Xem mẫu
- MỤC LỤC
7.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ............................................................
2
7.1.1. Những kiến thức cơ
bản.....................................................................................2
7.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số
phức……..3
7.1.3. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của số
phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc
elip………………………………………6
7.1.4. Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của
nó........................13
7.1.5. Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số
phức………………………….15
7.2. Thực trạng của vấn đề trước khi thực hiện
SKKN..............................................21
7.3. Các giải pháp đã thực hiện để giải quyết vấn
đề.................................................22
7.4. Hiệu quả sau khi áp dụng SKKN vào giảng
dạy……………………………….23
7.5. Kết luận và kiến
nghị..........................................................................................23
BÁO CÁO KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
1. Lời giới thiệu
Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học như
hiện nay, môn Toán được kiểm tra đánh giá bằng hình thức thi trắc nghiệm. Mảng
kiến thức về số phức trước đây vốn được học và thi khá nhẹ nhàng, nhưng hiện
1
- nay đã được khai thác khá sâu trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm. Một trong
những dạng toán được hỏi khá nhiều đó là các bài toán về modul của số phức. Để
giải các bài toán này nhanh chóng, chính xác nhằm lựa chọn được phương án trả lời
đúng trong đề bài, chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh có một tư duy linh hoạt và
nhạy bén. Ngoài yêu cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu và rộng kiến thức, người
thầy còn phải biết cách dạy học sinh các kĩ năng như loại trừ, thử đáp án, chọn
lựa...và đặc biệt là kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết. Đó là lí do tôi
chọn đề tài này
2. Tên sáng kiến:
Một số phương pháp giải các bài toán về modul của số phức
3. Tác giả sáng kiến:
Họ và tên: Trần Thị Thu Hằng
Địa chỉ tác giả sáng kiến: Xã Đồng Thịnh, huyện Sông Lô, tỉnh Vĩnh Phúc
Số điện thoại: 0973318398 E_mai:
tranthithuhanggv.c3songlo@vinhphuc.edu.vn
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Trần Thị Thu Hằng
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Áp dụng trong thực tiễn giảng dạy và học tập môn
Toán học lớp 12, cụ thể trong các tiết ôn luyện chủ đề Số phức, giải tích 12.
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Tháng 4 năm 2018
7. Mô tả bản chất của sáng kiến:
7.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
7.1.1. Những kiến thức cơ bản:
7.1.1.1. Một số phức là một biểu thức có dạng , trong đó , và i là số thoả mãn . Ký
hiệu số phức đó là z và viết .
* i được gọi là đơn vị ảo
* x được gọi là phần thực, kí hiệu là Re(z).
2
- * y được gọi là phần ảo, kí hiệu là Im(z).
* Tập hợp các số phức ký hiệu là .
7.1.1.2. Hai số phức bằng nhau.
Cho 2 số phức z = x + yi và z’ = x’ + y’i khi đó z = z’
7.1.1.3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi .
7.1.1.4. Modul của số phức: Cho số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x; y),
khi đó ta định nghĩa modul của số phức z là khoảng cách OM.
7.1.1.5. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
7.1.1.6. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
7.1.1.7. Số phức liên hợp.
Cho số phức z = a + bi. Số phức = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.
Tính chất của số phức liên hợp:
* * * *
7.1.1.8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo của số phức z ≠ 0 là số z1 được xác định bởi
z1=
3
- Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau:
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính
chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông
thường.
7.1.1.9. Các đẳng thức và bất đẳng thức về modul của số phức:
* . Đặc biệt: Khi .
* là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến gốc tọa độ O của mặt
phẳng phức.
* là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến điểm M’ biểu diễn của
số phức z’.
* , .
* .
7.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức
7.1.2.1. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:
Ta xét một ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 1 : Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải:
Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y , ta có
(3x + 1)2 + (3y – 1)2 = (3x + 2)2 + (3y + 3)2 18x – 24y – 11 = 0
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường thẳng có dạng ax + by + c = 0. Ta tìm a, b, c
như sau:
4
- Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím
CALC X = 0
CALC X = 1
CALC X = i
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Nhận xét: Đây là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học
sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính
xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay,
thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên dưới
20 giây.
Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng nếu số phức z
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
|m'. + a' + b'i|
|m'. + a' + b'i|
Mà m = m’ hoặc m = m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường
thẳng.
7.1.2.2. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:
Ta xét 2 ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải: Dễ thấy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R
Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn
Giải:
5
- Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y , ta có
(x + 1)2 + (y – 1)2 = (3x + 2)2 + (3y + 3)2 8x2 – 8y2 +14x – 20y – 11 = 0
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn:
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường tròn có dạng x2 + y2+ ax + by + c = 0. Ta tìm
a, b, c như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím
CALC X = 0
CALC X = 1
CALC X = i
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn:
Nhận xét: Cũng như dạng toán có quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng, đây
cũng là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học sinh trung
bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác cũng
mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, thì kể cả
các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên dưới 20 giây.
Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng với số phức z
thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
|m'. + a' + b'i|
|m'. + a' + b'i|
Mà m m’ và m m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường tròn
6
- 7.1.2.3. Quỹ tích điểm biểu diễn là elip:
b
Ta thường gặp bài toán:
F1 F2
Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa a c c a
mãn với a > c > 0. b
Giải: Gọi F1(c; 0), F2(c; 0). Từ điều kiện bài toán,
ta có MF1 + MF2 = 2a. Dựa vào định nghĩa của elip, ta dễ dàng nhận thấy quỹ tích
của M là elip có phương trình :
7.1.3. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của
số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip.
Phương pháp chung:
Bước 1. Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện, đây
cũng là quá trình tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức z.
Bước 2.
Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá.
Phân tích biểu thức thành tổng bình phương để đánh giá.
Khảo sát hàm số để đánh giá.
Sử dụng phương pháp lượng giác hóa.
Dùng tính chất hình học để đánh giá bằng cách: Tìm số phức z tương ứng
với điểm biểu diễn M (G) sao cho khoảng cách tương ứng với điều kiện bài
toán có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).
7.1.3.1. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5 cách
giải)
Ví dụ 4: Tìm z sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Biết số phức z thỏa mãn điều kiện là
số thực.
7
- Giải: Giả sử z = x + yi (x, y ), khi đó
Ta có .
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (d): .
Cách 1: (Hình học) Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn z thì , ta được M(2; 2).
Cách 2. (Phân tích thành tổng bình phương). Ta có .
Vậy
Cách 3. (Phương pháp hàm số)
Xét hàm số f(x) = là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min tại
Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki)
.
Cách 5:( Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)
Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím
Nhận thấy nhỏ nhất là = tại x = 2, nên y = 2
hay z = 2 + 2i
Ví dụ 5: Tìm modul nhỏ nhất của số phức z – 3 + 2i . Biết s ố ph ức z th ỏa mãn
điều kiện
Giải:
Tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn của z là đường thẳng: x y + 2 = 0
8
- Cách 1: (Hình học) Ta thấy nhỏ nhất có giá trị là khoảng cách từ điểm I(3; 2) đến
đường thẳng x – y + 2 = 0 và bằng
Cách 2. (Phân tích thành tổng bình phương). Ta có
=
Cách 3. (Phương pháp hàm số) =
Xét hàm số là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min tại
Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki)
.
Cách 5: (Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)
Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím
Nhận thấy nhỏ nhất là = tại x = 2
nên nhỏ nhất là
7.1.3.2. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5 cách
giải)
Ví dụ 6: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện .Tìm số phức z có môđun lớn
nhất, nhỏ nhất.
Giải: Giả sử điểm M(x; y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó tập hợp điểm M là
đường tròn I(2;4), bán kính , có phương trình:
Cách 1: (Sử dụng BĐT Bunhiacopxki) Ta có
9
- Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(3)
Từ (2), (3) ta suy ra: .Vậy:
Cách 2: (Định lý về dấu của tam thức bậc 2)
Đặt . Do
Ta có , Suy ra
Vậy
Cách 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)
Đặt
Ta có :
Do
Vậy
Cách 4. (Phương pháp hình học)
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z, khi đó
Ta có phương trình đường thẳng OI là:.
Đường thẳng OI cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B có toạ độ là nghiệm của hệ
phương trình:
Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì Hay
.
Vậy:
Cách 5. (Phương pháp hình học)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B như B
hình vẽ.
4
Ta có M trùng với điểm A trên (C) gần O nhất A
O H 2 K
10
- Ta có
Kẻ theo định lý Ta lét ta có:
M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất. Kẻ , theo định lý Ta lét ta có:
Ví dụ 7: Cho hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Giải: Chúng ta có thể giải bằng 5 phương pháp đã nêu trên, ở đây tôi chọn phương
pháp hình học để trình bày lời giải
Ta có d
A
R
Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z 1 là I
5
đường tròn tâm I(5; 0), bán kính R = 5
Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z 1 là
đường thẳng .
Dễ thấy đường thẳng không cắt do d(I; ) = . Theo hình vẽ ta thấy
7.1.3.3. Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm z sao cho đạt min, max.
Hướng giải: Ngoài 5 phương pháp trên, ta còn có thể áp dụng tính chất sau:
M
Đặt T = , khi đó ta có k
Chứng minh: Gọi M là điểm biểu diễn của z, A là M2 A M1 B
điểm biểu diễn của số phức –A, B là điểm biểu diễn
của số phức –B. Khi đó M thuộc đường tròn tâm là –A, bán kính k.
Ta thấy M1BM2B
Áp dụng tính chất trên ta dễ dàng giải được các bài toán sau:
Ví dụ 8: Cho
Đáp số:
Ví dụ 9:
11
- Đáp số:
Ví dụ 10: Cho đạt GTNN
Giải: Dễ thấy GTNN của là , để tìm z, ta xét hệ
Nhận xét: Từ dạng toán trên ta có ngay cách giải dạng toán sau: Cho số phức z thỏa
mãn . Tìm z sao cho đạt min, max.
Giải: , ta xem , = k’
, ta xem ,
Đặt T = , ta quay về dạng toán trên
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn
Giải:
Áp dụng ta có
, T =
Từ đó
7.1.3.4. Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4 cách giải)
Ví dụ 12: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Biết
số phức z thoả mãn điều kiện:
Giải: Ta thấy tập hợp các điểm M là elip có phương trình là:
Cách 1: (Phân tích thành bình phương) Ta có
Do
Vậy :
12
- Cách 2:(Đánh giá) Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z
Khi đó:
Từ đó, ta được Vậy:
.
Cách 3: (Lượng giác hóa) Đặt ,
Ta có:
Do .
B 3
Vậy:
M
A' A
Cách 4: (Hình học) 2 O 2
Theo hình vẽ ta thấy . Vậy :
B' 3
hoặc B’
hoặc A’
7.1.4. Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó
Với mỗi số phức z, ngoài một số mối quan hệ quen thuộc ta nêu thêm một số quan
hệ sau với số phức liên hợp của nó:
z là số thực
z là số thuần ảo
Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn là số thuần ảo. Tìm
Giải: là số thuần ảo
Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn và i.z + 4 là số thuần ảo, tìm z?
13
- Giải: Do i.z + 4 là số thuần ảo nên
. Vậy z =
Ví dụ 15: Cho số phức z thỏa mãn tìm phần thực của
Giải: Ta có: 2.Re(. Vậy Re(
Ví dụ 16: Cho số phức thỏa mãn có phần thực bằng 4. Tính
Giải: Từ giả thiết, ta có
Ví dụ 17: Cho 2 số phức z1, z2 thỏa mãn Tìm phần ảo của
Giải: Vì . Ta có
. Vậy w là số thực
Ví dụ 18: Cho 3 số phức a, b, c thỏa mãn
Tính w = a2 + b2 + c2
Giải: Ta có w = a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ca) = 2abc(
= 2abc() = 2abc. = 0
Ví dụ 19: Cho số phức z thỏa mãn: z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0. Tìm phần thực
của w = z3 – z2 + z
Giải: Ta có
Mặt khác: z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0 nên (z3 1)(z3 – z + 1) + 1 = 0
. Dễ thấy
Ví dụ 19: Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của .
Giải: Ta có
Từ đó
14
- Vậy:
Giá trị lớn nhất của là , đạt được tại z = (
Giá trị nhỏ nhất của là , đạt được tại z = (
7.1.5. Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức
Trong phần này tôi đưa ra một số bài toán trắc nghiệm để minh họa cho tính linh
hoạt và đa dạng của tư duy nhằm chọn được đáp án đúng.
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn . Tổng các GTLN và GTNN của là
A. 10 B. 6 C. 9 D. 13
Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa về elip thì tập hợp điểm biểu diễn của z là elip
có bán trục lớn bằng 5, bán trục bé bằng 4 nên . Đáp án C
Bài 2: Cho 3 số phức a, b, c thỏa mãn
Khi đó w = a2 + b2 + c2 có giá trị là
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
Hướng dẫn: Theo ví dụ 18 phía trên thì ta có đáp án D
Cách khác: Ta chọn 3 số a, b, c thỏa mãn 2 điều kiện trên, có thể nhận thấy các
nghiệm phức của phương trình z3 – 1 = 0 ( hoặc z3 + 1 = 0) sẽ thỏa mãn đủ 2 điều
kiện đó. Thay các nghiệm vào biểu thức a2 + b2 + c2 và bấm máy tính , ta sẽ có kết
quả bằng 0.
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn =. Tìm giá trị nhỏ nhất của với w = z – 2 + 2i
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
=
15
- Với (1), ta có
Với (2), ta có đường thẳng chứa các điểm biểu diễn của z có phương trình là
. Do đó có giá trị nhỏ nhất bằng với khoảng cách từ điểm (2; 2) đến đường
thẳng nên
Kết luận Đáp án C
Bài 4: Nếu số phức z và thì phần thực của bằng
A. B. C. 6 D. 3
Hướng dẫn:
Cách 1: Tự luận Re đáp án B
Cách 2: Chọn z = 3 thay vào ta có ngay kết quả
Bài 5: Cho 2 số phức a và b thỏa mãn a + b = 8 + 6i và .
1. Tính
A. 52 B. 56 C. 28 D. 48
2. Tìm GTLN của M =.
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
1.
Cộng các vế ta có: Đáp án A
2. Theo câu 1, ta có Cách khác: chọn a = 5 + 3i, b = 3 + 3i, thì a, b thỏa mãn 2
điều kiện trên và lớn hơn . Đáp án A
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của biểu
thức . Tính giá trị của M.m
A. B. C. D.
16
- Hướng dẫn: Đặt z = x + yi, ta có x2 + y2 = 1 hay y2 = 1 – x2 và
=
Sử dụng máy tính cầm tay: chức năng
Ta thấy:
f(x) lớn nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên
f(x) nhỏ nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên
Nhân 2 giá trị này ta được đáp án A
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của biểu
thức .
Tính modul của w = M + m.i
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
Ta có: P = 4x + 2y + 3 = 4(x – 3) + 2(y – 4) + 23
P 23 = 4(x – 3) + 2(y – 4) . Đáp án B.
Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của biểu
thức . Tính M + m
A. B. C. D.
17
- Hướng dẫn: Ở bài này do bậc của z khá cao nên ta khéo léo giảm bậc của z bằng
biến đổi sau:
. Ta có = = 4x2 2 + 1
Dùng máy tính cầm tay , ta thấy
Vậy: Min P = 0.75
Vậy: Max P = 3
Vậy M + m = Đáp án D
Bài 9: Cho các số phức a, b, c thỏa mãn a.b.c = . Tính GTNN của biểu thức
A. Pmin = 1 ` B. Pmin = 2 C. Pmin = 3 D. Pmin = 4
Hướng dẫn:
Đáp án C
Bài 10: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức
A. Pmin = 1 ` B. Pmin = 2 C. Pmin = 3 D. Pmin = 4
Hướng dẫn:
=
Dùng máy tính cầm tay ta thấy
18
- Min P = 2 khi z = 1. Đáp án B
Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình tròn: . Dễ thấy giá trị lớn nhất của là .
Đáp án C.
Bài 12: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn
sao cho biểu thức P = đạt GTNN. Tìm phần thực của z.
A. Re(z) = B. Re(z) = C. Re(z) = D. Re(z) =
Hướng dẫn: Tập hợp các điểm biểu diễn của z là parabol: y = (x – 2)2, khi đó
P = . Để P đạt GTNN thì
f(t) = t2 – 3t + 4 đạt GTNN . Đáp án C
Bài 13: Giả sử là các số phức khác không, thỏa mãn gọi A, B là các điểm biểu
diễn tương ứng của . Khẳng định nào sau đây đúng
A. C.
B. D.
Hướng dẫn:
Ta có , suy ra:
.
Lại có
nên
19
- Suy ra AB=OA=OB đều. Đáp án C
Cách khác: Chọn . Khi đó dễ thấy
OA = OB = AB = 1 nên . Đáp án C
Bài 14: Cho số phức thỏa mãn Khẳng định nào sau đây đúng.
A. B. C. D.
Hướng dẫn: Đặt . Ta có: .
Suy ra:
Do đó
Vì , nên . Đáp án A
Bài 15: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn và . Kí hiệu z1, z2 là hai số phức
thuộc S và là những số phức có modul lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị
của biểu thức P = .
A. B. C. D.
Hướng dẫn:
Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn là phần bên
ngoài (kể cả biên) của đường tròn tâm I1(0; 1) bán kính R1 = A
3. R2=5
2
I2
Tập hợp các điểm biểu diễn của z thỏa mãn là phần bên I1
2
trong (kể cả biên) đường tròn tâm I2(2; 2) bán kính R1 = 5.
B
Theo hình vẽ ta nhận thấy
z1 có modul nhỏ nhất nên điểm biểu diễn của z1 là B(0; 2) hay z1 = 2i
z2 có modul lớn nhất nên điểm biểu diễn của z1 là .
Vậy . Đáp án A.
20
nguon tai.lieu . vn
