Xem mẫu
- CHÖÔNG 3: II. CAÙC VÍ DUÏ.
PHÖÔNG TRÌNH VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA TRÒ Ví duï 1:
TUYEÄT ÑOÁI. Giaûi phöông trình: 2 x + 2 + 3 x − 1 = 5 (1)
Giaûi
Xeùt daáu x + 2 vaø x – 1
A. PHÖÔNG TRÌNH CHÖÙA TRÒ TUYEÄT ÑOÁI
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ.
1.Ñònh nghóa vaø tính chaát:
7
⎧a neáu a ≥ 0
. x ≤ −2 : (1) ⇔ −2(x + 2) − 2(x − 1) = 5 ⇔ x = − (loaïi)
a. Ñònh nghóa : a = ⎨
4
⎩−a neáu a ≤ 0
. −2 < x < 1: (1) ⇔ 2(x + 2) − 2(x − 1) = 5 ⇔ 0x + 6 = 5 : voâ nghieäm
b. Tính chaát :
3
* a ≥ 0 * − a ≤ a ≤ a * a + b ≤ a + b daáu “ =” khi ab ≥ 0 . x ≥ 1: (1) ⇔ 2(x + 2) + 2(x − 1) = 5 ⇔ x = (loaïi)
4
* a − b ≤ a + b daáu “ =” xaûy ra khi ab ≤ 0
Vaäy phöông trình voâ nghieäm.
2. Phöông phaùp giaûi toaùn: Ví duï 2:
a. Daïng cô baûn: ⎧3 x + 5y + 9 = 0 (1)
⎪
Giaûi heä phöông trình: ⎨
A = B ⇔ A = B ∨ A = −B caùch1
⎪2x − y − 7 = 0 (2)
⎩
⇔ A 2 = B2 caùch 2
(ÑH Haøng Haûi naêm 1998).
⎧B ≥ 0 Giaûi
A = B ⇔⎨ caùch 1
⎩A = ± B Nhaän xeùt: (1) Cho ta: y < 0, ∀x ∈ R
⎧A ≥ 0 ⎧A ≤ 0 (2) Cho ta: x > 0, ∀y ∈ R
caùch 2
⇔⎨ ∨⎨
⎩A = B ⎩A = −B ⇒ heä chæ coù nghieäm khi x > 0, y < 0
b. Caùc daïng khaùc: ⎧3x + 5y + 9 = 0 44 39
Heä ⇔ ⎨ giaûi ra: x = ,y = −
Ta thöôøng xeùt daáu caùc bieåu thöùc trong caùc daáu trò tuyeät ñoái ñeå ⎩2x + y − 7 = 0 7 7
khöû daáu trò tuyeät ñoái treân moãi khoaûng. Giaûi phöông trình treân moãi
44 39 ⎞
⎛
Vaäy heä coù nghieäm ⎜ x = ,y = − ⎟
khoaûng.
7 7⎠
⎝
Coù theå duøng aån phuï.
115 116
- Ví duï 3: ⎡ ⎧t ≥ 0
⎪
⎢⎨ 2 ⎡t = 0
Ñònh m ñeå phöông trình:
⎢ ⎪t = 0
⎩ ⎢
(2) ⇔ t 2 − 2mt + m 2 + 2m t = m 2 ⇔ ⎢ ⎢ ⎧t = 4m
2 2
−2x + 10x − 8 = x − 5x + m coù 4 nghieäm phaân bieät.
⎢ ⎧t < 0 ⎢ ⎨m < 0
⎪
⎣⎩
⎢ ⎨t 2 − 4mt
Giaûi
⎣⎪⎩
Phöông trình cho ⇔ −2x + 10x − 8 − x 2 + 5x = m
2
. t = 0 ⇒ x = −m
. t = 4m ⇒ x = 3m(m < 0)
2 2
Ñaët f(x) = −2x + 10x − 8 − x + 5x
Toùm laïi:
⎧x 2 − 5x + 8 vôùi x ≤ 1 ∨ x ≥ 4
⎪ m < 0: Phöông trình coù 2 nghieäm: x1 = 3m ; x2 = - m
Ta coù: f(x) = ⎨
2
m > 0: moät nghieäm x2 = - m
⎪−3x + 15x − 8 vôùi 1 ≤ x ≤ 4
⎩
m = 0: VN (loaïi vì x = 0)
⎧2 x − 5 vôùi x ≤ 1 ∨ x ≥ 4
f '(x) = ⎨ Ví duï 5:
⎩−6x + 15 vôùi 1 ≤ x ≤ 4
Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm duy nhaát:
Baûng bieán thieân:
x 2 + 2mx + 1 = x + 1 (1)
Giaûi
⎧x ≥ 1
⎪
Ta coù: (1) ⇔ ⎨ 2 2 2
⎪(x + 2mx + 1) = (x + 1)
⎩
⎧x ≥ −1 ⎧x ≥ −1
⎪ ⎪
⇔⎨ 2 ∨⎨ 2
⎪x + (2m − 1)x = 0 (2) ⎪x + (2m + 1)x + 2 = 0 (3)
⎩ ⎩
(2) ⇔ x = 0 ∨ x = 1 − 2m
Ta nhaän thaáy x = 0 thoûa ñieàu kieän x ≥ −1, neâ ñieàu kieän caàn ñeå phöông
Döïa vaøo baûng bieán thieân, phöông trình ñaõ cho coù 4 nghieäm phaân bieät ⎡1 − 2m = 0 1
trình (1) coù nghieäm duy nhaát laø: ⎢ ⇔ m = ∨ m >1
43
⎣1 − 2m < −1 2
khi vaø chæ khi: 4 < m < .
4
1
Thöû laïi: + vôùi m = : (3) ⇔ x 2 + 2x + 2 = 0 VN
Ví duï 4:
2
2m x + m m 2
+ Vaäy (1) coù nghieäm duy nhaát x = 0
Giaûi vaø bieän luaän: x + (m ≠ 0) (1)
=
x x + Vôùi m > 1: (3) cho af(-1 ) = - 2m + 2 < 0
Giaûi ⇒ (3) coù nghieäm x > -1 ⇒ khoâng coù nghieäm duy nhaát (loaïi)
Ñieàu kieän: x ≠ 0 1
Vaäy m = .
(1) ⇔ x 2 + 2m x + m = m 2 (2) 2
Ñaët t = x + m ⇒ x = t − m ⇒ x 2 = t 2 − 2mt + m 2
117 118
- Höôùng daãn vaø giaûi toùm taét
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ.
3 − 2x − x 1.1. Baûng xeùt daáu :
1.1. Giaûi phöông trình: =5
2 + 3x + x − 2
1.2. Xaùc ñònh k ñeå phöông trình sau coù 4 nghieäm phaân bieät.
(x − 1)2 = 2 x − k
1.3. Tìm tham soá a sao cho phöông trình: 2x 2 − 3x − 2 = 5a − 8x − 2x 2
Xeùt caùc tröôøng hôïp :
coù nghieäm duy nhaát. 23
⎧
⎪x = −
2 3−x 23
* x ≤ − : phöông trình cho ⇔ =5⇔⎨ 9 ⇔x=−
3 −2x − 4 9
1.4. Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm: x 2 − 2x + m = x 2 + 3x − m − 1 ⎪ x ≠ −2
⎩
2
thoûa x ≤ − .
1.5. Ñònh m ñeå phöông trình coù 4 nghieäm phaân bieät : 3
2x 2 − (2m + 1)x + m + 2 = x 2 − (m − 1)x + 2 − m 1
⎧
⎪x =
3−x 1
=5⇔⎨ 7⇔x=
2 ⇔
* − < x ≤ 0 : phöông trình cho 7 khoâng
4x ⎪x ≠ 0
3 ⎩
2
thoaû ñieàu kieän − < x ≤ 0 .
3
3 3 − 3x 3
* 0 < x ≤ : phöông trình cho ⇔ =5⇔ x= thoûa ñieàu kieän
2 4x 23
3
0 : phöông trình cho ⇔ =5⇔⎨ ⇔ x ∈∅
2 4x ⎪x > 3
⎪ 2
⎩
23 3
Toùm laïi nghieäm : x = − ∨ x = .
9 23
119 120
- Baûng bieán thieân:
⎡2(x − k) = (x − 1)2
1.2. (x − 1)2 = 2 x − k (1) ⇔ ⎢
⎢2(x − k) = −(x − 1)2
⎣
⎡ x 2 − 4x + 2k + 1 = 0 (2)
⇔⎢
⎢ x 2 = 2k − 1 (3)
⎣
Ñeå phöông trình coù nghieäm phaân bieät ⇔ Ñieàu kieän laø phöông trình (2),
(3), moãi phöông trình coù 2 nghieäm phaân bieät vaø chuùng khoâng coù
nghieäm chung.
Nhaän xeùt neáu (2) vaø (3) coù nghieäm chung thì nghieäm chung phaûi laø
nghieäm cuûa heä phöông trình :
Baûng bieán thieân cho ta phöông trình coù nghieäm duy nhaát
⎧2
⎪x − 4x + 2k + 1 = 0 (2) 57 −57
⎨2 ⇔a=− =
⎪x = 2k − 1 (3) 16.5 80
⎩
(3) ⇔ 2k = x 2 + 1 theá vaøo (2), ta ñöôïc :
1.4. x 2 − 2x + m = x 2 + 3x − m − 1 (*)
x 2 − 4x + x 2 + 2 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ k = 1
Ta loaïi k = 1 ⎧ x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0
⎪
(*) ⇔ ⎨
⎧∆ ' > 0 2 2 2 2
⎪(x − 2x + m) = (x + 3x − m − 1)
1 3
⎪ ⎩
Vôùi k ≠ 1 , ñieàu kieän : ⎨2k − 1 > 0 ⇔ < k < ∧ k ≠ 1
2 2 ⎧ x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0
⎪k ≠ 1 ⎪
⎩ ⇔⎨
2
⎪5x = 2m + 1 ∨ 2x + x − 1 = 0
⎩
1.3. 2x 2 − 3x − 2 = 5a − 8x − 2x 2 ⇔ 2x 2 + 8x + 2x 2 − 3x − 2 = 5a ⎧x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0 ⎧ x 2 + 3x − m − 1 ≥ 0
⎪ ⎪
⇔⎨ ∨⎨
2m + 1 1
1
⎧2 ⎪x = ⎪ x = −1 ∨ x =
⎪ 4x + 5x − 2 neáu x ≤ − 2 ∨ x ≥ 2 5 2
⎩ ⎩
⎪
Ñaët f(x) = 2x 2 + 8x + 2x 2 − 3x − 2 = ⎨
Ñaët f(x) = x 2 + 3x − m − 1
⎪11x + 2 neáu - 1 < x < 2
⎪ 2
⎩ ⎡ ⎛ 2m + 1 ⎞ 3
⎡
⎢f ⎜ ⎟≥0 ⎢ m ≤ −3 ∨ m ≥ 4
1
⎧
⎢⎝ 5 ⎠
⎪8x + 5 neáu x ≤ − 2 ∨ x ≥ 2 ⎢
⎪ * Coù nghieäm ⇔ ⎢ f( −1) ≥ 0 ⇔ ⎢ m ≤ −3 ⇔ m∈R
⇒ f '(x) = ⎨
⎢
⎪11 neáu − 1 < x < 2 ⎢ 3
⎢f ⎛ 1 ⎞ ≥ 0 ⎢m ≤
⎪ 2
⎩ ⎜2⎟
⎢⎝ ⎠ ⎢ 4
⎣
⎣
121 122
- 1.5. 2x 2 − (2m + 1)x + m + 2 = x 2 − (m − 1)x + 2 − m
⎡2x 2 − (2m + 1)x + m + = x 2 − (m − 1)x + 2 − m
⇔⎢
⎢2x 2 − (2m + 1)x + m + 2 = − x 2 + (m − 1)x − 2 + m
⎣
⎡ x 2 − (m + 2)x + 2m = 0 (1)
⇔⎢
⎢3x 2 − 3mx + 4 = 0 (2)
⎣
g(x)
Ñeå phöông trình cho coù 4 nghieäm phaân bieät ⇔ (1) coù 2 nghieäm phaân
bieät, (2) coù 2 nghieäm phaân bieät vaø 2 nghieäm phaân bieät cuûa (1) vaø (2)
khaùc nhau.
(1) coù : ∆1 = (m − 2)2 > 0 ⇔ m ≠ 2 : x1 = m,x 2 = 2
⎧ −4 3 43
⎧∆ 2 = 9m 2 − 48 > 0
⎪m < ∨m>
⎪ ⎪ 3 3
(2) coù : ⎨g(m) ≠ 0 ⇔⎨
⎪m ≠ 8
⎪g(2) ≠ 0
⎩ ⎪ 3
⎩
123
nguon tai.lieu . vn
