Xem mẫu
- EBOOK
CHINH PHỤC
OLYMPIC TOÁN
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN
TÍCH PHÂN
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
- CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
KỸ THUẬT GIẢI TOÁN
TÍCH PHÂN
EBOOK
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
- TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
Copyright © 2019 by Tap chi va tu lieu toan hoc.
All rights reserved. No part of this book may be reproduced or distributed in any form
or by anymeans, or stored in data base or a retrieval system, without the prior written
the permission of the author.
- KỸ THUẬT GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
- LỜI GIỚI THIỆU
Đây là cuốn sách fanpage Tạp Chí Và Tư Liệu Toán Học xuất bản 2 năm về trước,
tuy nhiên nay fanpage chia sẻ ebook này lại cho mọi người nên cũng không có
lời giới thiệu gì nhiều cả, chỉ mong mọi người trân trọng món quà này và vấn đề
bản quyền, như vậy chúng tôi đã cảm thấy rất vui rồi. Trong cuốn ebook này có
nhiều phần không phù hợp với kỳ thi và chúng tôi đã chú thích, các bạn nên
tránh sa đà vào những vấn đề như thế mà chỉ nên tập trung vào các kỹ thuật tính
toán tích phân (nếu không học cẩn thận các phần này thì các bạn coi chừng lên
đại học sẽ vật vã với môn giải tích đấy nhé ^^)
Tất nhiên là cuốn sách không thể tránh khỏi những sai sót, do vậy mọi ý kiến đóng
góp gửi về: https://www.facebook.com/OlympiadMathematical.
Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi fanpage!
- MỤC LỤC
Giới thiệu đôi nét về lịch sử…………………………………..……………..…..…………2
CHƯƠNG 1. Nguyên hàm – Tích phân hàm phân thức hữu tỷ………......................…5
CHƯƠNG 2. Nguyên hàm – Tích phân từng phần…………………………….………..46
I. GIỚI THIỆU…………………………………………………………...………….46
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN…………………………………………..………47
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP…………………………………..………….66
CHƯƠNG 3. Các bài toán về hàm lượng giác…………………………………….……118
I. GIỚI THIỆU CÁC LÝ THUYẾT CẦN NHỚ………………………………..…118
II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP…………………………….....…...119
III. CÁC BÀI TOÁN BIẾN ĐỔI TỔNG HỢP……………………………….…....145
CHƯƠNG 4. Nguyên hàm tích phân hàm vô tỷ, căn thức……………………..……..151
I. GIỚI THIỆU…………………...……...…………………………………………151
II. CÁC DẠNG TOÁN…………………..………………………………………..151
KỸ THUẬT LƯỢNG GIÁC HÓA………………………...……………………….167
III. TỔNG KẾT…………………………………………………...………………..175
CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP……………………………………………………..177
CHƯƠNG 5. Các loại tích phân đặc biệt…………………………………………..…..203
I. TÍCH PHÂN LIÊN KẾT……………………………………………..….………203
II. KỸ THUẬT ĐƯA BIỂU THỨC VÀO DẤU VI PHÂN………………...………206
III. KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ HÀM SỐ……………………..…………………….212
IV. TÍCH PHÂN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI……………………..………………….214
V. TÍCH PHÂN CÓ CẬN THAY ĐỔI……………………………………………219
VI. TÍCH PHÂN HÀM PHÂN NHÁNH…………………………………………224
VII. TÍCH PHÂN TRUY HỒI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN DÃY SỐ….…228
VII. CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP……………………………………241
CHƯƠNG 6. Phương pháp đổi cận đổi biến – Hàm ẩn……………………………….249
I. KỸ THUẬT ĐỔI ẨN VÀ TÍNH CHẤT CÁC HÀM ĐẶC BIỆT……………….249
II. CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH HÀM…………………………………….263
BÀI TẬP TỔNG HỢP……………………………………………………………..267
CHƯƠNG 7. Các bài toán về phương trình vi phân……………………………….…..321
BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TÍCH………………………………………………321
BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TỔNG……………………………………………..325
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP…………………………………………………329
CHƯƠNG 8. Các ứng dụng của tích phân……………………………………………...357
A. ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG……………………………360
B. ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH……………………………………………….423
C. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG THỰC TIỄN……………………………480
CHƯƠNG 9. Bất đẳng thức tích phân…………………………………………………..514
PHÂN TÍCH BÌNH PHƯƠNG…………………………………………………...514
CÂN BẰNG HỆ SỐ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM………………………..520
BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ CHO TÍCH PHÂN………………525
- | Giới thiệu đôi nét về lịch sử
GIỚI THIỆU ĐÔI NÉT VỀ LỊCH SỬ
C
ác ý tưởng giúp hình thành môn phân, nhờ đó ông đã tìm được giá trị gần
vi tích phân phát triển qua một đúng của số pi ở khoảng giữa hai phân số
thời gian dài. Các nhà toán học 310/71 và 31/7. Trong tất cả những khám
Hi Lạp là những người đã đi những bước phá của mình, Archimedes tâm đắc nhất
tiên phong. Leucippus, Democritus và là công thức tính thể tích hình cầu. “Thể
Antiphon đã có những đóng góp vào tích hình cầu thì bằng 2/3 thể tích hình trụ
phương pháp “vét cạn” của Hi Lạp, và ngoại tiếp“. Thể theo nguyện vọng lúc
sau này được Euxodus, sống khoảng 370 sinh thời, sau khi ông mất, người ta cho
trước Công Nguyên, nâng lên thành lí dựng một mộ bia có khắc hoa văn một
luận khoa học. Sở dĩ gọi là phương pháp hình cầu nội tiếp một hình trụ. Ngoài
“vét cạn” vì ta xem diện tích của một toán học, Archimedes còn có những phát
hình được tính bằng vô số hình, càng lúc minh về cơ học, thủy động học. Tất cả
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
càng lấp đầy hình đó. Tuy nhiên, chỉ có học sinh đều quen thuộc với định luật
Archimedes (287-212 B.C), mới là người mang tên ông về sức đẩy một vật thể khi
Hi Lạp kiệt xuất nhất. Thành tựu to lớn nhúng vào một chất lỏng cùng với câu
đầu tiên của ông là tính được diện tích thốt bất hủ “Eureka! Eureka!” (Tìm ra rồi!
giới hạn bởi tam giác cong parabol bằng Tìm ra rồi!) khi ông đang tắm. Ông tìm ra
4 các định luật về đòn bẩy cùng câu nói nổi
diện tích của tam giác có cùng đáy và
3 tiếng “Hãy cho tôi một điểm tựa, tôi sẽ nhấc
2 bổng quả đất“).
đỉnh và bằng diện tích của hình bình
3
Dù ông có vẻ thích toán học hơn
hành ngoại tiếp. Để tìm ra kết quả này,
vật lí, nhưng Archimedes vẫn là một kỹ
Archimedes dựng một dãy vô tận các tam
sư thiên tài. Trong những năm quân xâm
giác, bắt đầu với tam giác có diện tích
lược La Mã hùng mạnh tấn công đất nước
bằng A và tiếp tục ghép thêm các tam
Syracuse quê hương ông, nhờ có những
giác mới nằm xen giữa các tam giác đã có
khí tài do ông sáng chế như máy bắn đá,
với đường parabol. Hình parabol dần dần
cần trục kéo lật tàu địch, gương parabol
được lấp đầy bởi các tam giác có tổng
đốt cháy chiến thuyền, đã giúp dân thành
diện tích là:
Syracuse cầm chân quân địch hơn 3 năm.
A A A A A A
A,A + ,A + + ,A + + + .... Cuối cùng quân La Mã cũng tràn được
4 4 16 4 16 64
vào thành. Dù có lệnh tướng La Mã là
Diện tích giới hạn bởi parabol là
Marcus không được giết chết ông, một
1 1 1 4A
A 1 + + + + ... = tên lính La Mã thô bạo xông vào phòng
4 16 64 3
làm việc khi ông đang mê mải suy nghĩ
Archimedes cũng dùng phương pháp
cạnh một sa bàn một bài toán hình dang
“vét cạn” để tính diện tích hình tròn. Đây
dở. Khi thấy bóng của nó đổ lên hình vẽ,
là mô hình đầu tiên của phép tính tích
ông quát lên: ” Đừng quấy rầy đến các
Tạp chí và tư liệu toán học | 2
- Kỹ thuật giải toán tích phân|
đường tròn của ta !”. Thế là tên lính nỗi mới 15 tuổi, ông đã được nhận vào học
cáu, đâm chết ông. Sau khi ông mất, nền luật tại Đại học Leipzig, và 20 tuổi đã đậu
toán học hầu như rơi vào trong bóng tối tiến sĩ luật. Sau đó, ông hoạt động trong
cho đến thế kỹ thứ 17. Lúc này do nhu ngành luật và ngoại giao, làm cố vần luật
cầu kỹ thuật, phép tính vi tích phân trở pháp cho các ông vua bà chúa. Trong
lại để giải quyết những bài toán về sự những chuyến đi công cán ở Paris, Leibnz
biến thiên các đại lượng vật lý. Phép tính có dịp gặp gỡ nhiều nhà toán học nổi
vi tích phân được phát triển nhờ tìm ra tiếng, đã giúp niềm say mê toán học của
cách giải quyết được bốn bài toán lớn ông thêm gia tăng. Đặc biệt, nhà vật lí học
của thời đại: lừng danh Huygens đã dạy ông toán học.
1. Tìm tiếp tuyến của một đường Vì không phải là dân toán học chuyên
cong. nghiệp, nên có nhiều khi ông khám phá
2. Tìm độ dài của một đường cong. lại những định lí toán học đã được các
3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của nhà toán học khác biết trước. Trong đó có
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
một đại lượng ; ví dụ tìm khoảng sự kiện được hai phe Anh Đức tranh cãi
cách gần nhất và xa nhất giữa một trong suốt 50 năm. Anh thì cho chính
hành tinh và mặt trời, hoặc khoảng Newton là cha đẻ của phép tính vi tích
cách tối đa mà một đạn đạo có thể phân trong khi Đức thì nói vinh dự đó
bay tới theo góc bắn đi của nó. phải thuộc về Leibniz. Trong khi hai
4. Tìm vận tốc và gia tốc của một vật đương sự thì không có ý kiến gì. Đúng ra
thể theo thời gian biết phương là hai người đã tìm được chân lý trên một
trình giờ của vật thể ấy. cách độc lập: Leibniz tìm ra năm 1685,
Vào khoảng giữa thế kỷ 17, những mười năm sau Newton, nhưng cho in ra
anh tài của thời đại, như Fermat, công trình của mình trước Newton hai
Roberval, Descartes, Cavalieri lao vào giải mươi năm. Leibniz sống độc thân suốt
các bài toán này. Tất cả cố gắng của họ đã đời và mặc dù có những đóng góp kiệt
đạt đến đỉnh cao khi Leibniz và Newton xuất, ông không nhận được những vinh
hoàn thiện phép tính vi tích phân. Leibniz quang như Newton. Ông trải qua những
( 1646-1716) Ông là một nhà bác học thiên năm cuối đời trong cô độc và nổi cay
tài, xuất sắc trên nhiều lãnh vực: một nhà đắng. Newton(1642-1727) - Newton sinh
luật học, thần học, triết gia, nhà chính trị. ra tại một ngôi làng Anh Quốc. Cha ông
Ông cũng giỏi về địa chất học, siêu hình mất trước khi ông ra đời, một tay mẹ nuôi
học, lịch sử và đặc biệt toán học. Leibniz nầng và dạy dỗ trên nông trại nhà. Năm
sinh ở Leipzig, Đức. Cha là một giáo sư 1661, ông vào học tại trường đại học
triết học tại Đại học Leipzig, mất khi ông Trinity ở Cambridge mặc dù điểm hình
vừa sáu tuổi. Cậu bé suôt ngày vùi đầu ở học hơi yếu. Tại đây ông được Barrow,
thư viện của cha, ngấu nghiến tất cả các nhà toán học tài năng chú ý. Ông lao vào
quyển sách về đủ mọi vần đề. Và thói học toán và khoa học, nhưng tốt nghiệp
quen này đã theo cậu suốt đời. Ngay khi loại bình thường. Vì bệnh dịch hoành
3 | Chinh phục olympic toán
- | Giới thiệu đôi nét về lịch sử
hành khắp châu Âu và lan truyền nhanh bè đồng nghiệp. Năm 1687, trước sự
chóng đến London, ông phải trở lại làng khuyến khích nhiệt tình của nhà thiên
quê và trú ngụ tại đó trong hai năm 1665, văn học Halley, Newton mới chịu cho
1666. Chính trong thời gian này, ông đã xuất bản cuốn Những nguyên tắc toán
xây dựng những nền tảng của khoa học học. Tác phẩm này ngay lập tức được
hiện đại: khám phá nguyên tắc chuyển đánh giá là một trong những tác phẫm có
động các hành tinh, của trọng lực, phát ảnh hưởng lớn lao nhất của nhân loại.
hiện bản chất của ánh sáng. Tuy thế ông Cũng tương tự như thế, chỉ sau khi biết
không phổ biến các khám phá của mình. Leibniz đã in công trình của minh, ông
Ông trở lại Cambridge năm 1667 để lấy mới công bố tác phẩm của mình về phép
bằng cao học. Sau khi tốt nghiệp, ông dạy tính vi tich phân. Vĩ đại như thế, nhưng
học tại Trinity. Năm 1669, ông giữ chức khi nói về minh ông luôn cho rằng sở dĩ
giáo sư trưởng khoa toán, kế nhiệm giáo ông có đôi khi nhìn xa hơn kẻ khác vì ông
sư Barrow, một chức danh vinh dự nhất đứng trên vai của các vĩ nhân. Và với
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
trong giáo dục. Trong những năm sau đó, những khám phá lớn lao của mình, ông
ông đã công thức hoá các đinh luật hấp nói: “Tôi thấy mình như một đứa trẻ chơi
dẫn, nhờ đó giải thích được sự chuyễn đùa trên bãi biển, may mắn gặp được những
động của các hành tinh, mặt trăng và viên sỏi tròn trịa, hoặc một vỏ sò đẹp hơn
thủy triều. Ông cũng chế tạo ra kính viễn bình thường, trong khi trước mặt là một đại
vọng hiện đại đầu tiên. Trong đời ông, dương bao la của chân lí mà tối chưa được
ông ít khi chịu cho in các khám phá vĩ đại biết“.
của mình, chỉ phổ biến trong phạm vi bạn
Tạp chí và tư liệu toán học | 4
- Kỹ thuật giải toán tích phân|
NGUYÊN HÀM – TÍCH
1
CHƯƠNG
PHÂN HÀM HỮU TỶ
N
guyên hàm phân thức hữu tỷ là một bài toán khá cơ bản, nhưng cũng được phát
triển ra rất nhiều bài toán khó, hầu như các bài toán nguyên hàm – tích phân
khó sau khi biến đổi ta sẽ đưa chúng được về dạng nguyên hàm – tích phân
hàm hữu tỷ. Trong mục này ta sẽ tìm hiểu cách giải quyết dạng toán này.
Tổng quát. Với hàm hữu tỉ, nếu bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu thì phải chia
tách phần đa thức để còn lại hàm hữu tỉ với bậc tử bé hơn mẫu. Nếu bậc của tử bé hơn bậc
của mẫu thì phân tích mẫu ra các thừa số bậc nhất ( x + a ) hay ( x 2 + px + q ) bậc hai vô
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
A Bx + C
nghiệm rồi đồng nhất hệ số theo phần tử đơn giản: ; 2 ( Đồng nhất hệ số ở tử
x + a x + px + q
thức thì tính được các hằng số A, B, C, … Kết hợp với các biến đổi sai phân, thêm bớt đặc
biệt để phân tích nhanh)
CÁC DẠNG TOÁN
CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐA THỨC HỮU TỶ.
b
• P ( x ) dx : Chia miền xét dấu P ( x ) ,
a
b
x ( mx + n )
• dx : Đặt u = mx + n hoặc phân tích,
a
b
( mx + n ) ( px + qx + r )
• 2
dx : Đặt u = px 2 + qx + r ,
a
b
(x + m) .(x + m )
• dx : Nếu thì đặt u = x + n .
a
CÁC DẠNG TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC
b
1
1. Dạng px
a
2
+ qx + r
dx . Lập = q 2 − 4pr .
b
dx
• Nếu = 0 , dùng công thức của hàm đa thức.
( mx + n )
2
a
5 | Chinh phục olympic toán
- | Nguyên hàm tích phân hàm phân thức
b
dx
• Nếu 0 , đặt x = k tan t
a
x +2
k 2
b
dx 1 1 1 1
• Nếu 0 , biến đổi 2 = −
a
x −k
2 2
x −k 2
2k x − k x + k
b
mx + n
2. Dạng px
a
2
+ qx + r
dx . Lập = q 2 − 4pr
• Nếu 0 Phân tích và dùng công thức.
mx + n A ( px 2 + qx + r ) ' B
• Nếu 0 = +
px + qx + r px + qx + r (x + ) + k2
2 2 2
b b
dx x n −1dx
3. Dạng x = , đặt t = 1 + x n .
a (1 + x )
n m
a xn ( 1 + x )
n m
Chú ý. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn −a; a .
a
• Nếu f ( x ) lẻ thì f ( x ) dx = 0 .
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
−a
a a
• Nếu f ( x ) chẵn thì f ( x ) = 2 f ( x ) dx .
a 0
CÁC CÔNG THỨC NÊN NHỚ.
1 1 x−a
• ( x − a )( x − b ) dx = a − b ln x − b + C
mx + n A B
• = +
( ax + b ) ax + b ( ax + b )2
2
mx + n A B C
• = + + .
( ax + b ) ( cx + d ) ( ax + b ) cx + d ax + b
2 2
1 1 x
• x 2
+a 2
dx = arctan + C
a a
ax + b
arctan
1 c +C
• ( ax + b )2 + c2 dx =
ac
CÔNG THỨC TÁCH NHANH PHÂN THỨC HỮU TỶ
P (x)
A =
( x − b )( x − c ) x=a
P (x) A B C P (x)
• = + + B =
( x − a )( x − b )( x − c ) x − a x − b x − c ( x − a )( x − c ) x=b
C = P ( x)
( x − a )( x − b ) x=c
Tạp chí và tư liệu toán học | 6
- Kỹ thuật giải toán tích phân|
P ( x)
A = 2
P ( x) ax + bx + c x =m
A Bx + C
• = +
( x − m ) ( ax2 + bx + c ) x − m ax2 + bx + c P ( x ) − A ( ax 2 + bx + c )
Bx + C = x−m
x = 1000
Sau đây ta sẽ cùng đi vào các ví dụ minh họa cụ thể cho dạng toán này!
Câu 1.
1
2 3
x 3
x −5 2 2
x3
Tính các tích phân sau : a) I =
1
2x + 3
dx b) I = x + 1 dx c) 0 x2 − 1 dx
5
Lời giải
3 9 27
1 (
2x 3 + 3x 2 ) − ( 2x 2 + 3x ) + ( 2x + 3 ) −
x3 2 4
2
4 = x − 3 x+ 9 − 27
a) Ta có: = . .
2x + 3 2 2x + 3 2 4 8 8 ( 2x + 3 )
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
2
x3
2
x2 3 9 27
dx = − x + − dx
1
2x + 3 1
2 4 8 8 ( 2x + 3 )
2
1 3 9 27 13 27
= x 3 − x 2 + x − ln 2x + 3 = − − ln 35
3 8 8 16 1 6 16
x2 − 5 x2 − 1 − 4 4
b) Ta có: = = x−1− .
x+1 x+1 x+1
3
3
x2 − 5
3
4 1 2 5 +1
dx = x − 1 − x + 1 dx = 2 x − x − 4 ln x + 1 = 5 − 1 + 4 ln .
5
x+1 5 5 4
x3 x ( x2 − 1) + x x
c) Ta có: 2 = = x+ 2 .
x −1 x −1
2
x −1
1 1 1 1 1
1
x2 3
2
x xdx x2
2 2 2 1 1 1 3
2 dx = x + 2 dx = xdx + 2 = + ln x 2 − 1 2
= + ln .
0
x −1 0
x −1 1 0
x −1 2 0
2 0 8 2 4
Câu 2.
1
4x + 11
Tính tích phân: I = dx .
0
x + 5x + 6
2
Lời giải
Cách 1. Phương pháp đồng nhất thức
4x + 1 4x + 11 A B A ( x + 3) + B ( x + 2 )
Ta có f ( x ) = = = + =
x + 5x + 6 ( x + 2 )( x + 3 ) x + 2 x + 3
2
( x + 2 )( x + 3 )
Thay x = −2 vào hai tử số: 3 = A và thay x = −3 vào hai tử số: −1 = −B suy ra B = 1
3 1
Do đó: f ( x ) = +
x+2 x+3
7 | Chinh phục olympic toán
- | Nguyên hàm tích phân hàm phân thức
1 1
4x + 11 3 1 1
Vậy 0 x2 + 5x + 6 dx = 0 x + 2 x + 3
+ dx = 3ln x + 2 + ln x + 3 0
= 2 ln 3 − ln 2
Cách 2. Nhảy tầng lầu
2 ( 2x + 5 ) + 1 2x + 5 1 2x + 5 1 1
Ta có: f ( x ) = = 2. + = 2. 2 + −
x + 5x + 6
2
x + 5x + 6 ( x + 2 )( x + 3 )
2
x + 5x + 6 x + 2 x + 3
1 1
2x + 5 1 1
I = f ( x ) dx = 2. 2 + − dx
0 0
x + 5x + 6 x + 2 x + 3
1
x+2
= 2 ln x 2 + 5x + 6 + ln = 2 ln 3 − ln 2
x + 3 0
Câu 3.
3 1
x3 4x
Tính các tích phân sau a) I = 2 dx b) I = dx
0
x + 2x + 1 0
4x − 4x + 1
2
Lời giải
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
a)
Cách 1. Thực hiện cách chia đa thức x 3 cho đa thức x 2 + 2x + 1 đã học ở chương trình lớp 8
x3 3x + 2
Ta được = x−2+ 2
x + 2x + 1
2
x + 2x + 1
3 3 3
x3 3x + 3 − 1
I= dx = ( x − 2 ) dx + 2 dx
0
x + 2x + 1
2
0 0
x + 2x + 1
3 d ( x + 2x + 1 )
32
x2 3 3
dx
= − 2x + −
0 2 0 x + 2x + 1 0 ( x + 1)
2 2
2
3
3 3 2 3 1 3 3 1 9
= − + ln ( x + 1 ) + = − + ln 16 + − 1 = − + 6 ln 2.
2 2 0 x+1 0 2 2 4 4
3 3
x3 x3
Cách 2. Ta có 2 dx = dx
0 ( x + 1)
0
x + 2x + 1 2
x = 0 t = 1
Đặt t = x + 1 dx = dt; x = t − 1 . Đổi cận
x = 3 t = 4
( t − 1)
3 4 3 4 4
x3 3 1 1 2 1 9
dx = dt = t − 3 + − 2 dt = t − 3t + 3 ln t + = − + 6 ln 2
( x + 1)
2
0 1
t2 1
t t 2 t 1 4
4x 4x
b) Ta có =
4x − 4x + 1 ( 2x − 1)2
2
1 x = 0 t = −1
Đặt t = 2x − 1 dt = 2dx → dx = dt . Đổi cận
2 x = 1 t = 1
1
4x
1
4x
1 1 4. ( t + 1) 1 1
1 1 1
1
Do đó 2 dx = dx = 2
0
4x − 4x + 1 0 ( 2x − 1 )
2
−1
t 2
2
dt = + 2
−1
t t
dt = ln t − = −2
t −1
Tạp chí và tư liệu toán học | 8
- Kỹ thuật giải toán tích phân|
Câu 4.
2 2
x x3 + 2x 2 + 4x + 9
Tính các tích phân sau a) I = 2 dx b) I = dx
0
x + 4x + 5 0
x2 + 4
Lời giải
2 2
x x
a) Ta có x
0
2
+ 4x + 5
dx =
0 (x + 2) + 1
2
dx
1 x = 0 tan t = 2
Đặt x + 2 = tan t , suy ra dx = dt . Đổi cận
cos 2 t x = 2 tan t = 4
2 t2 t
x tan t − 2 dt 2
sin t
( )
t2
Do đó 0 ( x + 2 ) + 1
2
dx = 1 + tan 2 t cos2 t t cos t
= − 2 dt = − ln cos t − 2t
t1
( 1)
t1 1
1 1
tan t = 2 1 + tan t = 5 cos t = 5 cos t 1 = 5
2 2
Ta có
tan t = 4 1 + tan 2 t = 17 cos 2 t = 1 cos t = 1
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
2
17 17
cos t 2
( − ln cos t − 2t ) = − ( ln cos t 2 ) − 2t 2 − ( ln cos t 1 − 2t 1 ) = − ln
t2
+ 2 (t2 − t1 )
t1 cos t 1
1 1 5
= 2 ( arctan 4 − arctan 2 ) − ln . 5 = 2 ( arctan 4 − arctan 2 ) − ln
17 2 17
x3 + 2x 2 + 4x + 9 x 3 + 4x + 2x 2 + 8 + 1 1
b) Ta có = = x+2+ 2
x +4
2
x +4
2
x +4
2 2 2 2
x3 + 2x 2 + 4x + 9 1 1 2 dx
Do đó: dx = x + 2 + 2 dx = x + 2x + 2 =6+J (1)
0
x +4
2
0
x +4 2 0 0 x +4
2
1
• Tính tích phân J = dx
0
x +4
2
x = 0 t = 0
2
Đặt x = 2 tan t suy ra: dx = dt. Đổi cận . Ta có t 0; → cos t 0
cos2 t x = 2 t = 4 4
2
1 1 1 2 4
1 1 4 4
Khi đó J = 2 dx = dt = dt = t = . Từ ( 1 ) I = 6 + .
0
x +4 4 0 1 + tan t cos t
2 2
20 2 0 8 8
Câu 5.
1 0
x x4
Tính các tích phân sau a) I = dx b) I = ( x − 1) dx
( x + 1)
3 3
0 −1
Lời giải
x = 0 t = 1
a) Cách 1. Đặt x + 1 = t , suy ra x = t − 1 . Đổi cận .
x = 1 t = 2
9 | Chinh phục olympic toán
- | Nguyên hàm tích phân hàm phân thức
1 2 2 2
x t−1 1 1 1 1 1 1
Do đó dx = 3 dt = 2 − 3 dt = − + 2 =
0 ( x + 1)
3
1
t 1
t t t 2 t 1 8
Cách 2. Ta có
x
=
( x + 1) − 1 = 1 − 1
( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)
3 3 2 3
1
1
x 1 1 1 1 1 1 1
Do đó ( x + 1)
0
3
dx =
0
− 3
( x + 1 ) ( x + 1 )
2
dx = − + 2
=
x + 1 2 ( x + 1 ) 0 8
x = −1 t = −2
b) Đặt x − 1 = t , suy ra x = t + 1 . Đổi cận
x = 0 t = −1
( t + 1)
0 −1 4 −1 −1
x4 t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 6 4 1
Do đó ( x − 1)
−1
3
dx =
−2
t3
dt = −2 t 3
dt = t + 4 + + 2 + 3 dt
−2
t t t
−1
1 4 1 1 33
= t 2 + 4t + 6 ln t − − 2 = − 6 ln 2
2 t 2 t −2 8
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
Câu 6.
6+ 2
−4x 4 + x 2 − 3
( )
3
2
Tính tích phân
1
x +1
4
dx =
8
a 3 + b + c + 4 . Với a , b , c là các số nguyên.
Khi đó biểu thức a + b 2 + c 4 có giá trị bằng ?
Lời giải
6+ 2 6+ 2 6+ 2 6+ 2
2
−4x 4 + x 2 − 3 2
x2 + 1 2 2
x2 + 1
Ta có 1
x4 + 1
dx =
1
− 4 + dx = −4
x4 + 1
1
dx +
1
x4 + 1
dx = I + J .
6+ 2
2 6+ 2
• Tính I = −4 1
dx = −4x 1 2 = −2 6 − 2 2 + 4 .
6+ 2 6+ 2 1 6+ 2 1
1+ 1+
2
x +1
2 2
x 2 dx =
2
x2
• Tính J = x4 + 1
dx = 1 1
2
dx.
x2 + 2
x− + 2
1 1 1
x x
x = 1 t = 0
1 1
Đặt t = x − dt = 1 + 2 dx . Khi 6+ 2 .
x x x = t= 2
2
2
dt
Khi đó J = . Đặt t = 2 tan u dt = 2 ( 1 + tan 2 u ) du .
( 2)
2
0 t +
2
t = 0 u = 0 4 2 ( 1 + tan 2 u )
24 2 4 2
Đổi cận J= du = du = u = .
t = 2 u = 4 0 2 ( 1 + tan u )
2
2 0 2 0 8
Tạp chí và tư liệu toán học | 10
- Kỹ thuật giải toán tích phân|
6+ 2
−4x 4 + x 2 − 3 a = b = −16
( )
2
2
Vậy
1
x +1
4
dx =
8
−16 3 − 16 + + 4
c = 1
a + b 2 + c 4 = 241 .
Câu 7.
3 3
1 x2
Tính các tích phân sau a) I = dx b) I = dx
( x − 1)( x + 1) ( x − 1) ( x + 2 )
3 2
2 2
Lời giải
a) Cách 1. Phương pháp đồng nhất thức
A ( x + 1 ) + B ( x − 1 )( x + 1 ) + C ( x − 1 )
2
1 A B C
Ta có = + + = ( 1)
( x − 1 )( x + 1 )
2
x − 1 ( x + 1) ( x + 1) 2
( x − 1 )( x + 1 )
2
1
A=
1 = 4A 4 .
Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số
1 = −2C C = − 1
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
2
( A + B ) x2 + ( 2A + C ) x + A − B − C 1 1 1
( 1) A−B−C = 1 B = A−C−1 = + −1 = −
( x − 1)( x + 1)
2
4 2 4
3
1 1 1
3
1 1 1 1
Do đó 2 ( x − 1)( x + 1) dx =
2 2 4 . x − 1 + 4 . ( x + 1) − 2 ( x + 1)2 dx
3
1 1 1 1 3
= ln ( x − 1 )( x + 1 ) + . = ln 8 = ln 2 .
4 2 ( x + 1) 4 4
2
Cách 2. Phương pháp đổi biến
x = 2 t = 3
Đặt t = x + 1 , suy ra x = t − 1 . Đổi cận
x = 3 t = 4
1 t − (t − 2) 1 1
3 4 4 4 4
1 dt 1
Khi đó I = 3 t 2 ( t − 2 ) 2 3 t 2 ( t − 2 ) 2 2 t ( t − 2 ) 3 t dt
dx = = dt = dt −
2 ( x − 1 )( x + 1 )
2
4
11 1 1 1 t−2 1
4 4
1 3
I = − dt − dt = ln − ln t = ln 2 .
22 2t−2 t 3
t 4 t 2 3 4
x = 2 t = 1
b) Đặt t = x − 1 , suy ra x = t + 1 , dx = dt . Đổi cận .
x = 3 t = 2
( t + 1)
3 2 2 2 2
x2 t + 2t + 1
Do đó 2 ( x − 1)2 ( x + 2 ) dx = 1 t 2 ( t + 3 ) dt = 1 t 2 ( t + 3 ) dt
Cách 1. Phương pháp đồng nhất thức
Ta có
t 2 + 2t + 1 At + B
= +
C
=
( At + B )( t + 3 ) + Ct = ( A + C ) t + ( 3A + B ) t + 3B
2 2
t ( t + 3)
2
t 2
t+3 t2 ( t + 3) t2 (t + 3)
11 | Chinh phục olympic toán
- | Nguyên hàm tích phân hàm phân thức
1
B = 3
A + C = 1
5 t 2 + 2t + 1 1 t + 3 4 1
Đồng nhất hệ số hai tử số 3A + B = 2 A = 2 = +
3B = 1 9 t ( t + 3 ) 9 t 2
9 t+3
4
C = 9
2 2
t 2 + 2t + 1 1 1 3 4 1
2 dt = + 2 + dt
1
t ( t + 3) 1
9 t t 9 t + 3
2
1 3 4 17 4 7
= ln t − + ln t + 3 = + ln 5 − ln 2
9 t 9 1 6 9 9
Cách 2:
1 3t 2 + 6t 1 t − ( t − 9 )
2 2
t 2 + 2t + 1 1 3t 2 + 6t + 3 1 3t 2 + 6t 3
Ta có 2 = = + = +
t ( t + 3) 3 t 3 + 3t 2 3 t 3 + 3t 2 t 2 ( t + 3 ) 3 t 3 + 3t 2 9 t 2 ( t + 3 )
1 3t 2 + 6t 1 1 1 t − 3 1 3t 2 + 6t 1 1 1 1 3
= 3 + − = 3 + − − 2
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
2 2
3 t + 3t 9 t + 3 9 t 2
3 t + 3t 9 t + 3 9 t t
2
2
t 2 + 2t + 1
2
1 3t 2 + 6t 1 1 1 3 1 1 t + 3 3
2 dt = 3 2
+ − + 2 dt = ln t 3 + 3t 2 + ln −
1
t ( t + 3) 1
3 t + 3t 9 t + 3 t t 3 27 t t 1
17 4 7
Do đó I = + ln 5 − ln 2 .
6 9 9
Câu 8.
Tính các tích phân sau
3 4 3
1 x+1 x2
a) I = dx b) I = dx c) 2 ( x2 − 1) ( x + 2 ) dx
2 x ( x2 − 1) 3 x ( x 2
− 4 )
Lời giải
a) Cách 1. Phương pháp đồng nhất thức
1 1 A B C A ( x 2 − 1 ) + Bx ( x + 1 ) + Cx ( x − 1 )
Ta có f ( x ) = = = + + =
x ( x 2 − 1 ) x ( x − 1 )( x + 1 ) x x − 1 x + 1 x ( x − 1 )( x + 1 )
Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm: x = 0; x = 1 và x = −1 vào hai tử ta có
A = −1
x = 0 → 1 = −A
1 1 1 1 1 1
x = −1 → 1 = 2C B = f (x) = − + +
x = 1 → 1 = 2B 2 x 2 x−1 2 x+1
1
C = 2
3 3 3
1 1 1 1 1 1 5 3
Vậy dx = + − dx = ( ln ( x − 1 )( x + 1 ) ) − ln x = ln 2 − ln 3
2 x ( x − 1)
2
2
2 x−1 x+1 x 2 2 2 2
Cách 2. Phương pháp nhảy lầu
Tạp chí và tư liệu toán học | 12
- Kỹ thuật giải toán tích phân|
1 x2 − ( x2 − 1) x 1 1 2x 1
Ta có = = − = −
x ( x − 1) x ( x − 1) x −1 x 2 x −1 x
2 2 2 2
3 3 3 3
1 1 2xdx 1 1 5 3
Do đó dx = 2 − dx = ln ( x 2 − 1 ) − ln x = ln 2 − ln 3 .
2 x ( x − 1)
2
2 2 x −1 2 x 2 2 2 2
b) Cách 1. Phương pháp đồng nhất thức
x+1 x+1 A B C A ( x 2 − 4 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x − 2 )
Ta có = = + + =
x ( x 2 − 4 ) x ( x − 2 )( x + 2 ) x x − 2 x + 2 x ( x2 − 4 )
Thay các nghiệm của mẫu số vào hai tử số:
1
• Khi x = 0 A = −
4
1
• Khi x = −2 C = −
8
3
• Khi x = 2 B =
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
8
1 1 1 1 3 1
Do đó f ( x ) = − − +
4 x 8 x−2 8 x+2
4 3 3 3
x+1 1 1 1 1 3 1
dx = − dx − dx + dx
3 x (x − 4)
2
42x 8 2 x−2 8 2 x+2
3
1 1 3 5 3 1
= − ln x − ln x − 2 + ln x + 2 = ln 3 − ln 5 − ln 2
4 8 8 2 8 8 4
Cách 2. Phương pháp nhảy lầu
1 1 x − (x − 4)
2 2
x+1 1 1 1 1
Ta có = + = − +
x ( x 2 − 4 ) ( x 2 − 4 ) x ( x 2 − 4 ) 4 x − 2 x + 2 4 x ( x 2 − 4 )
1 1 1 1 2x 1
= − + −
4x−2 x+2 2 x −4 x
2
4 4 4
x+1 1 1 1 1 2x 1 1 x−2 1
Do đó: = − + − dx = ln + ln ( x 2 − 4 ) − ln x
3 x (x − 4)
2
4 3x−2 x+2 2 x −4 x
2
4 x+2 2 3
c) Cách 1. Phương pháp đồng nhất thức
x2 x2 A B C
Ta có = = + +
( x − 1) ( x + 2 ) ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) x − 1 x + 1 x + 2
2
A ( x + 1 )( x + 2 ) + B ( x − 1 )( x + 2 ) + C ( x 2 − 1 )
=
(x 2
− 1) ( x + 2 )
Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số:
1
Thay x = 1 ta có 1 = 2A , suy ra A =
2
13 | Chinh phục olympic toán
- | Nguyên hàm tích phân hàm phân thức
1
Thay x = −1 ta có 1 = −2B , suy ra B = −
2
5
Thay x = −2 ta có 4 = −5C , suy ra C = −
4
Do đó
3 3 3
x2 1 1 1 1 5 1 1 x−1 5 1 3
I= 2 dx = − − dx = ln − ln x + 2 = ln .
2 ( x − 1) ( x + 2 ) 2
2 x−1 2 x+1 4 x+2 2 x+1 4 2 2 2
Cách 2. Nhảy tầng lầu
x2 x2 − 1 + 1 1 1 1 1 x ( x + 1) − ( x − 1)( x + 2 )
= = + = +
( x2 − 1) ( x + 2 ) ( x2 − 1) ( x + 2 ) x + 2 ( x − 1)( x + 1)( x + 2 ) x + 2 2 ( x − 1)( x + 1)( x + 2 )
1 1 x 1 1 1 1 1 1 1
= + − = + 1 + − − .
x + 2 2 ( x − 1)( x + 2 ) x + 1 x + 2 2 3 x − 1 x + 2 x + 1
Từ đó suy ra kết quả.
CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN
Câu 9.
Tìm các nguyên hàm, tính các tích phân sau:
1
x4 − 2 4
3
1. 3 dx xdx
x −x 6. N = x
0
8
−1
dx
2. 2
8x7 + 2
x ( 1 + x8 ) 7. Q = dx
1 x ( 1 + x 7
)
x2 − 1
3. x4 + x2 + 1 dx x4 + 2
8. J = 6 dx
2 x +1
x4 − x + 1
4. K = 2 dx 3 x10
0
x +4 9. 4 x3 + 1
dx
1
x +x +1
4 2
5. L = dx x2 − 1
1
0
x 6
+ 1 10. 21 x4 + 1 dx
Lời giải
x4 − 2 x2 − 2 x2 − 2
1. Ta có = x + = x + .
x3 − x x3 − x x ( x − 1 )( x + 1 )
x2 − 2 A B C
Đặt = + + x2 − 2 = ( A + B + C ) x2 + ( B − C ) x − A
x ( x − 1 )( x + 1 ) x x − 1 x + 1
1 1
Đồng nhất hệ số thì được A = 2, B = − , C = − , do đó:
2 2
2 1 1 1 1 1 1
f ( x ) dx = x + x − 2 . x − 1 − 2 . x + 1 dx = 2 x + 2 ln x − ln x 2 − 1 + C
2
2
Tạp chí và tư liệu toán học | 14
- Kỹ thuật giải toán tích phân|
dx x7 dx 1 d ( x8 ) 1 x8
2. Ta có
x ( 1 + x8 ) x8 ( 1 + x8 ) 8 x8 ( 1 + x8 ) 8 1 + x
= = = ln 8
+C
1
dx +
x2 − 1 x 1 x2 − x + 1
3. Ta có 4 dx = 1 2 = ln +C
x + x2 + 1 2 x2 + x + 1
x+ −1
x
4. Đặt x = 2 tan t, x 0; 2 t 0; .
4
/4 /4
16 tan 4 t − 2 tan t + 1 2dt 1
K= = ( 16 tan t − 2 tan t + 1 ) dt
4
.
4 ( tan t + 1 )
2
0
2
cos t 2 0
/4
( 16 tan t ( 1 + tan t ) − 16 tan )
1
= 2 2 2
t − 2 tan t + 1 dt
2 0
16 17
TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC
Từ đó tính được K = − + − ln 2
3 8
2 d (x )
1 3
1 2x 2
1
dx
1
5. Ta có L = 2 + 6 dx = 0 x2 + 1 3 0 x3 2 + 1
+
0
x +1 x +1 ( )
5
Lần lượt đặt x = tan t, x 3 = tan u thì L =
12
1 1 1
6. Đặt t = x 2 thì xdx = dt .Khi x = 0 thì t = 0, x = 4 thì t =
2 3 3
1 1 1
3 3
1 t −1 1 3 1
N=
1
2
dt
=
t −1 4
4
1
1
2 −
1
t −1 t +1
2 dt = ln
8 t+1 4
− arctan t
0
= ln 2 − 3 −
8 24
( )
0 0
2 2 2
8x7 + 1 + 1 8x7 + 1 1
7. Ta có Q = dx = dx + dx
1 x (1 + x ) 1 x (1 + x )
7
1
x +x
8 7
2
x6 1
2
d ( x7 )
= ln ( x + x ) + 7
2
8
dx = ln 129 + 7
1 x (1 + x )
1 7
7 1 x ( 1 + x7 )
2
1 x7 1 256
= ln 129 + ln = ln 129 + ln
7 1 + x7 1
7 129
1 1 dx
8. Ta có J = 2 + 4 dx = C + arctan x + 4
x +1 x −x +1 x − x2 + 1
2
dx
Như vậy ta chỉ cần tính K =
x − x2 + 1 4
Với trường hợp x = 0 làm dễ dàng, xét trường hợp x 0 ta có
15 | Chinh phục olympic toán
nguon tai.lieu . vn
