Xem mẫu
- Học 24H
SỐ PHỨC
A. Lý thuyết:
1). Định nghĩa: Số phức có dạng: z = a + bi ( trong đó: a là phần thực, b là phần ảo)
+ Phần thực: Re ( z ) = a
+ Phần ảo: Im ( z ) = b
2). Các phép toán: Cho z1 = a1 + b1i ; z2 = a2 + b2i ( Với a1; a2 ; b1; b2 ﾡ ).
Khí đó ta có:
>z1 + z2 = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i
>z1 − z2 = (a1 − a2 ) + (b1 − b2 )i
> z1.z2 = ( a1a2 − b1b2 ) + (a1b2 + a2b1 )i
z1 a1a2 − b1b2 a2b1 − a1b2
> = + 2 i ; ∀ z2 0.
z2 a2 + b22
2
a2 + b22
3). Số phức liên hợp:
Cho z = a + bi ; với a; b ﾡ . Khi đó: z = a − bi được gọi là số phức liên hợp với z .
*). Tính chất:
>z = z , ∀z � ; z = z , ∀z � ; z = − z , ∀z �ﾡ
ﾡ ﾡ i
>z + z = 2 Re( z ); z − z = 2 Im( z )i ; z.z = ( Re( z ) ) + ( Im( z ) )
2 2
� � z
z
>z1 + z2 = z1 + z2 ; z1.z2 = z1.z2 ; �1 � 1 ∀ z1 ,( z2
= 0) ﾡ
z
�2 � z2
4). Mô đun của số phức:
Cho z = a + bi . Khi đó mô đun của z là z = a 2 + b 2
*). Tính chất:
2
> z = z. z ; z = z ; z � z = 0 � z = 0
0,
z1 z
>∀z1 , z2 � : z1.z2 = z1 . z2 ;
ﾡ = 1 , z2 �0
z2 z2
> z1 + z2 z1 + z2 , z1 − z2 z1 − z2
B. Các dạng bài tập của số phức:
Dạng 1: Tìm mô đun, căn bậc hai của số phức, giải phương trình, hệ phương
trình trên tập số phức:
Phương phap: Cho số phức: z = a + bi , (a, b ﾡ ) .
+ Mô đun của số phức z là: z = a 2 + b 2 .
+ Gọi w = x + yi ,( x, y ﾡ ) là căn bậc hai của số phức z
x2 − y 2 = a
Ta có: w = z � w = z � ( x + yi ) = a + bi �
2 2
, giải hệ tìm x và y.
2 xy = b
1
- Học 24H
+ Việc giải phương trình, hệ phương trình được giải tương tự như giải trên
trường số thực, nhưng chú ý đến việc tìm căn bậc hai của số âm hoặc căn bậc hai của
số phức.
Bài 1: Tìm mô đun của số phức z = 1 + 4i + (1 − i )3 .
Giải: Ta có: (1 − i )3 = −2 − 2i . Suy ra: z = −1 + 2i � z = (−1) 2 + 22 = 5
z1 z
Bài 2: Cho số phức z1 = 3 − 5i ; z2 = 3 − i . Tính và 1 .
z2 z2
Bài giải: Ta có:
z1
=
3 − 5i
=
( 3 − 5i)( 3+i ) = 8−4 3i
= 2 − 3i
z2 3 −i ( 3 − i) ( 3+i ) 4
z1
( )
2
Suy ra: = 22 + − 3 = 7
z2
Bài 3: Gọi z1; z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z 2 + 2 z + 10 = 0 . Tính giá trị của
2 2
biểu thức A = z1 + z2 .
Bài giải: Ta có: ∆ ' = 12 − 10 = −9 = 9i 2 .
Suy ra phương trình có 2 nghiệm: z1 = −1 − 3i ; z2 = −1 + 3i
2 2
Do đó: A = z1 + z2 = (−1) 2 + (−3) 2 + (−1) 2 + 32 = 20
Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo của một số phức
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng
Dạng 3: Giải phương trình trên trường số phức với hệ số thực
Dạng 4: Các bài toán về mô đun số phức
-------------------------****-------------------------
Dạng 1: Tìm phần thực, phần ảo của một số phức
Phương pháp: Sử dụng các phép toán về số phức, biến đổi số phức về dạng:
z = a + bi
+ Phần thực: Re ( z ) = a
+ Phần ảo: Im ( z ) = b
Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ
Phương pháp: Sử dụng các phép toán về số phức, biến đổi một biểu thức phức tạp
về số phức đơn giản: z = a + bi , hoặc một đẳng thức biểu diễn dạng đường cong trên
mặt phẳng tọa độ.
Lưu ý: Số phức z = a + bi được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ Oxy bởi điểm
M ( a; b )
--------------------------------------------------
MỘT SỐ BÀI TẬP SỐ PHỨC QUA CÁC KY THI
2
- Học 24H
1). Giải phương trình: 2 x 2 − 5 x + 4 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2006)
5 7
ĐS: x1,2 = i
4 4
2). Giải phương trình: x 2 − 4 x + 7 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2007)
ĐS: x1,2 = 2 3i
3). Giải phương trình: x 2 − 6 x + 25 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2007)
ĐS: x1,2 = 3 4i
( ) ( )
2 2
4). Tìm giá trị của biểu thức: P = 1 + 3i + 1 − 3i (TN THPT 2008) .
ĐS: P = −4
5). Giải phương trình: x − 2 x + 2 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2008)
2
ĐS: x1,2 = 1 i
6). Giải phương trình: 8 z 2 − 4 z + 1 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2009)
1 1
ĐS: z1,2 = i
4 4
7). Giải phương trình: 2 z 2 − iz + 1 = 0 trên ﾡ . (TN THPT 2009_NC)
1
ĐS: z1 = i; z2 = − i
2
8). Giải phương trình: 2 z 2 + 6 z + 5 = 0 trên ﾡ . (TN BTTH 2010)
3 1
ĐS: z1,2 = − i
2 2
9). Cho hai số phức: z1 = 1 + 2i ; z 2 = 2 − 3i .
Xác định phần thực, phần ảo của số phức z1 − 2 z2 (TN THPT 2010)
ĐS: Số phức z1 − 2 z2 có phần thực bằng −3 và phần ảo bằng 8.
10). Cho hai số phức: z1 = 2 + 5i ; z 2 = 3 − 4i .
Xác định phần thực, phần ảo của số phức z1.z2 (TN THPT 2010_NC)
ĐS: Số phức z1.z2 có phần thực bằng 26 và phần ảo bằng 7.
11) .Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của số phức: z = (2 + 3i)(1 − i ) − 4i (TN BTTH 2012).
ĐS: Re( z ) = 5; Im( z ) = −3; z = 34
12). Cho số phức: z = 3 − 2i .
Xác định phần thực và phần ảo của số phức z 2 + z . (TN BTTH 2009).
ĐS: Số phức z 2 + z có phần thực bằng 8 và phần ảo bằng –14 .
13). Cho số phức: z = (2 + 4i) + 2i (1 − 3i ) .
Tìm số phức liên hợp và tính mô đun của số phức z. (TN BTTH 2011).
ĐS: z = 8 − 6i và z = 10
14). Giải phương trình: (1 − i ) z + (2 − i) = 4 − 5i trên tập số phức. (TN THPT 2011_CB)
ĐS: z = 3 − i
15). Giải phương trình: ( z − i ) + 4 = 0 trên tập số phức. (TN THPT 2011_NC)
2
ĐS: z1 = 3i; z2 = −i
25i
16). Tìm các số phức: 2z + z và , biết z = 3 − 4i . (TN THPT 2012_CB)
z
3
- Học 24H
25i
ĐS: 2 z + z = 9 − 4i và = −4 + 3i
z
1 + 9i
17). Tìm các căn bậc hai của số phức: z = − 5i . (TN THPT 2012_NC)
1− i
ĐS: Các căn bậc hai của z là: −2i ; 2i
18). Gọi z1 , z2 là hai nghiệm của phương trình z + 2 z + 10 = 0 .2
2 2
Tính giá trị của biểu thức: A = z1 + z2 (ĐH KA-2009)
ĐS: A = 20
19). Tìm số phức z thỏa mãn z − (2 + i) = 10 và z.z = 25 (ĐH KB-2009)
ĐS: z = 3 + 4i hoặc z = 5
20). Trong mp (Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
z − (3 − 4i) = 2 (ĐH KD-2009)
ĐS: Đường tròn tâm I (3; −4) , bán kính R = 2
21). Cho số phức z thỏa mãn: (1 + i ) (2 − i ) z = 8 + i + (1 + 2i ) z .
2
Xác định phần thực, phần ảo của số phức z. (CĐ Khối A,B,D-2009).
ĐS: Re( z ) = −2; Im( z ) = 5
4z − 3 − 7i
22). Giải phương trình: = z − 2i trên ﾡ . (CĐ Khối A,B,D-2009).
z −i
ĐS: z1 = 1 + 2i ; z2 = 3 + i
( ) ( 1 − 2i ) . (ĐH KA-2010).
2
23). Tìm phần ảo của số phức z, biết: z = 2 +i
ĐS: Phần ảo: − 2
( 1 − 3i )
3
24). Cho số phức z thỏa mãn: z = . Tìm mô đun của z + iz (ĐH KA-2010).
1− i
ĐS: z + iz = 8 2
25). Trong mp (Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện:
z − i = (1 + i ) z (ĐH KB-2010).
ĐS: Đường tròn x 2 + ( y + 1) 2 = 2
26). Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z = 2 và z 2 là số thuần ảo. (ĐH KD-2010).
ĐS: z1 = 1 i ; z2 = −1 i
27). Cho số phức z thỏa mãn: (2 − 3i) z + (4 + i) z = −(1 + 3i) 2 .
Xác định phần thực , phần ảo của z. (CĐ Khối A,B,D-2010).
ĐS: Phần thực bằng –2 , phần ảo bằng 5.
28). Giải phương trình: z − (1 + i) z + 6 + 3i = 0 , trên ﾡ . (CĐ Khối A,B,D-2010).
2
ĐS: z1 = 1 − 2i ; z2 = 3i
2
29). Tìm tất cả các số phức z, biết: z 2 = z + z . (ĐH KA-2011).
1 1 1 1
ĐS: z = 0 �z = − + i �z = − − i
2 2 2 2
30). Tính mô đun của số phức z, biết: (2 z − 1)(1 + i ) + ( z + 1)(1 − i) = 2 − 2i . (ĐH KA-2011).
4
- Học 24H
2
ĐS: z =
3
5 + 3i
31). Tìm số phức z, biết: z − − 1 = 0 . (ĐH KB-2011).
z
ĐS: z = −1 − i 3 �z = 2 − i 3
3
�+ i 3 �
1
32). Tìm phần thực, phần ảo của số phức z = � �. (ĐH KB-2011).
� 1+ i �
ĐS: Phần thực bằng 2, phần ảo bằng 2.
33). Tìm số phức z, biết: z − (2 + 3i ) z = 1 − 9i . (ĐH KD-2011).
ĐS: z = 2 − i
34). Cho số phức z thỏa man: (1 + 2i) 2 z + z = 4i − 20 . Tính mô đun của z. (CĐ Khối A,B,D-
2010).
ĐS: z = 5
35). Cho số phức z thỏa mãn: z − 2(1 + i ) z + 2i = 0 .
2
1
Tìm phần thực, phần ảo của .(CĐ Khối A,B,D-2011).
z
�� 1
1 �� 1
1
ĐS: Re � � ; Im � � −
= =
�� 2
z �� 2
z
36). Cho số phức z thỏa mãn:
(
5 z +i ) = 2 − i . Tính mô đun 1 + z + z 2
(ĐH KA-2012).
z +i
ĐS: 1 + z + z = 13
2
z (1 + 2i)
37). Cho số phức z thỏa mãn: (2 + i) z + = 7 + 8i .
1+ i
Tìm mô đun số phức z + 1 + i . (ĐH KD-2012).
ĐS: z + 1 + i = 5
38). Giải phương trình: z + 3(1 + i ) z + 5i = 0 , trên tập số phức. (ĐH KD-2012).
2
ĐS: z = −1 − 2i �z = −2 − i
2−i
39). Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) − = (3 − i ) z . Tìm tọa độ biểu diễn của z trong
1+ i
mặt phẳng tọa độ Oxy.(CĐ Khối A,B,D-2012).
ĐS: Điểm tọa độ biểu diễn của z là
� 7�
1
M� ; �
� 10 �
10
40). Gọi z1 ; z2 là hai nghiệm phức của phương trình: z 2 − 2z + 1 + 2i = 0 .
Tính z1 + z2 . (CĐ Khối A,B,D-2012).
ĐS: z1 + z2 = 1 + 5
5
nguon tai.lieu . vn
