Xem mẫu
- PHAÀN HÌNH HOÏC….
Chöông I.
HEÄ THÖÙC LÖÔÏNG TRONG TAM GIAÙC VUOÂNG
Chuû ñeà 1: MOÄT SOÁ HEÄ THÖÙC VEÀ CAÏNH VAØ
ÑÖÔØNG COA TRONG TAM GIAÙC VUOÂNG
§1. HEÄ THÖÙC GIÖÕA CAÏNH GOÙC VUOÂNG VAØ HÌNH
CHIEÁU CUÛA NOÙ TREÂN CAÏNH HUYEÀN
Hoaït ñoäng 1
A
Xeùt tam giaùc ABC vuoâng taïi A, caïnh huyeàn BC
= a, caùc caïnh goùc vuoâng AC = b vaø AB = c.
c b
Goïi AH = h laø ñöôøng cao öùng vôùi caïnh huyeàn vaø h
HC = b, HB = c laàn löôït laø hình chieáu cuûa AC,
AB treân caïnh huyeàn BC. B c b C
H
a) Chöùng minh caùc tam giaùc HBA vaø ABC ñoàng a
daïng, töø ñoù so saùnh c2 vaø c.a. Hình 1
b) Chöùng minh caùc tam giaùc HCA vaø ACB ñoàng daïng, töø ñoù so saùnh b2 vaø b.a.
THÖÛ TAØI BAÏN
Tìm x, y trong hình 2. 4
3
x y
5
Hình 2
BAÏN NAØO ÑUÙNG?
Coù theå tính ba
caïnh cuûa moät tam
Khoâng theå
giaùc vuoâng khi bieát ñoä
tính ñöôïc
daøi hai hình chieáu cuûa
ñaâu.
hai caïnh goùc vuoâng
treân caïnh huyeàn.
Duõng Lan
Theo em, baïn naøo ñuùng?
100
- LÔØI GIAÛI
Hoaït ñoäng 1
(chung), BHA
a) Xeùt HBA vaø ABC coù: HBA BAC
(= 900)
Do ñoù HBA ∽ ABC (g.g)
BH AB
AB2 = BH.BC. Vaäy c2 = c.a.
AB BC
(chung), AHC
b) Xeùt HCA vaø ACB coù: HCA CAB (= 900)
Do ñoù HCA ∽ ACB (g.g).
HC AC
AC2 = HC.BC.
AC BC
Vaäy b2 = ba.
THÖÛ TAØI BAÏN
Theo ñaàu baøi, ta coù tam giaùc ABC vuoâng A
taïi A coù AB = 5, AC = 4, BC = 5, BH = x,
CH = y.
Tìm x vaø y.
ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao.
B x y C
H
Do ñoù AB2 = BH.BC, AC2 = CH.BC
Do ñoù 32 = x.5, 42 = y.5
92 42
x= 1, 8 ; y = 3, 2
5 5
BAÏN NAØO ÑUÙNG?
Baïn Duõng ñuùng.
§2. HEÄ THÖÙC GIÖÕA BA CAÏNH CUÛA
TAM GIAÙC VUOÂNG
Hoaït ñoäng 2 A
(Moät caùch khaùc ñeå chöùng minh ñònh lí Pythagore),
– So saùnh a vôùi toång b + c. c b
h
– Haõy coäng hai ñaúng thöùc (1) vaø (2) sau ñaây, roài ruùt
goïn vaø neâu nhaän xeùt: B c b C
2 H
b = a.b (1) a
2
c = a.c (2) Hình 3
101
- BAÏN NAØO ÑUÙNG?
Hai caïnh
vaø ñöôøng cheùo cuûa
moät hình chöõ nhaät Baïn ño sai
coù soá ño laàn löôït laø: roài.
6cm; 8cm; 9cm.
Duõng Lan
Theo em, baïn naøo ñuùng?
LÔØI GIAÛI
Hoaït ñoäng 2
a = b + c
b2 + c2 = ab + ac b2 + c2 = a(b + c) b2 + c2 = a2
Trong moät tam giaùc vuoâng toång bình phöông caùc caïnh goùc vuoâng baèng bình phöông
caïnh huyeàn.
b2 = a.b (1)
c2 = a.c (2)
BAÏN NAØO ÑUÙNG?
Baïn Lan ñuùng.
§3. HEÄ THÖÙC GIÖÕA ÑÖÔØNG CAO ÖÙNG VÔÙI
CAÏNH HUYEÀN VAØ HÌNH CHIEÁU CUÛA HAI CAÏNH GOÙC
VUOÂNG TREÂN CAÏNH HUYEÀN
Hoaït ñoäng 3
A
a) Haõy chöùng toû hai tam giaùc AHB vaø CHA
ñoàng daïng. b
c h
b) Laäp tæ soá ñoàng daïng, töø ñoù tính h theo b
vaø c. c b
B C
H
a
THÖÛ TAØI BAÏN Hình 5
Tìm x, y, z trong hình 6.
z
y x
4 9
Hình 6
102
- LÔØI GIAÛI
Hoaït ñoäng 3
a) Xeùt AHB vaø CHA coù
CHA
AHB (= 900), HAB
HCA
(cuøng phuï vôùi HAC
)
Do ñoù AHB ∽ CHA.
AH BH
AH2 = CH.BH
CH AH
Vaäy h2 = b.c.
THÖÛ TAØI BAÏN
A
Theo ñaàu baøi, ta coù tam giaùc ABC vuoâng taïi
A, AH laø ñöôøng cao, AH = x, AB = y, AC = z,
BH = 4, CH = 9. Caàn tìm x, y, z.
ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao.
Do ñoù AH2 = BH.CH, AB2 = BH.BC, AC2 = CH.BC. B C
2 2 H
Neân x = 4.9, y = 4.(4 + 9), z = 9.(9 + 4)
Vaäy x = 6, y = 52 , z = 117 .
§4. HEÄ THÖÙC DIEÄN TÍCH
Hoaït ñoäng 4 (Xem hình 7)
A
a) Haõy tính dieän tích tam giaùc ABC theo caïnh
huyeàn a vaø ñöôøng cao töông öùng h.
b) Haõy tính dieän tích tam giaùc ABC theo hai caïnh c b
h
goùc vuoâng b, c.
B c b C
c) So saùnh vaø neâu nhaän xeùt. H
a
THÖÛ TAØI BAÏN Hình 7
Tìm x treân hình 8 baèng hai caùch khaùc nhau.
6 4,8 x
10
Hình 8
103
- LÔØI GIAÛI
Hoaït ñoäng 4
1 1
a) SABC = BC.AH ah
2 2
1 1
b) SABC = AC.AB bc
2 2
1 1
c) Do vaäy ah bc (= SABC)
2 2
Suy ra ah = bc.
THÖÛ TAØI BAÏN
Theo ñaàu baøi, ta coù tam giaùc ABC vuoâng taïi A, A
ñöôøng cao AH, AB = 6, AC = x, BC = 10, AH =
4,8. Tìm x baèng hai caùch khaùc nhau.
*Caùch 1: ABC vuoâng taïi A.
AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore)
B C
H
62 + x2 = 102
Neân x2 = 102 – 62 = 100 – 36 = 64.
Vaäy x = 64 = 8.
*Caùch 2: Xeùt ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao.
AB/AC = AH.BC
Do ñoù 6.x = 4,8.10.
4, 8.10 48
Vaäy x = 8.
6 6
§5. HEÄ THÖÙC GIÖÕA ÑÖÔØNG CAO VAØ HAI
CAÏNH GOÙC VUOÂNG
Hoaït ñoäng 5
A
Baèng caùch söû duïng caùc ñaúng thöùc a2 = b2 + c2
vaø b.c = a.h, haõy tính theo h bieåu thöùc
1 1 c b
h
2
2 theo gôïi yù sau:
b c
B c b C
1 1 b2 c 2 H
.
b2 c 2 b2 c 2 a
Hình 9
104
- THÖÛ TAØI BAÏN
1. Cho tam giaùc vuoâng coù caùc caïnh goùc vuoâng daøi 6cm vaø 8cm. Tính ñoä daøi ñöôøng cao
xuaát phaùt töø ñænh goùc vuoâng baèng hai caùch khaùc nhau.
2. Ñieàn caùc soá thích hôïp vaøo caùc choã troáng sau ñaây:
A
a=
c =
c b
h b =
c b h=
B C
H SABC =
a
c = 6cm, b= 8cm Chu vi tam giaùc ABC =
THÖ GIAÕN
Huøng muoán tính khoaûng caùch AP noái hai
B
ñieåm ôû hai beân bôø moät con raïch. Baïn aáy ñaët
ñænh goùc vuoâng eâke vaøo ñaàu B cuûa moät caùi
saøo BA daøi 6m. Nhìn theo hai caïnh goùc 6cm
vuoâng cuûa eâke thì laàn löôït thaáy ñieåm Q vaø
ñieåm P. Huøng ño thaáy ñoaïn QA daøi 2m. Em Q P
A
coù theå tính nhaåm chieàu daøi ñoaïn AP ñöôïc
khoâng?
LÔØI GIAÛI
Hoaït ñoäng 5
1 1 b2 c 2 a2 a2 a2 1
2
2
2 2
= 2
2
2 2
2
b c bc (bc) (ah) a h h
THÖÛ TAØI BAÏN
1. Goïi caïnh huyeàn, ñöôøng cao öùng vôùi caïnh huyeàn cuûa tam giaùc vuoâng ñoù laàn löôït laø a, h.
*Caùch 1: Ta coù a2 = 62 + 82 (ñònh lí Py–ta–go)
Do ñoù a2= 36 + 64 = 100 a = 100 10 (cm)
bc 6.8
Ta coøn coù ah = bc. Do ñoù h = 4, 8 (cm).
a 10
1 1 1
*Caùch 2: Ta coù 2
2 2.
h b c
1 1 1 1 1 25 576
Do ñoù 2
2 2 h= 4, 8 (cm)
h 6 8 36 48 576 25
2. a = 14 (cm); c = 3,6 (cm); b = 6,4 (cm)
h = 4,8 (cm); SABC = 24 (cm2)
105
- THÖ GIAÕN
AP.AQ = BA2
BA 2 62
AP = 18 (m)
AQ 2
GHI NHÔÙ
A
c b
h
B c b C
H
a
Trong moät tam giaùc vuoâng.
2
c = a.c Bình phöông moãi caïnh goùc vuoâng baèng tích cuûa caïnh huyeàn vaø hình
b2 = a.b chieáu cuûa caïnh goùc vuoâng ñoù treân caïnh huyeàn.
a2 = b2 + c2 Bình phöông caïnh huyeàn baèng toång bình phöông hai caïnh goùc vuoâng.
Bình phöông ñöôøng cao öùng vôùi caïnh huyeàn baèng tích hai hình chieáu
h2 = b.c
cuûa caïnh goùc vuoâng treân caïnh huyeàn.
Tích hai caïnh goùc vuoâng baèng tích cuûa caïnh huyeàn vaø ñöôøng cao
b.c = a.h
töông öùng.
1 1 1 Nghòch ñaûo cuûa bình phöông ñöôøng cao öùng vôùi caïnh huyeàn baèng
2
2 2
h b c toång caùc nghòch ñaûo cuûa bình phöông hai caïnh goùc vuoâng.
BAØI TAÄP
1. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AB = 9cm, BC = 15cm, AH laø ñöôøng cao (H thuoäc
caïnh BC). Tính BH, CH, AC vaø AH.
2. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AH laø ñöôøng cao, AC = 5cm, AB = 4cm. Tính:
a) Caïnh huyeàn BC.
b) Hình chieáu cuûa AB vaø AC treân caïnh huyeàn.
c) Ñöôøng cao AH.
3. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, BC = 40cm, AC = 36cm. Tính AB, BH, CH vaø AH.
2
4. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù BC = 24cm. Tính AB, AC, cho bieát AB AC.
3
5. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù AH laø ñöôøng cao. BH = 10cm, CH = 42cm. Tính
BC, AH, AB vaø AC.
106
- 6. Cho ñöôøng troøn taâm O baùn kính R = 10cm. A, B laø hai ñieåm treân ñöôøng troøn (O) vaø
I laø trung ñieåm cuûa ñoaïn thaúng AB.
a) Tính AB neáu OI = 7cm.
b) Tính OI neáu AB = 14cm.
7. Cho ñöôøng troøn taâm O ñöôøng kính AB = 53cm. C laø moät ñieåm treân ñöôøng troøn sao
cho AC = 45cm. Goïi H laø hình chieáu cuûa C treân AB. Tính BC, AH, BH, CH vaø OH.
8. Cho hình thang caân ABCD coù ñaùy lôùn AB = 15cm, ñaùy nhoû CD = 5cm vaø goùc A
baèng 600.
a) Tính caïnh BC.
b) Goïi M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø CD. Tính MN.
9. Cho töù giaùc ABCD coù AB = AC = AD = 20cm, goùc B baèng 600 vaø goùc A baèng 900.
a) Tính ñöôøng cheùo BD.
b) Tính khoaûng caùch BH vaø DK töø hai ñieåm B vaø D ñeán AC.
c) Tính HK.
d) Veõ BE vuoâng goùc vôùi DC keùo daøi. Tính BE, CE, DC.
10. Cho ñoaïn thaúng AB = 2a. Töø trung ñieåm O cuûa AB veõ Ox vuoâng goùc vôùi AB. Treân
a
Ox laáy ñieåm D sao cho OD = . Töøu B veõ BC vuoâng goùc vôùi AD keùo daøi.
2
a) Tính AD, AC vaø BC theo a.
b) Keùo daøi DO moät ñoaïn OE = a. Chöùng minh boán ñieåm A, C, B, E cuøng naèm treân
ñöôøng troøn.
c) Veõ ñöôøng vuoâng goùc vôùi BC taïi B caét CE taïi F. Tính BF.
d) Goïi P laø giao ñieåm cuûa AB vaø CE. Tính AP vaø BP.
11. Cho tam giaùc ABC caân taïi A coù AH laø ñöôøng cao BC = 16cm, AH = 6cm. Veõ ñieåm
D treân ñoaïn BH sao cho BD = 3,5cm. Chöùng minh raèng tam giaùc DAC vuoâng.
LÔØI GIAÛI
1. ABC vuoâng taïi A coù ñöôøng cao AH. A
2
AB = BC.BH.
Do ñoù 92 = 15.BH 9
81
Neân BH = 5, 4 (cm)
15 B C
H
Ta coù: BH + HC = BC (vì H naèm giöõa B, C).
15
Do ñoù HC = BC – BH = 15 – 5,4 = 9,6 (cm)
ABC vuoäng taïi A (gt)
AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore)
Do ñoù: AC2 = BC2 – AB2 = 152 – 92 = 144
Maø AC > 0 neân AC = 144 12 (cm)
107
- ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt)
AH2 = BH.CH
Do ñoù AH2 = 5,4.9,6 = 51,84
Maø AH > 0. Neân AH = 51, 84 7, 2 (cm)
2.
a) Xeùt ABC vuoâng taïi A, coù: A
2 2 2
AB + AC = BC (ñònh lí Pythagore)
BC2 = 42 + 52 = 41 5
4
Maø BC > 0 neân BC = 41 (cm)
b) ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao.
B H C
AB2 = BC.BH. Do ñoù 42 = 41.BH
16
Vaäy BH = 2,5 (cm)
41
Maø BH + CH = BC.
Do ñoù CH = BC – BH = 41 2, 5 3,9 (cm)
c) ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt).
20
Do ñoù 4.5 = 41 .AH. Neân AH = 3,1 (cm).
41
3. Xeùt ABC vuoâng taïi A (gt) A
2 2 2
AB + AC = BC (ñònh lí Pythagore)
Do ñoù: AB2 = BC2 – AC2 = 402 – 362 = 304 5
4
Maø AB > 0 neân AB = 3 4 4 19 (cm)
ABC vuoâng taïi A coù ñöôøng cao AH (gt)
B H C
AB2 = BC.BH. 40
304
Do ñoù 304 = 40.BH. Neân BH = 7, 6 (cm)
40
ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt)
Do ñoù 362 = 40.CH.
1296
Neân CH = 32, 4 (cm)
40
ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt)
AB.AC = BC.AH.
Do ñoù 4 19 .36 = 40.AH.
4 19.36
Neân AH = 15,7 (cm)
40
108
- 4.
Xeùt ABC vuoâng taïi A.
AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore)
2 AB AC AB2 AC2 AB2 AC2 BC2 242 576
Maø AB = AC (gt) =
3 2 3 4 9 49 13 13 13
Suy ra:
576 2304 A
AB2 .4
13 13
2304
Maø AB > 0. Neân AB = 13,3 (cm)
13
576 5184
AC2 = .9 B C
13 13 24
5184
Maø AC > 0 neân AC = 19,9 (cm)
13
5.
Ta coù: BH + HC = BC BC = 10 + 42 = 52 (cm)
ABC vuoâng taïi A coù AH laø ñöôøng cao (gt)
A
AH2 = BH.CH = 10.42 = 420.
Maø AH > 0 neân AH = 420 105 (cm)
ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao.
AB2 = BC.BH.
B 10 H 42 C
AB2 = 52.10 = 520.
Maø AB > 0 neân AB = 520 2 130 (cm)
ABC vuoâng taïi A (gt)
AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore)
Do ñoù AC2 = BC2 – AB2 = 522 – 520 – 2184
Maø AC > 0. Neân AC = 2184 2 546 (cm)
6.
a) A, B laø hai ñieåm treân ñöôøng troøn taâm O baùn kính R = 10cm neân OA = OB = 10cm.
Xeùt OAB coù OA = OB (= 10cm)
Do ñoù: OAB caân taïi O.
OAB caân taïi O coù OI laø ñöôøng trung tuyeán
(vì I laø trung ñieåm cuûa AB). O
Neân OI cuõng laø ñöôøng cao cuûa tam giaùc OAB.
10 10
Xeùt OAI vuoâng taïi I ta coù:
OA2 = OI2 + AI2 (ñònh lí Pythagore)
A B
Do ñoù: AI2 = OA2 – OI2 = 102 – 72 = 51. I
109
- Maø AI > 0 neân AI = 51 (cm)
Vì I laø trung ñieåm cuûa AB neân AB = 2AI = 2 51 (cm)
AB 14
b) Vì I laø trung ñieåm AB neân ta coù: AI = BI 7 (cm)
2 2
Xeùt OAI vuoâng taïi I ta coù: OI2 + AI2 = OA2 (ñònh lí Pythagore)
Do ñoù OI2 = OA2 – AI2 = 102 – 72 = 51
Maø AI > 0 neân OI = 51 (cm).
7.
AB laø ñöôøng kính cuûa ñöôøng troøn taâm O vaø C thuoäc ñöôøng troøn.
AB 53
Do ñoù: OA = OB = OC = 26, 5 (cm)
2 2 C
AB
ABC coù CO laø ñöôøng trung tuyeán OC = . 45
2
ABC vuoâng taïi C.
A B
Xeùt ABC vuoâng taïi C ta coù: O H
AB2 = AC2 + BC2 (ñònh lí Pythagore)
Do ñoù: BC2 = AB2 – AC2 = 532 – 452 = 784
Maø BC > 0 neân BC = 784 = 28 (cm).
ABC vuoâng taïi C, coù ñöôøng cao CH.
AC2 = AH.AB.
AC2 452
Do ñoù AH = 38,2 (cm)
AB 53
Maø AH + BH = AB.
Neân BH = AB – AH 53 – 38,2 = 14,8 (cm)
ABC vuoâng taïi C, CH laø ñöôøng cao.
AC.BC = AB.CH.
AC.BC 45.28
Do ñoù CH = 23,8 (cm)
AB 53
Ta coù OH + BH = OB
Do ñoù OH = OB – BH = 26,5 – 14,8 = 11,7 (cm)
8.
a) Qua C veõ ñöôøng thaúng song song vôùi AD caét AB taïi K. D N C
Töù giaùc AKCD coù AK // CD, CK // AD.
Töù giaùc AKCD laø hình bình haønh.
AK = CD = 5cm.
Do ñoù BK = AB – AK = AB – CD.
= 15 – 5 = 10 (cm) A K M H B
110
- BAD
Ta coù CKB 600 (ñoàng vò vaø CK // AD)
BCK
Xeùt BKC coù BKC 600
Do ñoù: BKC ñeàu.
Suy ra: BC = BK = 10 (cm).
b) Veõ CH BK taïi H.
BHC vuoâng taïi H.
CH = BCsinB = 10sin600 = 5 3 (cm)
Xeùt hình thang caân ABCD (AB // CD) ta coù:
M laø trung ñieåm cuûa AB (gt) vaø N laø trung ñieåm cuûa CD (gt)
Do ñoù MN truïc ñoái xöùng cuûa hình thang caân ABCD.
MN AB vaø MN CD.
NMH
Xeùt töù giaùc NCHM coù CNM MHC
900
Do ñoù töù giaùc NCHM laø hình chöõ nhaät.
Suy ra MN = CH = 5 3 (cm).
9.
a) Xeùt ABD vuoâng taïi A ta coù BD2 + AD2 + AB2 (ñònh lí Pythagore)
BD2 = 202 + 202 = 800
Maø BD > 0 neân BD = 800 = 20 2 (cm) A 20 B
b) Xeùt ABC ta coù: AB = AC (= 20cm) 20
Do ñoù ABC caân taïi A. 20 H
600 (giaû thieát)
Maø ABC
K E
600 .
Neân ABC ñeàu. Do ñoù BAC
C
ABH vuoâng taïi H D
= 20sin600 = 10 3 (cm)
BH = ABsin BAC
BAC
Ta coù: DAK BAD
600 900
DAK
= 300
DAK
= 20sin300 = 10 (cm)
KAD vuoâng taïi K. Suy ra DK = ADsin DAK
c) ADK vuoâng taïi K.
= 20cos300 = 10 3 (cm)
AK = ADcos DAK
ABC ñeàu, BH laø ñöôøng cao neân cuõng laø ñöôøng trung tuyeán
AC
AH = 10 (cm)
2
Ta coù: AH + HK = AK.
HK = AK – AH = 10 3 – 10 7,3 (cm)
111
- d) ADC coù AD = AC ADC caân taïi A.
ACD
Do ñoù ADC : 2 750
= (1800 – DAC)
450
ABD vuoâng caân taïi A ADB
ADC
Neân BDE ADB 750 450 300
BED vuoâng taïi E.
= 20 2. 1
Suy ra BE = BDsin BDE 10 2 (cm) vaø DE = BDcos BDE
2
3
= 20 2. 10 6 (cm)
2
1800 BCA
Maët khaùc BCE ACD
= 1800 – 600 – 750 = 450
= 20. 2
EBC vuoâng taïi E CE = BCcos BCE 10 2 (cm)
2
Do ñoù DC = DE – CE = 10 6 10 2 10( 6 2) (cm)
10.
a) Ta coù: O laø trung ñieåm cuûa AB (gt) x
C
AB 2a
Do ñoù: AO = BO = a D
2 2
H
Xeùt OAD vuoâng taïi O ta coù:
A B
AD2 = AO2 + DO2 (ñònh lí Pythagore) O P
2
a 5a 2 F K
Do ñoù AD2 = a2 +
2 4
5a 2 a 5 E
maø AD > 0 neân AD =
4 2
(chung), AOD
Xeùt AOD vaø ACB coù: OAD ACB
(= 900)
Do ñoù AOD ACB (g.g)
AO AD OD
AC AB BC
AO.AB a.2a 4 5a
Neân AC =
AD a 5 5
2
a
2a.
AB.OD 2 2 5a
Vaø BC =
AD 2 5 5
2
AB
b) Ta coù: ABE coù EO laø ñöôøng trung tuuyeán vaø EO = AO = BO = (= a)
2
Neân ABE vuoâng taïi E.
112
- Ta coù: AO = EO = BO = CO = a.
Vaäy boán ñieåm A, E, B, O cuøng thuoäc ñöôøng troøn taâm O baùn kính a.
c) ABE coù EO laø ñöôøng cao, ñöôøng trung tuyeán ABE caân taïi E.
Veõ EH AC taïi H, EK BC taïi K.
900 ) vaø KBE ( KBE
Xeùt HAE ( AHE = 900) coù AE = BE (ABE caân taïi E).
KBE
HAE (cuøng buø vôùi goùc CBE)
Do ñoù HAE = KBE (caïnh huyeàn – goùc nhoïn)
EH = EK.
.
CE laø tia phaân giaùc ACB
BCA 450
BCF
2
2 5a
Do ñoù BCF vuoâng caân taïi B. Vaäy BF = BC = .
5
BP BF
d) PAC coù BF // AC .
AP AC
BP 1 BP AP BP AP 2a
Neân . Do ñoù
AP 2 1 2 12 3
4a 2a
Vaäy AP = , BP = .
3 3
11.
A
ABC caân taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt)
AH laø ñöôøng trung tuyeán cuûa tam giaùc ABC.
BC 16
BH = CH = = 8 (cm)
2 2
Ta coù BD + DH = BC B D H C
Neân 3,5 + DH = 8 DH = 4,5 (cm)
Xeùt HAD vaø HCA coù
(= 900), AH DH vì 6 4.5
CHA
AHD
CH AH 8 6
Do ñoù HAD ∽ HCA (c.g.c)
HCA
HAD
HAD
Ta coù DAC HAC
HCA
HAC
900 (HAC vuoâng taïi H)
Vaäy tam giaùc DAC vuoâng taïi A.
113
- LUYEÄN TAÄP
1. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH. Bieát HB = 9cm HC = 16cm. Tính
caùc ñoä daøi AB, AC.
2. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, ñöôøng cao AH. Bieát AH = 6cm, HC – HB = 9cm.
Tính caùc ñoä daøi HB, HC.
AB 3
3. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù , ñöôøng cao AH = 18cm. Tính chu vi tam
AC 4
giaùc ABC.
4. Cho hình thang ABCD coù chieàu daøi hai ñaùy AB vaø CD laàn löôït laø 9cm vaø 30cm,
chieàu daøi hai caïnh beân AD vaø BC laàn löôït laø 13cm vaø 20cm. Tính dieän tích hình
thang.
5. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù dieän tích 37,5cm2, AB < AC, ñöôøng cao AH coù ñoä
daøi 6cm. Tính caùc ñoä daøi AB, AC.
6. Cho tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, ñieåm M thuoäc caïnh BC vaø AM = m. Tính toång
MB2 + MC2 theo m.
7. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, veõ ñöôøng cao AH. Goïi E vaø D laàn löôït laø hình chieáu
cuûa H treân AB vaø AC. Cho bieát HDd = 18cm, HE = 12cm. Tìm caùc ñoä daøi AB, AC.
8. Moät tam giaùc vuoâng coù caïnh huyeàn laø 6,15cm vaø ñöôøng cao töông öùng laø 3cm. Tìm
caùc caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc.
9. Caïnh huyeàn cuûa moät tam giaùc vuoâng lôùn hôn moät caïnh goùc vuoâng cuûa tam giaùc laø
9cm, coøn toång hai caïnh goùc vuoâng lôùn hôn caïnh huyeàn laø 6cm. Tính chu vi vaø dieän
tích tam giaùc vuoâng ñoù.
10. Cho tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A. Ñieåm D di ñoäng treân caïnh AC. Ñöôøng thaúng d
vuoâng goùc vôùi AC taïi C caét ñöôøng BD taïi E. Chöùng minh raèng khi D di chuyeån treân
1 1
caïnh AC thì toång khoâng ñoåi.
BD 2
BE2
LÔØI GIAÛI
1.
Ta coù: BC = BH + HC = 9 + 16 = 25. A
ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt)
AB2 = BC.BH vaø AC2 = BC.CH.
Do ñoù AB2 = 25.9 = 225 vaø AC2 = 25.16 = 400
Maø AB > 0 neân AB = 225 15 (cm) B C
9 H 16
Vì AC > 0 neân AC = 400 = 20 (cm)
114
- 2.
A
Ta coù: HC – HB = 9 (gt)
HC = 9 + HB
Xeùt ABC vuoâng taïi A coù ñöôøng cao AH (gt)
6
AH2 = HB.HC.
Do ñoù 36 = HB.(9 + HB) B H C
36 = 9HB + HB2 HB2 + 9HB – 36 = 0
(HB – 3)(HB + 12) = 0
HB = 3 hoaëc HB = –12
Maø HB > 0 neân HB = 3 (cm)
Vaäy HC = 9 + 3 = 12 (cm).
3. A
AB 3 3
Ta coù: (gt) AB = AC
AC 4 4
ABC vuoâng taïi A coù ñöôøng cao AH (gt)
1 1 1
AH 2
AC 2
AB2 B H C
1 1 1 1 1 16
Do ñoù
18 2
AC 2
3
2
324 AC 2
9AC2
AC
4
AC2 = 324 + 36.16 = 900
Maø AC > 0 neân AC = 900 = 30 (cm)
3
Vaäy AB = .30 22, 5 (cm)
4
ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao (gt)
BC.AH = AB.AC.
AB.AC 22, 5.30
Do ñoù BC = 37, 5 (cm)
AH 18
Chu vi tam giaùc ABC laø: AB + AC + BC = 22,5 + 30 + 37,5 = 90 (cm)
4.
Veõ AH CD taïi H, BK CD taïi K. A B
Ta coù AH // BK.
Maø AB // HK (AB // CD).
Do ñoù töù giaùc ABKH laø hình bình haønh.
AH = BK, HK = AB = 9 (cm)
Do vaäy DH + CK = CD – HK = 21 (cm) D C
H K
CK = 21 – DH
DAH vuoâng taïi H (gt) AH2 + DH2 = AD2 (ñònh lí Pythagore)
115
- AH2 = AD2 – DH2
BCK vuoâng taïi K (gt) BK2 + CK2 = BC2
BK2 = BC2 – CK2
Neán AD2 – DH2 = 202 – (21 – DH)2.
169 – DH2 = 400 – 441 + 42DH – DH2
42DH = 210 DH = 5 (cm)
Neân AH2 + 52 = 132 AH2 = 144.
Maø AH > 0. Do ñoù AH = 144 = 12 (cm)
1 1
Vaäy dieän tích hình thang ABCD laø: AH(AB CD) .12(9 30) 234 (cm2)
2 2
5.
A
1
Theo ñeà baøi ta coù: S = .AB.AC 37,5
2
AB.AC = 37,5.2 = 75 6
1
Maët khaùc S = AH.BC
2 C
B H
1
Neân .6.BC 37, 5 BC = 12,5 (cm)
2
ABC vuoâng taïi A AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore)
AB2 + AC2 = 12,52 = 156,25
Ta coù (AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = 156,25 + 2.75
(AB + AC)2 = 231,25. Neân AB + AC = 17m5.
Maët khaùc (AC – AB)2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC = 156,25 – 2.75 = 6,25
Neân AC – AB = 2,5 (vì AC > AB).
Ta coù AB + AC + AC – AB = 17,5 + 2,5 2AC = 20.
AC = 10 (cm)
Khi ñoù 10 – AB = 2,5
Vaäy AB = 10 – 2,5 = 7,5 (cm).
6.
B
Veõ AH BC taïi H. Khoâng maát tính toång quaùt giaû
söû M naèm giöõa B vaø H. M
ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao neân cuõng laø
ñöôøng trung tuyeán. H
BC
AH = BH = CH =
2
HAM vuoâng taïi H. C
A
2 2 2
AH + MH = AM (ñònh lí Pythagore)
BC2
Neân MH2 m2
4
116
- Ta coù MB2 + MC2 = (BH – MH)2 + (CH + MH)2
2 2
BC BC BC2
= MH MH – BC.MH + MH2 +
2 2 4
BC2 BC2 BC2
+ BC.MH MH2 2MH2 = 2 MH2 2m2
4 2 4
7.
A
Töù giaùc ADHE ta coù:
= 900 (vì ABC vuoâng taïi A), D
EAD
= 900 (vì E laø hình chieáu cuûa H leân AB)
AEH E 18
900 (vì D laø hình chieáu cuûa H leân AC)
vaø ADH 12
B C
Do ñoù töù giaùc ADHE laø hình chöõ nhaät. H
Suy ra: AH = DE.AD = HE = 12cm, AD = DH = 18cm.
HAB vuoâng taïi H, HE laø ñöôøng cao.
AE.BE = HE2.
122
Do ñoù 18.BE = 122 BE = 8 (cm)
18
Neân AB = AE + BE = 18 + 8 = 26 (cm)
HAC vuoâng taïi H, HD laø ñöôøng cao.
AD.CD = HD2.
182
Do ñoù 12.CD = 182 CD = 27 (cm)
12
Neân AC = AD + CD = 12 + 27 = 39 (cm).
8.
Theo ñaàu baøi, ta coù tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù BC = 6,15cm, ñöôøng cao AH = 3m.
Giaû söû AB ≤ AC. Caàn tính AB, AC.
A
ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao.
AB.AC = BC.AH.
Do ñoù AB.AC = 6,15.3 = 18,45.
ABC vuoâng taïi A
AB2 + AC2 = BC2 (ñònh lí Pythagore) B H C
2 2 2
Do ñoù AB + AC = 6,5 = 37,8225
Ta coù (AB + AC)2 = AB2 + AC2 + 2AB.AC = 37,8225 + 2.18,45 = 74,7225
AB + AC 8,64
Vaø (AC – AB)2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC = 37,8225 – 2.18,45 = 0,9225
AC – AB 0,96 (AC ≥ AB)
Do ñoù AB = (8,64 – 0,96) : 2 3,84 (cm)
vaø AC = (8,64 + 0,96) : 2 4,8 (cm)
117
- 9.
Giaû söû tam giaùc ABC vuoâng taïi A coù BC = a (cm), AC = b (cm), AB = c (cm) (a, b, c > 0).
Theo ñeà baøi ta coù:
a – c = 9 vaø b + c – a = 6 A
Do ñoù a – c + b + c – a = 9 + 6
b = 15 b
c
Xeùt ABC vuoâng taïi A ta coù:
a2 = b2 + c2 (ñònh lí Pythagore).
B a C
Maø a = 9 + c vaø b = 15.
Do ñoù (9 + c)2 = 152 + c2.
81 + 18c + c2 = 225 + c2
18c = 225 – 81 18c = 144 c = 8
Ta coù a = 9 + c = 9 + 8 = 17 (cm)
Chu vi tam giaùc ABC laø: a + b + c = 15 + 8 + 17 = 40 (cm)
1 1
Dieän tích tam giaùc ABC vuoâng taïi A laø: .b.c .15.8 60 (cm2)
2 2
10.
Veõ BF d taïi F.
A x
Xeùt töù giaùc ABFC coù
900 , ACF
BFC 900 , BAC
900 D E
Do ñoù töù giaùc ABFC laø hình chöõ nhaät. B C
Maø AB = AC (ABC vuoâng taïi A)
Neân töù giaùc ABFC laø hình vuoâng.
Qua B keû ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BE caét F
ñöôøng thaúng d taïi G.
G
Xeùt ABD vaø FBG ta coù:
BFG
BAD (= 900), AB = BF (vì ABFC laø hình vuoâng)
FBG
vaø ABD (vì cuøng phuï vôùi DBF
)
Do ñoù ABD = FBG (g.c.g).
Suy ra: BD = BG.
1 1 1
Xeùt BGE vuoâng taïi B coù ñöôøng cao BF, ta coù:
BF 2
BG 2
BE2
Maø BD = BG, BF = AC khoâng ñoåi.
1 1 1
Vaäy khoâng ñoåi.
BD 2
BE 2
AC2
118
- BAØI TAÄP NAÂNG CAO
1. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao. Veõ HD vuoâng goùc vôùi AB taïi D,
HE vuoâng goùc vôùi AC taïi E. Chöùng minh raèng.
AD AH2
a)
BD BH2
b) BD.CE.BC = AH3.
1200 . Tia Ax taïo vôùi tia AB goùc Bax baèng 150, tia Ax
2. Cho hình thoi ABCD coù A
1 1 4
caét caïnh BC taïi M vaø caét tia DC taïi N. Chöùng minh raèng .
AM 2
AN 2
3AB2
3. Cho tam giaùc nhoïn ABC, H laø tröïc taâm cuûa tam giaùc ABC. M, N laàn löôït treân caùc
ANB
ñoaïn thaúng HB, HC sao cho AMC 900 . Chöùng minh raèng tam giaùc AMN caân.
LÔØI GIAÛI
1. A
a) ABH vuoâng taïi H, HD laø ñöôøng cao (HD
D
AB) AD.AB = BH2 (heä thöùc veà caïnh
vaø ñöôøng cao trong tam giaùc vuoâng).
AH2 AD.AB AD
Do ñoù . B H
C
BH2 BD.AB BD
b) ABC vuoâng taïi A, AH laø ñöôøng cao AH2 = BH.HC, AB.AC = AH.BC.
AHC vuoâng taïi H, HE laø ñöôøng cao (HE AC)
CE.AC = HC2
Do ñoù AH4 = (BH.HC)2 = BH2.HC2 = BD.AB.CE.AC = (BD.CE).(AB.AC) = (BD.CE)(AH.BC)
Neân AH4 = BD.CE.BC.AH
Vaäy AH3 = BD.CE.BC.
2.
Qua A veõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc A B
vôùi AN, caét CD taïi E. Veõ AH CD 150
taïi H. M
Tam giaùc AEN vuoâng taïi A, AH laø
ñöôøng cao. N
D E H C
1 1 1 x
AE 2
AN 2
AH2
1 4
Chöùng minh ñöôïc: AE = AM, .
AH 2
3AB2
1 1 1 1 1 4
Doù ñoù
AM 2
AN 2
AE 2
AN 2
AH 2
3AB2
119
nguon tai.lieu . vn