Xem mẫu
- www.VNMATH.com
CÁC K THU T CƠ B N ð CH NH MINH B T ð NG TH C VÀ TÌM GIÁ TR L N NH T, GIÁ TR NH NH T TRONG CÁC KÌ
THI TUY N SINH ð I H C, CAO ð NG, L P CHUYÊN, L P CH N
Cao Minh Quang1, THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long, e-mail: kt13quang@yahoo.com
*****
B t ñ ng th c và bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t là nh ng d ng toán khó không ch trong các kì thi h c sinh gi i các c p
mà còn thư ng hay xu t hi n trong các kì tuy n sinh ñ i h c, tuy n sinh vào l p chuyên, l p ch n.
Bài vi t này xin nêu m t s k thu t cơ b n ñ ch ng minh b t ñ ng th c và tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t.
1. S d ng k thu t ch n “ñi m rơi” c a b t ñ ng th c AM – GM (b t ñ ng th c Cauchy).
B t ñ ng th c AM – GM (b t ñ ng th c Cauchy) v n r t quen thu c v i h c sinh ph thông và có r t nhi u ng d ng. Ph n này xin
trình bày cách s d ng k thu t ch n “ñi m rơi” (giá tr c a (các) bi n ñ x y ra ñ ng th c) c a b t ñ ng th c AM – GM trong vi c
ch ng minh b t ñ ng th c. Trư c h t, xin nêu l i b t ñ ng th c AM – GM
Cho n s th c không âm a1 , a2 ,..., an . Khi ñó
a1 + a2 + ... + an n a1 + a2 + ... + an
≥ a1a2 ...an hay a1a2 ...an ≤
n
n n
ð ng th c x y ra khi và ch khi a1 = a2 = ... = an .
Ta thư ng áp d ng b t ñ ng th c AM – GM khi n = 2,3, 4 . Ngoài ra, s d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta còn thu ñư c các k t qu
quan tr ng sau: Cho a, b, c là các s th c dương, khi ñó
(1) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca hay a + b + c ≥ ab + bc + ca .
( )
2
(2) (a + b + c ) ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2 hay a2 + b2 + c2 ≥ (a + b + c) .
1
3
(3) (a + b)( 1 + 1 ) ≥ 4 hay ≤ 1 (1 + 1).
1
a +b 4a
a b b
(4) (a + b + c )( 1 + 1 + 1 ) ≥ 9 hay ≤ 9 (1 + 1 + 1) .
1 1
a +b +c
a b c a b c
Vi c xác ñ nh ñi u ki n c a (các) bi n ñ x y ra ñ ng th c trong bài toán b t ñ ng th c r t quan tr ng, nó s giúp ta r t nhi u trong
vi c ñ nh hư ng cách gi i.
ð s d ng k thu t này ta c n k t h p thêm k thu t nh sau ñây:
A
× B = A.1.1...1 = A. A = 3 A.3 A.3 A , ñ t o ra các bi u th c m i
K thu t thêm b t: A = A + B − B = hai v c a b t ñ ng
B
th c mà ta có th ñánh giá ñư c.
K thu t ñ i bi n: M t s bài toán có ch a căn th c, phân th c thì ta có th ñ i bi n ñ d nh n th y các m i quan h c a các ñ i
lư ng, t ñó ta có ñ nh hư ng cho l i gi i. Ch ng h n nh ng phép th ñơn gi n như x := a , x := 1 ,…
a
Sau ñây là m t s ví d . Ví d ñ u tiên là m t b t ñ ng th c h t s c ñơn gi n.
11
( )
Bài toán 1. Cho x, y > 0 . Ch ng minh r ng x 2 + y 2 + + ≥ 2 x+ y .
xy
Phân tích l i gi i. Nh n th y r ng, v trái c a b t ñ ng th c có ch a ñơn th c và phân th c, v ph i có ch a căn th c (b c hai), và d
1 1
th y ñ ng th c x y ra khi x = y = 1 . Do ñó, ta s dùng b t ñ ng th c AM – GM cho hai s x 2 và , y 2 và .
y
x
1 1 1 1
L i gi i. S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có x 2 + ≥ 2 x2 . = 2 x ; y2 + ≥ 2 y2 . = 2 y .
x x y y
C ng hai b t ñ ng th c ta thu ñư c b t ñ ng th c c n ch ng minh.
1 1 9
Bài toán 2. Cho 0 < a ≤ . Ch ng minh r ng a + 2 ≥ .
2 2
a
1 1 1 1
a
Phân tích l i gi i. Ta nh n th y, t 0 < a ≤ , ta có 2 ≥ 4 . Ngoài ra, khi a = thì ñ ng th c =
(1) x y ra và .
2 16a 2
2 2
a
L i gi i. Do ñó, s d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta nh n ñư c
1
M i th ñ u do làm vi c mà có _ Alex Ferguson
1
- www.VNMATH.com
1 1 15 aa 1 15 3 15 9
aa
a+ = ++ + ≥ 33 . . + ≥+ =.
a2 2 2 16a 2 16a 2 2 2 16a 2 16a 2 4 4 2
Ta có th gi i bài toán trên b ng cách m t cách khác nhưng rõ ràng l i gi i trên khá g n gàng và ñ p m t sau khi ta xác ñ nh ñư c
1
“ñi m rơi” là a = .
2
2 3
Bài toán 3. Cho a, b > 0 th a mãn ñi u ki n a + b = 1 . Ch ng minih r ng + ≥ 14 .
ab a 2 + b 2
L i gi i. D ñoán ñi m rơi a = b = 1 . Khi ñó 2 3 3
= 8 và = 1−2 ab = 6 .
a 2 +b 2
2 ab
S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
1− ab
2 3 2 2 1 1
+2 = +2 +2 = 2. +2 .
ab (1− 2ab) a + b 2
2 2 2
ab a + b ab a + b a +b
2
Ta ñ ý r ng ab ≤ 1 , a 2 + b 2 ≥ 1 ( a + b) = 1 , ab (1− 2ab) = 1 .2ab (1− 2ab) ≤ 1 . 1 = 1 . Do ñó
4 2 2 2 24 8
1− 1 1
1− ab
2 3 1
≥ 2. 1 4 + 1 = 14 .
+2 = 2. +2
ab (1− 2ab) a + b 2
ab a + b 2 8 2
3 + 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z ≥ 6 .
Bài toán 4. Cho các s th c x, y, z th a mãn ñi u ki n x + y + z = 0 . Ch ng minh r ng
L i gi i. D ñoán ñi m rơi x = y = z = 0 . S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
( )( )( )
3
3 + 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z ≥ 3 3 + 4 x . 3 + 4 y . 3 + 4 z = 36 3 + 4 x . 3 + 4 x . 3 + 4 x .
( )( )( )
4
M t khác, 3 + 4 x = 1 + 1 + 1 + 4 x ≥ 4 4 x . Do ñó 3 + 4 x 3 + 4 y 3 + 4 z ≥ 43 4 4 x.4 y.4 z = 43 (vì x + y + z = 0 ).
6
3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 3 43 = 6 .
Suy ra
2
1 + y 1 + 9 ≥ 256 .
Bài toán 5. Cho x, y > 0 . Ch ng minh r ng (1 + x )
x
y
L i gi i. D ñoán ñi m rơi: x = 3, y = 9 . S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
3
y3
( ).
3
( ) ,1+
y y y y
1 + x = 1 + 3 + 3 + 3 ≥ 4 4 ( 3 ) ,1 + x = 1 + 3 x + 3 x + 3 x ≥ 4 4 9 3
x x x x
≥ 44
3x y y
2
y 9 6
( )( )
y3
3
≥ 44.3 ( x )
= 44 = 256 .
3
Do ñó (1 + x )1 + 1 +
3 3x
x y
y
Bài toán 6. [Kh i B_2007] Cho x, y, z là ba s th c dương thay ñ i. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
x 1 z 1
y 1
P = x + + y + + z + .
2 yz
2 zx
2 xy
L i gi i. D ñoán ñi m rơi x = y = z . Khi ñó
x2 1
3x 2 3 x2 1 1
1 9
+ = 3 + + ≥ 3 3
P= =.
..
2 2x 2x
2 2 2x 2x 2
x
3x2 3
= hay x = 1 . Như v y, ñi m rơi có th là x = y = z = 1 .
ð ng th c x y ra khi
2 2x
x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx x 2 1 y 2 1 z 2 1 3 3 3 9
= + + + + + ≥ + + =
Ta có P = + ≥ +
2 2 2 2222
x y
2 2
xyz xyz z
111
Bài toán 7. [Kh i A_2005] Cho x, y, z là ba s th c dương th a mãn + + = 4 . Ch ng minh r ng
xyz
2
- www.VNMATH.com
1 1 1
+ + ≤1 .
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z
1 1 1
1
≤ + v i m i s th c dương a, b , ta có
L i gi i. D ñoán ñi m rơi x = y = z . S d ng b t ñ ng th c
a + b 4 a b
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 2 1 1
1 ≤ + + + = + + .
≤ +
x + y x + z 4 4 x y 4 x z 16 x y z
2x + y + z 4
Ch ng minh tương t cho các bi u th c còn l i, ta suy ra
1 4 4 4
1 1 1
+ + ≤ + + =1.
2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2 z 16 x y z
Bài toán 8. [ Japan, 2005 ] Cho a, b, c là các s th c dương, th a ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng
a 3 1+ b − c + b 3 1+ c − a + c 3 1+ a − b ≤ 1 (2)
1
L i gi i. D ñoán ñi m rơi a = b = c = . Khi ñó 1 + b − c = 1 . S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
3
1 + 1 + (1 + b − c ) 1
a 3 1 + b − c = a 3 1.1.(1 + b − c) ≤ a. = (3a + ab − ac ) .
3 3
1 1
Ch ng minh tương t , ta nh n ñư c b 3 1 + c − a ≤ (3b + bc − ba ) , c 3 1 + a − b ≤ (3c + ca − cb) .
3 3
C ng ba b t ñ ng th c trên, ta nh n ñư c
1
a 3 1 + b − c + b 3 1 + c − a + c 3 1 + a − b ≤ 3( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) − (ab + bc + ca) = 1 .
3
3
Bài toán 9. Cho a, b, c > 0 th a mãn ñi u ki n a + b + c = 3
a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 .
. Ch ng minh r ng
4
1
Phân tích l i gi i. Nh n th y r ng, v trái c a b t ñ ng th c có ch a (b c ba), d th y ñ ng th c x y ra khi a = b = c = , khi ñó,
4
a + 3b = 1 . Do ñó, ta s dùng b t ñ ng th c AM – GM cho ba s a + 3b,1,1 .
(a + 3b) +1 +1 a + 3b + 2
L i gi i. S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 3
a + 3b = 3 ( a + 3b).1.1 ≤ = .
3 3
Ch ng minh tương t cho hai bi u th c còn l i, ta thu ñư c
a + 3b + 2 b + 3c + 2 c + 3a + 2 4 ( a + b + c) + 6
3
a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ + + = = 3.
3 3 3 3
Bài toán 10. [ IMO, 1995 ] Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n abc = 1 . Ch ng minh r ng
1 1 1 3
+ + ≥ .
3 3 3
a (b + c) b (c + a ) c ( a + b) 2
1 2 b+c
1
L i gi i. D ñoán ñi m rơi a = b = c = 1 . Khi ñó = == . Do ñó, áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
3
a (b + c) 24 4bc
1 1 1 1
b+c b+c 1
1 1 1
≥ − + .
+ ≥2 3 = ⇒3
.
a 4 b c
3
a (b + c ) a (b + c) a (b + c )
4bc 4bc a
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
≥ − + , 3 ≥ − + .
Ch ng minh tương t , ta có
3 c a c ( a + b) c 4 a b
b (c + a ) b 4
C ng các b t ñ ng th c trên và áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có
1 1 1 1 1
1 1 1 111 3
≥ + + ≥ .3 3 . . = .
+ +
a b c 2
3 3 3
c (a + b ) 2
a (b + c) b (c + a ) abc 2
3
- Bài toán 11. Cho x, y, z ≥ 0 th a mãn ñi u ki n www.VNMATH.com ng
x + y + z ≤ 3 . Ch ng minh r
3 1 1 1
x y z
+ + ≤ ≤ + + .
2 2 2 2 1+ x 1+ y 1+ z
1+ x 1+ y 1+ z
L i gi i. S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 1 + x 2 ≥ 2 x,1 + y 2 ≥ 2 y,1 + z 2 ≥ 2 z . Do ñó
3
x y z x y z
+ + ≤ + + =.
2 2 2 2x 2 y 2z 2
1+ x 1+ y 1+ z
+ b + 1 ≥ a +9 +c , v i m i a, b, c dương, chú ý r ng x + y + z ≤ 3 , ta có
1 1
S d ng b t ñ ng th c a c b
1 1 1 9 93
+ + ≥ ≥=.
1+ x 1+ y 1+ z 3 + x + y + z 6 2
x2 y2 z2 3
Bài toán 12. Cho x, y, z > 0 và th a mãn ñi u ki n xyz = 1 . Ch ng minh r ng + + ≥.
y +1 z +1 x +1 2
x2 y2 z2
y +1 z +1 x +1
L i gi i. S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có + ≥ x, + ≥ y, + ≥z.
y +1 z +1 x +1
4 4 4
x2 y2 z2 x2 y2 z2
x+ y+z 3 3 33 33
≥ ( x + y + z ) − ≥ .33 xyz − = .
+ + + + ≥ x + y + z hay + +
Suy ra
y +1 z +1 x +1 y +1 z +1 x + 1 4
4 4 44 42
111
Bài toán 13. Cho a, b, c > 0 th a mãn ñi u ki n + + = 3 . Ch ng minh r ng (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 .
abc
111
, , , nhưng b t ñ ng th c c n ch ng minh ch ch a a, b, c . Do ñó, ñ ch ng
Phân tích l i gi i. Gi thi t bài toán ch a các bi n
abc
111
minh b t ñ ng th c, ta c n chuy n ñ i lư ng , , thành a, b, c . Ta c n ch ng minh
abc
1 1 1 8
(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 ⇔ 1 + 1 + 1 + ≥ .
a b c abc
1 1 1
L i gi i. S d ng phép ñ i bi n x = , y = , z = , ta c n ch ng minh (1 + x)(1 + y )(1 + z ) ≥ 8 xyz , trong ñó x + y + z = 3 .
a b c
D ñoán ñi m rơi: x = y = z = 1 . S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 3 = x + y + z ≥ 33 xyz ⇒ xyz ≤ 1 .
Do ñó (1 + x )(1 + y )(1 + z ) ≥ 2 x .2 y .2 z = 8 xyz ≥ 8 xyz .
a3 b3 c3 abc
Bài toán 14. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng + + ≥ ++.
3 3 3 bca
b c a
a b c
, y = , z = . Ta c n ch ng minh x3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z , v i xyz = 1 .
L i gi i. ð t x =
b c a
S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có x3 + 2 = x3 + 1 + 1 ≥ 3x . Do ñó x3 + y 3 + z 3 + 6 ≥ 3( x + y + z ) hay
( )
x3 + y 3 + z 3 ≥ ( x + y + z ) + 2 ( x + y + z ) − 3 ≥ ( x + y + z ) + 2 3 3 xyz − 3 = x + y + z .
a3 b3 c3 abc
Bài toán 15. Cho a, b, c > 0 . Ch ng minh r ng + + ≥ ++.
3 3 3
bca
b c a
a b c 3 3 3
L i gi i. ð t x = , y = , z = . Ta c n ch ng minh x 2 + y 2 + z 2 ≥ x + y + z , v i xyz = 1 .
b c a
3 3 1
B ñ : ta s ch ng minh x 2 + 1 ≥ 2 x ⇔ 2 x 2 + 1 ≥ 3x . ð t t = x 2 , b t ñ ng th c trên ñư c vi t l i dư i d ng
3
2
2
2t 3 + 1 ≥ 3t 2 ⇔ 2t 3 − 3t 2 + 1 ≥ 0 ⇔ (t −1) (2t + 1) ≥ 0 .
( )
3 3 3
Suy ra 2 x 2 + y 2 + z 2 + 3 ≥ 3( x + y + z ) . Do ñó, v i chú ý r ng x + y + z − 3 ≥ 3 3 xyz − 3 = 0 .
4
- www.VNMATH.com
( )
3 3 3 3 3 3
2 x 2 + y 2 + z 2 ≥ ( x + y + z − 3) + 2 ( x + y + z ) ≥ 2 ( x + y + z ) hay x 2 + y 2 + z 2 ≥ x + y + z
Bài toán 16. Cho a, b, c > 0 th a mãn ñi u ki n ab + bc + ca = abc . Ch ng minh r ng
b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 a 2 + 2c 2
+ + ≥ 3.
ab bc ca
L i gi i. Th c hi n phép ñ i bi n x = 1 , y = 1 , z = 1 . T ñi u ki n, ta có x + y + z = 1 .
a b c
x2 + 2 y 2 + y2 + 2 z 2 + z 2 + 2 x2 ≥ 3 .
Ta c n ch ng minh b t ñ ng th c
x2 + 2 y2 = x2 + y2 + y2 ≥ 1 1
( x + y + y) = ( x + 2 y) .
S d ng b t ñ ng th c Cauchy – Schwarz, ta có
3 3
x2 + 2 y 2 + y 2 + 2 z 2 + z 2 + 2x2 ≥ 1
(x + y + z) = 3 .
V i hai b t ñ ng th c tương t còn l i, suy ra .3
3
Bài toán 17. Kh i A_2006] Cho hai s th c x ≠ 0, y ≠ 0 thay ñ i và th a mãn ñi u ki n ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá tr l n
1 1
nh t c a bi u th c A = + .
3
y3
x
L i gi i. Vì x ≠ 0, y ≠ 0 nên ñi u ki n c a bài toán có th ñư c vi t l i dư i d ng (chia hai v cho ñ i lư ng x 2 y 2 )
, ta c n tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = a3 + b3 v i ñi u ki n
1
+1 = 1 1 1
− xy . Th c hi n phép ñ i bi n a = 1 , b = 1
+
x2 y2
x y x y
2
( ) 2
a + b = a 2 + b 2 − ab . Khi ñó A = a3 + b3 = (a + b) a 2 + b2 − ab = ( a + b) . S d ng b t ñ ng th c ab ≤ ( a +b ) , ta suy ra
2
2 2 2 2
a + b = a 2 + b 2 − ab = ( a + b) − 3ab ≥ ( a + b) − 3 (a + b) = 1 (a + b) .
4 4
2
Do ñó (a + b) − 4 (a + b) ≤ 0 hay 0 < a + b ≤ 4 . Vì v y A ≤ 16 .
1
ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b = 2 hay x = y = và max A = 16 .
2
Bài toán 18. [Kh i A_2007] Cho x, y, z là ba s th c dương thay ñ i và th a mãn ñi u ki n xyz = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u
th c
x2 ( y + z) y 2 ( z + x) z 2 ( x + y)
P= + + .
y y + 2z z z z + 2x x x x + 2y y
L i gi i. ð ti n cho vi c trình bày l i gi i, ñ t a = x , b = y , c = z . Khi ñó abc = 1 , ta c n tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
( ) + b 4 (c 2 + a 2 ) + c 4 ( a 2 + b 2 ) .
a4 b2 + c2
M=
b 3 + 2c 3 c 3 + 2a 3 a 3 + 2b3
2
( )
D ñoán ñi m rơi a = b = c = 1 , khi ñó M = 3 . S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có b 2 + c 2 ≥ 2bc = ⇒ a 4 b 2 + c 2 ≥ 2a 3 .
a
2a 3 2b3 2c 3
Th c hi n vi c tương t cho các bi u th c còn l i trong bi u th c M , ta có M ≥ + + .
b3 + 2c3 c 3 + 2a 3 a3 + 2b3
Th c hi n phép ñ i bi n m = b3 + 2c3 , n = c3 + 2a3 , p = a3 + 2b3 . Khi ñó
4n + p − 2m 3 4 p + m − 2n 3 4m + n − 2 p
a3 = ,b = ,c = .
9 9 9
Như v y:
2 4n + p − 2m 4 p + m − 2n 4m + n − 2 p
=
M=
+ +
9
m n p
2 n p m p m n 2
4 + + + + + − 6 ≥ (4.3 + 3 − 6) = 2 .
=
9 m n p m n p 9
5
- www.VNMATH.com
2. S d ng các tính ch t c a hàm s , lư ng giác, vector
ð i v i các bài toán b t ñ ng th c, bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t có ch a m t bi n s ( x ho c a ), ta thư ng gi i
b ng cách s d ng ñ o hàm v i ñi u ki n ràng bu c c a bi n thu c m t mi n xác ñ nh nào ñó; n u x ∈ [−1,1] thì ta có th ñ t
x = sin α, x = cos α ; n u bài toán có ch a ñi u ki n a, b, c > 0, ab + bc + ca = 1 thì ta có th ñ t a = tan 2 , b = tan B , c = tan C ; v i
A
2 2
a 2 + b 2 thì ta có th ñ t u = ( a, b) ; n u bài toán có ch a ñi u ki n
A, B, C là ba góc c a m t tam giác; n u bài toán có ch a ñ i lư ng
a ≥ b thì ta c n chuy n bài toán v d ng f (a ) ≥ f (b) ho c f (a ) ≤ f (b) , r i xét s ñ ng bi n ho c ngh ch bi n c a hàm s y = f ( x) ,
và lưu ý r ng, trong m t s trư ng h p, ta c n phép ñ i bi n ñ bài toán có d ng ñơn gi n hơn.
x +1
Bài toán 19. [Kh i D_ 2003] Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s trên ño n [−1; 2] .
y=
x2 +1
L i gi i. Xét x ∈ [−1; 2] . ð o hàm c a hàm s này là y ' = 1− x
. Ta có y ' = 0 ⇔ x = 1 .
3
( x 2 +1)
3
Giá tr c a hàm s t i ñi m t i h n và ñi m biên: f (1) = 2, f (−1) = 0, f ( 2) = .
5
V y max y = f (1) = 2, min y = f (−1) = 0 .
[−1,2 ]
[−1,2]
y = x + 4 − x2 .
Bài toán 20. [Kh i B_ 2003] Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s
L i gi i. T p xác ñ nh [−2, 2] . ð o hàm c a hàm s này là y ' = 1− x
. Ta có
4− x 2
y ' = 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ x ≥ 0 ∧ 4 − x2 = x2 ⇔ x = 2 .
( 2) = 2 2, f (−2) = −2, f (2) = 2 .
Giá tr c a hàm s t i ñi m t i h n và ñi m biên: f
( 2) = 2 2, min y = f (−2) = −2 .
V y max y = f
[−2,2]
[−2,2 ]
Lưu ý: vì x ∈ [−2, 2] nên ta có th ñ t x = 2 cos α, α ∈ [ 0, π ] ho c x = 2sin α, α ∈ − π , π , sau ñó ñưa bài toán v d ng lư ng giác
22
ñ gi i.
3
( )
y = x 6 + 4 1− x 2
Bài toán 21. Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s trên ño n [−1,1]
L i gi i. Th c hi n phép ñ i bi n t = x 2 . Vì x ∈ [−1,1] nên t ∈ [0,1] . Ta c n tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s
3
f (t ) = t 3 + 4 (1− t ) = −3t 3 + 12t 2 −12t + 4 .
ð o hàm c a hàm s này là f '(t ) = −9t 2 + 24t −12 . Ta có f '(t ) = 0 ⇔ t = 2 ∨ t = 2 .
3
Giá tr c a hàm s t i ñi m t i h n (chú ý t ∈ [0,1] ) và ñi m biên: f ( 2 ) = 4 , f (0) = 4, f (1) = 1 .
3 9
6
2
4
V y max y = 4 khi t = 0 hay x = 0 , min y = khi t = hay x = ± .
9 3 3
[−1,1]
[−1,1]
Lưu ý:
(1) Vì x ∈ [−1,1] nên ta có th ñ t x = cos α, α ∈ [ 0, π ] ho c x = sin α, α ∈ − π , π , sau ñó ñưa bài toán v d ng lư ng giác ñ gi i.
22
(2) N u ñ t y 2 = 1− x 2 , thì bài toán ñư c phát bi u dư i d ng: Tìm giá tr l n nh t và giá tr bé nh t c a bi u th c
f ( x, y ) = x6 + 4 y 6 th a ñi u ki n x 2 + y 2 = 1 .
Bài toán 22. [Kh i A_2003] Cho x, y, z là ba s th c dương th a mãn x + y + z ≤ 1 . Ch ng minh r ng
1 1 1
x2 + + y2 + + z2 + ≥ 82 .
2 2
z2
x y
1 1 1
L i gi i. D ñoán ñi m rơi x = y = z = . Khi ñó, x 2 = = .
9 81x 2
3
6
- www.VNMATH.com 1
1 1
S d ng b t ñ ng th c a + b + c ≥ a + b + c , v i m i vector a, b, c , áp d ng cho a = x, , b = y, , c = z , .
y
x
z
1 1 1 2
1 1 1
≥ (x + y + z) + + + .
2
x2 + + y2 + + z2 +
Ta nh n ñư c
x y z
x2 y2 z2
1 1 1 111 9 9
T b t ñ ng th c (a + b + c ) + + ≥ 9, v i a, b, c > 0 , t = x + y + z ≤ 1 , ta có + + ≥ =.
a b c
x y z x+ y+z t
1 1 1 2 1 81
81 1 1 1 1
Suy ra ( x + y + z ) + + + ≥ t 2 + 2 = t 2 + 2 + 2 + ... + 2 ≥ 8282 t 2 . 2 = 8282 160 ≥ 82.
2
x y z t
t t t t t
1
Do ñó ta có ñi u ph i ch ng minh. ð ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z =
3
b a
1 1
Bài toán 23. [Kh i D_2007] Cho a ≥ b > 0 . Ch ng minh r ng 2a + a ≤ 2b + b .
2 2
L i gi i. B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i b t ñ ng th c
( ) ( ) ( )
ln 1+4a ln 1+4b ln 1+4 x
b a
(1 + 4a ) ≤ (1 + 4b ) hay f (a ) ≤ f (b) , trong ñó f ( x ) =
⇔ ≤ .
a b x
Ta chú ý r ng, vì a ≥ b > 0 nên ta ch c n ch ng minh hàm s này ngh ch bi n trong (0, +∞) .
( )( )
4 x ln 4 x − 1+4 x ln 1+4 x
Th t v y, ñ o hàm c a hàm s này là f '( x ) = < 0 . ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b .
( )
x 2 1+4 x
Cu i cùng, m i các b n rèn luy n k thu t này qua các bài t p sau.
Bài 1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng 2a + b + 5 2b + c + 5 2c + a ≤ 35 3 .
5
Bài 2. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng (2a + b)(a + c) a + 5 (2b + c)(b + a )b + 5 (2c + a )(c + b) c ≤ 3 5 6 .
5
( ) ( )
2
Bài 3. Cho a, b, c > 0 và a 2 + a + 2 (b + 1) c 2 + 3c = 64 . Ch ng minh r ng a 3b4 c5 ≤ 1 .
32
Bài 4. Cho a > b ≥ 0 . Ch ng minh r ng 2a + ≥5.
2
(a − b)(2b + 3)
3
x y z
Bài 5. [ Nesbitt ] Cho x, y, z > 0 . Ch ng minh r ng + + ≥.
y+z z+ x x+ y 2
4 − a2 + 4 − b2 + 4 − c2 ≤ 3 3 .
Bài 6. [Cao Minh Quang] Cho a, b, c ∈ [−2, 2] và a + b + c = 3 . Ch ng minh r ng
1
xyz
Bài 7. [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z > 0 . Ch ng minh r ng ≤ 4.
(1 + 3x)( x + 8 y )( y + 9 z )( z + 6) 7
a3 b3 c3 3
Bài 8. [ IMO Short List, 1998 ] Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Ch ng minh r ng + + ≥.
(1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4
Bài 9. [ Greece, 2007 ] Cho a, b, c là ñ dài ba c nh c a m t tam giác. Ch ng minh r ng
4 4 4
(c + a − b) (a + b − c) (b + c − a )
+ + ≥ ab + bc + ca .
a (a + b − c ) b (b + c − a) c (c + a − b)
9
3 a b c
Bài 10 [ Poland, 1995 ] Cho a, b, c ≥ − và a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng 2 +2 +2 ≤
4 a + 1 b + 1 c + 1 10
ln 2 x
trên ño n 1; e3 .
Bài 11 [Kh i B_2004] Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s y=
x
x2 y2 z2
Bài 12. Cho x, y, z là các s th c dương. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M = + + .
2 2 2
x + 2 yz y + 2 zx z + 2 xy
7
- www.VNMATH.com
1 1 1
Bài 13. Cho a, b, c > 0 th a mãn ñi u ki n + + = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a abc .
2+a 2+b 2+c
a b
Bài 14. Cho a, b > 0 th a mãn ñi u ki n a + b = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + .
1− a 1− b
a c
1 1 1 b
≥ 3 a + b + c .
Bài 15. Cho các s th c a, b, c th a mãn ñi u ki n a + b + c = 1 . Ch ng minh r ng + +
3
3
a b c
3 3 3 3
x2 x 2 x x
x4 x4
− 2 2 + 2 + +
Bài 16. Cho x, y ≠ 0 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P =
+
y4 y4 y y y y
a3
1 1a
+ b3 ≥
Bài 17. Cho a, b là hai s th c dương. Ch ng minh r ng + + +b .
3 3 ab
a b
3
Bài 18. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n x + y + z ≤ . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
2
111
M = x2 + y2 + z 2 + + + .
xyz
1 1 1
Bài 19. Cho a, b, c > 0 th a mãn ñi u ki n a + b + c = abc . Ch ng minh r ng 1+ + 1+ + 1+ ≥2 3 .
2 2
c2
a b
1
a b
Bài 20. Cho a, b là các s th c dương. Ch ng minh r ng + ≤ .
a 4 + b2 b4 + a2 ab
a +b ab
Bài 21. Cho a, b là các s th c dương. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + .
a +b
ab
2 2
1 1
Bài 22. Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b = 2 . Ch ng minh r ng a + + b + ≥ 9 .
b a
Bài 23. Cho x, y, z là các s th c dương th a mãn ñi u ki n xy + yz + zx = 1 . Ch ng minh r ng
x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 .
Bài 24. Cho a, b, c là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b + c = abc . Ch ng minh r ng
bc ca ab
+ + ≤1
a 2 + 2bc b2 + 2ca c 2 + 2ab
1
( )
Bài 25. Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b = 1 . Ch ng minh r ng 8 a 4 + b 4 + ≥5.
ab
1 1
Bài 26. Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b ≤ 1 . Ch ng minh r ng + ≥4.
2 2
a + ab b + ab
Bài 27. Cho x, y ≥ 1 . Ch ng minh r ng x y −1 + y x −1 ≤ xy .
1 1
Bài 28. Cho a, b là các s th c dương th a mãn ñi u ki n a + b = 1 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M = 1− 2 1− 2 .
a b
2y
2x 2z 1 1 1
Bài 29. Cho x, y, z > 0 . Ch ng minh r ng + + ≤ + + .
3 2 3 2 3 2 2 2
z2
x +y y +z z +x x y
x+ y+z
1 1 1
Bài 30. Cho x, y, z > 0 . Ch ng minh r ng + + ≤ .
2 2 2 2 xyz
x + yz y + zx z + xy
8
nguon tai.lieu . vn
