Xem mẫu
- 1
TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI
SỞ GD& ĐT NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG
HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN
VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010
PHẦN MỤC LỤC Trang
I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨ C
III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI
DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Các diễn đàn :
1. www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl,
www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn ,…
2. Đề thi HS G Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố trong nước, Đề thi Olympic 30 -4
3. Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến )
4. Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ
5. Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GI ẢI … ( Trần Phương - Lê Hồng Đức )
6. Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN S Ơ CẤP (Phan Huy Khải )
7. Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải )
8. Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh )
9. Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng )
10. Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận )
11. Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương )
12. 340 bài toán hình học không gian ( I.F . Sharygin )
13. Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam )
14. … và một số tài liệu tham khảo khác .
15. Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website.
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 1
- 2 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM
1. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : y = 2x + 2 + m x2 − 4x + 5 có cực đại . ĐS : m < -2
PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM
3 1 + xsin2 x − 1, x = 0
−
2. Cho hàm số : f(x) = / . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu
0 , x =0
tại x =0 .
3. Tìm cực trị của hàm số := f(x)
y = | x | ( x − 3) . ĐS : x =0 ; x=1
4. Xác đị nh các giá trị của tham số m để các phương trì nh sau có nghi m thực :
ệ
7 9
a) ( 4m − 3) x + 3 + (3m − 4 ) 1 − x + m − 1 = : ≤ m ≤
0 . ĐS
9 7
b) 4
x2 + 1 − x = . ĐS : 0 < m ≤ 1
m
c) m ( 1 + x2 − 1 − x2 + 2 = 2 1 − x 4 + 1 + x2 − 1 − x2
)
x2 + y 3 = 2
5. Xác đị nh số nghiệm của hệ phương trình : ĐS : 2
log3 x log 2 y = 1
x2 + 1
e y −x = 2
6. Giải hệ phương trình : y +1 . ĐS : (x,y)=(7;7)
2 2
3log (x + 2y= 2log (x + y + 2) + 1
+ 6)
3 2
x + x − 2x + 2= 3 + 1
7. Giải hệ phương trình :
2 y −1
y + y − 2y + 2= 3 + 1
2 x −1
1 + 42x−y .5y −2x+1 = + 1
22x−y +1
8. Giải hệ phương trình :
( )
y + 4x + ln y + 2x + 1 = 0
3 2
( )
9. Giải phương trình : ( x − 3) log3 (x − 5) + log5 (x − 3) =
x +2
1
10. Giải bất phương trì nh : (x + 2)(2x − 1) − 3 x + 6 ≤ 4 − (x + 6)(2x − 1) + 3 x + 2 . ĐS : ≤ x ≤7
2
5
11. Giải bất phương trì nh : 3 3 − 2x + − 2x ≤ 6
2x − 1
12. Giải phương trình : 3x 2 + 9x 2 + 3 + ( 4x + 2)
( ) ( 1 + x + x2 + 1 = 0
)
13. Giải phương trình : x3 − 4x 2 − 5x +=
6 7x 2 + 9x − 4 3
2 xy − y + x + y =
5
14. Tìm m để hệ phương trì nh sau có nghiệm : . ĐS : m ∈ 1; 5
5− x + 1− y = m
1
x + x − 1 m x + + 4 x ( x − 1) =
1.
15. Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực :
x −1
(
)
x +1 + y +1 = 3
16. Tìm m để hệ có nghiệm:
x y + 1 + y x + 1 + x + 1 + y + 1 =m
f '''(x) 1 f ''(x)
2
17. Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại tại x1 ;x2 . CMR: , ∀x ≠ x1 ,x2
f '(x) 2 f '(x)
<
18. Cho hàm số : f(x) = cos2 2x + 2(sin x + cosx)3 − 3sin2x + m . Tìm m sao cho f 2 (x) ≤ 36, ∀ m
19. Trong các nghiệm(x;y) của BPT : log x2 +y2 ( x + y ) ≥ 1 . Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN
20. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trì nh : 2009 x ( x 2 +1 - x = 1 . ĐS : x=0
)
21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Tìm m để hệ phương trình s au có ba nghiệm phân biệt :
x+y = m 3 3
ĐS : m ≥
( y + 1 ) x + xy = m ( x + 1 ) 2
2
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 2
- 3
x − y4 = 240
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM
4
22. Giải hệ PT : 3
x − 2y = 3 x − 4y − 4 ( x − 8y )
3 2 2
( )
x 4 + x3 y + 9y = y 3 x + y 2 x2 + 9x
23. Giải hệ phương trình : . ĐS : (x,y)=(1;2)
x y −x = 7
3 3
( )
4x 2 + 1 x + ( y − 3) 5 − 2y = 0
24. Giải hệ phương trình :
( )
4x 2 + y 2 + 2 3 − 4x = 7
2 xy − y + x + y =
5
25. Tìm m để hệ phương trình s au có nghiệm : . ĐS : m ∈ 1; 5
5− x + 1− y = m
1
x + x − 1 m x + + 4 x ( x − 1) =
1.
26. Xác đị nh m để phương trình sau có nghi m thực :
ệ
x −1
( )
3( x + 1 )2 + y − m =0
27. Tìm m để hệ phương trình : có ba cặp nghiệm phân biệt .
x + xy = 1
x + x2 − 2x + 2= 3y −1 + 1
28. Giải hệ PT :
y + y 2 − 2y + 2= 3x−1 + 1
sin x
e = sin y
x −y
29. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .Giải hệ phương trình : sin2x − cos2y = sin x + cosy − 1
x,y ∈ 0;
4
Π
30. Giải phương trình : 16x3 − 24x 2 + 12x − 3 = x
3
1 + 42x−y .5y −2x+1 = + 1
22x−y +1
31. Giải hệ phương trình :
( )
y + 4x + ln y + 2x + 1 = 0
3 2
( )
32. Giải phương trình : 3x = 1 + x + log3 (1 + 2x )
33. Giải phương trình : −2x3 + 10x 2 − 17x + 8 2x 2 3 5x − x3
x + xy =y + y
= ĐS
5 4 10 6
34. Giải hệ phương trình :
4x + 5 + y + 8 =
6
2
x2 + 2x + 22 − y = y 2 + 2y + 1
35. Giải hệ phương trình :
y 2 + 2y + 22 − x = x2 + 2x + 1
1
x+ y=
2
36. Giải hệ phương trình :
x + 1 = y + 1
y x
y x
1 1
37. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) . Giải phương trình : (5x − 6)2 − = x2 −
5x − 7 x −1
7
Lời giải : ĐK : x >
5
4x − 6 3
Cách 1 : PT ⇔ 6(4x − 6)(x − 1) + =0 ⇔ x =
(x − 1)(5x − 7). x − 1 + 5x − 7 2
1 1
Cách 2 : Viết lại phương trình dưới dạng : (5x − 6 ) − x2 −
2
(5x − 6) − 1 x −1
=
1 5
Và xét hàm số : f(t) t 2 − ,t>
t −1 7
=
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 3
- 4
38. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Xác định tất cả các gi á trị của tham số m để BPT sau có nghi ệm :
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM
x3 + 3x2 − 1 ≤ m( x − x − 1)3
HD : Nhân liên hợp đưa về dạng : x + x − 1 (x3 + 3x2 − 1) ≤ m
3
( )
39. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) . Giải phương trình :
x3 + 3x2 + 4x + 2= (3x + 2) 3x + 1
HD : PT ⇔ (x + 1)3 + =
(x + 1) 3x + 1 + 3x + 1 . Xét hàm số : f ( t) = t 3 + t ,t > 0
3
( )
40. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Giải phương trình :
2 3 2x −= 27x3 − 27x 2 + 13x − 2
1
HD : PT ⇔ (2x − 1) + 2 3 2x − 1= (3x − 1)3 + 2(3x − 1) ⇒ f( 3 2x − 1) = − 1)
f(3x
(4x 2 + 1)x + (y − 3) 5 − 2y =
0
41. ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Giải hệ phương trình :
4x + y + 2 3 − 4x = 7
2 2
HD : Từ pt (1) cho ta : [(2x)2 + 1].2x= 5 − 2y + 1 5 − 2y ⇒ f(2x)= f( 5 − 2y )
2
( )
5 − 4x 2
= (t 2 + 1).t ⇒ f '(t) =+ 1 > 0 ⇒ 2x = 5 − 2y ⇒ 4x 2 =5 − 2y ⇒ y =
Hàm số : f(t) 3t 2
2
5 − 4x 2 3
2
Thế vào (2) ta có : 4x 2 + + 2 3 − 4x = với 0 ≤ x ≤
7 , ( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có
2 4
1
nghiệm duy nhất : x = .
2
x+ y= 4
42. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho hệ: (a là tham số).
x +7 + y +7 ≤ a
Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều ki ện x ≥ 9.
HD : Đứng trước bài toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt của bi ến khi muốn quy về 1 biến để khảo s át :
4 − x =y ≥ 0 ⇒ x ≤ 16 . Đặt t = x , t ∈[3;4] và khảo s át tìm Min . ĐS : a ≥ 4 + 2 2
y 4 − 4x + 2xy −2x+4 =
5
43. Giải hệ phương trình :
2 + x = y + 2
x 3 3 y
44. Xác định m để bất phương trình s au nghi ệm đúng với mọi x : (e − e + 1 − 2esinx esinx − (e − 1)sinx − 1 ≤ 1
2
sinx
)
45. ( Đề thi HS G Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) . Giải PT : log 2+ 5 (x 2 − 2x − 11) log (x2 − 2x − 12)
2 2+ 5
=
46. Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + 3 + (3m − 4 ) 1 − x + m − 1 =0
y 2 −x2 x 2 + 1
e
47. (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) . Giải hệ phương trì nh sau: y +1
= 2
3log (x + 2y= 2log (x + y + 2) + 1
+ 6)
3 2
Cho f(x) = (x2 + 1)e , x > 0 . Tìm a để tồn tại f’(0) .
48. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm :
−x
−x − ax + 1, x ≤ 0
acosx + bsin x, x ≤ 0
Cho F(x) = . Tìm a,b để tồn tại f’(0) .
ax + b + 1, x < 0
x2 x2
ln x − , x > 0 x ln x, x > 0
F(x) = 2 4 và f(x) = . CMR : F'(x) = f(x)
0, , x = 0 0, x = 0
Cho f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện : ∀a > 0 bất đẳng thức sau luôn đúng ∀x ∈ R : | f(x + a) − f(x) − a |< a2
. Chứng minh f(x) là hàm hằng .
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 4
- 5
tanx − 1 e−2x − 3 1 + x2
Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM
Tính giới hạn : N1 = lim Tính gi ới hạn : N2 = lim
3 2
x→ 2sin2 x − 1 x→0 ln(1 + x 2 )
4
x 2 + x + 1 − 3 1 + x3 esin 2x − esinx
π
Tính giới hạn : N3 = li→0
m Tính giới hạn : N4 = lim
3
x x x→0 sin x
e−2x − 3 1 + x2
Tính giới hạn : N5 = lim x + 8 − 2 Tính giới hạn : N6 = lim
3
2
x→0 sin10x x→0 ln(1 + x 2 )
4x − x 4
Tính giới hạn : N7 = lim e − e Tính giới hạn : N8 = lim
sin2x 3 sin 3x
x→0 sin4x x→0 3
x−32
2 .32x − cos4x
Tính giới hạn : N9 = lim
3x
x→0
1 + sinx − 1 − sinx
Cho P(x) là đa th bậc n có n nghiệm phân biệt x1 ; x 2 ; x3 ...x n . Chứng minh các đẳng thức sau :
ức
P''(x1 ) P''(x 2 ) P''(x n )
a) + ... + 0
P'(x1 ) P'( x2 ) P'(x n )
+ =
1 1 1
b) + ... + 0
P'(x1 ) P'(x 2 ) P'(x n )
+ =
Tính các tổng sau :
a) Tn (x) = cosx + 2cos2x + ... + ncosnx
1 x 1 x 1 x
b) Tn (x) tan + 2 tan 2 + ... + n tan n
2 2 2 2 2 2
=
c) CMR : 2.1.C2 + 3.2.C3 + ... + n(n − 1)Cn= n(n − 1).2n−2
n n n
d) Sn (x) = s inx + 4sin2x + 9sin3x + ... + n2sinnx
2x + 1 2x + 3 2x + (2n − 1)
e) =
Sn (x) + ... +
x (x + 1) (x + 1) (x + 2)
x + (n − 1) (x + n)
2 2 2 2 2 2
+
a+b a n + bn
49. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số :
Cho α ∈ R: a + b ≥ 0 . Chứng minh rằng :
2 2
α
a) ≤
b) Chứng minh rằng với a > 3,n ≥ 2 ( n ∈ N,n chẵn ) thì phương trình s au vô nghiệm :
(n + 1)x n+2 − 3(n + 2)x n+1 + a n+2 =
0
x2 x2
2
c) Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị : y =
(m + 1) − 3m + 4m
1 + x 1 + x
2 2
x2 xn x2 xn
d) Cho n ≥ 3,n∈ N ( n lẻ ) . CMR : ∀x = , ta có : 1 + x + + ... + 1 − x + − ... − < 1
/0
2! n! 2! n!
e) Tìm cực trị của hàm số : y = x 2 + x + 1 + x2 − x + 1
Tìm a để hàm số : y f(x) = −2x + a x 2 + 1 có cực tiểu .
msin x − cosx − 1 9π
f) =
g) Tìm m để hàm số : y = đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc khoảng 0; 4
mcosx
50. Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm :
Cho các số thực a,b,c,d,e . Chứng minh rằng nếu phương trình : ax 2 + ( b + c ) x + d + e = có nghiệm thực thuộc
0
nửa khoảng [1; +∞ ) thì phương trình : ax 4 + bx3 + cx 2 + dx + e = có nghiệm.
0
a)
b) Cho phương tr : P( x ) = x5 − 5x 4 + 15x3 − x2 + 3x − 7 =. Chứng minh rằng, phương trình có một nghi ệm thực
ình 0
duy nhất.
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 5
- 6 Phần II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC
PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC
1. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
f(x)
a) lim =1
x→0 x
b) f ( x + y )= f ( x ) + f ( y ) + 2x 2 + 3xy + 2y 2 , ∀x,y ∈ R
2. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x − f(y)) = x + y 2008 + f f(y) + y 2008 + 1, ∀x,y ∈ R
f ( ) ( )
3. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x + cos(2009y)) = f ( x ) + 2009cos f ( y ) , ∀x,y ∈ R
( )
4. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau :
f ( x ) ≥ e2009x
f ( x + y ) ≥ f ( x ) .f ( y ) , ∀x,y ∈ R
c)
5. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f = f(x).ef ( y )−1 , ∀x,y ∈ R
(x + y )
d)
6. Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f x.f ( x += f(y.f ( x )) + x 2
y) ( )
7. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Tìm hàm f : → thỏa mãn :
f 2 (x) + 2yf(x) + f(y) = f ( y + f(x)) , ∀,x,y ∈ R
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 6
- 7 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
1. Cho a,b,c ∈ R: a2 + b2 + c2 =. Chứng minh rằng : a2b + b2c + c2a ≤ 3
3
2. Cho các số thực không âm a,b,c . Chứng minh rằng :
a2b2 ( a − b ) + b2c2 ( b − c ) + c2a2 ( c − a ) ≥ ( a − b ) ( b − c ) ( c − a )
2 2 2 2 2 2
a2 b2 c2 81 a2b 13
3. Cho các số thực a,b,c . Chứng minh rằng : ≥ (a + b + c)
b c a 4 (2a + b) 4
2
+ + + ∑
4. Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn : a + b + c + 36abc = . Tìm Max của : P = a7 b8 c9
2
a b c 3
5. Cho 3 số thực dương tuỳ ý x,y,z . CMR :
a+b b+c c+a 2
+ + ≤
(a + b + c)
6
6. Cho a,b,c >0 . Tìm GTNN của : P=
ab2c3
7. Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn : x 2 + y 2 + z2 =
1
2x − (y − z)2 2y − (z − x)2 2z − (x − y)2
CMR :
yz zx xy
+ +
bc ca ab a+b+c
Cho các số thực dương a,b,c . CMR :
a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 6
8. + + ≤
1 1 1 1
Cho các số thực dương a,b,c . CMR : 3
a + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc
9. + + ≤
1 1 1
Cho các số thực thỏa mãn điều kiện : 2 = : ab + bc + ca ≤ 3
1 . CMR
a +2 b +2 c +2
10. + 2 + 2
Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2 =. CMR :
3
1 1 1
≥3
11.
2−a 2−b 2−c
+ +
x y z 3 2
12. Cho x,y,z là 3 số thực dương tùy ý . CMR :
x+y y +z z+x 2
+ + ≤
a2 b2 c2 4(a − b)2
13. Cho các số thực dương a,b,c . CMR : + + ≥a+b+c+
b c a a+b+c
1 1 1 3
14. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 . CMR : 3
a (b + c) b (c + a) c (a + b) 2
+ 3 + 3 ≥
15. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn : xyz=1 v à ( x − 1 )( y − 1 )( z − 1 ) = 0 . CMR :
x y z
/
2
x −1 + y −1 + z −1 ≥ 1
2 2
(3a − b + c)2 (3b − c + a)2 (3c − a + b)2 9
16. Cho a,b,c là các số thực dương bất kỳ . CMR :
2a2 + (b + c)2 2b + (c + a)2 2c + (a + b)2 2
+ 2 + 2 ≥
17. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 =. CMR :
1
1 1 1 9
1 − ab 1 − bc 1 − ca 2
+ + ≤
18. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 =. CMR : 2(a + b + c) ≤ 10 + abc
9
a3 b3 c3 1
19. Cho a,b,c là các số thực dương : a+b+c =1 . CMR :
(1 − a) (1 − b) (1 − c)2 4
2 2
+ + ≥
20. (Chọn ĐTHS G QG Nghệ An năm 2010 ) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn :
9(a 4 + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
0.
a2 b2 c2
F=
b + 2c c + 2a a + 2b
+ +
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 7
- 8 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Từ giả thiết :
Lời giải :
9(a 4 + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 = ⇒ 25(a2 + b2 + c2 ) = 48 + 9(a 4 + b4 + c4 ) ≥ 48 + 3(a2 + b2 + c2 )2
0
16
⇒ 3(a2 + b2 + c2 )2 − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ a2 + b2 + c2 ≤
3
Ta lại có :
a2 b2 c2 a4 b4 c4 (a2 + b2 + c2 )2
F=
b + 2c c + 2a a + 2b a (b + 2c) b (c + 2a) c (a + 2b) (a b + b c + c2a) + 2(a2c + b2a + c2b)
+ + = 2 + 2 + 2 ≥ 2 2
(a2 + b2 + c2 )2
Lại có : a2 b + b2c + c2a a(ab) + b(bc) + c(ca) ≤ (a2 + b2 + c2 )[a2 b2 + b2c2 + c2a2 ] ≤ a2 + b2 + c2
3
=
a2 + b2 + c2
Tương tự : (a2c + b2a + c2b) ≤ a2 + b2 + c2 .
3
a +b +c
Từ đó ta có : F ≥ ≥ 1 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1.
2 2 2
3
ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN
Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có
a2 (b + 2c)a2 a2 (b + 2c)a2 2a2
≥2 .
b + 2c 9 b + 2c 9 3
+ =
b2 (c + 2a)b2 2b2 c2 (a + 2b)c2 2c2
Tương tự , .
c + 2a 9 3 a + 2b 9 3
+ ≥ + ≥
a2 b2 c2
Suy ra: F=
b + 2c c + 2a a + 2b
+ +
2 1
≥ a2 + b2 + c2 − a2 (b + 2c) + b2 (c + 2a) + c2 (a + 2b) (*) .
3 9
( )
Lại áp dụng AM – GM, ta có
a3 + a3 + c3 b3 + b3 + a3 c3 + c3 + b3
a2c + b2a + c2b ≤ =a3 + b3 + c3 (**) .
3 3 3
Từ (*) và (**) suy ra:
+ +
2 1 2 1
F ≥ a2 + b2 + c2 − ( a + b + c )(a2 + b2 + c2 ) ≥ a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2 ) 3( a + b2 + c2 .
3 9 3 9
2
( ) ( ) ( )
t
Đặt = 3 a2 + b2 + c2 , từ giả thiết ta có:
( )
25( a + b + c ) − 48 9 ( a + b + c ) ≥ 3( a + b + c )
2
2 2 2 4 4 4 2 2 2
16
=
⇒ 3( a + b + c ) − 25( a + b + c ) + 48 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ a + b + c .
2
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2
≤
2 1
Do đó F ≥ t 2 − t 3 = với t ∈3; 4 (* * *) .
f(t)
9 27
Mà min f(t) f(3) 1 (* * **) . Từ (***) và (****) suy ra F ≥ 1.
t ∈3;4
Vậy minF = 1 xảy ra khi a = b= c = 1 .
= =
21. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng :
1 1 1 36
x y z 9 + x y + y 2 z2 + z2 x 2
2 2
+ + ≥
1 1 1
Lời giải :
BĐT đã cho tương đương với : (9 + x y + y 2z2 + z2 x2 + + ≥ 36
x y z
2 2
)
xy + yz + zx
Ta = (xy)(yz)(zx) ≤
có : ( xyz )
3
2
3
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 8
- 9
1 1 1 xy + yz + zx 27 ( xy + yz + zx ) 27
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
2 2 2
Do đó : =
x y z xyz (xy + yz + zx) xy + yz + zx
3
+ + ≥ =
Lại có : 9 + x 2 y 2 + y 2z2 + z2 x2 =2z2 + 1) + (z2 x2 + 1) ≥ 2 3 + (xy + yz + zx)
6 + x 2 y 2 + 1 + (y
( )
Nên :
27 9
( VT ) ≥ 4 3 + (xy + yz + zx) = 108
. xy + yz + zx + 6 + (xy + yz + zx) ≥
2 2
xy + yz + zx
9
≥ 108 6 + 2 (xy + yz + zx) = 1296 ⇒ VT ≥ 36
xy + yz + zx
ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN :
Bất đẳng thức cần chứng mi nh tương đương
(xy + yz + zx)(9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2) ≥ 36xyz
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
xy + yz + zx ≥ 3 3 x 2 y 2z2 (1)
Và 9+ x2y 2 + z2y 2 +x2z2 ≥ 12 12 x 4 y 4 z 4 hay 9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2 ≥ 12 3 xyz (2)
Do các vế đều dương, từ (1), (2) suy ra:
(xy + yz + zx)(9 + x2y 2 + z2y 2 +x2z2) ≥ 36xyz (đpcm).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1
22. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn đk : x + y + 1 = . Tìm giá trị
3xy
3x 3y 1 1
lớn nhất của : M
y(x + 1) x( y + 1) x y
= + − 2− 2
Ta có : 3xy = x + y + 1 ≥ 2 xy + 1 ⇒ xy ≥ 1 ⇒ xy ≥ 1 (*)
Lời giải :
Ta có :
3x 3y 1 1 1 1 3xy(x + y) − (x + y)2 + 2xy 3xy (3xy − 1 ) − (1 − 3xy) + 2xy
M
2
y 2 (3x − 1) x (3y − 1) x y y (3x − 1) x (3y − 1) x y 9xy − 3(x + y ) + 1 4x2 y 2
= + 2 − 2− 2= 2 + 2 = 2 2 =
23. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho các số thực dương a, b, c . CMR :
a3 b3 c3 a b c
b3 c a b c a
+ 3 + 3≥ + +
a3 a3 a
+ 3 +1≥3
b 3
b b
a3 b3 c3
3 ≤ 3 + 3 + 3
HD :
b c a
24. ( Đề thi HS G Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) . Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn : x 2 + y 2 + z2 = Tìm giá trị lớn nhất của
1.
biểu thức : P 6(y + z − x) + 27xyz
y 2 + z2 1 − x2
=
HD : P ≤ 6 2(y 2 + z2 ) − x + 27x.
2
= 6 2(1 − x 2 ) − x + 27x
2
( PMax = 10)
25. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Cho a, b,c ≥ 0: a2 + b2 + c2 = . Chứng minh rằng :
1
6
a3 + 2b3 + 3c3 ≥
7
HD : Có thể dùng cân bằng hệ số hoặc Svacxơ
26. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : xyz = 1 . Chứng minh rằng :
(x 4 + y 4 )3 (y 4 + z4 )3 (z4 + x 4 )3
≥ 12
x6 + y 6 y +z z + x6
+ 6 6 + 6
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 9
- 10
Lời giải : Đặt = a;y b;z c ⇒ abc = 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành :
x
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
2 2 2
(a2 + b2 )3 (b2 + c2 )3 (c2 + a2 )3
= =
+ 3 3 + 3 3 ≥ 12
a3 + b3 b +c c +a
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có :
(a2 + b2 )3 = a6 + a 4 b2 + a 4 b2 + a 4 b2 + b6 + a2 b4 + a2 b4 + a2 b4 ≥ 4 4 a6 b6 a3 + b3
( ) ( ) ( )
27. (Đề thi HS G Tỉnh Đồng Nai năm 2010 ) . Cho a,b,c > 0 . Chứng mi nh rằng :
1 1 1 3(a + b + c)
a + b b + c c + a 2(a2 + b2 + c2 )
+ + ≥
(a2 + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 ) 1 1 1 3(a + b + c)
HD :
BĐT ⇔
2 a + b + b + c + c + a ≥ 2
(a + b)2
Và chú ý : a2 + b2 ≥
2
28. ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) . Cho x,y,z > 0 : x + y + z = . Chứng minh rằng :
9
x 3 + y 3 y 3 + z3 z 3 + x 3
≥9
xy + 9 yz + 9 zx + 9
+ +
29. ( Đề thi chọn ĐT Ninh Bình năm 2010 ) . Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 4. Chứng minh
272
rằng : a2 + b2 + c2 + 2abc ≤
27
HD : Bài này thì chọn phần tử lớn nhất mà đạo hàm .
a3 b3 c3
30. (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) . Cho a,b,c >0 . CMR : ≥a+b+c
bc ca ab
+ +
a 4 (a2 + b2 + c2 )2 (a + b + c)4
HD : VT = ∑ ≥a+b+c
abc 3abc 27abc
≥ ≥
31. ( Đề thi chọn HS G QG Tỉnh Bình Định năm 2010) . Cho x,y,z >0 thỏa mãn : 2 xy + xz = giá trị nhỏ
1 . Tìm
3yz 4zx 5xy
nhất của : S =
x y z
+ +
1 2 3
32. ( Đề thi chọn HS G Thái Nguyên năm 2010 ). Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều ki ện : 1.
1+ x 2+ y 3+z
Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = xyz
+ + =
33. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . Cho a,b, c > 0 :a2 + b2 + c2 =. Chứng minh bất đẳng thức :
3
1 1 1
≤1
4 − ab 4 − bc 4 − ca
+ +
34. ( Đề thi chọn ĐT trường ĐHSP I Hà Nội 2010 ) . Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
x 2 y y 2 z z2 x 13xyz
P
z3 x y 3(xy 2 + yz2 + zx2 )
= + 3 + 3 +
x y z a b c 13
Đặt : = = = abc = . Lúc đó : P = 2 + 2 + 2 +
a; b; c⇒ 1
Lời giải 1 :
y z x b c a 3(a + b + c)
(ab + bc + ca)2
Ta có : (a + b += abc(a + b += (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc) ≤
c) c)
3
1 a 1
a + b2 ≥ 2 b
1 b 1 a b c 1 1 1
Lại có : + 2 ≥ 2 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + = ab + bc + ca
b c c b c a a b c
1 c 1
+ 2 ≥2
c a c
13
Do đó : P ≥ (ab + bc + ca) + ( Với ab + bc + ca ≥ 1 )
(ab + bc + ca)2
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 10
- 11 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
y x z a2 b2 c2 13abc 13
Lời giải 2 :
Đặt : = = = abc = . Lúc đó : P = + + +
a; b; c⇒ 1 ≥ (a + b + c) +
x z y b c a 3(ab + bc + ca) (a + b + c)2
x y z 3
35. Bài toán tương tự : Cho x,y,z > 0 : xyz ≤ 1 . Chứng minh rằng : ≥4
y 2 z2 x 2 x + y + z
+ + +
1 1 1
Lời giải : Đặt : = = = abc ≥ 1 .
a; b; c⇒
x y z
a2 b2 c2 3abc (a + b + c)2 9
BĐT đã cho trở thành : . Với : a + b + c ≥ 3 3 abc = 3
c a b ab + bc + ca a+b+c (a + b + c)2
+ + + ≥ +
36. ( Đề thi chọn đổi tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) . Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0;1] và a + b + c = . Tìm giá
1
1 1 1
trị lớn nhất và nhỏ nhất của : P
a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1
= + +
1 1 1
HD : Dùng pp tiếp tuy ến và Bất đẳng thức : 2 ≥1+ , ∀x,y ≥ 0; x + y ≤ 1
x +1 y +1 (x + y )2 + 1
+ 2
37. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Lâm Đồng ) . Cho a,b,c là các số thực dương . Chứng minh rằng :
a2 b2 c2
+ + ≥ a2 − ab + b2 + b2 − bc + c2 + c2 − ca + a2
b c a
a2 b2 c2 a2 b2 c2
Lời giải :
C1 : ( THTT) Ta có : + b + + c + + a ≥ 2(a + b + c) ⇒ + + ≥ a + b + c
b c a b c a
a2 b2 c2 a 2 a2 − ab + b2
Do đó = 2 + + ≥ ∑ + b − a + b
: 2.VT + b ≥ 2VP
b c a b b
= ∑
C2 : Ta có : a2 − ab + b2 ≥ a + b + c(Mincopxki)
∑ a − ab + b ≥ a2 − ab + b2
∑
a2 − ab + b2
Mà : VT = ∑
2 2
b a+b+c
Svacxo
∑
38. ( Đề thi chọn đội tuyển trường Lương Thế Vinh – Đồng Nai năm 2010 ) . Cho a,b,c > 0 : abc =
1 . Chứng minh
≥
rằng : ab2 + bc2 + ca2 ≥ a + b + c
a b c a b 2 a
HD : BĐT ⇔ + + ≥ a + b + c . Chú ý là : + + a c ≥ 3a a c =
b c a b c b
2
Lời giải 2 : Ta có : ab2 + ab2 + bc2 ≥ 3 3 (a2 b2c2 )b3 =
3b
39. ( Chọn ĐT HS G QG tỉnh Phú Thọ năm 2010 ). Cho a,b,c > 0 . Chứng minh bất đẳng thức :
a 3 b 3 c 33 2
2 2 2
3
b+c + c+a + a +b ≥ 2
b+c b+c b+c a 1 a
HD : 2 + ≥ 3 3 2
2 2
a a a
⇒ 2(a + b + c) ≤ 3 3 b + c
3 2
+
40. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho 3 số dương a,b,c thay đổi . Tìm giá trị lớn nhất của :
bc ca ab
P= .
a + 3 bc b + 3 ca c + 3 ab
+ +
a b c
HD : Đặt x; y; = xyz = Lúc đó :
z⇒ 1.
b c a
= =
z x y 1 x
P=+ + 1 . Lại có :
x + 3z y + 3x z + 3y 3 x + 3z
+ = − ∑
x x2 (x + y + z)2 (x + y + z)2 3
∑ x + 3z ∑ x2 + 3zx (x + y + z)2 + (xy + yz + zx) ≥ (x + y + z)2 4
(x + y + z)2 +
= ≥ =
3
13 3
Do đó : P ≤ 1 − = . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : x = y = z =1 .
34 4
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 11
- 12 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Đặt x a ,y b,z c;x,y,z ∈ ( 0; + ∞ ) .
ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT :
yz zx xy
= = =
Khi đó: P = .
x2 + 3yz y 2 + 3zx z2 + 3xy
+ +
3yz 3zx 3xy
Ta có 3P =
x 2 + 3yz y 2 + 3zx z2 + 3xy
+ +
x2 y2 z2
3− 2 3−Q
x + 3yz y + 3zx z + 3xy
= + 2 + 2 =
áp dụng bđt BCS ta được
x y z
2
x2 + 3yz + y 2 + 3zx + z2 + 3xy
x2 + 3yz y 2 + 3zx z2 + 3xy
≤ Q. x2 + y 2 + z2 + 3xy + 3yz + 3zx
( )
(x + y + z) (x + y + z)
2 2
⇔Q≥ . Mặt khác xy + yz + zx ≤
( x + y + z ) + xy + yz + zx
2
3
3 9 3
Suy ra Q ≥ , do đó 3P ≤ ⇒ P ≤ .
4 4 4
3
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a= b= c. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng .
4
41. ( Đề dự bị HSG Tỉnh Nghệ An 2008 ) . Cho ba số dương a,b,c thoả mãn : a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ nhất
1.
a2 b2 c2
của biểu thức : P = .
b+c c+a a+b
+ +
1 1 1
Lời giải 1 : Giả sử : a ≥ b ≥ c ⇒ . Áp dụng bất đẳng thức Chebysev ta có :
b+c c+a a+b
≥ ≥
a2 b2 c2 1 1 1 1 1 1 1 1
P= . ≥ a2 + b2 + c2
b+c c+a a+b 3 b+c c+a a+b
= 3 b + c + c + a + a + b ≥
+ + ( + ) +
3 3
2(a + b + c) 2 3(a2 + b2 + c2 )
≥ ≥
Lời giải 2 : Áp dụng BĐT Swcharz :
a4 b4 c4 (a2 + b2 + c2 )2
P= 2 .≥
a (b + c) b (c + a) c (a + b) b(a2 + c2 ) + a(b2 + c2 ) + c(a2 + b2 )
+ 2 + 2
2a b2 + c2 . b2 + c2 1 2a2 + 2(b2 + c2 )
3
Lại có : a(b2 + c2 )
2 2 3
= ≤
a3 b3 c3 3
42. ( Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005 ) . Cho a,b,c >0 . CMR :
(a + b)3 (b + c)3 (c + a)3 8
+ + ≥
b c a 1 1 1 3
= y; = z ;⇒ xyz 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành :
Lời giải : = x;
a b c (1 + x) (1 + y) (1 + z) 8
3 3 3
= + + ≥
1 1 1 1 3
Áp dụng AM-GM ta có : ≥ 33
(1 + x )
3
(1 + x )
3
8 8(1 + x)6
2(1 + x )
2
+ + =
1 1 1 3
Ta cần CM bất đẳng thức :
(1 + x)2 (1 + y)2 (1 + z)2 4
+ + ≥
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 12
- 13
1 1 1
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
Bổ đề : ( ∀x,y > 0)
(1 + x )
2
(1 + y )
2
1 + xy
+ ≥
Bổ đề này được CM bằng cách biến đổi tương đương đưa v ề BĐT hiển nhiên : xy(x − y)2 + (1 − xy)2 ≥ 0
1 1 z 1 z(z + 1) + 1 z2 + z + 1
Do đó : VT ≥
1 + xy (1 + z) z + 1 (1 + z)
2 2
(1 + z)2 z2 + 2z + 1
+ = + = =
z2 + z + 1 z2 − 1
= Max{x,y,z} ⇒ 1 xyz ≤ z3 ⇒ z ≥ 1 . Xét hàm số : f(z) =
Giả sử : z ;=
f '(z) ≥ 0, ∀z ≥ 1
z + 2z + 1
2
(z + 1)4
=
3
Suy ra : f (z ) ≥ f(1) = .
4
43. ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) . Cho x , y,z ≥ 0 :x + y + z = . Tìm giá trị nhỏ nhất của :
1
1−x 1−y 1−z
P=
1+ x 1+ y 1+z
+ +
1−x x2
≥ (1 − x) ⇔ 1 − x 1 − 1 − x2 ≥ 0 ⇔ 1 − x ≥ 0 ( luôn đúng )
1+ x 1 + 1 − x2
Lời giải 1 : ( )
Thiết lập các BĐT tương tự ta có : P ≥ 2
1−x 1−y 1−x −y 4 2
≤1+ , x + y ≤ và MaxP= 1 +
1+ x 1+ y 1+ x + y 5 3
Chú ý : Để tìm Max cần sử dụng BĐT phụ : +
44. ( Đề thi HS G lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) . Cho x,y,z > 0 : x + y + z = . Chứng minh bất đẳng thức :
1
1+ x 1+ y 1+z x y z
≤ 2 + +
y +z z+x x+y y z x
+ +
x y z x y z 3 xz xy yz
Giải : BĐT ⇔ 2 + 3 ≤ 2 + + ⇔ ≤
y +z z+x x+y y z x 2 y(y + z) z(z + x) x(x + y)
+ + + +
xz xy yz (xz)2 (xy)2 (yz)2 ( xz + yz + zx )
2
Ta lại có : VP =
y(y + z) z(z + x) x(x + y) xyz(y + z) xyz(z + x) xyz(x + y) 2xyz(x + y + z)
+ + = + + ≥
(xy + yz + zx)2 3
Mà : xyz(x + y + z) (xy)(yz) + (xz)(zy) + (zx)(xy) ≤ ⇒ VP ≥
3 2
=
45. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình – 2010 ) . Cho a , b,c ≥ 0 :a + b + c = . Chứng minh rằng :
3
a b3 + 1 + b c3 + 1 + c a3 + 1 ≤ 5
2a 2b 2c
46. Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác ABC . Tìm GTNN của : P =
2b + 2c − a 2a + 2c − b 2b + 2a − c
+ +
2a 6a 6a
2b + 2c − a (3a)(2b + 2c − a) (a + b + c)
HD :
= ≥
47. Cho a , b,c ≥ 0 : a + b + c = . Tìm GTLN, GTNN của : P
1 = a2 + a + 1 + b2 + b + 1 + c2 + c + 1
Tìm GTNN : Áp dụng BĐT Mincopxki ta có :
HD .
1 3 3 3 3
2 2
P = a2 + a + 1 + b2 + b + 1 + c2 + c + 1 = a+ + ≥ a + b + c + +
2 2
2 2 2 2
∑
Bổ đề : CM bất đẳng thức : 1 + a + a2 + 1 + b + b2 ≤ 1 + 1 + (a + b) + (a + b)2
Tìm GTLN :
Bình phương 2 vế ta có : (1 + a + a2 )(1 + b + b2 ) ≤ ab + 1 + a + b + (a + b)2 ⇔ 1 + a + b + (a + b)2 + (1 − a − b) ≥ 0
48. ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Hải Dương năm 2008 ) . Cho a,b,c > 0 :a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của bi ểu
3
a2 b2 c2
thức : P =
a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3
HD : AM-GM ngược dấu .
+ +
a2 2ab3 2ab3 2 2 2 4
Ta có : =a− ≥a− = a − b 3 a2 ≥ a − b(a + a + 1) = a − b − ab
a + 2b3 a + 2b3 3 ab
3 6 3 9 9 9
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 13
- 14
2 4 7 4 (a + b + c)
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
2
Do đó : P ≥ (a + b + c) − (a + b + c) − (ab + bc + ca) ≥ − 1
9 9 3 9 3
=
1 1
49. ( Đề chọn ĐT trường chuyên Bến Tre ) . Cho x,y,z ≥ 0 . Tìm GTLN của : M =
x + y + z + 1 (1 + x)(1 + y)(1 + z)
−
x + y +z +3 1 27
Giải : Đặt x + y + z =≥ 0 , ta có : (1 + x)(1 + y)(1 + z) ≤
t . Lúc đó : M ≥ t + 1 −
3
3 (t + 3)3
1 27
Xét hàm số : f( t ) = , t ≥0
t + 1 (t + 3)3
−
3a 4 + 1 3b4 + 1 3c4 + 1 a2 + b2 + c2
50. Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng :
b+c c+a a+b 2
+ + ≥
HD : Ta có : 3a 4 + 1 = a 4 + a 4 + a 4 + 1 ≥ 4 4 a1 2 = 4a3
4a3 4a 4
Do đó : VT ≥ ∑ ≥ ...
b+c
= ∑ ab + ac Svacxo
1 1 1 9 4 4 4
51. Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng :
a b c a+b+c a+b a+c b+c
+ + + ≥ + +
b c c a a b 3 3
HD :
52. Cho a,b,c > 0 : a + b + c = . Chứng minh rằng :
1
a 3c + ab ) b( 3a + bc ) c( 3b + ac 4
+ + ≥
( )
a b c 11 1 1
53. Cho a,b,c > 0 . CMR :
3a2 + 2b2 + c2 3b2 + 2c2 + a2 3c2 + 2a2 + b2 6 a b c
+ + ≤ + +
a b c
54. Cho a,b,c > 0 :ab + bc + ca = CMR :
3. ≥ abc
2a + bc 2b + ca 2c + ab
2
+ 2 + 2
1 + a3 1 + b3 1 + c3
55. Cho a,b,c > 0 . CMR : ≥3
1 + a2c 1 + c2b 1 + b2a
+ +
1 1 1 3
56. Cho a,b,c > 0 : abc = :
27 . CMR
1+a 1+b 1+c 2
+ + ≤
1 1 1 27
57. Cho a,b,c > 0 . CMR :
b(a + b) c(c + b) a(a + c) (a + b + c)2
+ + ≥
b+c c+a a+b
58. Cho a,b,c > 0 . CMR : ≥ a + b + c +3
a b c
+ +
b a a c c b
59. Cho a,b,c ∈(1;2) . CMR : ≥1
4b c − c a 4a b − b c 4c a − a b
+ +
3 6
60. Cho a,b,c > 0 : abc = : 1 +
1 .CMR
a + b + c ab + bc + ca
≥
x 2z y2x z2 y 1 x y z
61. Cho x,y,z > 0 . CMR :
xyz + y 3
xyz + z xyz + x
3 3
2 y z x
+ + ≥ + +
1 1 1 a2 b2 c2 a+b+c
62. Cho a,b,c > 0 : + + = . CMR :
1
a b c a + bc b + ac c + ba 4
+ + ≥
x y z
63. Cho x,y,z > 0 . Tìm Min của : =
P 4(x3 + y 3 ) + 3 4(y 3 + z3 ) + 3 4(z3 + x3 ) + 2 2 + 2 + 2
y z x
3
64. Cho a,b,c > 0 :a + b + c = . CMR :
3 a + b + c ≥ ab + bc + ca
1 1 1
65. Cho a,b,c > 0 :abc =
1 . CMR: ≤1
a + b+1 b+c +1 c +a +1
+ +
x y z
66. Cho x,y,z > 0 . CMR : ≤1
x + (x + y)(x + z) y + (x + y)(y + z) z + (x + z)(y + z)
+ +
a3 b3 c3 a+b+c
67. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ). Cho a,b,c > 0 . CMR :
a +b b +c c +a
2 2
2
+ 2 2+ 2 2≥
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 14
- 15
68. ( Đề thi HS G Tỉnh Thái Bình năm 2009 ) .Cho các số thực x , y , z thỏa mãn x 2 + y 2 + z2 = Tìm giá trị lớn nhất
3.
Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ
của biểu thức: F 3x 2 + 7y + 5y + 5z + 7z + 3x 2
69. (Đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm 2006 ) . Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa: a + b + c =. Chứng minh:
3
=
a2 b2 c2 3
b +1 c +1 a +1 2
2
+ 2 + 2 ≥ .
2a 2b 2c
70. Cho a,b,c > 0 . Chứng mi nh rằng : ≤3
a+b b+c c+a
+ +
a b c 1 1 2
HD : Đặt x = ;y = ;z = ⇒ xyz = 1 . Áp dụng Bổ đề : ( xy ≤ 1)
b c a 1 + x2 1 + y 2 1 + xy
+ ≤
a) log b+c a2 + log c+a b2 + log a+b c2 ≥ 3 ( a,b,c > 2)
71. Chứng minh các Bất đẳng thức :
log bc log c a log a 9
2 ( a,b,c > 1)
b+c c+a a+b a+b+c
b) + + ≥
72. Cho x,y , z ≥ 0 : xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = x 2 y 3 + y 2z3 + z2 x3 + (x − 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2
3.
c)
Giải :
73.
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 15
- 16 Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
x1 = 1
PHẦN IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
1. Cho dãy số : . Chứng minh dãy số có giới hạn v à tính giới hạn đó.
x n+1 = 3 x n + 11
7 − log 2
( )
−2x
HD : Xét hàm số : f (x)= 7 − log3 (x 2 + 11),x ∈ (0;5) , ta có : f '(x) = < 0, ∀x ∈ (0;5)
(x2 + 11)ln3
Do đó : 0 < f(5) < f(x) < f(0) < 5 . Mà x n+1 = f (x n ) , do đó bằng quy nạp ta CM được rằng : 0 < x n < 5, ∀n
−2x
Lại xét hàm số : g( x)= 7 − log3 ( x 2 + 11) − x, x ∈ (0;5) . Ta có : g'(x) − 1 < 0, ∀x ∈ (0;5)
(x + 11)ln3
2
=
Suy ra phương trnh f(x)=x có nghiệm duy nhất x = 4 .
ì
1
Theo định lý Lagrage ∃c ∈ (x n ; 4) sao cho : f(x n ) −= f '(c) x n − 4 ≤
f(4) xn − 4
11 ln3
2c 2c 1 1
n−1
( Vì f '(c) = ). Do đó : x n+1 − 4 ≤ x1 − 4 → 0
(c + 11)ln3 2 11c2 ln3 11 ln3 11 ln3
2
≤ =
2. Cho phương tr : x 2n+1= x + 1 với n nguyên dương . Chứng minh phương trình đã cho có duy nhất một nghi ệm
ình
thực với mỗi n nguyên dương c ho trước. Gọi nghiệm đó là x n . Tìm limx n
x > 1
Giải : Từ phương trình : x 2n+1 = x + 1 ⇔ x(x 2n − 1) =1 ⇒ x(x 2n − 1) > 0 ⇒ x(x − 1) > 0 ⇒
x < 0
Đặt fn (x ) = x 2n+1
− x −1 .
+) Nếu x 1 , ta có : fn '(x) (2n + 1).x 2n − 1 > 0 . Hơn nữa f(1) = −1; lim f(x) = +∞ , suy ra phương trình
x→+∞
có nghiệm x n ∈ (1; +∞ ) duy nhất .
=
Xét hiệu :
fn+1 (x n ) − fn (x n ) (x 2n+2
n − x n − 1 − x2n+1 −= x 2n+1 (x n − 1) > 0, ∀x n > 1 ⇒ fn+1 (x n ) > fn ( x n )
) ( n xn − 1 n
)
Hay : fn+1 (x n ) > fn (x n ) = =n+1 (x n+1 ) ⇒ x n > x n+1 . (Do hàm f(x) tăng ) .
0 f
=
Vậy dãy {x n } là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn . Giả sử : lim x n a(a ≥ 1)
Ta sẽ chứng minh a=1 . Thật vậy, giả sử a > 1 .
=
u1 = 1
u1 u2 u
3. ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho dãy số {un } : u2 . Đặt : Sn = + + ... + n .
u2 u3 un+1
un+1 un +
2010
n
=
Tìm : limSn
u2 u − uk u u − uk u u 1 1
Lời giải :
Ta có : uk +1 − uk =k ⇒ k +1 2010 (*)
2010 uk 2010 uk .uk +1 2010.uk +1 uk +1 uk uk +1
=k ⇒ k +1 = k ⇒ k = −
1
Từ hệ thức (*) cho k = 1,2…,n ta có : Sn 2010 1 −
un+1
=
u2
Lại có : un+1 = un + ≥ un ⇒ Dãy {u n } tăng .
2010
n
Giả sử {u n } bị chặn trên . Suy ra tồn tại giới hạn hữu hạn : limun a(a > 1) . Do đó, từ :
u2 u2 a2
=
un+1 = un + ⇒ limun+1 = lim un + n ⇒ a = a + ⇒ a = 0 ( Vô lý )
2010 2010 2010
n
1
Suy ra dãy {u n } tăng và không bị chặn trên, nên : limun = +∞ ⇒ lim = 0 ⇒ limSn = 2010
un+1
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 16
- 17
1 < x1 < 2
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
4. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Định năm 2010 ) . Cho dãy số { x n } : x2 . Chứng minh dãy số {x n }
x n+1= 1 + x n − , ∀n ≥ 1
2
n
có giới hạn và tìm giới hạn đó .
x2
Lời giải :
Xét hàm số : f(x)= 1 + x − , x ∈ (1;2) . Ta có : f '(x) = 1 − x < 0, ∀x ∈ (1;2) . Do đó :
2
3
1 = < f(x) < f(1) =< 2 . Từ đó thay x bởi : x1 ; x 2 ,...,x n ta có : 1 < x1 ,x2 ,..., x n < 2
f(2)
2
Suy ra dãy {x n } bị chặn .
a2
Giả sử dãy số có giới hạn là a, lúc đó a thỏa mãn pt : a = 1 + a − ⇒a= 2
2
Ta sẽ CM giới hạn này bằng định lý kẹp :
x2 ( 2) 1
2
Xét hiệu : x n+1 − 2 1 + x n − − 1 + 2 − = 2 xn − 2 xn + 2 − 2
2 2
n
=
( )
Lại có : 1 < x n < 2 ⇒ 2 − 1 < x n + 2 + 2 < 2 ⇒ x n + 2 + 2 < 2
2
Do đó : x n+1 − 2 < x n − 2 (*) . Từ (*) cho n = 1,2,… và nhân lại với nhau ta có :
2
( )
2 2
n−1 n−1
x n+1 − 2 < x1 − 2 . Mà lim x1 − 2 = limx n =
0⇒ 2
2 ( 2
) ( )
1
u1 =
3
5. ( Bài toán tương tự ) . Cho dãy số {un } : . Tìm limun .
u2
u = n − 1, ∀n ≥ 1
n+1 2
x1 = 1
6. ( Đề thi HS G Tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . Cho dãy số {x n } : . Chứng minh rằng
= x n + x n + 1 − x2 − x n + 1
x n+1
2
n
dãy số trên có giới hạn v à tìm giới hạn đó .
2x n
Ta có : x n+1
= x2 + x n + 1 − x2 − x n + 1
Lời giải :
x2 + x n + 1 + x2 − x n + 1
n n =
n n
Bằng quy nạp ta chứng minh được rằng : x n > 0, ∀n =1,2,...
Lại có :
1 3 1 3
x2 + x n + 1 + x2 − x n +=
1 x n + 2 + 2 + −x n + 2 + 2
2 2 2 2
n n
Mincopxki
≥
1 1 3 3
2 2
x n + + − x n + + 2
2 2 2 2
Mincopxki
≥ + =
Từ đó suy ra : x n+1 < x n
Vậy dãy {x n } giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên tồn tại giới hạn hữu hạn. Giả sử
limx n = a ⇒ a = a2 + a + 1 − a2 − a + 1 ⇒ a = 0
x1 = 2
7. ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Cho dãy số : {x n } : x1 + 2x2 + ... + (n − 1)x n−1
x n = , n >1
n(n2 − 1)
Tính limUn với U= (n + 1)3 .x n
Lời giải : Ta có :
n
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 17
- 18
1
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
+) x 2 =
3
+) Với n ≥ 3 ta có : x1 + 2x 2 + ... + (n − 1)x n−1 = n(n2 − 1)x n = n3 x n
+ nx n + nx n
x1 + 2x 2 + ... + (n − 2)x n−2 + (n − 1)x n−1 = (n − 1) (n − 1)2 − 1 x n−1 + (n − 1)x n−1 = (n − 1)3 x n−1
x n (n − 1)3 n − 1 n
Từ đó suy ra : n3 x n = nx n + (n − 1)3 x n−1 ⇒
2
x n−1 (*)
n3 − n n n + 1
= =
Từ (*) cho n = 3,4…ta có :
xn x n x n−1 x3 n − 1 2 n − 2 2 2 2 n n − 1 3 12 4
. ... . n − 1 ... 3 . n + 1 . n = 2
... ⇒ xn
x2 x n−1 x n−2 x2 n 4 n (n + 1) n (n + 1)
= = = 2
4(n + 1)3
Do = lim 2
đó : limUn = 4 .
n (n + 1)
x0 > 0
9. ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2010 ) . Cho dãy {x n } : x (x2 + 3) . Chứng minh dãy có giới hạn v à
x n+1 , ∀n ≥ 0
3x n + 1
= n 2n
tìm giới hạn đó .
Bằng quy nạp ta chứng minh được x n > 0, ∀n > 0
Lời giải :
+) TH1 : Nếu x0 = 1 , quy nạp ta được x n = 1, ∀n > 0 . Hiển nhiên limx n = 1
+) TH1 : Nếu x0 > 1 ,
x(x2 + 3) x2 (x − 1)2
Xét hàm số : f(x) = trên khoảng (1; +∞ ) ta có : f '(x) > 0, ∀x ∈ (1; +∞ ) ⇒ f(x) > f(1) = 1
3x + 1
2
(3x2 + 1)2
=
Do đó : x2 = f ( x1 ) > 1, .... quy nạp ta có : x n > 1, ∀n
x k (x2 + 3) 2x k (x 2 − 1)
Lại có : x k +1 < x k ⇔ < xk ⇔ > 0 đúng với x k > 1
3x + 1 3x 2 + 1
k k
2
k k
Từ đó ta có : x1 > x 2 > .... > x n > x n+1 > 1 . Dãy số giảm và bị chặn dưới nên tồn tại giới hạn hữu hạn .
a a2 + 3
Giả sử : limx n = a > =
0⇒a = 1
⇒a
( )
3a2 + 1
x(x2 + 3)
+) TH3 : Nếu 0 < x0 < 1 , Xét hàm số : f(x) = trên khoảng (0;1) ta có :
3x 2 + 1
x2 (x − 1)2
f '(x) > 0, ∀x ∈ (0;1) ⇒ = f(0) < f( x) < f(1) = 1
0
(3x 2 + 1)2
=
Do đó := f(x1 ) ∈ (0;1),... quy nạp ta có : x n ∈ (0;1), ∀n
x2
x k (x2 + 3) 2x k (x 2 − 1)
ta có : x k +1 > x k ⇔ > xk ⇔ < 0 đúng với 0 < x k < 1
3x 2 + 1 3x2 + 1
k k
k k
Do đó : 0 < x1 < x 2 < ... < x n < x n+1 < 1 . Dãy số tăng và bị chặn trên nên tồn tại giới hạn hữu hạn . Giả sử :
a a2 + 3
limx n = a > =
0⇒a = 1
⇒a
( )
3a2 + 1
Kết luận : limx n = 1
u0 = α
10. ( Bài toán tương tự ) . Cho α > 0; a > 0 là hai số tùy ý. Dãy {un } : un (u2 + 3a) . Chứng minh dãy
= = 0,1,... un+1 ,n
3un + a
n
2
có giới hạn và tìm giới hạn đó.
u0 > 1
11. ( Chọn đội tuyển ĐH Vinh năm 2010 ) . Cho dãy số {un } : un + 1 + 2(u2 + 1) . Tìm limun
= = 0,1... un+1 ,n
un − 1
n
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 18
- 19
a1 = 1
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
12. ( Đề thi chọn ĐT HS G QG KonTum năm 2010 ) . Cho dãy số thực {a n } xác định như sau : 1 .
a n+= a n + a (n ≥ 1)
1
n
a
Chứng minh rằng : lim n = 2
n→+∞
n
xn
13. ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Dương năm 2006 ) . Cho dãy số thực x1 = 2006; x n+1 = 3 + . Tìm lim x n
x2 − 1
n
x→+∞
14. ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2008 ) . Cho dãy số {x n } thỏa mãn :
x1 = 1 1
. Đặt y n = ∑ . Tìm limy n .
n
x n+1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1 , ∀n > 0 i=1 x i + 2
1 1 1
x n+1 = x n (x n + 1)(x n + 2)(x n + 3) + 1 =x 2 + 3x n + 1 = + 3x n + 1 ⇒
x2
2
n n
x n + 2 x n + 1 x n+1 + 1
HD : ( ) = −
Sau đó chứng mi nh dãy tăng và không bị chặn trên .
x1= a > 1 x x xn
15. Cho dãy ( x n ): . Tìm : lim 1 + 2 + ... +
2010x n+1 = x n + 2009x n n→+∞ x − 1 x3 − 1 x n+1 − 1
2
2
x2 2009x
HD : Xét hàm số : f(x) = + , x > 1 . Ta có : f’(x) > 0 , ∀x > 1 ⇒ f(x) > f(1) =
1 . Bằng quy nạp chứng minh
2010 2010
x2 x x (x − 1)
được rằng : x n > 1, ∀n . Xét hiệu : x n+1 − x n > 0, x n > 1 ⇒ x n+1 > x n
2010 2010 2010
= = n n
n
− n
Giả sử ∃limx n = a ( a > 1 ) ⇒ 2010a = a2 + 2009a ⇒ a= 0;a= 1 ( Không thỏa mãn ). Vậy lim x n = +∞
Lại có :
xn x n+1 − x n 1 1
2010x n= x2 + 2009x n ⇒ 2010(x n+1 − x = x n (x n − 1) ⇒
n) = 2010 = 2010
+1 n
x n+1 − 1 (x n − 1)(x n+1 − 1) x n − 1 x n+1 − 1
−
x1 = 1
x23 x23 x23
16. ( Bài tương tự ) . Cho dãy số : (x n ): xn . Tìm giới hạn lim 1 + 2 + ... + n
x
x n+1 = + x n , n ∈ N * 2 x3 x n+1
24
24
17. ( Đề thi HS G Tỉnh Bình Phước năm 2008 ) . Đặt f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 với n là số nguyên dương . Xét dãy số
f(1).f(3).f(5)...f(2n − 1)
(x n ): x n = . Tính giới hạn của dãy số : un = n2 .x n
f(2).f(4).f(6)...f (2n )
f(k − 1) (k − 1)2 + 1
HD : Chú ý :
f(k) (k + 1)2 + 1
=
a1 = 2008
18. Cho dãy số (a n ) xác định bởi : n . Tính lim n2a n
∑ a i n a n ,n > 1
2 n→+∞
=
i=1
n −1
HD : Ta có a1 + a2 + ... + a n= n2a n ⇒ ( n − 1 ) a n−1= (n − 1 a n ⇒ a n= a (1)
2
n + 1 n−1
2
)
Trong (1) cho n=1, 2,3….và nhân nó ạ i để tìm : a n
l
2006
19. Cho dãy số ( x n ) thỏa : x1 = 1 +
1,x n+1 = (n ≥ 1) . Chứng minh dãy số ( x n ) có giới hạn và tìm giới hạn ấy
1 + xn
1
x1 =
2
20. ( Đề thi HS G QG năm 2009 ) . Cho dãy số ( x n ):
. Chứng minh rằng dãy (y n ) với
x n−1 + 4x n−1 + x n−1
x n , ∀n ≥ 2
2
2
=
1
y n = ∑ 2 có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ và tìm giới hạn đó .
n
i=1 xi
Giải :
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 19
- 20
x + 4x + x 2x + 4 1
Phần IV : GIỚI HẠN DÃY SỐ
Xét hàm số : f(x) = , ta có=: f '(x) + > 0, ∀x > 0
2
2 4 x + 4x 2
2
Lại có : x2 = 1 ) > 0,(do x1 > 0).... bằng quy nạp ta chứng minh được x n > 0, ∀n .
f(x
x2 −1 + 4x n−1 + x n−1 x2 −1 + 4x n−1 − x n−1 4x n−1
Xét hiệu : x n − x n−1 − x n−1 > 0,(do x n > 0, ∀n )
2 2
n n
x 2
+ 4x n−1 + x n−1
= = =
n−1
Suy ra dãy {x n } tăng và x n > 0, ∀n . Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn a lim x n (a > 0) . Suy ra :
=
a + 4a + a
n →+∞
a= = a2 + 4a ⇒ a =
⇔a 0 (Vô lý ) .
2
2
Vậy dãy {x n } tăng và không b chặn trên nên : limx n = +∞
ị
Lại có :
n →+∞
x2 −1 + 4x n−1 + x n−1 x n (x n − x n−1 ) x 1 1 1
xn = x
⇒ ( 2x n − x n−1 ) x2 −1 + 4x n−1 ⇒ x n (x n − x n−1 ) = n−1 ⇒
2
2 x .x n−1 x n .x n−1 x n x n−1 x n
n
= n 2
= 2 n−1 ⇒= 2
−
n
1
1 1 1 1 1 1 + x1 1
Do đó : y n 2 + − + ... + − ⇒ lim y n 6 .
n
x x
1 1 x2 x n−1 x n xn
=
i=1
∑ x= 2
− =
x1
2 n→+∞
=
i
x0 = 2009
21. Xét dãy số thực (x n ),n ∈ N xác định bởi : . Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn
x n = 3 6x n−1 − 6sin(x n−1 ), ∀n ≥ 1
và tìm giới hạn đó .
x3
HD : Sử dụng bất đẳng thức : x − ≤ sinx ≤ x, ∀x ≥ 0
6
1 6(1 − cosx)
Xét hàm số : f(x) = − 6sin x ,x > 0 =
6x . Ta có : f '(x) > 0, ∀x>0
3 3 (6x − 6sin x)2
3
Do đó : f(x) > 0, ∀x > 0 . Mà x2 f(x1 ) > 0(do x1 > 0) ⇒ ...x n f(x n−1 ) > 0, ∀n
6x n−1 − x3 −1 − 6sin(x n−1 )
= =
Xét hiệu : x n − x n−1 3 6x n−1 − 6sin(x n−1 ) − x n−1 n
0 )
6
Do đó dãy {x n } giảm và bị chặn dưới, nên tồn tại giới hạn hữu hạn . Giả sử : limx n = a (a ≥ 0) , ta có pt :
a = 3 6a − 6sina ⇔ a3 = 6a − 6sina . Xét hàm số : g(t) = 6sin t − 6t , ta có :
t3 +
g'(t) = 3t 2 + 6cost − 6, g''(t) = 6t − 6sin t ≥ 0, ∀t ≥ 0 ⇒ g'(t) ≥ g(0) 0 ⇒ g(t)≥ g(0) = 0 . Do đó pt có nghiệm duy
nhất a = 0 .
=
x n+1
22. Cho dãy (x n ) được xác định bởi: x 1 = 5; x n + 1 = x2 - 2 ∀ n = 1, 2, … . Tìm lim
n n→+∞ x1 .x 2 ...x n
x1 = 3 x
23. Cho dãy (x n ) : . Tìm lim n+1
n→+∞ x
x n+1 = 9x n +11x n + 3; n ≥ 1, n ∈ N.
2
n
HD : Chứng minh dãy ( x n ) tăng và không bị chặn :
8x2 + 11x n + 3
Dễ thấy x n > 0, ∀n , xét : x n+1 − x n 9x2 +11x n + 3 − x n = n
> 0, ∀x n > 0
9x2 +11x n + 3 + x n
= n
n
a = −1
Giả sử ∃ lim x n= a ( a > 0 ) ⇒ a= 9a2 + 11a + 3 ⇒ ( Không thỏa mãn ) ⇒ lim x n =
a = − 3
8
n→+∞ n→+∞
+∞
x n+1 11 3
Do đó : lim = lim 9 + += 3
n→+∞ x n→+∞ x n x2
n n
MATHVN.COM Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr. 20
nguon tai.lieu . vn
