ ữu han. ̣ ̉ ử  thi .̀ Gia s Tư hê th ̀ ̣ ưc truy hôi, lây gi ́ ̀ ́ ới han hai vê ta co:  ̣ ́ ́   ̣    Vây  Vi du 2 ́ ̣  : Cho dãy số (un) xác định như sau:  Chưng minh day sô  ́ ́ ơi han va tim gi ̃ ́co gi ́ ̣ ̀ ̀ ới han đo. ̣ ́  Lơi giai ̀ ̉    : ́ ̣ ́ ̉      Ap dung bât đăng thưc CôSi ́  :        hay day sô ̃ ́ bi chăn d ̣ ̣ ươi b ́ ởi       Dự đoan day sô giam, ta se ch ́ ̃ ́ ̉ ̃ ứng minh . ̣ ̣  :      Thât vây ́ ̣  :       ­ Xet hiêu ̃ ́ ̉       Do  hay day sô giam.       Như vây day sô  ̣ ̉ ̀ ̣ ̣ ưới nên co gi ̃ ́ giam va bi chăn d ́ ới han h ̣ ữu han. Gia s ̣ ̉ ử       . Ta có  phương trinh:  ̀ 17
  18. ̣      Vây  Vi du 3 ́ ̣ : Cho dãy số (un) xác định như sau:     Tim:  ̀ Lơi giai: ̀ ̉      Dê dang ch ̃ ̀ ưng minh đ ́ ược dãy tăng vi:  suy ra day sô bi chăn d ̀ ̃ ́ ̣ ̣ ưới bởi u 1=2019  hay  Giả  sử   day sô có gi ̃ ́ ới hạn hưu han là a( a>2019) thi :  suy ra day sô không co gi ̃ ̣ ̀ ̃ ́ ́ ới  ̣ ưu han hay han h ̃ ̣    Ta có :          Vậy :  Vi du 3 ́ ̣  : Cho dãy số (un) xác định như sau:  Chưng minh day sô  ́ ́ ơi han va tim gi ̃ ́co gi ́ ̣ ̀ ̀ ới han đo. ̣ ́  Lơi giai ̀ ̉    : Ta có :  ́ ̣ ́ ̉ Ap dung bât đăng thưc CôSi ́  :    hay day sô ̃ ́ bi chăn d ̣ ̣ ươi b ́ ởi  Dự đoan day sô giam, ta se ch ́ ̃ ́ ̉ ̃ ứng minh . ̣ ̣  :  Thât vây ́ ̣  :     ­ Xet hiêu ̃ ́ ̉    Do  hay day sô giam.    Như  vây day sô  ̣ ̉ ̀ ̣ ̣ ươi nên co gi ̃ ́ giam va bi chăn d ́ ́ ơi han h ́ ̣ ưu han. Gia s ̃ ̣ ̉ ử    . Ta có  phương trinh:  ̀ ̣   Vây  Vi du 4: ́ ̣   Cho day sô xac đin b ̃ ́ ́ ̣ ởi: . Tim  ̀ (Đê HSG Quang Binh ̀ ̉ ̀ ) Lơi giai: ̀ ̉ Ta có:  18
  19.  nên  là dãy số tăng. Giả sử () là dãy số bị chặn trên khi đó nó có giới hạn hữu hạn .  Ta có:   phương trinh nay vô nghiêm nên dân đên mâu thuân. Vây day  ̀ ̀ ̣ ̃ ́ ̃ ̣ ̃   () không bị  ̣ Do đó:  chăn .  Ta có:  BAI TÂP T ̀ ̣ Ự LUYÊN: ̣ Bai 1:  ̀ Cho dãy số (un) xác định như sau:  Chưng minh răng  co gi ́ ̀ ́ ới han va tinh gi ̣ ̀ ́ ới han đo. ̣ ́ Bai 2 ̀ : Cho dãy số  được xác định bởi :  Tính . Bai 3 ̀ : Cho dãy số (un) xác định như sau:  Chưng minh day sô tăng va tim gi ́ ̃ ́ ̀ ̀ ơi han cua day sô đo. ́ ̣ ̉ ̃ ́ ́ Dang 2.3. ̣   Tinh gi ́ ơi han cua day sô băng cach s ́ ̣ ̉ ̃ ́ ̀ ́ ử dung nguyên ly kep ̣ ́ ̣     Đê ap dung ph ̉ ́ ̣ ương phap nay ta nhăc lai nguyên ly kep nh ́ ̀ ́ ̣ ́ ̣ ư sau: Cho 3 day sô: thoa man điêu kiên:  va   thi  ̃ ́ ̉ ̃ ̀ ̣ ̀ ̀  Sau đây ta xet môt sô vi du minh hoa ph ́ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ương phap nay:  ́ ̀ Vi du 1: ́ ̣  Tinh cac gi ́ ́ ơi han sau: ́ ̣             Lơi giai: ̀ ̉  1) Ta co:   ma  ́ ̀ 2) Ta co:    ́ ma  ̀ Nhân xet ̣ ́ ̣ ̃ ́ ược cho băng CTTQ vi vây viêc ap dung gi ́: Trong Vi du 1, day sô đ ̀ ̀ ̣ ̣ ́ ̣ ơi han ́ ̣   ̣ ̃ ơn, trong trương h kep dê h ̀ ợp day sô cho băng công th ̃ ́ ̀ ức truy hôi ta phai s ̀ ̉ ử dung ky ̣ ̃  năng đanh gia cao h ́ ́ ơn đê co thê dung đ ̉ ́ ̉ ̀ ược giới han kep. Sau đây ta xet cac vi du ma ̣ ̣ ́ ́ ́ ̣ ̀  day sô cho băng công th ̃ ́ ̀ ức truy hôi. ̀ 19
  20. Vi du 2 ́ ̣ : Cho dãy số  được xác định bởi :  a. CMR:  b) CMR: . Tinh  ́ Lơi giai: ̀ ̉ a) Băng quy nap ta dê dang ch ̀ ̣ ̃ ̀ ứng minh được . Ta chứng minh . Thât vây: ̣ ̣ Vơi n=1 thi đung.  ́ ̀ ́ ̉ ử , ta chưng minh . Ta co:  Do đo:  Giai s ́ ́ ́ ̣ Vây  b) Tư câu a) suy ra:  ̀ Do đo ta co:  ́ ́ ́ ̣ Nên theo nguyên ly kep:  Vi du 3: ́ ̣  Cho dãy số  được xác định bởi :  a) CMR:  va ̀ b) Tinh  ́ Lơi giai: ̀ ̉ Nhân xet:  ̣ ̣ ̀ ̉ ́ Viêc tim CTTQ cua day sô la kha kho khăn, nh ̃ ́ ̀ ́ ́ ưng từ hê th ̣ ức truy hôi ta ̀   ́ ̉ ́ ́ ược dê dang. co thê đanh gia đ ̃ ̀ a) Dê dang ch ̃ ̀ ứng minh được  Tư hê th ̀ ̣ ưc truy hôi ta suy ra:  ́ ̀ b) Tư câu a) ta co:  ̀ ́ ̀ ́ ̣ ma nên theo nguyên ly kep ta co  ́ Vi du 4 ́ ̣ : Cho dãy số  được xác định bởi : .( vơi ­1
nguon tai.lieu . vn
Trung học phổ thông Ôn thi ĐH-CĐ Đề thi - Kiểm tra Sáng kiến kinh nghiệm Tiểu học Mầm non - Mẫu giáo Giáo án điện tử Trung học cơ sở Bài giảng điện tử Bài văn mẫu Vật lý Bài tập SGK Khoa học xã hội Tiếng Anh phổ thông