Những dạng Toán cơ bản số học lớp 6 (dành cho học sinh khá, giỏi)

Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội NHỮNG DẠNG TOÁN CƠ BẢN SỐ HỌC LỚP 6 (Dành cho học sinh khá, giỏi) §1. SO SÁNH HAI LUỸ THỪA A. Kiến thức cơ bản 1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ. - Nếu hai luỹ thừa cùng cơ số (cơ số lớn hơn 1) thì luỹ thừa nào có số mũ lớn hơn thì sẽ lớn hơn. Với a>1 và m>n thì am > an - Nếu hai luỹ thừa cùng số mũ (số mũ lớn hơn 0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn thì sẽ lớn hơn. Với n>0 và a>b thì an > bn 2. Ngoài cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân (a < b thì a.c < b.c với c > 0) - Luỹ thừa của luỹ thừa: (am)n = am.n - Luỹ thừa của một tích: ( a.b)n = anbn - Luỹ thừa một thương: an :bn = (a:b)n , hay an :bn an - Luỹ thừa tầng: amn  amn B. Bài tập áp dụng 1. So sánh các số sau: a. 2711 và 818 b. 6255 và 1257 c. 32n và 23n d. 536 và 1124 e. 523 và 6.522 f. 339 và 1121 g. 19920 và 200315 h. 7.213 và 216 2. So sánh các hiệu sau: 7245 – 7243 và 7244 – 7243 3. Tìm xN, biết: a. 16x < 1284 b. 15< 5x <1075 c. 5x.5x+1.5x+2 ≤ 100..........0 :218 18chữ số 0 The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone Page 1 Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội 4. Cho S = 1 + 2+ 22 + 23 + ... + 29. So sánh S với 5.28 §2. CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT TÍCH, MỘT LUỸ THỪA A. Kiến thức cơ bản 1. Chữ số tận cùng của một tích: - Tích các số lẻ là 1 số lẻ. - Tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kỳ số lẻ nào cũng có tận cùng là 5. - Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn. 2. Chữ số tận cùng của một luỹ thừa: - Các số tự nhiên có tận cùng bằng 0,1,5,6 khi nâng lên luỹ thừa bất kỳ (khác 0 ) vẫn giữ nguyên chữ số tận cùng của nó. - Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 3, 7, 9 nâng lên luỹ thừa 4n đều có tận cùng là 1. ...34n = ...1 ...74n = ...1 ...94n = ...1 - Các số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 2,4,8 nâng lên luỹ thừa 4n (n ≠0) đều có tận cùng là 6. ...24n = ...6 ...44n = ...6 ...84n = ...6 - Đối với các số tự nhiên có chữ số tận cùng là 4 hoặc 9, khi nâng lên luỹ thừa lẻ đều có chữ số tận cùng là chính nó; khi nâng lên luỹ thừa chẵn có chữ số tận cùng lần lượt là 6 và 1. - Đối với các số tự nhiên có 2 tận cùng là 25, 76 khi luỹ thừa với số mũ bất kì thì đều cho một số tự nhiên cũng có 2 chữ số là 25, 76. B. Bài tập áp dụng 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 7430 ; 4931 ; 8732 ; 3358 ; 2335 ; 23467 2. Chứng tỏ các tổng hiệu sau chia hết cho 10. A = 405n+ 2405 + 3 (n N ; n ≠ 0) 3. Tích 2.22.23.....210. 52.54.56 … .514. Tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0? 4. Chứng minh rằng tổng S = 1 + 31+ 32 + 33 + ... + 330 không phải là một số chính phương. §3. SỐ NGUYÊN TỐ. HỢP SỐ. PHÂN TÍCH MỘT SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ A. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa - Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước là 1 và chính nó The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone Page 2 Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội - Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1 có ước khác 1 và chính nó nói cách khác là có nhiều hơn 2 ước - Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố 2. Tính chất - Một số tự nhiên A được biểu diễn (phân tích) dưới dạng một tích A = a1k1 .a2k2.a3k3. … .ankn thì tổng số ước số của A là (k1+1)(k2+1)(k3+1)…(kn+1) - Nếu một tích các số tự nhiên chia hết cho số nguyên tố p thì phải có ít nhất một thừa số của tích chia hết cho p. Nếu tích đó là tích của các số nguyên tố thì p trùng với một trong những thừa số của tích - Nếu tích của hai sốa, b chia hết cho một sốnguyên tốp thì mọt trong hai sốa, b chia hết cho p - Nếu tích ab chia hết cho số nguyên tố p thì hoặc a ⋮ p hoặc b ⋮ p. - Đặc biệt nếu an ⋮ p thì a ⋮ p và ngược lại 3. Một số định lí - Định lí Euler NÕu m lµ 1 sè nguyªn d­¬ng (m) lµ sè c¸c sè nguyªn d­¬ng nhá h¬n m vµ nguyªn tè cïng nhau víi m, (a, m) = 1 Th× a(m)  1 (mod n) - Định lí Fermat NÕu p lµ sè nguyªn tè vµ a kh«ng chia hÕt cho p th× ap-1  1 (mod p) - Định lí Wilson NÕu p lµ sè nguyªn tè th× ( p - 1)! + 1  0 (mod p) B. Bài tập áp dụng 1. Các số sau là số nguyên tố hay hợp số? a = 1.3.5.7...13 + 20 b = 147.247.347 – 13 2. Cho nN*. Chứng minh rằng số 111....12111...1 là hợp số . n chữ số1 n chữ số1 3. Cho n>2 và không chia hết cho 3. Chứng minh rằng hai số n2 – 1 và n2 + 1 không thể đồng thời là số nguyên tố. 4. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3 a. Chứng tỏ rằng p có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5. b. Biết 8p + 1 cũng là một số nguyên tố, chứng minh rằng 4p + 1 là hợp số 5. Cho p và p + 8 là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi p + 100 là số nguyên tố hay hợp số. The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone Page 3 Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội 6. Chứng minh rằng những số sau là hợp số a. 676767 b. 108 + 107 + 7 c. 175 + 244 + 1321 d. 311141111 e. 10100- 7 f. 1! + 2! + 3! +…+ 100! 7. Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n±1 8. Chứng minh rằng nếu 3 số a, a + n, a + 2n đều là số nguyên tố lớn hơn 3 thì n chia hết cho 6 9. Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24 10. Hai số nguyên tố được gọi là sinh đôi nếu chúng là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp (p>3). Chứng minh rằng một số tự nhiên nằm giữa hai số nguyên tố sinh đôi thì chia hết cho 6. 11. Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia cho 12 đều dư 1 12. Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r là hợp số. Tìm số dư r 13. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên 2n – 1 là số nguyên tố (∀n  N, n>2) thì số tự nhiên 2n + 1 là hợp số 14. Tìm số n  N*, sao cho n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố. 15. Chứng minh rằng: Trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tồn tại 2 số mà tổng hoặc hiệu chia hết cho 12 §4. ƯỚC CHUNG, ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT – BỘI CHUNG, BỘI CHUNG NHỎ NHẤT A. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa - Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả những số đó. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp ước chung của các số đó. - Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả những số đó. Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung của các số đó. 2. Tính chất The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone Page 4 Hà Tùng Lâm – YC-K2011-2017 – Đại học Y Hà Nội - Hai số tự nhiên được gọi là nguyên tố cùng nhau khi chúng chỉ có duy nhất một ước chung là 1. - Ba số tự nhiên được gọi là đôi một nguyên tố cùng nhau khi từng cặp 2 trong 3 số đó nguyên tố cùng nhau và chỉ có duy nhất một ước chung của 3 số là 1 - Tích của hai số bằng tích của BCNN với ƯCLN của chúng. ab =BCNN(a,b).ƯCLN(a,b) - Nếu lấy BCNN(a,b) chia cho từng số a,b thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau - Nếu a ⋮ m và a ⋮ n thì a ⋮ BCNN(m,n). Từ đó suy ra: + Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng. + Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố đôi một cùng nhau thì nó chia hết cho tích của chúng B. Bài tập áp dụng 1. Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau: a. Hai số lẻ liên tiếp. b. 2n + 5 và 3n + 7 (n  N) 2. Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng: a. (a, a – b) = 1 b. (ab, a + b) = 1 3. Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau a = 4n + 3; b = 5n + 1 (n  N). Tìm (a, b). 4. Cho a + 5b ⋮ 7 (a, b  N). Chứng minh rằng 10a + b ⋮ 7. Mệnh đề đảo lại có đúng không? 5. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng của chúng là 128 và ƯCLN của a,b là 16. 6. Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích của chúng là 216 và ƯCLN của a,b là 6. 7. Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b. Chứng minh rằng hai số 11a + 2b và 18a + 5b thì hoặc nguyên tố cùng nhau hoặc có một ước chung là 19 Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15 8. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11 thì dư 5, chia cho 13 thì dư 8 The dogs bark, but the caravan goes on. To live is to love, devote, enjoy and keep adding the value. You never walk alone Page 5 ... - tailieumienphi.vn