Xem mẫu
- www.VNMATH.com
MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ - SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Biên soạn: Th.S Trần Quốc Dũng
D l
!
1. TÂY NINH 2011-2012
1) CMR dãy un có giới hạn hữu hạn.
n
1 T
2) Đặt Tn . Tính lim n .
k 0 uk n 2
1) CMR dãy un có giới hạn hữu hạn:
n
1 T
2) Đặt Tn . Tính lim n :
k 0 uk n 2
1
- www.VNMATH.com
2. TÂY NINH 2006-2007
3 4 2006
Tìm phần nguyên của số A 2 3 4 ... 2006
2 3 2005
1
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+1 số gồm n số 1 và số 1 , ta có:
n
1 1 1
1 ...1
1
1 n 1 n 1 1 , ở đây dấu “=” không thể xảy ra vì 1 1 .
n n n n
Từ đó, ta có:
n
1
1 1 ... 1 1
n 1 n 1 1 1
1 n 1 1 1
n n 1 n n 1 n n 1
Từ đó suy ra:
1
1 2 1 1
2
3 1 1
1 3 1
2 2 3
............................
2006 1 1
1 2006 1
2005 2005 2006
1
Cộng vế theo vế ta suy ra 2005 A 2006 2006 . Vậy A 2005 .
2006
3. TÂY NINH 2004-2005
u1 1, u2 2
Cho dãy số un xác định bởi
un 2 2un 1 un n 1
1) Tìm số hạng tổng quát u n
u
2) Cho a lim n 1 . Tính a.
un
n n
1) Xét phương trình đặc trưng x 2 2 x 1 0 x 1 2 un C1 1 2 C2 1 2
1
A1 2 B 1 2 1 A
u1 1 2 2 1 n n
Do nên 2 2
un 1 2 1 2
u2 2 A1 2 B 1 2 2 1 2 2
B
2 2
1 n 1 n 1
n 1 n 1
1 2 1 2 1 2 1 2
u
2) a lim n 1 lim 2 2 lim n n
un 1 n n
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
2
- www.VNMATH.com
n 1
n 1 1 2
1 2 1
1 2
lim n
1 2
n 1 2
1 2 1
1 2
2004
1
1) Cho 2004 số nguyên dương u1 , u2 ,..., u2004 thỏa mãn 2 2004. Chứng minh rằng có ít nhất hai số
k 1 uk
bằng nhau.
2004 2004
2) Tìm 2004 số thực u1 , u2 ,..., u2004 thuộc 1, 2 thỏa uk 2025 sao cho 3
uk 2025 đạt giá trị lớn nhất.
k 1 k 1
1) Giả sử không có hai số nào bằng nhau, lúc đó ta có thể giả sử rằng 1 u1 u2 ... u2004 uk k.
2004 2004 2004 2004 2004 2004
1 1 2 2 k k 1
2 2 k k 1
k 1 uk k 1 k k 1 2 k k 1 k k 1 k 1 k k 1 k k 1 k 1
2004
1
21 0 2 1 3 2 ... 2004 2003 2 2004 2 2004 .
k 1 uk
Điều này trái với giả thiết, suy ra đpcm.
3
2) Ta có: 1 uk 2 uk 1 uk 2 uk 3 0 uk 7uk 6
2004 2004 2004
3
uk 7 uk 6 1 7.2025 6. 1 1 1
... 2151 .
k 1 k 1 k 1 2004
Dấu “=” xảy ra uk 1 uk 2 . Gọi m là số uk 1 , suy ra số uk 2 là 2004 – m. Từ đó, ta có:
m.1 + (2004 – m ).2 = 2025, suy ra m = 1983
Vậy có 1983 số 1 và 21 số 2 thỏa mãn đề bài.
4. TÂY NINH 2000-2001
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên x, y sao cho y 1 chia hết cho x và x 1 chia hết cho y.
Từ điều kiện đề bài ta có: x 1 y; y 1 x x 1 y x 1 y x 1 y x y x 1 (do x, y là các số tự
nhiên). Ta xét 3 trường hợp sau:
TH1: Nếu y x 1 thì y là ước của x – 1 và x + 1, suy ra y là ước của x – 1 – (x + 1) = - 2, suy ra
y 1 y 2.
+ Với y = 1 thì x = 2 (thỏa mãn)
+ Với y = 2 thì x = 3(thỏa mãn)
TH2: y = x thì y là ước của x và x + 1, suy ra y là ước của x + 1 – x = 1, suy ra y = 1, lúc đó x = 1 (thỏa mãn)
TH3: y = x + 1 thì x là ước của x + 2 suy ra x là ước của 2, suy ra x = 1 hoặc x = 2.
+ Nếu x = 1 thì y = 2 (thỏa mãn)
+ Nếu x = 2 thì y = 3 (thỏa mãn).
Vậy ta có 5 cặp số phải tìm là: (1,1), (1, 2), (2,3), (2,1), (3,2).
5. CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG VÒNG TRƯỜNG_CHUYÊN HOÀNG LÊ KHA_TÂY NINH 2011-2012
3
- www.VNMATH.com
6. QUẢNG BÌNH 2010-2011
4
- www.VNMATH.com
7. QUẢNG BÌNH 2011-2012
5
- www.VNMATH.com
8. BÌNH ĐỊNH 2010-2011
9. HÀ TĨNH 2010-2011
+)TH2: Nếu x0 1,
6
- www.VNMATH.com
10. BÌNH ĐỊNH 2011-2012
7
- www.VNMATH.com
11. KIÊN GIANG 2009-2010
Tính lim un .
12. ĐẮC LẮC 2011-2012
(m + 2010)!
Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng là một số nguyên.
m!2011!
Ta có:
2010 (m 2010)! 2011 (m 2011)! 2011 2011
Cm+2010 . = .Cm 2011
m!2010! m 2011 m !2011! m 2011
2010 2011 2010 2010 2011
Suy ra: (m+ 2011)Cm+2010 = 2011.Cm 2011 , tức là: (m+ 2011)Cm+2010 chia hết cho 2011 (do Cm+2010 ; Cm 2011 là các
số tự nhiên)
Vì: 2011 là số nguyên tố và 0 < m < 2011 nên ƯCLN(m, 2011) = 1, từ đó: ƯCLN(m + 2011, 2011)= 1
(m + 2010)!
Vậy Cm+2010 2011 hay
2010
là số nguyên.
m!2011!
13. BÌNH PHƯỚC 2008-2009
8
- www.VNMATH.com
14. LONG AN 2011-2012
Cho dãy số un xác định bởi u1 1 và un 1 3un 2 2 với mọi n 1 .
a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số un .
b) Tính tổng S u12 u2 u32 ... u2011 .
2 2
a) Dễ thấy un 0, n N*
2 2 2
Từ un 1 3un 2 un 1 3un 2 .
Đặt vn 2
u n thì có: vn 1 3vn 2 vn 1 1 3 vn 1
Đặt xn vn 1 thì ta có: xn 1 3 xn . Từ đây suy ra xn là cấp số nhân với x1 2 , công bội là 3.
Nên: xn 2.3n 1
vn 2.3n 1
1 un 2.3n 1
1.
0 1 2 2010 0 1 2 2010
2 32011 1
b) S 2.3 2.3 2.3 ... 2.3 2011 2 3 3 3 ... 3 2011 2011
3 1
32011 2012 .
15. ĐỒNG THÁP 2009-2010
9
- www.VNMATH.com
16. ĐỒNG THÁP 2011-2012
10
- www.VNMATH.com
17. NINH BÌNH 2009-2010
18. TP. HCM 2011-2012
11
- www.VNMATH.com
12
- www.VNMATH.com
19. LẠNG SƠN 2011-2012
13
- www.VNMATH.com
20. VĨNH LONG 2009-2010
x0 101
Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi
xn 1 7 xn 7 n 1
Cách 1: Dùng phương pháp sai phân.
Cách 2:
Đặt xn yn 7 n ta thu được hệ thức truy hồi đối với dãy số yn
x0 y0 70 y0 101
yn 1 7 n 1 7 yn 7 n 7 n 1
yn 1 yn 1
Ta thấy yn là cấp số cộng với số hạng đầu y0 101 và công sai d 1 .
Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng yn , ta có: yn y0 nd 101 n xn 101 n 7n .
Theo Viét, ta có: a b 1, ab 1.
Đặt Rn a b a
n n n 2
b , n * . Ta chứng minh Rn là số nguyên chia hết cho 5 bằng quy nạp.
n 2
3
-Với n = 1, ta có R1 a b a b 3ab a b 5 R1 là số nguyên chia hết cho 5.
- Giả sử Rk là số nguyên chia hết cho 5, ta có:
Rk 1 ak 1
bk 1
ak 3
bk 3
ak bk a b ab a k 1
bk 1
ak 2
bk 2
a b ab a k 1
bk 1
Rk Rk 1
Theo giả thiết quy nạp Rk , Rk 1 chia hết cho 5 nên Rk 1 chia hết cho 5.
Vậy Rn là số nguyên chia hết cho 5, n . *
Do đó, Rn a 2007 b 2007 a 2009 b 2009 là số nguyên chia hết cho 5.
21. ĐỒNG NAI 2009-2010
14
- www.VNMATH.com
22. OLYMPIC ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG TẠI SÓC TRĂNG
15
- www.VNMATH.com
23. VÒNG QUỐC GIA 2011-2012
24. VÒNG QUỐC GIA 2010-2011
16
- www.VNMATH.com
25. DÃY SỐ CÓ TÍNH CHẤT SỐ HỌC_VÒNG QUỐC GIA 2011-2012
17
- www.VNMATH.com
18
- www.VNMATH.com
26. TOÀN QUỐC 2009-2010
27. TP. HCM 2005-2006
28. TP. HCM 2004-2005
19
- www.VNMATH.com
29. TP. HCM 2003-2004
(Giống đề thi HSG BÌNH PHƯỚC 2008-2009)
20
nguon tai.lieu . vn
