Phương pháp tính tích phân bằng nguyên hàm từng phần (Phần 2)

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Tìm tích phân của một hàm số có 3 phương pháp cơ bản: - Tìm bằng phương pháp cơ bản thông thường (sử dụng các công thức đã học) - Tìm bằng phương pháp đổi biến - Tìm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần Dưới đây sẽ giới thiệu cho chúng ta nguyên hàm từng phần. (Sẽ gồm 2 phần: Lý thuyết và bài tập) Vì phần này tương đối dài và nhiều kiến thức nên ta sẽ tách làm 3 phần nhỏ trong phương pháp nguyên hàm từng phần. Đây là phương pháp tích phân từng phần loại 3. A. LÝ THUYẾT b b 1. Tính tích phân P x sinxdx hoặc P x cosxdx , trong đó P x là một đa thức a a a. Đặt u = Pix) xdx hoặc u = P(x) xdx, ta có: du = P`(x)dx du = P`(x)dx v = − cosx hoặc v = −sinx b. Áp dụng phương pháp tích phân từng phần b P(x)exdx = P(x)cosx b − 1 b P`(x)cosxdx a a a b P(x)exdx = P(x)sinx b − 1 b P`(x)sinxdx a a a c. Nếu đa thức P(x) có bậc n thì ta áp dụng n lần phương pháp nguyên hàm từng phần. b b 2. Tính tích phân sin mx+n ex+ dx hoặc cos mx+n ex+ dx a a a. Đặt dv = sin(mx+n)dx hoặc dv = cos(mx+n)dx, ta có: du =ex+ dx du =ex+ dx v = −cos(mx+n) hoặc v = −sin(mx+n) b. Áp dụng phương pháp tích phân từng phần B. BÀI TẬP MẪU Bài 1: Tính các tích phân sau π 2 a.I = e2x sin3xdx 0 π b.J = ex cos2xdx 0 π 2 a.I = e2x sin3xdx 0 u = e2x du = 2e2x dv = sin3xdx v = − cos3x π π I = − e2x cos3x 2 + 2 2 e2x cos3xdx 0 0 u = e2x du = 2e2x dv = cos3xdx v = sin3x π π π 2 e2x cos3xdx = e2x sin3x 2 − 2 2 e2x sin3xdx = − e − 2 I 0 0 0  I = 1 + 2− eπ − 2 I   I = 3−2eπ   π b.J = ex cos2xdx 0 u = ex du = ex dv = cos2xdx v = sin2x J = − ex sin2x π − 1 π ex sin2xdx 0 0 u = ex du = ex dv = sin2xdx v = − cos2x π ex sin2xdx = −ex cos2x π + 1 π ex cos2xdx =1−eπ + 1 J 0 0 0  J = − 11−eπ + 1 J   J = eπ −1   ... - tailieumienphi.vn