Xem mẫu
- Phương trình ư ng th ng trong không gian
PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN
I. VÉCTƠ C TRƯNG C A Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN:
1. Véctơ a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) là véc tơ ch phương (VTCP) c a (∆) ⇔ (∆) // giá c a a
2. Nh n xét: N u a là m t VTCP c a (∆) thì ka (k ≠ 0) cũng là VTCP c a (∆)
t c là (∆) có vô s VTCP.
II. PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN
1. Phương trình tham s : Phương trình ư ng th ng (∆) i qua M0(x 0, y 0, z0)
x = x 0 + a1t
và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) : y = y 0 + a 2 t ( t ∈ » )
z = z 0 + a3t
2. Phương trình chính t c: Phương trình ư ng th ng (∆) i qua M0(x0, y0, z0)
x − x0 y − y 0 z − z 0
và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) : = =
a1 a2 a3
3. Phương trình t ng quát: Phương trình ư ng th ng (∆) t ng quát là giao
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
tuy n c a hai m t ph ng v i A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2
A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
4. Phương trình ư ng th ng (∆) i qua 2 i m M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2):
x − x1 y − y1 z − z1
= =
x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1
5. Chuy n d ng phương trình t ng quát sang d ng tham s , chính t c:
( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
Cho (∆): ( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2 )
( β ) : A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0
n1 = ( A1 , B1 , C1 )
⇒VTPT c a hai m t ph ng là ⇒ VTCP a = n1 , n 2
n 2 = ( A2 , B 2 , C 2 )
x − x0 y − y 0 z − z 0
Tìm i m M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ = = .
a1 a2 a3
t t s này b ng t suy ra d ng tham s .
91
- Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
III. V TRÍ TƯƠNG I C A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN
1. V trí tương i c a 2 ư ng th ng:
Cho (∆ 1) i qua M1(x 1; y 1 , z1) v i VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,
(∆2) i qua M2(x 2; y 2, z2) v i VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )
N u [u , v ] ⋅ M 1 M 2 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau.
N u [u , v ] ⋅ M 1 M 2 = 0 và a1 : a 2 : a 3 ≠ b1 : b2 : b3 thì (∆1), (∆2) c t nhau.
[u , v ] ⋅ M M = 0 ( ∆ 1 )
1 2
N u và h phương trình c a vô nghi m
a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3
( ∆ 2 )
thì (∆1), (∆2) song song nhau.
[u , v ] ⋅ M M = 0 ( ∆ 1 )
1 2
N u và h phương trình c a có nghi m
a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3
( ∆ 2 )
thì (∆1), (∆2) trùng nhau.
2. V trí tương i c a ư ng th ng và m t ph ng:
Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α):
Ax + By + Cz + D = 0 v i VTPT n = ( A, B, C )
N u n ⋅ u ≠ 0 ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0 thì (∆) c t (α).
N u n // u ⇔ a : b : c = A : B : C thì (∆) ⊥ (α).
n ⋅ u = 0
Aa + Bb + Cc = 0
N u ⇔ thì (∆) // (α).
M 0 ∉ (α )
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0
n ⋅ u = 0
Aa + Bb + Cc = 0
N u ⇔ thì (∆) ⊂ (α).
M 0 ∈ (α )
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0
92
- Phương trình ư ng th ng trong không gian
IV. GÓC GI A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN
1. Góc gi a 2 ư ng th ng:
Cho (∆1) i qua M 1(x1; y1, z1) v i VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,
(∆2) i qua M2(x 2; y2, z2) v i VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )
Góc gi a (( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác nh b i:
u ⋅v a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
cos ϕ = =
u ⋅v a 12 + a 2 + a 3
2 2
b12 + b 2 + b 32
2
2. Góc gi a ư ng th ng và m t ph ng:
Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α):
Ax + By + Cz + D = 0 v i VTPT n = ( A, B, C )
Góc gi a ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác nh b i:
u ⋅n aA + bB + cC
sin ϕ = =
u ⋅ n a + b + c2
2 2
A2 + B 2 + C 2
3. Góc gi a hai m t ph ng:
Góc gi a 2 m t ph ng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (α2):
A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) th a mãn:
n1 .n2 A1 A2 + B1 B2 + C1C2
cos ϕ = = v i n1 , n 2 là 2 VTPT c a (α1), (α2).
n1 n2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C2
2 2 2
V. KHO NG CÁCH
1. Kho ng cách t 1 i m n 1 ư ng th ng:
Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) . Kho ng cách t i m
u ⋅ M 0 M 1
M1(x1; y 1, z1) n ư ng th ng (∆) là: d ( M 1 , ( ∆ ) ) =
u
2. Kho ng cách gi a 2 ư ng th ng chéo nhau:
Cho (∆ 1) i qua M1(x 1; y 1 , z1) v i VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) ,
(∆2) i qua M2(x 2; y2, z2) v i VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 )
[ u , v ] ⋅ M 1M 2
Gi s ( ∆1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau, khi ó d ( (∆ 1 ),(∆ 2 ) ) =
[u , v ]
93
- Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
3. Kho ng cách t 1 i m n 1 m t ph ng:
Kho ng cách t M0(x0, y0 , z0) n m t ph ng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là:
Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D
d ( M , α) =
A2 + B 2 + C 2
VI. CÁC D NG BÀI T P
1. D ng 1: Xác nh v trí tương i c a các ư ng th ng và m t ph ng
( ∆ 1 ) ( ∆ )
Phương pháp: Gi i h PT t o b i ; ho c s d ng d u hi u nh n
( ∆ 2 )
( α )
bi t qua h th c c a các véctơ
Bài 1. Xét v trí tương i b ng 2 cách khác nhau:
x = 9t
2 x − 3 y − 3z − 9 = 0
( ∆ 1 ) : y = 5t (∆ 2 ) :
;
x − 2 y + z + 3 = 0
z = −3 + t
x − 2 y + 3 = 0 y + 2z − 8 = 0
( ∆1 ) :
(∆ 2 ) :
2 x + 3 y = 0
x + z − 8 = 0
x = 1 + 2t
Bài 2. Xác nh giao i m c a ư ng th ng ( ∆ ) : y = 1 − t ( t ∈ » ) v i m t
z = 1 + t
ph ng ( α ) : 2 x + y − z − 2 = 0
x + y + z − 2 = 0
Bài 3. Xác nh giao i m c a ư ng th ng ( ∆ ) : v im t
x + 2 y − z − 1 = 0
ph ng ( α ) : x + y + 2 z − 1 = 0
Bài 4. Cho 3 ư ng th ng:
x = 3t
x − y + 3z − 3 = 0
(∆3 ) :
− y+2
( ∆1 ) : y = 1 − t , ( ∆ 2 ) : x 1 1 = 4 = z − 2 ,
3
z = 5 + t 2 x − y + z + 1 = 0
a. Xét v trí tương i c a các c p 2 ư ng th ng v i nhau.
b. Vi t phương trình ư ng th ng (∆) song song v i (∆1), c t (∆2) và (∆ 3)
94
- Phương trình ư ng th ng trong không gian
2. D ng 2: Xác nh hình chi u vuông góc c a 1 i m M lên m t ph ng (α)
α
Phương pháp:
Vi t phương trình tham s c a ư ng th ng (∆ ) qua M và (∆ ) ⊥(α)
Giao i m H c a (∆ ) và (α) là hình chi u vuông góc c a M lên (α)
Bài 1. Tìm hình chi u vuông góc c a M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − 3 z + 5 = 0
3. D ng 3: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua m t ph ng (α)
α
Phương pháp: Tìm hình chi u vuông góc H c a M lên (α ).
Gi s M(x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi ó i m M’ i x ng M qua (α) là
M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 )
Bài 1. Xác nh i m i x ng v i i m M(13; 2; 3) qua m t ph ng (α):
x + y – 3z + 5 = 0
4. D ng 4: Xác nh hình chi u vuông góc c a 1 i m M lên ư ng th ng (∆)
∆
Phương pháp 1: Vi t PT m t ph ng (α) qua M và (α ) ⊥ (∆ ).
Giao i m H c a (∆) và (α ) là hình chi u vuông góc c a M lên (∆)
Phương pháp 2: Vi t PT tham s c a (∆ ) ⇒ T a H theo tham s t.
MH ⊥ u là véctơ ch phương c a (∆). GPT MH ⋅ u = 0 ⇒ tham s t ⇒ T a H
Bài 1. Xác nh hình chi u vuông góc c a M(−1; −1; 1) lên ư ng th ng (∆):
{ x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = −3 − 3t}
5. D ng 5: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua ư ng th ng (∆)
∆
Phương pháp: Tìm hình chi u vuông góc H c a M lên (∆ )
Gi s M(x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi ó i m M’ i x ng M qua (∆) là
M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 )
Bài 1. Xác nh i m i x ng v i i m M(0; 2; −1) lên ư ng th ng (∆):
{ x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = 3 − 3t}
6. D ng 6:
Xác nh hình chi u vuông góc c a ư ng th ng (∆) lên m t ph ng (α)
∆ α
Phương pháp:
TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chi u vuông góc c a (∆ ) lên (α ) là i m H≡ (∆) ∩ (α )
95
- Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chi u vuông góc c a (∆ ) lên (α ) là ư ng th ng (∆)
TH3: (∆ ) không vuông góc v i (α), (∆ ) ⊄ (α ):
C1: Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆ ) và (β ) ⊥ (α ).
Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là ư ng th ng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ).
C2: L y 2 i m A, B phân bi t thu c (∆ ).
Xác nh hình chi u vuông góc c a A, B lên (α ) là H1, H2.
Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là ư ng th ng (∆ ’) ≡ H1 H2
C3: N u (∆ ) c t (α ): Xác nh A ≡ (∆ ) ∩ (α ). L y M b t kì ∉ (∆) và M ≠ A.
Xác nh hình chi u vuông góc H c a M lên (α).
Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là (∆ ’) ≡ AH
5 x − 4 y − 2 z − 5 = 0
Bài 1. Xác nh hình chi u vuông góc c a (∆):
x + 2z − 2 = 0
lên m t ph ng (α): 2x – y + z – 1 = 0
7. D ng 7: Xác nh hình chi u song song c a ư ng th ng (∆1) lên (α)
∆ α
theo phương (∆2) c t (α)
∆ α
Phương pháp:
TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chi u song song c a (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) là
i m H≡ ( ∆1 ) ∩ (α )
TH2: (∆1 ) và (∆2 ) không song song:
Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆1 ) và // (∆2 )
Hình chi u song song c a (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α)
7 x + y − z − 1 = 0
Bài 1. Xác nh hình chi u song song c a t (∆1): lên (α):
x + 2y + z +1= 0
y +1 z + 2
x − 2 y + 2 z − 3 = 0 theo phương (∆ 2): x − 1 = =
2 1 3
8. D ng 8: VPT ư ng th ng (∆) qua M và c t (∆1), (∆2) v i (∆1), (∆2) chéo
∆ ∆ ∆ ∆ ∆
nhau và không i qua M
Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1)
N u cho (∆1) dư i d ng t ng quát thì nên vi t phương trình (α) dư i d ng chùm
N u (∆1 ) d ng tham s thì l y 2 i m A, B ∈ (∆1 )
96
- Phương trình ư ng th ng trong không gian
⇒ Phương trình (α ) qua 3 i m A, B, M.
N u (α ) // (∆2 ) thì bài toán vô nghi m. N u (α) c t (∆2 ) thì tìm N = (∆ 2) ∩ (α )
N u MN // (∆ 1) thì bài toán vô nghi m, n u MN c t (∆1 ) suy ra ư ng th ng
c n tìm là (∆) ≡ MN.
Phương pháp 2: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1),
m t ph ng (β ) qua M ch a (∆2 )
Xét (∆) = (α ) ∩ (β ). N u (∆) c t (∆1 ) và (∆2 ) thì ư ng th ng (∆ ) là ư ng
th ng c n tìm. N u (∆ ) // (∆1 ) ho c (∆ 2) thì bài toán vô nghi m.
y − 2 = 0
Bài 1. VPT T (∆) qua M(1; 3; 0) và (∆) c t (∆1): ,
2 x − z − 5 = 0
(∆2): { x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t}
9. D ng 9: VPT ư ng th ng (∆) c t (∆1), (∆2) và song song v i (∆3)
∆ ∆ ∆ ∆
Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và // (∆3 ),
m t ph ng (β ) ch a (∆2 ) và // (∆3 )
N u (α ) // (β ) thì bài toán vô nghi m. N u (α ) c t (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β).
N u (∆ ) c t (∆1 ) và (∆2 ) thì ư ng th ng (∆) là ư ng th ng c n tìm.
N u (∆ ) // (∆ 1) ho c (∆2 ) thì bài toán vô nghi m.
Phương pháp 2: Vi t phương trình tham s c a (∆1 ) theo t1, c a (∆ 2) theo t2.
L y M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆2 ) ⇒ T a M, N theo t1, t2. ⇒ MN theo t1, t2.
Xác nh t1, t2 sao cho MN // (∆ 3) ⇒ ư ng th ng (∆ ) c t (∆1 ), (∆ 2) và song
song v i (∆3 ) là (∆ ) ≡ MN
Phương pháp 3: G i M(x0, y0, z0) là giao i m c a (∆) và (∆ 1).
(∆) nh n VTCP c a (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham s c a (∆) theo x0, y0, z0.
( ∆ )
(∆ ) c t (∆ 2) suy ra h có nghi m ⇒ x 0, y0, z0. ⇒ Phương trình (∆ )
( ∆ 2 )
y − 2 = 0
Bài 1. VPT ư ng th ng (∆) c t (∆1): , (∆2):
2 x − z − 5 = 0
{ x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t} và // v i tr c Oz.
97
- Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
y + 2 z −1 y −3 z −9
Bài 2. VPT T (∆) c t (∆1): x − 2 = = , (∆2): x − 7 = =
3 4 1 1 2 1
y+3 z−2
và // (∆3): x + 1 = =
3 −2 1
10. D ng 10: VPT ư ng th ng (∆) qua M và vuông góc (∆1), c t (∆2) trong
∆ ∆ ∆
ó M ∉ (∆1), (∆2)
∆ ∆
Phương pháp: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M và ⊥ (∆1 ), m t ph ng
(β ) qua M ch a (∆ 2)
N u (α ) // (β ) thì bài toán vô nghi m. N u (α ) c t (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β).
N u (∆ ) c t (∆2 ) thì ư ng th ng (∆ ) là ư ng th ng c n tìm.
N u (∆ ) // (∆ 2) thì bài toán vô nghi m.
y +1 z + 2
Bài 1. VPT ư ng th ng (∆) qua M(1; 2; 0) và ⊥ (∆1): x − 1 = = ,
2 2 1
7 x + y − z − 1 = 0
c t (∆ 2):
x + 2 y + z + 1 = 0
11. D ng 11: VPT ư ng vuông góc chung c a 2 ư ng th ng (∆1), (∆2)
∆ ∆
chéo nhau
a. TH c bi t: (∆ 1) ⊥ (∆2):
Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và (α) ⊥ (∆2 )
Tìm M = ( ∆ 2 ) ∩ ( α ) , H là hình chi u vuông góc c a M lên (∆1 )
⇒ MH là ư ng vuông góc chung c a (∆1 ), (∆2)
b. Phương pháp 1: Vi t phương trình (∆1 ), (∆ 2) dư i d ng tham s
L y M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ T a M, N theo t1 , t 2 ⇒ MN theo t1 , t 2 .
MN là ư ng vuông góc chung c a (∆1 ), (∆ 2)
⇒ MN ⊥ ( ∆ 1 ) , MN ⊥ ( ∆ 2 ) ⇒ t1 , t 2 ⇒ MN.
c. Phương pháp 2: G i a1 , a 2 là VTCP c a (∆1 ) và (∆ 2)
⇒ ư ng vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2
Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và // (∆), m t ph ng (β) ch a (∆2 )
và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β).
98
- Phương trình ư ng th ng trong không gian
Bài 1. Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8).
Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a SB, OA.
Bài 2. Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a
x + y + z − 3 = 0 x − 2 y − 2z + 9 = 0
( ∆1 ) : y + z − 1 = 0 và ( ∆ 2 ) :
y − z +1= 0
Bài 3. Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a
x = 1 + 2t1 x = 2 + t2
( ∆ 1 ) : y = 2 + t1 và ( ∆ 2 ) : y = −3 + 2t 2
z = −3 + 3t z = 1 + 3t
1 2
Bài 4. VPT ư ng vuông góc chung c a
3 x − 2 y − 8 = 0
( ∆ 1 ) : 5 x + 2 z − 12 = 0 và ( ∆ 2 ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = 2 − t}
x = 2 + t
x + 2z − 2 = 0
Bài 5. Cho ( ∆ 1 ) : y = 1 − t và ( ∆ 2 ) : .
z = 2t y − 3 = 0
Vi t phương trình m t ph ng cách u (∆ 1) và (∆2).
12. D ng 12: Các bài toán v kho ng cách
12.1. Tính kho ng cách:
y +1 z −1
Bài 1. Tính kho ng cách t M(1; 2; 3) n (∆) : x − 1 = =
2 1 3
Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1). Tính kho ng cách t A n BC.
Bài 3. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng
x + y = 0
( ∆ 1 ) : x − y + z − 4 = 0 ( ∆ 2 ) : { x = 1 + 3t; y = −t; z = 2 + t}
Bài 4. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng
− y −2 z −3 x + 2 y − z = 0
( ∆1 ) : x 1 1 = 2
=
3
, ( ∆ 2 ) : 2 x − y + 3z − 5 = 0
Bài 5. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng
x + 8 z + 23 = 0 x − 2z − 3 = 0
( ∆ 1 ) : y − 4 z + 10 = 0 , ( ∆ 2 ) : y + 2 z + 2 = 0
Bài 6. Tính kho ng cách gi a 2 m t ph ng (α): 2x + y + z – 1 = 0
và (β):2x + y + z + 10 = 0.
99
- Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
Bài 7. Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4).
Tính kho ng cách t D(−1; 5; 0) n (ABC)
12.2. Tìm i m bi t kho ng cách cho trư c:
Bài 1. Cho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0.
Tìm M∈Oy sao cho kho ng cách t M n (α) b ng 4.
Bài 2. Cho A(1;−2; 0). Tìm M∈Oz sao cho kho ng cách t M n
(α): 3x – 2y + 6z + 9 = 0 b ng MA.
Bài 3. Cho (α): x + y + z + 5 = 0.
2 x + y + z − 1 = 0
Tìm M∈(∆): sao cho d ( M , ( α ) ) = 3 .
x + y + 2z + 3 = 0
Bài 4. Cho (α): 12x – 16y + 15z + 1 = 0 và (β): 2x + 2y – z – 1 = 0.
Tìm M∈Ox cách u (α) và (β)
12.3. Các bài toán v t ng, hi u kho ng cách l n nh t, nh nh t:
a. D ng 1: Cho 2 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 (MA + MB) min.
Phương pháp: Xác nh v trí tương i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng
cách tính các i lư ng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d
N u t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía i v i (P). G i M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi ó
MA + MB ≥ AB = M 0A + M0 B.
N u t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía i v i (P). L y A1 i x ng A qua (P).
G i M0 ≡ (A1 B)∩ (P). Khi ó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0 B.
b. D ng 2: Cho 2 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 |MA – MB| max.
Phương pháp: Xác nh v trí tương i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng
cách tính các i lư ng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d
N u t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía i v i (P). G i M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi ó
|MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B|.
N u t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía i v i (P) L y A1 i x ng A qua (P).
G i M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi ó |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B|
100
- Phương trình ư ng th ng trong không gian
b. D ng 3: Cho 2 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) .
Tìm M∈(∆) cho trư c sao cho (MA + MB) min.
Phương pháp: Xác nh t a các i m A’, B’ là hình chi u tương ng c a
các i m A, B lên (∆ ). G i M0 là i m chia o n A’B’ theo t s
M 0 A' AA '
k= =− . Ta ch ng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B
M 0B' BB '
Th t v y, g i A1 ∈(P) = ((∆), B) sao cho A 1 khác phía B so v i (∆ ) và th a mãn
A1 A ' = AA '
A A′ M A′
⇒ 1 = 0 ⇒ A1, M 0 ,B th ng hàng
A1 A ' ⊥ ( ∆ )
B1 B ′ M 0 B ′
⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B
Bài 1. Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3).
Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 (MA + MB) min;|MA – MB| max.
Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5).
Tìm M∈ m t ph ng Oxy sao cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max.
Bài 3. Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3).
Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + z − 4 = 0 (MA + MB) min; |MA – MB| max.
Bài 4. Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4).
Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + 2 z − 9 = 0 (MA + MB) min; |MA – MB| max.
Bài 5. Cho A(1; 2;−1), B ( 2 − 2; 2; −3) .
x + y + z − 3 = 0
Tìm M∈ ( ∆ ) : sao cho (MA + MB) min.
y + z − 5 = 0
Bài 6. Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4).
y −1 z + 2
Tìm M∈ ( ∆ ) : x + 1 = = sao cho (MA + MB) min.
1 −1 2
A(1;2; −1) y−2 z −2
Bài 7. Cho Tìm M∈ ( ∆) : x + 1 = = sao cho (MA + MB) min.
B ( 7; −2;3)
3 −2 2
Bài 8. Cho A(2; 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) .
x + y + z − 2 = 0
Tìm M∈ ( ∆ ) : sao cho (MA + MB) min.
x − y + z − 2 = 0
101
- Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
13. D ng 13: Các bài toán v góc
Bài 1. Xác nh góc gi a 2 m t ph ng ( P ) : x + y + 2z + 4 = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + 1 = 0
1
Bài 2. Cho t di n ABCD v i A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1).
Tính góc c a m i c p c nh i c a ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)).
Bài 3. Cho ( P1 ) : 3 x − y − z + 2 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y + z − 3 = 0 ,
( P3 ) : − x + 3 y − 2 z + 1 = 0 . G i (∆) là giao tuy n c a (P1) và (P2).
Tính góc gi a (∆) v i giao tuy n c a (P1), (P3) và v i m t ph ng (P3).
x = 2 + t
3 x − y − 1 = 0
Bài 4. Cho ( ∆ 1 ) : và ( ∆ 2 ) : y = −1 . Tìm m :
z − 3y − 5 = 0 z = 1 + mt
a. Góc gi a (∆1) và (∆2) b ng 45° b. Góc gi a (∆1) và (∆2) b ng 60°.
Khi ó tính góc gi a (P) v i (∆2) bi t r ng (P) ⊥ (∆1).
Bài 5. Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − 1 ; −1; 0 .
2 ( )
a. Tính góc gi a ((ABC); (ABD))
b. Tính góc và kho ng cách gi a 2 ư ng th ng (AD) và (BC).
y+2 z
14. Bài m u. Trong h Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 = =
−1 1 2
1. Tìm t a i m M thu c ư ng th ng (d) sao cho:
a) MA + MB nh nh t; b) MA 2 + MB 2 nh nh t;
c) MA + MB nh nh t d) Di n tích tam giác AMB nh nh t
2. VPT m t ph ng (P) ch a (d) sao cho kho ng cách t A n (P) là l n nh t.
3. VPT m t ph ng (Q) ch a (d) và t o v i m t ph ng (xOy) m t góc nh nh t.
4. VPT m t ph ng (R) ch a ư ng th ng (d) và t o v i tr c Oy góc l n nh t.
5. Trong s các ư ng th ng i qua A và c t ư ng th ng (d), vi t phương
trình các ư ng th ng sao cho kho ng cách t B n nó là l n nh t? nh nh t?
Gi i
1. M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; 6 − t ; 2 − 2t ) , MB = ( −2 + t ; 4 − t ; 4 − 2t )
2
a. MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; 6 − 4t ) . Suy ra MA + MB = 24 ( t − 2 ) + 44
Do ó MA + MB nh nh t khi t = 2 và lúc ó M ( −1; 0; 4 )
102
- Phương trình ư ng th ng trong không gian
2
b. Ta có MA 2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28
V y MA 2 + MB 2 nh nh t khi t = 2 và khi ó M ( −1; 0; 4 )
c. Ta s xác nh hình chi u A1 , B1 c a hai i m A, B lên ư ng th ng (d)
3 (
3 3 3 )
MA 2 = 2 ( 3t 2 − 10t + 20 ) min ⇔ t = 5 ⇔ M ≡ A1 − 2 ; − 1 ; 10 v i AA1 ⊥ ( d )
MB 2 = 2 ( 3t 2 − 14t + 18 ) min ⇔ t = 7 ⇔ M ≡ B ( − 4 ; 1 ; 14 ) v i BB ⊥ ( d )
1 1
3 3 3 3
AA1 = 1 210 ; BB1 = 1 30 . i m M c n tìm là i m chia o n A1 B1 theo t
3 3
AA1 −2 (1 + 2 7 ) 10 − 14 7
s k =− = − 7 nên t a c a M là ; − 1;
BB1 3 (1 + 7 ) 3 3 (1 + 7 )
d. AM ( −t ; − 6 + t ; − 2 + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ; AM ; AB = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12)
S AMB = 1 AM ; AB = 1 ( 6t − 16 ) + ( −2t + 4 ) + ( 4t − 12 ) = 1 56t 2 − 304t + 416
2 2 2
2 2 2
D th y S AMB nh nh t khi t =
112 7 (
304 = 19 , khi ó M − 12 ; 5 ; 38 .
7 7 7 )
x + y + 1 = 0
2. PT t ng quát c a (d) là . Vì m t ph ng (P) ch a ư ng th ng
2 y − z + 4 = 0
(d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 v i a 2 + b 2 ≠ 0
2.4 − 2 + 4
• N u a = 0 thì (P): 2 y − z + 4 = 0 . Khi ó d ( A; ( P ) ) = = 10 = 2 5
2 5
2 + ( −1)
2
• N u a ≠ 0 thì có th gi s a = 1 . Khi ó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 .
2 5b + 3 ( 5b + 3) 2
Suy ra d ( A; ( P ) ) = . Xét hàm s f (b) = .
5b 2 + 4b + 2 5b 2 + 4b + 2
2
Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24 = 0 ⇔ b = 4 ∨ b = − 3
( 5b 2 + 4b + 2 ) 2 5 5
() 6 ( )
Do f 4 = 35 ; f − 3 = 0 ; lim f ( b ) = 5 nên d ( A; ( P ) ) l n nh t b ng 2 35 .
5 5 b →∞ 6
K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta có Max d ( A; ( P ) ) = 2 35 khi b = 4 , lúc ó
6 5
phương trình (P) có d ng x + 13 y − 4 z + 21 = 0 , hay ( P ) : 5 x + 13 y − 4 z + 21 = 0
5 5 5
3. Do (Q) ch a (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 v i a 2 + b 2 ≠ 0 .
M t ph ng (xOy) có phương trình z = 0
103
- Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
• N u a = 0 thì (Q): 2 y − z + 4 = 0 và khi ó cos α = 1 .
5
• N u a ≠ 0 ta có th gi s a = 1 . Khi ó (Q): x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 .
T ó cos α =
b
. Xét hàm s g (b) = b2 = cos 2 α .
2
5b 2 + 4b + 2 5b + 4b + 2
Ta có g ′ ( b ) = 4b 2 + 4b = 0 ⇔ b = 0 ∨ b = −1
( 5b 2 + 4b + 2 ) 2
Do g ( 0 ) = 0; g ( −1) = 1 ; lim g ( b ) = 1 nên cos α l n nh t b ng 1 khi b = −1
3 b→∞ 5 3
K t lu n: So sánh hai trư ng h p trên ta th y cos α l n nh t hay (Q) t o v i
m t ph ng (xOy) góc nh nh t khi b = −1 . Lúc ó (Q) x − y + z − 3 = 0
4. PT (R): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 . Tr c Oz có VTCP là v ( 0; 1; 0 )
N u a = 0 thì (R): 2 y − z + 4 = 0 thì β = ((Q), Oy) th a mãn sin β = 2 .
5
N u a ≠ 0 ta có th gi s a = 1 . Khi ó (R): x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0
2
1 + 2b
Khi ó sin β = . Xét hàm s h ( b ) = 4b2 + 4b + 1 = sin 2 β .
5b 2 + 4b + 2 5b + 4b + 2
2
Ta có h ′ ( b ) = −4b + 6b + 42 = 0 ⇔ b = 2 ∨ b = − 1 .
( 5b 2 + 4b + 2 ) 2
6 ( )
Do h ( 2 ) = 5 ; h − 1 = 0 ; lim h ( b ) = 4 nên sin β l n nh t b ng 5 , khi b = 2 .
2 b →±∞ 5 6
K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta th y sin β l n nh t khi b = 2 . Khi ó m t
ph ng (R) có phương trình x + 5 y − 2 z + 9 = 0 .
5. Gi s d 2 là ư ng th ng b t kì i qua A và c t d t i M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) .
AM ; AB
56t 2 − 304t + 416 2
Khi ó d ( B; d 2 ) = = = 28t 2 − 152t + 208
AM 6t 2 − 20t + 40 3t − 10t + 20
2
16 (11t 2 − 8t − 60 )
Xét u ( t ) = 28t 2 − 152t + 208 . Ta có u ′ ( t ) = 2
= 0 ⇔ t = −2 ; t = 30 .
3t − 10t + 20 ( 3t − 10t + 20 )
2 11
( )
Do u ( −2 ) = 48; u 30 = 4 ; lim u ( t ) = 28 nên kho ng cách t B
11 35 b→∞ 3
n d2 l n
nh t b ng 48 khi t = −2 và nh nh t b ng 4 khi t = 30 . Khi ó d 2 tương ng
35 11
y−4 z−2 y−4
có phương trình là d 2 : x − 1 = = và d 2 : x − 1 = = z−2
1 −4 −3 15 18 −19
104
nguon tai.lieu . vn
